第二章 直角三角形的边角关系（单元测试·提升卷）数学鲁教版五四制九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章 直角三角形的边角关系·提升卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知在中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．在中，，，边上的高为，那么的长等于（    ） A． B． C． D． 4．如图某公园入口有三级台阶，每级台阶高18cm，深30cm，拟将台阶改为斜坡设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是（　　） A．270cm B．210cm C．180cm D．96cm 5．在中，，，，则值是（　　） A． B． C． D．2 6．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30米，在A点测得D点的仰角∠EAD=45°，在B点测得D点的仰角为∠CBD=60°，测得甲、乙这两座建筑物的高度分别为（　　）米． A．10，30 B．30，30 C．30﹣3，30 D．30﹣30，30 7．如图．ΔABC中，AE⊥BC于E，D为AB边上一点，如果BD＝2AD，CD＝8，sin∠BCD＝，那么AE的值为      （　  ） A．3 B．6 C．7.2 D．9 8．如图，已知Rt△AC1C中，∠AC1C＝90°，∠A＝30°，CC1＝1，作C1C2⊥AC于点C2，C2C3⊥AC1于点C3，C3C4⊥AC于点C4…Cn﹣1∁n⊥…于点∁n，分别记线段CC1，C1C2，C2C3，…，Cn﹣1∁n…的长为a1，a2…a3…an，计算并观察其中的规律得an＝（　　） A． B． C．（）n﹣1 D．（）n 9．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，，点在平分线上，，若点，分别在射线，上，是等边三角形，设的面积为，则的最大值和最小值分别是（    ） A．2；1 B．2； C．； D．； 二、填空题 11．在中，，，，则的正弦值为 ． 12．将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则    （1） ； （2） ． 13．15．圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表两个部件组成，垂直于地面的直杆叫表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”如图是小彬根据学校所在地理位置设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角，夏至时正午阳光入射角．已知“表”高，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离约为 ．（精确到；参考数据：） 14．如图，在中，是斜边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转角度得到点，若点落在中位线所在直线上，则点到的距离为 ． 15．已知三个边长分别为2，3，5的三个菱形如图排列，菱形的较小锐角为，则图中阴影部分的面积为 ． 16．如图，某水库大坝的横截面为梯形，已知坝顶宽8米，坝高40米，斜坡的坡度，斜坡的坡角为，则坝底的长度为 米． 三、解答题 17.(1)； (2)． 18． 如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某初三学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走160米（米），到达处，此时看塔顶，仰角为，求该主塔的高度． 19． 如图为某景区五个景点、、、、的平面示意图，点、在的正东方向，点在点的正北方向，、在的北偏西方向上，在的西北方向上，、相距，在的中点处． (1)求景点、之间的距离； (2)求景点、之间的距离(结果保留根号)． 20．图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ① ； ②求乘客水杯的最大高度． 21. 图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，） (1)求点到地面的高度； (2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 22．某小组同学对三角函数展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）cos30°, cos45°, cos60°的值分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 23．某数学兴趣小组开展一项综合实践活动，记录如下： 【活动项目】测量山坡上一棵垂直于水平地面的大树的高度． 【测量方案】示意图如图所示： 1．在水平地面上正对大树的方向上选取点，在点处测量大树顶端的仰角； 2．沿方向前进到达坡脚点处，在点处测量大树顶端的仰角； 3．测量之间的距离； 4．测量斜坡的坡角． 【测量数据】 1．在点处测得的仰角为； 2．在点处测得的仰角为； 3．； 4．斜坡的坡角为． 请根据以上方案，计算大树的高度．（结果保留精确值．参考数据：， 24.如图，. (1)猜想：的值（    ） A．大于1    B．大于小于1    C．大于小于    D．大于小于 (2)你能用你学过的特殊角的正切值，求得的准确值吗？（结果保留根号） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章 直角三角形的边角关系·提升卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据锐角三角函数的定义计算即可． 【详解】解： ∵，， ． 故答案为：C． 2．已知在中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据得到∠B的度数，即可得到∠A的度数，再根据特殊角的锐角三角函数值即可得到结果. 【详解】解：∵, ∴∠B=60°， ∵∠C=90°， ∴∠A=30°， ∴cosA = cos30° = 故选C. 【点睛】本题是特殊角的锐角三角函数值的基础应用题. 3．在中，，，边上的高为，那么的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出草图，先在中利用正弦对边：斜边求出，然后在中，利用余弦邻边：斜边列式求解即可得到的长． 【详解】解：如图，在中，， ， 在中，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，需要熟记正弦与余弦的定义，作出图形更形象直观，有助于问题的解决． 4．如图某公园入口有三级台阶，每级台阶高18cm，深30cm，拟将台阶改为斜坡设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是（　　） A．270cm B．210cm C．180cm D．96cm 【答案】B 【分析】首先过点B作BD⊥AC于D，根据题意即可求得AD与BD的长，然后由斜坡BC的坡度i=1：5，求得CD的长，继而求得答案． 【详解】解：过点B作BD⊥AC于D， 根据题意得：AD=2×30=60（cm），BD=18×3=54（cm）， ∵斜坡BC的坡度i=1：5， ∴BD：CD=1：5， ∴CD=5BD=5×54=270（cm）， ∴AC=CD-AD=270-60=210（cm）． ∴AC的长度是210cm． 故选：B． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题．注意掌握坡度的定义，注意数形结合思想的应用与辅助线的作法． 5．在中，，，，则值是（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出斜边，再根据余弦函数的定义即可求解． 【详解】在中，，，， 即， 则：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了余弦函数的知识，掌握余弦函数的定义是解答本题的关键． 6．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30米，在A点测得D点的仰角∠EAD=45°，在B点测得D点的仰角为∠CBD=60°，测得甲、乙这两座建筑物的高度分别为（　　）米． A．10，30 B．30，30 C．30﹣3，30 D．30﹣30，30 【答案】D 【分析】在Rt△BCD中可求得CD的长，即求得乙的高度，延长AE交CD于F，则AF∥BC，求得∠AFD＝90°，在Rt△ADF中可求得DF，则可求得CF的长，即可求得甲的高度． 【详解】延长AE交CD于F，则AF∥BC， ∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴AF⊥DC， ∴∠AFD＝∠AFC＝∠ABC＝∠BCD＝90°． ∴四边形ABCF为矩形， ∴AF＝BC＝30m，FC＝AB． ∵∠DAE＝45°， ∴∠ADF＝45°， ∴DF＝AF＝30m， 在Rt△BCD中，DC＝BC•tan∠DBC＝30， ∴FC＝DC−DF＝30−30， 答：甲建筑物的高AB为（30−30）m，乙建筑物的高DC为30m． 故选D． 【点睛】本题主要考查角直角三角形的应用，构造直角三角形，利用特殊角求得相应线段的长是解题的关键． 7．如图．ΔABC中，AE⊥BC于E，D为AB边上一点，如果BD＝2AD，CD＝8，sin∠BCD＝，那么AE的值为      （　  ） A．3 B．6 C．7.2 D．9 【答案】D 【分析】过D作DF⊥BC于F，得到DF∥AE；在直角△DFC中，sin∠BCD=，可联合起来求出DF的值，进而求出AE的值． 【详解】如图，过D作DF⊥BC于F． ∵DF∥AE， ∴△BDF∽△BAE， ∵BD=2AD， ∴DF：AE=2：3． ∵在直角△DFC中，DC=8，sin∠BCD=， ∴DF=6． 又∵DF：AE=2：3， ∴AE=9． 故选D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题关键是恰当作出辅助线． 8．如图，已知Rt△AC1C中，∠AC1C＝90°，∠A＝30°，CC1＝1，作C1C2⊥AC于点C2，C2C3⊥AC1于点C3，C3C4⊥AC于点C4…Cn﹣1∁n⊥…于点∁n，分别记线段CC1，C1C2，C2C3，…，Cn﹣1∁n…的长为a1，a2…a3…an，计算并观察其中的规律得an＝（　　） A． B． C．（）n﹣1 D．（）n 【答案】C 【分析】探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：在Rt△CC1C2中， ∵∠C＝60°，CC1＝1， ∴a1＝1，a2＝CC1•sin60°＝， 同法可得，a3＝（）2，a4＝（）3，…，an＝（）n﹣1， 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 9．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案． 【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图． 则DE∥AB， ∴∠APC＝∠EDC． 在△DCE中，有，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴cos∠APC＝cos∠EDC＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键． 10．如图，，点在平分线上，，若点，分别在射线，上，是等边三角形，设的面积为，则的最大值和最小值分别是（    ） A．2；1 B．2； C．； D．； 【答案】C 【分析】作∠CPD=60°交OA于C，交OB于D，连接CD，在OB上截取OE=OP，连接PE，过点D作DF⊥PC于点F，利用ASA即可证出△CPO≌△DPE，从而证出当∠CPD=60°时，△PCD必为等边三角形，S=，即当PC最大时，S最大；当PC最小时，S最小，然后由图易知：当点C或点D与O重合时，PC最大，求出PC最大值即可求出S的最大值；根据垂线段最短易知：当PC⊥OA时，PC最小，求出PC最小值即可求出S的最小值． 【详解】解：作∠CPD=60°交OA于C，交OB于D，连接CD，在OB上截取OE=OP，连接PE，过点D作DF⊥PC于点F ∵OP平分, ∴∠COP=∠POE=， ∴△OPE为等边三角形 ∴OP=PE，∠OPE=∠OEP=60° ∴∠CPD=∠OPE，∠COP=∠DEP ∴∠CPO=∠DPE ∴△CPO≌△DPE ∴PC=PD ∴△PCD为等边三角形， 即当∠CPD=60°时，△PCD必为等边三角形 此时DF=PD·sin60°= ∴S== ∴当PC最大时，S最大；当PC最小时，S最小． 由图易知：当点C或点D与O重合时，PC最大，此时PC=OP=2 ∴S==，即S的最大值为； 根据垂线段最短易知：当PC⊥OA时，PC最小， 此时PC=OP·sin∠COP= ∴S==，即S的最小值为； 故选C． 【点睛】此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和垂线段最短，掌握等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和垂线段最短是解题关键． 二、填空题 11．在中，，，，则的正弦值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的正弦值，根据在直角三角形，一个锐角的正弦值等于这个锐角所对的直角边与斜边的比值，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故答案为：． 12．将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则    （1） ； （2） ． 【答案】 /0.5 8 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据，求出结果即可； （2）证明，得出，求出根据，求出结果即可． 【详解】解：（1）如图，∵， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：．    （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了求一个角的正切值，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形函数的定义，根据平行线的性质得出． 13．15．圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表两个部件组成，垂直于地面的直杆叫表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”如图是小彬根据学校所在地理位置设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角，夏至时正午阳光入射角．已知“表”高，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离约为 ．（精确到；参考数据：） 【答案】35 【分析】分别在与中，运用正切函数解题，分别计算DC，BC的长，再求二者的差即可解题． 【详解】根据题意，在中，， 即 在中，， 即 即 故答案为：35 【点睛】本题考查解直角三角形，其中涉及锐角三角函数，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 14．如图，在中，是斜边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转角度得到点，若点落在中位线所在直线上，则点到的距离为 ． 【答案】1或或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解直角三角形，取中点，中点，过点D作于点G，连接，根据题意，分点在直线上，点在直线上，点在直线上，三种种情况讨论，画出示意图，利用含30度角的直角三角形的性质结合中位线的性质求解即可． 【详解】解：如图，取中点，中点，过点D作于点G，连接， ∵点是斜边的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∵在中，是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 当点在直线上时， 则， 由旋转的性质得：， ∴； 当和点在直线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在直线上时，过点F作于点H， 则（平行线间距离相等）， ∵， ∴； 综上，点落在中位线所在直线上，则点到的距离为1或或， 故答案为：1或或． 15．已知三个边长分别为2，3，5的三个菱形如图排列，菱形的较小锐角为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，由菱形的性质来证明，再利用相似三角形对应边成比例的性质来求得的长；同理，求出的长度；然后根据三角形的边角关系求出菱形的高；最后求出菱形的面积和梯形的面积，进而求得阴影部分的面积． 【详解】解：在和中，， ∵图中是三个菱形排列， ∴， ∴，， ∴， ∴； 又∵，，， ∴； 同理，求得； ∵菱形的较小锐角为，即， ∴梯形，即菱形的高 ∴，， ∴， 故答案为：． 16．如图，某水库大坝的横截面为梯形，已知坝顶宽8米，坝高40米，斜坡的坡度，斜坡的坡角为，则坝底的长度为 米． 【答案】128 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点分别作的垂线，垂足为，则四边形为矩形，再分别解，求出即可． 【详解】解：过点分别作的垂线，垂足为， 则， 由题意得， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵斜坡的坡度， ∴在中，， ∴， ∵斜坡的坡角为， ∴在中，， ∴， ∴， 故答案为：128． 三、解答题 17.(1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）直接根据特殊角的三角函数值计算即可； （2）先分别计算负整数指数幂、零指数幂、三角函数、绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18． 如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某初三学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走160米（米），到达处，此时看塔顶，仰角为，求该主塔的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用–仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点A作，垂足为D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵是的一个外角，，， ∴， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴该主塔的高度是米． 19． 如图为某景区五个景点、、、、的平面示意图，点、在的正东方向，点在点的正北方向，、在的北偏西方向上，在的西北方向上，、相距，在的中点处． (1)求景点、之间的距离； (2)求景点、之间的距离(结果保留根号)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用问题，通过作适当的辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题解决；解直角三角形中，三角函数的概念、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识要熟练掌握． （1）利用角的正弦即可求得的长，从而易得的长； （2）过点E作EF⊥AB于点F，在中利用三角函数可求出、的长，在等腰中即可求得． 【详解】（1）解：由题意得，，，． ， ， ． 点在的中点处， （m）； （2）解：如图，过点作于点． 在中， ． 在中，， (m)． 20．图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ① ； ②求乘客水杯的最大高度． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）①根据题意可知代入计算即可． ②过点作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． （2）解：①当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：． ②如图，过点作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为． 21. 图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，） (1)求点到地面的高度； (2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 【答案】(1)点到地面的高度约为 (2)的度数约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，延长交于点，由题意得：，，，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系求得的长； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而可知的长，利用线段的和差关系求出的长， 在中，利用锐角三角函数的定义可求出的值，从而得到的度数． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， 在中，，， ， ， 点到地面的高度约为； （2）解：由题意得：， 在中，，， ， ， ， 在中，，   ， 即的度数约为． 22．某小组同学对三角函数展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）cos30°, cos45°, cos60°的值分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 【答案】（1）C；（2），，，增大；（3）， 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数中的正、余弦函数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的余弦值，即可判断锐角的取值范围； （2）熟记特殊角（、、）的余弦值即可得出它们的三角比，通过观察即可得出它们的分布特点； （3）根据特殊角的正弦值和锐角正弦函数的增减性即可求解． 【详解】解：（1），，，, 又 且为锐角， ； 故选C． （2）由，，可得，它们的三角比分别为 ，，；通过观察可知，它们的三角比会随角度的增大而减小； 故答案为：，，，增大； （3）由锐角正弦函数的增减性可知，锐角的正弦值会随角度的增大而增大 ，， 又，，， ，． 23．某数学兴趣小组开展一项综合实践活动，记录如下： 【活动项目】测量山坡上一棵垂直于水平地面的大树的高度． 【测量方案】示意图如图所示： 1．在水平地面上正对大树的方向上选取点，在点处测量大树顶端的仰角； 2．沿方向前进到达坡脚点处，在点处测量大树顶端的仰角； 3．测量之间的距离； 4．测量斜坡的坡角． 【测量数据】 1．在点处测得的仰角为； 2．在点处测得的仰角为； 3．； 4．斜坡的坡角为． 请根据以上方案，计算大树的高度．（结果保留精确值．参考数据：， 【答案】大树的高度为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数关系分别表示出相关线段长度，再根据线段之间的关系列方程求解大树高度． 【详解】解：延长交于，则， ∵ 斜坡的坡角为， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即大树的高度为． 24.如图，. (1)猜想：的值（    ） A．大于1    B．大于小于1    C．大于小于    D．大于小于 (2)你能用你学过的特殊角的正切值，求得的准确值吗？（结果保留根号） 【答案】(1)D (2) 【分析】本题主要考查了正切的定义、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）取格点，求出，，结合即可得出答案； （2）构造等腰直角三角形、，将平移，使其过点，交于点，则，从而得出是等腰直角三角形，求出，设，则，，，由勾股定理可得，求出的值，再根据进行计算即可． 【详解】（1）解：如图：取格点， ， 由图可得：，， ， ， 故选：D； （2）解：如图， ， 由图可得：，， 是等腰直角三角形， ， 取格点，则，， ， ，即， 将平移，使其过点，交于点，则， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 设，则，，， ， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 九上数学第二章 直角三角形的边角关系 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知在中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．在中，，，边上的高为，那么的长等于（    ） A． B． C． D． 4．如图某公园入口有三级台阶，每级台阶高18cm，深30cm，拟将台阶改为斜坡设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是（　　） A．270cm B．210cm C．180cm D．96cm 5．在中，，，，则值是（　　） A． B． C． D．2 6．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30米，在A点测得D点的仰角∠EAD=45°，在B点测得D点的仰角为∠CBD=60°，测得甲、乙这两座建筑物的高度分别为（　　）米． A．10，30 B．30，30 C．30﹣3，30 D．30﹣30，30 7．如图．ΔABC中，AE⊥BC于E，D为AB边上一点，如果BD＝2AD，CD＝8，sin∠BCD＝，那么AE的值为      （　  ） A．3 B．6 C．7.2 D．9 8．如图，已知Rt△AC1C中，∠AC1C＝90°，∠A＝30°，CC1＝1，作C1C2⊥AC于点C2，C2C3⊥AC1于点C3，C3C4⊥AC于点C4…Cn﹣1∁n⊥…于点∁n，分别记线段CC1，C1C2，C2C3，…，Cn﹣1∁n…的长为a1，a2…a3…an，计算并观察其中的规律得an＝（　　） A． B． C．（）n﹣1 D．（）n 9．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，，点在平分线上，，若点，分别在射线，上，是等边三角形，设的面积为，则的最大值和最小值分别是（    ） A．2；1 B．2； C．； D．； 二、填空题 11．在中，，，，则的正弦值为 ． 12．将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则    （1） ； （2） ． 13．15．圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表两个部件组成，垂直于地面的直杆叫表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”如图是小彬根据学校所在地理位置设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角，夏至时正午阳光入射角．已知“表”高，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离约为 ．（精确到；参考数据：） 14．如图，在中，是斜边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转角度得到点，若点落在中位线所在直线上，则点到的距离为 ． 15．已知三个边长分别为2，3，5的三个菱形如图排列，菱形的较小锐角为，则图中阴影部分的面积为 ． 16．如图，某水库大坝的横截面为梯形，已知坝顶宽8米，坝高40米，斜坡的坡度，斜坡的坡角为，则坝底的长度为 米． 三、解答题 17.(1)； (2)． 18． 如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某初三学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走160米（米），到达处，此时看塔顶，仰角为，求该主塔的高度． 19． 如图为某景区五个景点、、、、的平面示意图，点、在的正东方向，点在点的正北方向，、在的北偏西方向上，在的西北方向上，、相距，在的中点处． (1)求景点、之间的距离； (2)求景点、之间的距离(结果保留根号)． 20．图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ① ； ②求乘客水杯的最大高度． 21. 图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，） (1)求点到地面的高度； (2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 22．某小组同学对三角函数展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）cos30°, cos45°, cos60°的值分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 23．某数学兴趣小组开展一项综合实践活动，记录如下： 【活动项目】测量山坡上一棵垂直于水平地面的大树的高度． 【测量方案】示意图如图所示： 1．在水平地面上正对大树的方向上选取点，在点处测量大树顶端的仰角； 2．沿方向前进到达坡脚点处，在点处测量大树顶端的仰角； 3．测量之间的距离； 4．测量斜坡的坡角． 【测量数据】 1．在点处测得的仰角为； 2．在点处测得的仰角为； 3．； 4．斜坡的坡角为． 请根据以上方案，计算大树的高度．（结果保留精确值．参考数据：， 24.如图，. (1)猜想：的值（    ） A．大于1    B．大于小于1    C．大于小于    D．大于小于 (2)你能用你学过的特殊角的正切值，求得的准确值吗？（结果保留根号） 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二章 直角三角形的边角关系·提升卷（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C D B A D D C B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 8 13．35 14．1或或 15． 16．128 三、解答题（共8小题，共72分） 17. (8分) 【详解】（1）解： ； ……………………………………(4分) （2）解： ． ……………………………………(4分) 18． (8分) 【详解】解：过点作，垂足为， ∵是的一个外角，，， ∴， ∵， ∴米， ……………………………………(4分) 在中，（米）， ∴该主塔的高度是米． ……………………………………(8分) 19． (8分) 【详解】（1）解：由题意得，，，． ， ， ． 点在的中点处， （m）； ……………………………………(4分) （2）解：如图，过点作于点． 在中， ． 在中，， (m)． ……………………………………(8分) 20． (8分) 【详解】（1）解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． ……………………………………(4分) （2）解：①当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：． ②如图，过点作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为． ……………………………………(8分) 21. (8分) 【详解】（1）解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， 在中，，， ， ， 点到地面的高度约为； ……………………………………(4分) （2）解：由题意得：， 在中，，， ， ， ， 在中，，   ， 即的度数约为． ……………………………………(8分) 22． （10分） 【详解】解：（1），，，, 又 且为锐角， ； 故选C． ……………………………………(4分) （2）由，，可得，它们的三角比分别为 ，，；通过观察可知，它们的三角比会随角度的增大而减小； 故答案为：，，，增大； （3）由锐角正弦函数的增减性可知，锐角的正弦值会随角度的增大而增大 ，， 又，，， ，． ……………………………………(10分) 23． （10分） 【详解】解：延长交于，则， ∵ 斜坡的坡角为， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ……………………………………(4分) 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ……………………………………(8分) ∴， ∴， 即大树的高度为． ……………………………………(10分) 24. （12分） 【详解】（1）解：如图：取格点， ， 由图可得：，， ， ， 故选：D； ……………………………………(4分) （2）解：如图， ， 由图可得：，， 是等腰直角三角形， ， 取格点，则，， ， ，即， 将平移，使其过点，交于点，则， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ……………………………………(8分) 设，则，，， ， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， ， ． ……………………………………(12分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $