3.2.1最值、讨论最值、恒成立有解 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数最值定义、二次函数在不同定义域下的最值求解及恒成立与有解问题。通过“菊花”烟花高度问题导入，前承函数定义域值域知识，后接不等式应用，搭建从定义到实际问题的学习支架。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，如烟花问题抽象为二次函数模型；通过二次函数分类讨论发展数学思维，如例2分对称轴位置求解最值；用符号语言总结恒成立问题方法，帮助学生提升逻辑推理能力，教师可借助系统例题提升教学效率。

3.2 函数的基本性质 3.2.1-5最大（小）值 最值 观察：当一个函数的图象有最高点时，我们就说函数有最大值. 最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足: (1)都有; (2)使得. 那么，我们则称是函数的最大值. 函数的最大值可用来表示. M是函数值中的一个，即M∈值域 最值 最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足: (1)都有; (2)使得. 那么，我们则称是函数的最小值. 函数的最大值可用来表示. M是函数值中的一个，即M∈值域 思考：一个函数一定有最大最小值吗？举例说明。 最值 例4.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h(单位: m)与时间t单位: s) 之间的关系为h(t)= 4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)? 最值 例4.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h(单位: m)与时间t单位: s) 之间的关系为h(t)= 4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)? 解：画出函数h(t)= 4.9t2+14.7t+18的图象. 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点， 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻, 纵坐标就是这时距地面的高度. 由二次函数的知识可知，对于h(t)= 4.9t2+14.7t+18有: ∴烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m. 二次函数 例1.已知函数，分别求下列定义域下的值域. (1) (2) (3) 答案： (1) (2) (3) 二次函数的最值 例2.已知函数. (1)当时，求在[0,1]上的最大值； (2)求在[0,1]上的最大值，最小值，值域； (3)当时，求在闭区间上的最小值. 二次函数的最值 例2.已知函数. (1)当时，求在[0,1]上的最大值； 解：当时， 在单减，在单增。 又因为 所以 此处有链接 二次函数的最值 例2.已知函数. (2)求在[0,1]上的最大值，最小值，值域； 解：当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 此处有链接 二次函数的最值 例2.已知函数. (2)求在[0,1]上的最大值，最小值，值域； 解：0时， 时， 时， 时， 此处有链接 二次函数的最值 例2.已知函数. (3)当时，求在闭区间上的最小值. 解：当时， 当时， 当时， 当时， 此处有链接 恒成立和有解问题 例1:(1)已知为，求的取值范围。 (2)不等式对都成立，求的取值范围。 (3)∃使得不等式成立，求的取值范围。 (4)不等式对都成立，求的取值范围。 恒成立和有解问题 例1:(1)已知为，求的取值范围。 (2)不等式对都成立，求的取值范围。 (3)∃使得不等式成立，求的取值范围。 (4)不等式对都成立，求的取值范围。 解：(1) ，得 (2) ,记,则 (3) (4) 恒成立和有解问题 (或最小值) 点 方 法 要 恒成立和有解问题 例2：已知存在，使不等式成立，求的取值范围. 恒成立和有解问题 例2：已知存在，使不等式成立，求的取值范围. 解:（讨论法）令，， 当，即时，，解得，所以； 当，即时，，不符合题意； 当，即时，， 解得或，所以， 综上可得，即的取值范围为. 恒成立和有解问题 例2：已知存在，使不等式成立，求的取值范围. 解:（，， 当时，不符合题意； 当，，则 ， 令则 所以 恒成立和有解问题 例3：已知时，不等式恒成立，求的取值范围. 恒成立和有解问题 例3：已知时，不等式恒成立，求的取值范围. 解:（1） 恒成立， 则解得 ：已知谁的范围谁时自变量，求谁的范围谁是参数 点 方 法 要 恒成立和有解问题 例4：已知函数，． 若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (2)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． ：自变量相同，转化为一个函数；自变量不同，各看各的最值 点 方 法 要 恒成立和有解问题 例4：已知函数，． (1) 若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （1）即 因为时，（当且仅当时等号成立）， 所以即 恒成立和有解问题 例4:已知函数，． (2)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． （2）由题知，. ， 当，即时，成立，得； 当，即时， 得，所以； 当，即时，得，所以. 综上所述，实数的取值范围是. 恒成立和有解问题 练习1：(1) ，都有，求实数的取值范围 (2)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． (3)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； 练习2：已知不等式． (1)若，使不等式恒成立，求的取值范围； (2)若，使不等式能成立，求的取值范围； (3)是否存在实数，使不等式对恒成立．求取值范围 恒成立和有解问题 练习1：(1) ，都有，求实数的取值范围 (2)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． (3)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (1) ,所以 ,所以， (2)由（1）可知 ，所以 (3)不等式可化为， 当时，， 所以不等式化为，又因为，所以， 所以实数a的取值范围是； 恒成立和有解问题 练习2：已知不等式． (1)若，使不等式恒成立，求的取值范围； (2)若，使不等式能成立，求的取值范围； (3)是否存在实数，使不等式对恒成立．求取值范围 解：（1）当时，不等式为，可得，不符合题意； 将不等式化为：，由于，不等式恒成立， 所以解得： （2），令，则，则 ， 当时取等号，所以 （3）对恒成立，因为， 所以无解 $