1.2 矩形的性质与判定（分层作业）数学北师大版九年级上册

1.2 矩形的性质与判定 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 2．（21-22八年级下·重庆·期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（    ） A．40° B．35° C．30° D．25° 3．（八年级上·四川·期末）将长方形纸片按如图折叠，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2根据矩形的性质求线段长】 1．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则对角线的长是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖北恩施·期末）如图，矩形中，是对角线的中点，连接．若，，则的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形中，点B的坐标是，则A，C两点间的距离是（　　）    A． B． C． D．6 【题型4矩形与折叠问题】 1．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，已知．则的长为（   ） A． B． C． D．5 2．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，已知矩形中，，，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【题型5直角三角形斜边上的中线】 1．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（   ） A．6 B．4.5 C．3.5 D．3 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是斜边上的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，，分别以B，C为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧相交于D，E，作直线交，于点F，G，连接，若，则的长为（ ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【题型6矩形的判定】 1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，则添加下列结论中的一个条件后，能判定平行四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，E，F，G，H分别为四边形边的中点，要使四边形为矩形，应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【题型7 矩形的性质与判定综合】 1．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 2．（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，在矩形中，于点E，若，求的长． 1．（2024·江苏苏州·一模）如图，在矩形中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点E，交于点F，若，则矩形的周长为（　　） A．24 B．12 C．8 D．36 2．（23-24九年级上·广东惠州·开学考试）如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（    ） A．3 B．2.4 C．4 D．2.5 3．（2024·河南商丘·模拟预测）如图1，矩形中，P是边上一点将沿着直线折叠得到． (1)如图2，当点E落在边上时，任意写出一个图中45°的角：_______； (2)①如图3，当点E恰好落在线段上时，_______°，与的数量关系是 _______； ②如图4，改变点P的位置，使射线PE交AD于F，当时，与有何数量关系？说明理由； (3)当点P是的中点时，此时点E落在矩形内部，延长交于点Q，若点是的三等分点，，请直接写出的长． 4．（2024·新疆·中考真题）如图，的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：是矩形． 5．（24-25九年级上·山西运城·期中）问题情境：已知矩形，，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． 数学发现： （1）如图，当时，___________，如图，当时，___________； 初步探究： （2）如图，当边经过点时，求的长； （3）如图，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形纸片中，．把沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点G．E，F分别是和上的点，交于点H，把沿折叠，使点D恰好与点A重合． (1)求证：； (2)求的值； 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·西藏·中考真题）如图，矩形中，和相交于点O，，，点E是边上一点，过点E作于点H，于点G，则的值是（    ）    A．2.4 B．2.5 C．3 D．4 3．（2023·四川凉山·中考真题）如图，边长为2的等边的两个顶点分别在两条射线上滑动，若，则的最大值是 ．    2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 矩形的性质与判定 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可． 2．（21-22八年级下·重庆·期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（    ） A．40° B．35° C．30° D．25° 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得OA=OD，从而得到∠ADO=55°，再由，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD中，OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO， ∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，， ∴∠ADO=55°， ∵，即∠AED=90°， ∴∠DAE=35°． 故选：B 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 3．（八年级上·四川·期末）将长方形纸片按如图折叠，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质及含30的直角三角形的性质即可求解． 【详解】∵折叠 ∴，AB=AB’ ∵CD∥AB ∴ ∴ ∴AE=EC， ∴DE=EB’ ∵=3DE=DE+EC= DE+AE ∴AE=2DE ∵ ∴= 故选C． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知矩形的性质、折叠的特点及含30的直角三角形的性质． 【题型2根据矩形的性质求线段长】 1．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则对角线的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的对角线相等且互相平分可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：矩形的两条对角线相交于点， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 2．（23-24八年级下·湖北恩施·期末）如图，矩形中，是对角线的中点，连接．若，，则的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，根据矩形的性质可知，，再根据勾股定理可求出的长，进而即可求出的长． 【详解】四边形为矩形， ，，， ，， ， ， 故选：D． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形中，点B的坐标是，则A，C两点间的距离是（　　）    A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得，根据点B坐标求出即可求出答案． 【详解】解：如图，连接，，    ∵四边形是矩形， ∴， ∵点B的坐标是，点， ∴， ∴A，C两点间的距离为， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的对角线相等，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及勾股定理． 【题型4矩形与折叠问题】 1．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，已知．则的长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据证明可得，设，利用勾股定理求根据方程求出x即可解决问题； 【详解】在和中， ， ∴； ∴， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 故选：C 2．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，已知矩形中，，，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】设，则，首先得到，然后利用勾股定理求解即可． 此题考查了矩形和折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】解：设，则 由折叠可得， ∵四边形是矩形 ∴ ∴，即 解得 ∴的长为4． 故选：B． 【题型5直角三角形斜边上的中线】 1．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（   ） A．6 B．4.5 C．3.5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：， 在中，是的中线， 故选：D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是斜边上的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，先证明，可得，再结合角的和差运算可得答案. 【详解】解：∵是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 3．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，，分别以B，C为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧相交于D，E，作直线交，于点F，G，连接，若，则的长为（ ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的尺规作图以及垂直平分线的性质以及勾股定理，掌握垂直平分线的性质，是解题的关键． 尺规作图，可得直线垂直平分，然后根据勾股定理算出，再通过角度计算可知，进而得到即可求出答案． 【详解】根据尺规作图，可得直线垂直平分， ∴，即得，，， ∴根据勾股定理可知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【题型6矩形的判定】 1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，则添加下列结论中的一个条件后，能判定平行四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形或者有一个直角的平行四边形是矩形进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，，则，证明不了平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，，则四边形是菱形，证明不了平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、∵四边形是平行四边形，则，证明不了平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、∵四边形是平行四边形，，则四边形是矩形，故该选项符合题意； 故选：D 2．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，E，F，G，H分别为四边形边的中点，要使四边形为矩形，应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，连接，由三角形中位线定理得到，，进而可证明四边形是平行四边形，要使四边形是矩形，那么，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵E，F，G，H分别为四边形边的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴要使四边形是矩形，那么，则， 故选：D． 【题型7 矩形的性质与判定综合】 1．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】（1）证明：∵中，，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，平分，，， ∴． 在直角三角形中，由勾股定理得：． ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴． 2．（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，在矩形中，于点E，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，含的直角三角形，熟练掌握是解题的关键． 根据垂直定义与，得，结合矩形的性质得，然后利用勾股定理得到． 【详解】∵于点E， ∴， ∵， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴． 1．（2024·江苏苏州·一模）如图，在矩形中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点E，交于点F，若，则矩形的周长为（　　） A．24 B．12 C．8 D．36 【答案】A 【分析】由尺规作图得到直线是线段的垂直平分线，连接，如图所示，结合矩形性质，根据三角形全等的判定与性质得到，进而由平行四边形的判定、菱形的判定得到，最后结合矩形性质与勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：由题中尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线，连接，如图所示： ，， 在矩形中，，则， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 在中，，，，则由勾股定理可得，且, 在矩形中，，， 矩形的周长为， 故选：A． 【点睛】本题考查尺规作图-垂直平分线、矩形性质、中垂线性质、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理等知识，读懂题意，数形结合，灵活运用相关几何性质与判定求证是解决问题的关键． 2．（23-24九年级上·广东惠州·开学考试）如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（    ） A．3 B．2.4 C．4 D．2.5 【答案】B 【分析】连接，求出的长度，根据矩形的性质，求的最小值，即求的最小值，当时，最小，根据三角形的面积公式即可求出的长，即可求解 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形 ∴， 由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小， 此时， 即 ∴ ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 3．（2024·河南商丘·模拟预测）如图1，矩形中，P是边上一点将沿着直线折叠得到． (1)如图2，当点E落在边上时，任意写出一个图中45°的角：_______； (2)①如图3，当点E恰好落在线段上时，_______°，与的数量关系是 _______； ②如图4，改变点P的位置，使射线PE交AD于F，当时，与有何数量关系？说明理由； (3)当点P是的中点时，此时点E落在矩形内部，延长交于点Q，若点是的三等分点，，请直接写出的长． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①90；；②，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由矩形的性质及折叠的性质可得出答案； （2）①证明，得出； ②证明，得出． （3）分两种情况，①当时，②当时，由折叠的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ， ∵将沿着直线折叠得到，当点落在边上时， ， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：①由题意得：， 又，，三点在一条直线上， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：90；； ②； 理由：在矩形中，， ， 又，， ， ． （3）解：如图，连接， 四边形是矩形， ， 设， 分两种情况：①当时， 由折叠知， ，，， ， 点是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 解得， ； ②当时， 同理得， 解得， ， 或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的折叠问题的性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握矩形与折叠的性质是解题的关键，注意分类讨论． 4．（2024·新疆·中考真题）如图，的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判断，三角形中位线定理等知识，解题的关键是： （1）利用三角形中位线定理可得出，，然后利用平行四边形的判定即可得证； （2）利用平行四边形的性质得出，，结合点G是的中点，可得出，同理，则可得出，，然后利用矩形判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵的中线，交于点O， ∴，， ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵G是中点， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是矩形． 5．（24-25九年级上·山西运城·期中）问题情境：已知矩形，，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． 数学发现： （1）如图，当时，___________，如图，当时，___________； 初步探究： （2）如图，当边经过点时，求的长； （3）如图，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1），；（2）；（3）四边形的面积为． 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由可得，于是可证得是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求出的度数；由旋转的性质可得，，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （2）由旋转的性质可得，，，由矩形的性质可得，，，进而可得，，在中，根据勾股定理可得，于是可得，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （3）连接，由旋转的性质可得，，，由矩形的性质可得，，利用邻补角互补可得，进而可得，然后可证得，于是可得，根据即可求出四边形的面积． 【详解】解：（1）如图，由旋转的性质可得：，， ， ， 是等边三角形， ； 如图，由旋转的性质可得：，， 在中，根据勾股定理可得： ； 故答案为：，； （2）如图，由旋转的性质可得：，，， 四边形和都是矩形， ，，， ，， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 的长为； （3）如图，连接，    由旋转的性质可得：，，， 四边形和都是矩形， ，， 点落在的延长线上， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，线段的和与差，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握旋转的性质和矩形的性质是解题的关键． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形纸片中，．把沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点G．E，F分别是和上的点，交于点H，把沿折叠，使点D恰好与点A重合． (1)求证：； (2)求的值； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，灵活运用性质和定理是解题的关键． （1）根据折叠的性质和三角形全等的判定定理证明； （2）设为，根据勾股定理求出的值，再求出的值； 【详解】（1）证明：∵矩形纸片， ，， 由折叠性质可知，，， ，， 在和中， ， ； （2）解：设为， ，， ， 在中，， 即， 解得，， ． 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得：，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 即， 故选：B． 2．（2023·西藏·中考真题）如图，矩形中，和相交于点O，，，点E是边上一点，过点E作于点H，于点G，则的值是（    ）    A．2.4 B．2.5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】连接，利用矩形的性质可得， ，，即，再利用面积可得，，结合，可得，问题随之得解． 【详解】解：连接，如图，    ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴，， 即， ∵，， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理以及三角形的面积等知识，灵活利用面积得出，是解答本题的关键． 3．（2023·四川凉山·中考真题）如图，边长为2的等边的两个顶点分别在两条射线上滑动，若，则的最大值是 ．    【答案】/ 【分析】如图所示，取的中点D，连接，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出，再根据直角三角形的性质得到，再由可得当三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】解：如图所示，取的中点D，连接， ∵是边长为2的等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最大值，最大值为， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线确定当三点共线时，有最大值是解题的关键． 9 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$