专题01 概率初步（11大题型）（专项训练）高二数学沪教版2020必修第三册

专题01 概率初步 目录 A题型建模・专项突破 题型一、随机事件 1 题型二、样本空间 1 题型三、计算古典概型问题的概率（重点） 2 题型四、利用对立事件的概率公式求概率（重点） 3 题型五、互斥事件的概率加法公式（重点） 4 题型六、利用互斥事件的概率公式求概率（重点） 4 题型七、计算频率 5 题型八、用频率估计概率 5 题型九、独立事件的乘法公式（重点） 5 题型十、独立事件的实际应用（重点） 6 题型十一、有放回与无放回问题（难点） 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、随机事件 1．（24-25高二上·上海·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 2．（24-25高二上·上海·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签 B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．有公共点的两个圆相切 3．（23-24高二下·上海·期中）出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是，则这件事 发生（填“必然”、“可能”或“不可能”）. 4．（23-24高二上·上海徐汇·期末）设是一个随机事件，则的取值范围是 . 题型二、样本空间 5．（24-25高二上·上海·期末）“抛掷一枚骰子，观察朝上的点数”的样本空间为 ． 6．（23-24高二上·上海黄浦·期末）袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球，从中任取一个球，观察其颜色，该随机试验的样本空间中的样本点为 ．（只需写出一个） 7．（23-24高二上·上海·期末）从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是 . 8．（22-23高二下·上海徐汇·阶段练习）若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用表示，两个女生分别用 表示，相应的样本空间为，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为 . 题型三、计算古典概型问题的概率 9．（24-25高二上·上海金山·期末）掷一颗质地均匀的骰子出现点数是2的概率为 . 10．（24-25高二上·上海·阶段练习）如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷99次，那么第98次出现反面朝上的概率是 ． 11．（24-25高二上·上海·阶段练习）抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为 ． 12．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）一个袋子中有2个白球，3个黑球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次都取到白球的概率为 . 13．（24-25高二上·上海·期末）不透明的布袋里有3个红球、7个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好为红球的概率是 . 14．（24-25高二上·上海·期末）袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 341 332 341 144 221 132 243 331 112 342 241 244 342 142 431 233 214 344 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 ． 15．（23-24高二下·上海·期中）现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子.依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为 .      16．（24-25高二上·上海静安·期中）同时掷两颗骰子，求 (1)所得点数之和为7的概率； (2)所得点数都是奇数的概率. 17．（24-25高二上·上海·期末）在集合，，，，，中任意选取一个实数作为，构造函数，，记事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”. (1)观察选取的实数，写出样本空间与事件对应的集合，并求事件发生的概率； (2)记事件为“所选取的实数使得函数在上是严格增函数”，求事件，事件至少一个发生的概率. 题型四、利用对立事件的概率公式求概率 18．（22-23高二上·上海徐汇·期末）已知是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 19．（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知，记事件的对立事件为，则为 ． 20．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知事件，其对立事件记为，若，则 ． 21．（24-25高二上·上海浦东新·期末）记事件A的对立事件为，若，则为 . 22．（25-26高二上·上海奉贤·阶段练习）设两个事件与都不发生的概率为，则事件与事件至少有一个发生的概率为 . 23．（22-23高二上·上海宝山·阶段练习）两个打牌，单局赢的概率是，三局两胜，赌金是1800元，现在一局后， 先赢一局后赌局中止，那么应当拿走 元. 题型五、互斥事件的概率加法公式 24．（23-24高二下·上海·期中）设事件是互斥事件，且，则 . 25．（24-25高二上·上海浦东新·期末）已知，若A，B互斥，则 . 26．（22-23高二下·上海浦东新·期末）甲和乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙和棋的概率为 . 27．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知集合，，若分别从集合M，N中随机抽取一个数m和n，二次函数.记事件A为“是二次函数的单调递增区间”，事件B为“是二次函数的单调递减区间”. (1)求数对的样本空间中所含样本点的个数； (2)分别求事件A、事件B的概率； (3)求事件A、事件B至少一个发生的概率. 题型六、利用互斥事件的概率公式求概率（重点） 28．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知事件与事件互斥，如果，，那么 . 29．（22-23高二上·上海虹口·期末）事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 . 30．（23-24高二下·上海杨浦·期末）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2 如果这名运动员只射击一次，命中的环数大于8环的概率是 ． 31．（22-23高二上·上海徐汇·期末）为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品．从这批雪车中随机抽取一辆雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.83，则抽到一等品的概率为 ． 32．盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出粒都是黑子的概率是，从中取出粒都是白子的概率是，则从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是 . 题型七、计算频率 33．（23-24高二上·上海虹口·期中）某人抛掷一枚硬币100次，结果正面朝上53次，设正面朝上为事件A，则事件A出现的频率为 ． 34．（24-25高二上·上海金山·期末）某同学抛掷硬币100次，有51次出现正面.因此出现正面的频率是 . 35．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为 . 36．（23-24高二下·上海·期中）袋中有10个球，有红球和黄球两种类型.小明有放回地取10000次，有6973次取到红球，有3027次取到黄球，那么红球最有可能有 个． 题型八、用频率估计概率 37．（23-24高二下·上海·阶段练习）在一个不透明的纸盒中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 38.某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表所示. 胆固醇降低的人数 没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 120 73 则使用药物后胆固醇降低的经验概率等于 . 题型九、独立事件的乘法公式 39．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）如果A与B是独立事件，与分别是A与B的对立事件，那么以下等式中不一定成立的是（    ）. A． B． C． D． 40．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）在某道路A，B两处设有红灯、绿灯交通信号，汽车在A，B两处通过（即通过绿灯）的概率分别是和，某辆汽车在这条道路上匀速行驶，则两处都不停车的概率为 . 41．（24-25高二上·上海·阶段练习）A、B相互独立，，，则 42．（24-25高二上·上海长宁·期末）甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得1000元奖金.甲连胜两局后，因为有其他要事而中止比赛.甲应分 元奖金才公平. 43．（24-25高二上·上海金山·期末）甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.6，则目标被甲乙同时击中的概率为 . 44．（24-25高二上·上海·期末）已知A，B为两个独立事件，且，，则 ． 45．（23-24高二上·上海虹口·期中）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的．求 (1)甲和乙同时命中的概率； (2)甲和乙都不命中的概率； (3)甲和乙至少一人命中的概率． 题型十、独立事件的实际应用 46．（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 47．（23-24高二上·上海·期末）某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 48．（25-26高二上·上海·期末）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 49．（22-23高二上·上海徐汇·期末）俞女士每次投篮的命中率只有0.2，她在某次投篮练习中决定只要连续两次命中就结束投篮练习，求她至多四次投篮就能结束的概率. 题型十一、有放回与无放回问题 50．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是 . 51．（24-25高二上·上海·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证是独立的，并说明理由. 52．（24-25高二上·上海长宁·期末）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球. (1)写出这个试验的样本空间Ω； (2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由. 53．（23-24高二上·上海·期末）一个袋子中装有标号为1，2，3，4，5的5个球，除标号外没有其他差异． (1)采取不放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“两次摸出球的标号之和大于5”，写出等可能性的样本空间并求事件发生的概率； (2)采取有放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“第一次摸出球的标号是奇数”，设事件“第二次摸出球的标号是偶数”，那么事件与事件是否相互独立？ 一、单选题 1．（23-24高二上·上海松江·期末）四个村庄A、B、C、D之间建有四条路AB、BC、CD、DA.在某个月的30天里，每逢奇数日开放AB、CD，封闭BC、DA；每逢偶数日开放BC、DA，封闭AB、CD. 游客小明起初住在村庄A，在该月第k天，他以的概率沿当天开放的道路去往相邻村庄投宿，以的概率留在当前村庄，设小明在30天内的选择相互独立，则第30天结束时，小明在村庄B的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·上海嘉定·期末）设、是两个事件，以下说法正确的是（    ）． A．若，则事件与事件对立 B．若，则事件与事件互斥 C．若，则事件与事件互斥且不对立 D．若，则事件与事件相互独立 3．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海·期末）抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件：事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，则下列结论错误的是（　　） A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立 5．（23-24高二上·上海·期末）设、分别是事件A、B的对立事件，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．若A、B是互斥事件，则 C． D．若A、B是独立事件，则 二、填空题 6．（24-25高二上·上海·期末）某个比赛中甲乙两人通过初赛的概率分别为和，两人独立参加初赛，其中恰有一人通过的概率是 . 7．（23-24高二下·上海·期中）从1、2、3、4、5五个数中任取一个数，则这个数是奇数的概率 . 8．（24-25高二上·上海·期末）若事件与事件是独立的，，，则 . 9．（24-25高二下·上海·期末）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现点数之和等于的概率是 ． 10．（23-24高二下·上海·期中）A、B相互独立，，，则 . 11．（23-24高二上·上海奉贤·期末）已知事件A与事件B相互独立，如果，，则 . 12．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）甲､乙两气象站同时作天气预报，如果甲站､乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲､乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站､乙站预报都错误的概率为 . 13．（24-25高二上·上海黄浦·期末）甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为.在每轮比赛中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为 . 14．（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）九官格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 15．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）甲､乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束.已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了，此局比赛结束时，两人的得分总和为24的概率为 . 16．（24-25高二上·上海·期末）若事件满足，，同时成立，则称事件两两独立，现抛掷一枚质地均匀的骰子，观察面朝上的数字， 得到样本空间， 若事件， 事件， 则可以构造事件 (填一个满足条件的集合即可)， 使得成立， 但不满足事件两两独立. 三、解答题 17．（23-24高二下·上海·期中）一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，一次选取一张． (1)若标签的选取是无放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率． 18．（24-25高二上·上海普陀·阶段练习）如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，求下列事件的概率： (1)2个球不都是红球； (2)2个球至少有1个红球； (3)2个球中恰好有1个红球. 19．（24-25高二上·上海·期末）、两人在玩一个商业模拟游戏.现在游戏进行到了最后一轮，暂时领先3分.接下来可以掷两颗骰子，如果两颗骰子的点数都是偶数，则“投资”失败，“投资”的分值记为0分，游戏结束；否则，可以进行“投资”，他可以选择其中一个点数为奇数的骰子，将其点数作为“投资”的分值.“投资”结束后，该游戏结束.、两人中分值较高者获胜，若分值相同，则两人打平. (1)求获胜的概率； (2)若在掷骰子之前可以对的“投资”行为进行干扰，他可以选择以下两种方式之一：①让的分值直接减1；②当掷出骰子后，将点数较大的骰子变为1点，另一个不变（如果掷出的两颗骰子点数相同，则将其中一个变为1点）.为了使自己获胜的概率更大，会选择哪种方式进行干扰?说明理由. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 概率初步 目录 A题型建模・专项突破 题型一、随机事件 1 题型二、样本空间 2 题型三、计算古典概型问题的概率（重点） 3 题型四、利用对立事件的概率公式求概率（重点） 6 题型五、互斥事件的概率加法公式（重点） 8 题型六、利用互斥事件的概率公式求概率（重点） 9 题型七、计算频率 11 题型八、用频率估计概率 12 题型九、独立事件的乘法公式（重点） 12 题型十、独立事件的实际应用（重点） 14 题型十一、有放回与无放回问题（难点） 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、随机事件 1．（24-25高二上·上海·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【答案】A 【详解】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是； 对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是； 对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是； 对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是. 故选：A 2．（24-25高二上·上海·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签 B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．有公共点的两个圆相切 【答案】C 【详解】对于A，标有数字4的标签可能取到，也可能取不到，不是必然事件，A不是； 对于B，底面是正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，不是必然事件，B不是； 对于C，平行于同一条直线的两条直线互相平行，一定能发生，是必然事件，C是； 对于D，有公共点的两个圆可能相交，也可能相切，不是必然事件，D不是. 故选：C 3．（23-24高二下·上海·期中）出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是，则这件事 发生（填“必然”、“可能”或“不可能”）. 【答案】可能 【详解】根据概率的意义，刮出500元的概率是， 表示刮出500元的可能性是，所以这件事可能发生. 故答案为：可能 4．（23-24高二上·上海徐汇·期末）设是一个随机事件，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】随机事件的概率， 故答案为：. 题型二、样本空间 5．（24-25高二上·上海·期末）“抛掷一枚骰子，观察朝上的点数”的样本空间为 ． 【答案】{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 【详解】由题意可得样本空间为：{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 故答案为：{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 6．（23-24高二上·上海黄浦·期末）袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球，从中任取一个球，观察其颜色，该随机试验的样本空间中的样本点为 ．（只需写出一个） 【答案】（白球）（答案不唯一） 【详解】所有的样本点为（白球），（黑球），（红球）， 故答案为：（白球）（答案不唯一） 7．（23-24高二上·上海·期末）从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是 . 【答案】6 【详解】设第一次取出的球标号为，第二次取出的球标号为， 记基本事件为，， 则所有的基本事件为，共6个. 所以上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是6. 故答案为：6 8．（22-23高二下·上海徐汇·阶段练习）若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用表示，两个女生分别用 表示，相应的样本空间为，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为 . 【答案】 【详解】由题意可知与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为， 故答案为： 题型三、计算古典概型问题的概率 9．（24-25高二上·上海金山·期末）掷一颗质地均匀的骰子出现点数是2的概率为 . 【答案】 【详解】掷一颗质地均匀的骰子，出现点数的基本事件总数， 出现的点数是包含的基本事件个数， 所以，掷一颗质地均匀的骰子出现点数是的概率为. 故答案为：. 10．（24-25高二上·上海·阶段练习）如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷99次，那么第98次出现反面朝上的概率是 ． 【答案】 【详解】因为每次试验出现正反面的概率是相等的，均为， 所以第98次出现反面朝上的概率是． 故答案为：. 11．（24-25高二上·上海·阶段练习）抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为 ． 【答案】 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子,基本事件总数， 观察两枚骰子出现“两个点数相等”包含的基本事件有：共6个， 观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为． 故答案为： 12．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）一个袋子中有2个白球，3个黑球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次都取到白球的概率为 . 【答案】 【详解】由题意得两次随机取两球有种取法， 其中两次都取到白球的取法有2种， 故两次都取到白球的概率为， 故答案为：． 13．（24-25高二上·上海·期末）不透明的布袋里有3个红球、7个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好为红球的概率是 . 【答案】 【详解】因为不透明的布袋里有3个红球、7个白球，它们除颜色外其他都相同， 所以从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是： ， 故答案为． 14．（24-25高二上·上海·期末）袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 341 332 341 144 221 132 243 331 112 342 241 244 342 142 431 233 214 344 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 ． 【答案】 【详解】恰好抽取三次就停止的事件有：221，132，112，241，142，共有5种情况， 故恰好抽取三次就停止的概率为， 故答案为： 15．（23-24高二下·上海·期中）现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子.依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为 .      【答案】 【详解】甲投1次，记下数字有10种可能，乙投1次也有10种可能，丙投1次也有10种可能， 所以甲乙丙一次投掷1次，记下数字有种情况， 这10个数字中选出3个，能构成等差数列的情况如下： 公差为0的等差数列有：；；；；，共有10种情况； 公差为1的等差数列有：；；；；，共有8种情况； 公差为2的等差数列有：；；；；，共有6种情况； 公差为3的等差数列有：；；；；，共有4种情况； 公差为4的等差数列有：；，共有2种情况； 其中，公差为的等差数列中第1项和第3项的数字交换， 分别构成公差为的等差数列， 所以构成等差数列的可能情况有：种， 所以甲乙丙一次投掷一次，三个数恰好构成等差数列的概率为. 故答案为：. 16．（24-25高二上·上海静安·期中）同时掷两颗骰子，求 (1)所得点数之和为7的概率； (2)所得点数都是奇数的概率. 【详解】（1）同时掷2颗骰子的样本空间 ，共36个样本点， 所得点数和为7的事件含有的样本点为，共6个， 所以所得点数和为7的概率. （2）由（1）知，所得点数都是奇数的事件含有的样本点为： ，共9个， 所以所得点数都是奇数的概率. 17．（24-25高二上·上海·期末）在集合，，，，，中任意选取一个实数作为，构造函数，，记事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”. (1)观察选取的实数，写出样本空间与事件对应的集合，并求事件发生的概率； (2)记事件为“所选取的实数使得函数在上是严格增函数”，求事件，事件至少一个发生的概率. 【详解】（1）由已知样本空间， 若函数有两个不等的零点，则， 解得或， 事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点” 所以事件对应的集合为， 则； （2）若函数在上是严格增函数， 则，即， 所以事件对应的集合为， 则事件，事件至少一个发生对应的集合， 则. 题型四、利用对立事件的概率公式求概率 18．（22-23高二上·上海徐汇·期末）已知是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 19．（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知，记事件的对立事件为，则为 ． 【答案】 【详解】由对立事件的概率和为1可得， 故答案为：. 20．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知事件，其对立事件记为，若，则 ． 【答案】0.8 【详解】事件的对立事件为， ,则． 故答案为：0.8． 21．（24-25高二上·上海浦东新·期末）记事件A的对立事件为，若，则为 . 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为：. 22．（25-26高二上·上海奉贤·阶段练习）设两个事件与都不发生的概率为，则事件与事件至少有一个发生的概率为 . 【答案】 【详解】如下图所示：    由图可知，且， 所以事件与事件至少有一个发生的概率为. 故答案为：. 23．（22-23高二上·上海宝山·阶段练习）两个打牌，单局赢的概率是，三局两胜，赌金是1800元，现在一局后， 先赢一局后赌局中止，那么应当拿走 元. 【答案】1600 【详解】单局赢的概率是，则单局赢的概率是； 因为先赢一局后赌局中止，所以赢若继续比赛下去，则 赢的情况有：胜胜胜；胜败胜，其胜概率为； 赢的情况有：败胜胜，其胜的概率为； 所以，赢与赢的概率之比为， 所以应当拿走（元）. 故答案为：1600. 题型五、互斥事件的概率加法公式 24．（23-24高二下·上海·期中）设事件是互斥事件，且，则 . 【答案】 【详解】事件是互斥事件，且，所以. 故答案为： 25．（24-25高二上·上海浦东新·期末）已知，若A，B互斥，则 . 【答案】0.9 【详解】解：因为，且A，B互斥， 所以， 故答案为：0.9 26．（22-23高二下·上海浦东新·期末）甲和乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙和棋的概率为 . 【答案】 【详解】甲和乙下中国象棋，甲获胜的概率为，甲不输的概率为， 甲乙和棋的概率为： 故答案为：. 27．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知集合，，若分别从集合M，N中随机抽取一个数m和n，二次函数.记事件A为“是二次函数的单调递增区间”，事件B为“是二次函数的单调递减区间”. (1)求数对的样本空间中所含样本点的个数； (2)分别求事件A、事件B的概率； (3)求事件A、事件B至少一个发生的概率. 【详解】（1）数对的样本空间中所含样本点的个数个. （2）函数的对称轴为， 对于事件，则，即,因, 则满足事件的数对有，，共3个，故； 对于事件，则，则，满足事件的数对有，，，,，,共个，故. （3）由（2）可知，事件发生时有，事件发生时有，则事件与事件互斥， 则事件A、事件B至少一个发生的概率. 题型六、利用互斥事件的概率公式求概率（重点） 28．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知事件与事件互斥，如果，，那么 . 【答案】 【详解】事件与事件互斥，则，， 故. 故答案为：. 29．（22-23高二上·上海虹口·期末）事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 . 【答案】 【详解】因为事件A、B都不发生的概率为， 所以, 又因为代入上式可得， 所以， 故答案为: . 30．（23-24高二下·上海杨浦·期末）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2 如果这名运动员只射击一次，命中的环数大于8环的概率是 ． 【答案】 【详解】用频率估计概率，可知这名运动员只射击一次，命中的环数大于8环的概率. 故答案为： 31．（22-23高二上·上海徐汇·期末）为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品．从这批雪车中随机抽取一辆雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.83，则抽到一等品的概率为 ． 【答案】 【详解】设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为，，， 则，解得， 所以抽到一等品的概率为0.76. 故答案为：6. 32．盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出粒都是黑子的概率是，从中取出粒都是白子的概率是，则从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是 . 【答案】 【详解】由题意，任意取出粒棋子，不考虑先后顺序，一共有粒都是黑子、粒都是白子和一粒黑子一粒白子种可能， 设事件：取出粒都是黑子，事件：取出粒都是白子，事件：取出粒恰好是一粒黑子一粒白子，则，，两两互斥， 由已知有，， ∵， ∴， ∴从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是. 故答案为：. 题型七、计算频率 33．（23-24高二上·上海虹口·期中）某人抛掷一枚硬币100次，结果正面朝上53次，设正面朝上为事件A，则事件A出现的频率为 ． 【答案】 【详解】事件A出现的频率为. 故答案为： 34．（24-25高二上·上海金山·期末）某同学抛掷硬币100次，有51次出现正面.因此出现正面的频率是 . 【答案】0.51 【详解】由题意，出现正面的频率为. 故答案为：0.51. 35．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为 . 【答案】 【详解】由数表知，取到奇数号码的次数是：， 所以取到号码为奇数的频率为. 故答案为：0.56 36．（23-24高二下·上海·期中）袋中有10个球，有红球和黄球两种类型.小明有放回地取10000次，有6973次取到红球，有3027次取到黄球，那么红球最有可能有 个． 【答案】7 【详解】因为红球所占比例为， 所以红球的个数最有可能有. 故答案为:7 题型八、用频率估计概率 37．（23-24高二下·上海·阶段练习）在一个不透明的纸盒中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 【答案】16 【详解】设袋中红球有个，根据题意，得，解得：， 经检验：是分式方程的解，所以袋中红球有16个. 故答案为：16 38.某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表所示. 胆固醇降低的人数 没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 120 73 则使用药物后胆固醇降低的经验概率等于 . 【答案】 【详解】依题意使用药物后胆固醇降低的人数为，又试验总次数为， 所以使用药物后胆固醇降低的经验概率等于. 故答案为： 题型九、独立事件的乘法公式 39．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）如果A与B是独立事件，与分别是A与B的对立事件，那么以下等式中不一定成立的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A与B是独立事件，则与也是独立事件，与，与也是独立事件， 所以，， 由，则不一定成立， 故选：D． 40．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）在某道路A，B两处设有红灯、绿灯交通信号，汽车在A，B两处通过（即通过绿灯）的概率分别是和，某辆汽车在这条道路上匀速行驶，则两处都不停车的概率为 . 【答案】 【详解】因为汽车在A，B两处通过（即通过绿灯）的概率分别是和， 所以两处都不停车的概率为， 故答案为： 41．（24-25高二上·上海·阶段练习）A、B相互独立，，，则 【答案】 【详解】因为A、B相互独立，，， 所以， 所以， 故答案为：. 42．（24-25高二上·上海长宁·期末）甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得1000元奖金.甲连胜两局后，因为有其他要事而中止比赛.甲应分 元奖金才公平. 【答案】875 【详解】甲连胜两局后， 乙最后获胜的情况为后面三局必须乙胜，其概率为：， 即甲最终获胜的概率为，乙最终获胜的概率为， 故甲分得奖金元才公平. 故答案为：875. 43．（24-25高二上·上海金山·期末）甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.6，则目标被甲乙同时击中的概率为 . 【答案】0.48 【详解】记事件为甲击中目标，事件为乙击中目标， 由题意得，与相互独立，且，. 则目标被甲乙同时击中的概率. 故答案为：0.48. 44．（24-25高二上·上海·期末）已知A，B为两个独立事件，且，，则 ． 【答案】0.28 【详解】因为A，B为两个独立事件，且，， 则． 故答案为：. 45．（23-24高二上·上海虹口·期中）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的．求 (1)甲和乙同时命中的概率； (2)甲和乙都不命中的概率； (3)甲和乙至少一人命中的概率． 【详解】（1）设甲命中为事件，概率为，乙罚球时命中为事件，概率为， 则设甲和乙同时命中为事件,则. （2）设甲和乙都不命中为事件，则. （3）甲和乙至少一人命中为事件，. 题型十、独立事件的实际应用 46．（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为， 则甲最终获胜的概率为 . 故选：D. 47．（23-24高二上·上海·期末）某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 【答案】 【详解】设答错第一道选择题为事件，答错第二道选择题为事件,两事件相互独立， 且， 两个题都选错为事件，则. 故答案为： 48．（25-26高二上·上海·期末）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 【详解】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 则， 则一小时内没有一台机床需要维护， 即. （2）一小时内至少有一台机床不需要维护， 即. 49．（22-23高二上·上海徐汇·期末）俞女士每次投篮的命中率只有0.2，她在某次投篮练习中决定只要连续两次命中就结束投篮练习，求她至多四次投篮就能结束的概率. 【答案】 【详解】由题知，俞女士每次投篮的命中率只有0.2，每次投篮结果互不影响， 记俞女士每次投篮命中为事件，即， 因为连续两次命中就结束投篮练习， 所以 投篮次数为2次就能结束的概率为， 投篮次数为3次就能结束的概率为， 投篮次数为4次就能结束的概率为， 所以她至多四次投篮就能结束的概率为. 题型十一、有放回与无放回问题 50．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是 . 【答案】 【详解】两次抽取的试验的样本空间，共16个， 两次抽取的卡片数字之和大于6的事件，共3个， 所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是， 则不大于6的概率为. 故答案为：. 51．（24-25高二上·上海·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证是独立的，并说明理由. 【详解】（1）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片， 共包含个基本事件， 其中事件：包含3个基本事件， 所以. （2）若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，共包含个基本事件， 事件，所以， 事件，所以， 当同时发生，即2张卡片上数宁之和是3的倍数同时积足4的倍数，有两种取法， 所以， 因为，所以事件与事件是独立的. 52．（24-25高二上·上海长宁·期末）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球. (1)写出这个试验的样本空间Ω； (2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由. 【详解】（1）依题意试验的样本空间为： （2）事件A和事件B相互独立，理由如下： 因为，， 所以，， 因为，所以， 因为，所以事件A和事件B相互独立. 53．（23-24高二上·上海·期末）一个袋子中装有标号为1，2，3，4，5的5个球，除标号外没有其他差异． (1)采取不放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“两次摸出球的标号之和大于5”，写出等可能性的样本空间并求事件发生的概率； (2)采取有放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“第一次摸出球的标号是奇数”，设事件“第二次摸出球的标号是偶数”，那么事件与事件是否相互独立？ 【详解】（1）5球中不放回的摸出2球，这个实验的样本空间 ，其中， 事件，其中 所以. （2）5球中不放回的摸出2球，这个实验的样本空间 ，其中， 事件 ，其中， ，其中， 事件，, 所以，，, 因为，所以事件与事件相互独立. 一、单选题 1．（23-24高二上·上海松江·期末）四个村庄A、B、C、D之间建有四条路AB、BC、CD、DA.在某个月的30天里，每逢奇数日开放AB、CD，封闭BC、DA；每逢偶数日开放BC、DA，封闭AB、CD. 游客小明起初住在村庄A，在该月第k天，他以的概率沿当天开放的道路去往相邻村庄投宿，以的概率留在当前村庄，设小明在30天内的选择相互独立，则第30天结束时，小明在村庄B的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对，用表示该游客恰有天通过道路或的概率， 表示该游客恰有天通过道路或的概率. 考虑函数. 据条件知为的次项系数，为的次项系数. 第30天结束时，游客住在村庄当且仅当他通过道路或的总天数为奇数， 且通过道路或的总天数为偶数. 于是，这样的情况发生的概率为： . 注意到， . ，，故. 故选：C. 2．（23-24高二上·上海嘉定·期末）设、是两个事件，以下说法正确的是（    ）． A．若，则事件与事件对立 B．若，则事件与事件互斥 C．若，则事件与事件互斥且不对立 D．若，则事件与事件相互独立 【答案】D 【详解】对于A和B，例如抛掷一枚质地均匀的骰子， 记事件为“出现偶数点”，事件为“出现1点或2点或3点”， 则，，， 但事件，既不互斥也不对立，故A和B错误； 对于C，在不同的试验下，即使，也不能说明事件与事件一定互斥， 故C错误； 对于D，根据相互独立事件的定义可知，若， 则事件与事件相互独立，故D正确； 故选：D 3．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为事件与互斥，它们都不发生的概率为，且， ，解得， ， 则． 故选：C． 4．（24-25高二上·上海·期末）抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件：事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，则下列结论错误的是（　　） A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立 【答案】B 【详解】由题可得，样本空间为 ，共有36个样本点， 其中 共包含18个样本点， 共包含9个样本点， ，共有18个样本点， 对于．若为奇数，则一个为奇数，一个为偶数，若为奇数，则都为奇数，∴事件和事件不能同时发生，∴事件与事件是互斥事件，故正确； 对于B．事件与事件不能同时发生，但能同时不发生，例如， ∴事件与事件是互斥但不对立事件，故B错误； 对C．，C正确； 对D．所以 又因为所以， 所以与相互独立，D正确． 故选：B． 5．（23-24高二上·上海·期末）设、分别是事件A、B的对立事件，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．若A、B是互斥事件，则 C． D．若A、B是独立事件，则 【答案】B 【详解】选项A：是事件A的对立事件，则.判断正确； 选项B：若A、B是互斥事件，则， 又，则.判断错误； 选项C：因为与A对立，.判断正确； 选项D：若A、B是独立事件，则.判断正确. 故选：B 二、填空题 6．（24-25高二上·上海·期末）某个比赛中甲乙两人通过初赛的概率分别为和，两人独立参加初赛，其中恰有一人通过的概率是 . 【答案】 【详解】恰好有一人通过的概率为， 故答案为： 7．（23-24高二下·上海·期中）从1、2、3、4、5五个数中任取一个数，则这个数是奇数的概率 . 【答案】 【详解】从1、2、3、4、5五个数中任取一个数，共有5种取法，其中“这个数为奇数”有3种， 故这个数是奇数的概率为：. 故答案为： 8．（24-25高二上·上海·期末）若事件与事件是独立的，，，则 . 【答案】 【详解】由于事件与事件是独立的，故事件与事件也相互独立， 故, 又，故， 进而可得， 故答案为： 9．（24-25高二下·上海·期末）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现点数之和等于的概率是 ． 【答案】 【详解】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次有种可能的结果， 而出现点数之和等于的情况只能是先后抛出的点数均为6这一种情况， 故所求为. 故答案为：. 10．（23-24高二下·上海·期中）A、B相互独立，，，则 . 【答案】 【详解】因为A、B相互独立，，， 所以， 所以， 故答案为：. 11．（23-24高二上·上海奉贤·期末）已知事件A与事件B相互独立，如果，，则 . 【答案】0.56 【详解】由事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立， 又，， 则. 故答案为：． 12．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）甲､乙两气象站同时作天气预报，如果甲站､乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲､乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站､乙站预报都错误的概率为 . 【答案】 【详解】解：记“甲预报准确”，“乙预报准确”， 则 所以甲､乙都预报错误的概率为 故答案为：0.06 13．（24-25高二上·上海黄浦·期末）甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为.在每轮比赛中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为 . 【答案】 【详解】由“星队”在两轮比赛中共投中3球，即其中有一轮甲、乙有一人未投中， 所以其概率为. 故答案为： 14．（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）九官格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 【答案】 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a b c d e 2 1 6 3 8 2 1 8 3 6 6 1 2 3 8 6 1 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 6 1 8 2 3 8 1 6 6 3 2 1 8 6 3 8 1 2 8 3 2 1 6 8 3 6 1 2 共有12种等可能的结果，其中的结果有10种， 所以的概率为. 故答案为：. 15．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）甲､乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束.已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了，此局比赛结束时，两人的得分总和为24的概率为 . 【答案】 【详解】因为比赛结束时，两人的得分总和为24，其中且两人的得分的差的绝对值为2， 若甲赢得比赛，则最后两局比赛甲胜，第21球和第22球甲乙一胜一负， 所以事件甲赢得比赛的概率为， 同理乙赢得比赛的概率为， 所以. 故答案为： 16．（24-25高二上·上海·期末）若事件满足，，同时成立，则称事件两两独立，现抛掷一枚质地均匀的骰子，观察面朝上的数字， 得到样本空间， 若事件， 事件， 则可以构造事件 (填一个满足条件的集合即可)， 使得成立， 但不满足事件两两独立. 【答案】（答案不唯一） 【详解】元素或有且仅有一个属于C，剩余的中任选两个属于，都满足条件要求． 因为，，，则， 若不满足事件两两独立，只需构造事件， 使得和至少有一个成立， 设事件包含的基本事件个数为（且），（且）， 当成立时，有，得， 所以或． （i）若，则，， 此时，，满足， 又，，，； ，，，， 又因为，所以事件两两独立，不满足要求， （ii）若，则， 因为，，所以必有且、且两种情况． 当且时，，，， 所以，， 所以若事件两两独立，则存在事件使得且， 此时，，不符合题意，所以不可能两两独立． 所以构造集合使得，且均满足题意， 故满足要求的为：、、、、、． 当且时，同理符合要求的集合为：、、、、、． 故答案为：（答案不唯一） 三、解答题 17．（23-24高二下·上海·期中）一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，一次选取一张． (1)若标签的选取是无放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出该随机试验的一个等可能的样本空间，并求两张标签上的数字为相邻整数的概率． 【详解】（1）标签的选取是无放回的， 则样本空间， 其中两张标签上的数字为相邻整数的有，，，，，共个基本事件， 所以两张标签上的数字为相邻整数的概率. （2）标签的选取是有放回的， 则样本空间， 其中两张标签上的数字为相邻整数的有，，，，，共个基本事件， 所以两张标签上的数字为相邻整数的概率. 18．（24-25高二上·上海普陀·阶段练习）如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，求下列事件的概率： (1)2个球不都是红球； (2)2个球至少有1个红球； (3)2个球中恰好有1个红球. 【详解】（1）设事件表示“从甲口袋中摸出一个红球”，则， 事件表示“乙口袋中摸出一个红球”，则， 显然事件与事件相互独立， 则2个球不都是红球的概率为：； （2）由题意，2个球至少有1个红球的概率为； （3）由题意，2个球中恰好有1个红球的概率为：. 19．（24-25高二上·上海·期末）、两人在玩一个商业模拟游戏.现在游戏进行到了最后一轮，暂时领先3分.接下来可以掷两颗骰子，如果两颗骰子的点数都是偶数，则“投资”失败，“投资”的分值记为0分，游戏结束；否则，可以进行“投资”，他可以选择其中一个点数为奇数的骰子，将其点数作为“投资”的分值.“投资”结束后，该游戏结束.、两人中分值较高者获胜，若分值相同，则两人打平. (1)求获胜的概率； (2)若在掷骰子之前可以对的“投资”行为进行干扰，他可以选择以下两种方式之一：①让的分值直接减1；②当掷出骰子后，将点数较大的骰子变为1点，另一个不变（如果掷出的两颗骰子点数相同，则将其中一个变为1点）.为了使自己获胜的概率更大，会选择哪种方式进行干扰?说明理由. 【详解】（1）获胜的概率即为输的概率； 掷两颗骰子，掷第一颗骰子有6种点数，掷第二颗骰子有6种点数， 所以掷两颗骰子共有36种不同的结果； 两颗骰子的点数都是偶数的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是奇数且两个奇数均为1的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数且奇数为1的概率为， 所以输的概率为； 所以获胜的概率； （2）应选择②，理由如下： 选择①： 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是偶数的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是奇数且两个奇数均小于5的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数且奇数小于5的的概率为， 所以输的概率为； 所以获胜的概率； 选择②： 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是偶数的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数都是奇数， 即改后输， 所以两颗骰子的点数都是奇数且改后输的概率为， 掷两颗骰子，两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数时， 即改后输， 所以两颗骰子的点数是一个奇数一个偶数改后输的概率为， 所以输的概率为； 所以获胜的概率； 故为了使自己获胜的概率更大，会选择②方式进行干扰. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $