1.3 正方形的性质与判定 第2课时-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学课件（北师大版）

第一章 特殊平行四边形 1.3 正方形的性质与判定（第2课时） 正方形的判定定理： 1. 对角线相等的菱形是正方形. 2. 对角线互相垂直的矩形是正方形. 3. 有一个角是直角的菱形是正方形. 4. 有一组邻边相等的矩形是正方形. 回顾复习 2 例1 已知：如图1，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC， CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形. 图1 典例精讲 证明：∵ BF∥CE，CF∥BE， ∴ 四边形BECF是平行四边形. ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠ABC=90°，∠DCB=90°. 又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴ ∠EBC= ∠ABC =45°，∠ECB= ∠DBC =45°. 图1 典例精讲 4 ∴ ∠EBC=∠ECB. ∴ EB=EC. ∴ □BECF 是菱形（菱形的定义）. 在 △EBC 中， ∵ ∠EBC=45°，∠ECB=45°, ∴ ∠BEC=90°. ∴ 菱形 BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）. 图1 典例精讲 5 一个内角是直角 对角线垂直 一组邻边相等 一组邻边相等 对角线相等 一个内角是直角 平行四边形 矩形 正方形 菱形 探究新知 6 想一想 1. 如图2，在△ABC中，EF 为△ABC的中位线， ①若∠BEF=30°，则∠A= . ②若 EF=8 cm，则AC= . 30° 16 cm B F E C A 图2 探究新知 7 2. 如图3，E，F分别为AB，AC的中点，在AC的下方找一点D， 作CD和AD的中点G，H，问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？ H C D G B F E A 3. 四边形EFGH的形状有什么特征？ EF∥HG EH∥FG 四边形EFGH是平行四边形. 图3 探究新知 8 如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？ 平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形 直角梯形 梯形 原四边形可以是： 探究新知 9 特殊四边形的中点四边形： 平行四边形的中点四边形 是平行四边形 矩形的中点四边形是菱形 探究新知 10 菱形的中点四边形是矩形 正方形的中点四边形是正方形 探究新知 11 等腰梯形的中点四边形是菱形 直角梯形的中点四边形是平行四边形 梯形的中点四边形是平行四边形 探究新知 12 特殊四边形的中点四边形： 平行四边形的中点四边形是平行四边形； 矩形的中点四边形是菱形； 菱形的中点四边形是矩形； 正方形的中点四边形是正方形； 等腰梯形的中点四边形是菱形； 直角梯形的中点四边形是平行四边形； 梯形的中点四边形是平行四边形. 归纳小结 13 想一想 1.矩形和等腰梯形是形状不同的四边形，为什么中点四边形都由平行四边形变化为菱形？ 2.平行四边形变化为菱形需要增加什么条件？ 3.你是从什么角度考虑的？ 探究新知 14 4.你从哪里得到的启发？ 5.能用你的发现解释其他的图形变化吗？ 若原四边形为菱形，其中点四边形为矩形吗？ 探究新知 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形 对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 探究新知 16 对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形 对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形 探究新知 17 原四边形对角线关系 不相等、不垂直 相等 垂直 相等且垂直 所得中点四边形的形状 一般四边形的中点四边形： 决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系. 平行四边形 菱形 矩形 正方形 归纳小结 18 A B C D E F G H 四边形ABCD 是凸四边形 A B C D E F G H AB，AD 在同一线段上 A B C D E F G H 四边形ABCD 是凹四边形 A B C D E F G H 四边形ABCD 是扭曲四边形 拖动点A使四边形ABCD的图形如上图变化，那么中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？ 结论：当四边形ABCD是上面的图形时，四边形EFGH仍为平行四边形. 图形发散练习 探究新知 19 1. 本节课重点学习了什么知识，应用了哪些数学思想和方法？ 2. 通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的学习过程中应该怎么做？ 课堂小结 20 习题1.8 第1，3，4题. 课后作业 $