5.3.5&5.4 随机事件的独立性&统计与概率的应用（题型专练）数学人教B版2019必修第二册

5.3.5&5.4 随机事件的独立性&统计与概率的应用 题型一 判断事件互斥、对立、独立等关系 1．（25-26高二上·广东·阶段练习）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中， 则事件A与事件B（   ）    A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 2．（25-26高二上·广东汕头·阶段练习）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项错误的是（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 3．（25-26高二上·四川成都·阶段练习）连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（    ） A． B．A与C相互独立 C．A与C对立 D．B与C互斥 4．（22-23高一下·北京·开学考试）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，设事件两次掷出的点数之和是5，设事件第二次掷出的点数是偶数，设事件第一次掷出的点数是5，设事件至少出现一个奇数点，下列说法不正确的是（    ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 题型二 互斥事件概率计算问题 1．（2025高一·全国·专题练习）投掷一枚质地均匀的骰子，记事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”，则一次试验中（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，，若，互斥，则（    ） A．0.36 B．0.54 C．0.6 D．0.9 题型三 对立事件概率计算问题 1．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知事件互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·重庆·期末）已知事件，互斥，且事件发生的概率，且事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）连掷一枚硬币5次，则至少出现一次正面向上的概率为 ． 题型四 独立事件乘法公式的应用 1．（多选）（24-25高一下·江苏常州·期末）一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为 2．（24-25高一下·甘肃天水·期末）某种开关在电路中闭合的概率为，现将3只这种开关并联在某电路中，若该电路为不通电的概率为，则 . 3．（24-25高一下·山西大同·期末）乒乓球比赛一般是11分制，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束．则事件“且甲获胜”的概率为 ． 4．（23-24高一上·河南驻马店·期末）如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为 ． 5．（23-24高一下·广东东莞·期末）假设，且与相互独立，则 . 6．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）已知，，且与相互独立， ． 7．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）由甲、乙、丙、丁组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙猜对丁未猜对的概率为，甲、丁都猜对的概率为，在每轮活动中，四人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是 . 题型五 根据事件的概率求参数 1．（2023·重庆·模拟预测）一个不透明的袋子中有10个大小、材质一样的小球，其中有个红球，其余为黑球，从中不放回地先后各摸一个球出来，若第2次摸得红球的概率为，则 ． 2．（24-25高一下·河南洛阳·期末）一个袋子中有大小和质地完全相同的个球，其中红球个，绿球个.现采用不放回方式从中依次取出2个球. (1)当，时，记红球为，绿球为，写出试验的样本空间； (2)若，且取出的2个球都是红球的概率为； ①求的值； ②求取到的2个球颜色不同的概率. 3．（24-25高一下·河北保定·期末）在以“未来城市生活”为主题的科技嘉年华活动中，主办方精心打造了20个沉浸式体验项目.甲、乙、丙三位科技爱好者分别参与体验，甲成功通关了12个项目；乙成功通关了8个项目；丙成功通关了个项目. (1)已知，若丙成功通关的项目中有4个属于太空生活舱体验类别，若从丙成功通关的项目中任选一个，求选到太空生活舱体验类项目的概率； (2)任选一个项目，求甲、乙两人中恰有一人成功通关的概率； (3)任选一个项目，若甲、乙、丙三人中至少有一人成功通关的概率为，求的值. 题型六 游戏的公平性问题 1．（24-25高一下·全国·单元测试）爸爸和亮亮用4张扑克牌（方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5）玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，爸爸先抽，亮亮后抽，抽出的牌不放回． (1)若爸爸恰好抽到了黑桃4． ①请把下面这种情况的树状图绘制完整；      ②求亮亮抽出的扑克的牌面数字比4大的概率． (2)爸爸、亮亮约定，若爸爸抽出的扑克的牌面数字比亮亮的大，则爸爸胜；反之，则亮亮胜．你认为这个游戏是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，更换一张扑克牌使游戏公平． 2．（2025高一·全国·专题练习）晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．（1）班的文娱委员利用分别标有数字的两个转盘（如图），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．该方案对双方是否公平?为什么?    3．（19-20高一·全国·课后作业）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等） 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. （1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 题型七 其它问题的概率解释 1．（20-21高一·全国·课后作业）袋中装有数量差别很大的白球和黑球（只是颜色不同），从中任取一球，若取得白球，那么我们可以认为数量多的是 . 2．（19-20高一·全国·课后作业）人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）同人的眼皮单双一样，也是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作D，隐性基因记作d；成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是卷舌的（这就是说，“卷舌”的充要条件是“基因对是，或”）.同前面一样，决定眼皮单双的基因仍记作B（显性基因）和b（隐性基因）. 有一对夫妻，两人决定舌头形态和眼皮单双的基因都是，不考虑基因突变，求他们的孩子是卷舌且单眼皮的概率.（有关生物学知识表明：控制上述两种不同性状的基因遗传时互不干扰）. 3．（19-20高一·全国·课后作业）某校为调查期末考试中高一学生作弊情况，随机抽取了200名高一学生进行调查，设计了两个问题，问题1：你出生月份是奇数吗？问题2：期末考试中你作弊了吗？然后让受调查的学生每人掷一次币，出现“正面朝上”则回答问题1，出现“反面朝上”则回答问题2，答案只能填“是”或“否”不能弃权.结果统计后得到了53个“是”的答案，则估计有百分之几的学生作弊了？ 4．（22-23高一下·天津河东·期末）人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab.其中a和b是显性基因，i是隐性基因.孩子分别继承父母一个基因，组成一个基因类型，则 (1)若一对夫妻的血型一个是A型，一个是AB型，分析他们子女的血型是O，A，B或AB型的概率； (2)父母为哪种血型时，孩子的血型不可能为O型（写出结论即可） 5．（25-26高一上·全国·单元测试）某市在旅游旺季时，为应对景区可能出现人流量过大的情况，规定：当人流量达到景区最大承载量的80%时，将对该景区采取局部限流措施；当人流量达到景区最大承载量的100%时，将对该景区采取完全限流措施．小明计划假期去该市甲、乙、丙三个旅游景区旅行，他调查了甲、乙、丙三个旅游景区在去年同期30天的限流措施情况，见下表：          景区限流情况累计天数 不限流 局部限流 完全限流 甲景区累计天数 21 7 2 乙景区累计天数 18 4 8 丙景区累计天数 15 9 6 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三个景区限流情况相互独立． (1)小明某天到甲景区旅游，估计小明遇到完全限流的概率． (2)小明任选两天，分别到乙、丙两景区游览，估计小明在两个景区至少遇到一次限流（包括局部限流和完全限流）的概率． (3)小明计划在一天内从甲、乙、丙三个景区中选择两个景区，并分别在上午和下午游览．若存在以下两种情况之一，则不能完成游览： （ⅰ）在上午的游览中遇到局部限流，且在下午的游览中遇到完全限流； （ⅱ）在上午的游览中遇到完全限流． 请帮助小明制定游览计划，使他完成游览的概率最大． 题型一 概率计算的综合问题 1．（22-23高二上·河北保定·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具，下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位，十位，百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被3整除”，“表示的三位数能被5整除”.    (1)判断事件，是否相互独立； (2)求事件，至少一个发生的概率. 2．（24-25高一下·广西河池·期末）一个不透明的袋中装有除了颜色外大小、质地均一致的4个小球，其中3个红球，1个白球，设计了两个摸球游戏，其规则如下表所示： 游戏1 游戏2 摸球方式 不放回依次摸2球 有放回依次摸2球 获胜规则 若摸出2个红球，则甲获胜，否则乙获胜 (1)写出游戏1与游戏2的样本空间，并分别求出在游戏1与游戏2中甲获胜的概率； (2)甲与乙两人玩游戏1，约定每局胜利的人得2分，否则得0分，先得到4分的人获得比赛胜利，则游戏结束.每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率. 3．（24-25高一下·内蒙古·期末）某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的． (1)求甲得10分的概率； (2)求甲得3分的概率； (3)若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率． 4．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织两部门的员工参加培训. (1)已知该公司部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间，并求出事件“选取的2人全部来自部门领导”的概率； (2)此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率； (3)从（1）中的6名领导中，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，求第一天选到部门领导且第二天选到部门领导的概率.（无需过程，直接作答） 题型二 统计与概率的综合问题 1．（24-25高一下·吉林长春·期末）象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如图频率分布直方图： (1)根据直方图，求a的值： (2)估计这次知识能力竞赛的平均数和中位数； (3)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率. 2．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：g），这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图. (1)估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数； (2)求a的值及实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠的只数； (3)现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件A表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过20g”，事件B表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过25g”，求，，并判断A，B是否相互独立. 1．（25-26高一上·全国·课堂例题）学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天．记事件A：甲选的是第一天，B：乙选的是第一天． (1)直觉上，你觉得A事件是否发生会影响B事件发生的概率吗？ (2)求出的值，观察这三个值之间的关系． 2．（24-25高一下·广东东莞·期末）现有一个质地均匀的正面体骰子，个面分别标有数字1到． (1)当时，设计一种“点数游戏”：任意抛掷两次这个骰子，以骰子与桌面接触的面上的数字的乘积为游戏结果．甲、乙两人玩这种“点数游戏”，规定每次游戏结果大于5时甲获胜，游戏结果小于5时乙获胜． ①试判断这种游戏是否公平？并说明理由； ②若约定先获胜3次“点数游戏”者赢得比赛，并获得100元奖金．当甲获胜2次，乙获胜1次时，“点数游戏”因意外而中止，现决定将100元奖金分给甲、乙两人，请应用概率知识设计合理的奖金分配方案； (2)当时，任意抛掷一次这个骰子，以它与桌面接触的面上的数字为试验结果．请构造适当的事件，使成立，但不满足两两独立． 3．（24-25高一下·浙江宁波·期末）乒乓球被称为中国的“国球”，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜（比如：比分为，得12分者胜），该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球. (1)若两人又打了2个球比赛结束且甲获胜的概率为，求的值； (2)若满足（1）中条件取值，记事件“两人又打了4个球该局比赛结束”，事件“两人又打了个球该局比赛结束”. （i）求； （ii）直接写出. 4．（24-25高一下·广东清远·期末）某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对类每个问题的答对的概率均为0.5.在类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. (1)求小明在第一轮得40分的概率； (2)求小红两轮总分得60分的概率； (3)试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？ 5．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）. (1)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由； (2)若选择方案一，求甲获胜的概率. 6．（22-23高一下·湖南邵阳·期末）在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，同组，同组.    (1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.5&5.4 随机事件的独立性&统计与概率的应用 题型一 判断事件互斥、对立、独立等关系 1．（25-26高二上·广东·阶段练习）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中， 则事件A与事件B（   ）    A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 【答案】B 【分析】根据互斥事件和独立事件的定义和概率公式计算即得. 【详解】因， 则， 于是， 因，则事件A与事件B不是互斥事件； 又，则事件A与事件B是独立事件. 故选：B. 2．（25-26高二上·广东汕头·阶段练习）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项错误的是（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 【答案】B 【分析】分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，， ，，，，，共种情况； 第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况； 第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况； 则两次取出球的数字之和为，的所有可能为，，，共种情况； 两次取出球的数字之和为，所有可能为，共种情况； 记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为， “两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为， 则，，，. A：当出现情况时，甲丙同时发生，则， 故甲丙相互独立，故A正确； B：当出现情况时，甲乙同时发生，则， 故甲乙不相互独立，故B错误； C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确； D：由于两次不可能都取2，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确； 故选：B. 3．（25-26高二上·四川成都·阶段练习）连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（    ） A． B．A与C相互独立 C．A与C对立 D．B与C互斥 【答案】B 【分析】先罗列所有可能结果，由古典概型依次计算、、，结合独立事件定义、对立和互斥事件定义即可逐项判断各选项. 【详解】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数， 有，， ，， ，，共36个不同结果， 对于A，事件A为“第一次的点数是2”，包含6种情况，则，A错误； 对于B，事件C为“两次的点数之和为偶数”，包含18个结果，则， 事件AC，即包含3个结果，则， 则有，事件A、C相互独立，B正确. 对于C，事件A、C可以同时发生，故不互斥，于是更不对立，C错误； 对于D，事件C、B可以同时发生，不互斥，D错误； 故选：B 4．（22-23高一下·北京·开学考试）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，设事件两次掷出的点数之和是5，设事件第二次掷出的点数是偶数，设事件第一次掷出的点数是5，设事件至少出现一个奇数点，下列说法不正确的是（    ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 【答案】C 【分析】根据题设依次列举出对应事件，应用古典概型的概率求法求对应概率，结合互斥、对立、独立事件的定义和判定判断各项的正误. 【详解】若中依次表示第一、二次对应点数，所有情况有种， 由题意，事件的基本事件有，共4种， 事件的基本事件有，共18种， 所以有，共2种， 事件的基本事件有，共6种， 事件的基本事件有，共27种， 由上，与互斥，，A、B对， ，，，则，D对， 显然与不互斥，更不对立，C错. 故选：C 题型二 互斥事件概率计算问题 1．（2025高一·全国·专题练习）投掷一枚质地均匀的骰子，记事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”，则一次试验中（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由概率的基本性质进行运算即可. 【详解】解法1：因为，所以. 故选：B. 解法2：. 故选：B. 2．（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【详解】由和对立，可得，则. 又随机事件和互斥， 所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，，若，互斥，则（    ） A．0.36 B．0.54 C．0.6 D．0.9 【答案】D 【分析】根据，互斥，，求解即可. 【详解】因为，互斥，所以，， 故， 故选：D. 题型三 对立事件概率计算问题 1．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知事件互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互斥事件以及对立事件得概率公式计算即可. 【详解】由题可知：事件互斥，则，又， 所以，则. 故选：D 2．（24-25高一下·重庆·期末）已知事件，互斥，且事件发生的概率，且事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】事件A、B互斥，事件都不发生的对立事件是事件与至少有一个发生,由此即可求出答案. 【详解】事件A、B互斥，且事件A发生的概率，事件B发生的， 事件都不发生的对立事件是事件A、B至少有一个发生, 所以事件，都不发生的概率为：. 故选：B. 3．（2025高一·全国·专题练习）连掷一枚硬币5次，则至少出现一次正面向上的概率为 ． 【答案】/0.96875 【分析】由古典概型概率计算公式、对立事件概率计算公式即可求解. 【详解】由题意得所求概率为． 故答案为：. 题型四 独立事件乘法公式的应用 1．（多选）（24-25高一下·江苏常州·期末）一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为 【答案】BC 【分析】A应用互斥事件进行判断；B根据事件独立性的定义，结合题设描述判断；C根据事件独立性计算交事件的概率；D应用事件的概率性质求发生的概率即可判断. 【详解】对于A，由“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，而发生同时也有可能发生，故不是互斥事件，A错误; 对于B，因为，而， 故，即事件与事件相互独立，B正确； 对于C，因为事件与事件相互独立所以事件与事件相互独立，，C正确； 对于D，事件发生的概率，D错误； 故选：BC. 2．（24-25高一下·甘肃天水·期末）某种开关在电路中闭合的概率为，现将3只这种开关并联在某电路中，若该电路为不通电的概率为，则 . 【答案】 【分析】直接根据相互独立的概率公式进行求解即可. 【详解】已知该电路不通电，根据电路的并联原理，说明三只开关均未闭合， 所以，解得：. 故答案为： 3．（24-25高一下·山西大同·期末）乒乓球比赛一般是11分制，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束．则事件“且甲获胜”的概率为 ． 【答案】0.1/ 【分析】通过题意推导出事件“前两球甲、乙各得1分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果． 【详解】由题意可知，事件“前两球甲、乙各得1分，后两球均为甲得分”， 所以， 故答案为：0.1. 4．（23-24高一上·河南驻马店·期末）如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【详解】系统能正常工作，则至少有个能正常工作且能正常公式， 所以系统能正常工作的概率为. 故答案为： 5．（23-24高一下·广东东莞·期末）假设，且与相互独立，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由相互独立事件概率计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则， 且与相互独立，则与相互独立， 所以. 故答案为： 6．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）已知，，且与相互独立， ． 【答案】/ 【分析】由和事件的概率公式与独立事件的概率公式结合已知条件求解即可. 【详解】因为与相互独立，所以， 因为，，， 所以， ，解得， 故答案为： 7．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）由甲、乙、丙、丁组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙猜对丁未猜对的概率为，甲、丁都猜对的概率为，在每轮活动中，四人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是 . 【答案】 【分析】依据独立事件性质得到四个人猜对的概率，再得到乙、丙都猜对的概率. 【详解】设甲、乙、丙、丁猜对的概率依次为， 依据独立事件的性质，可得，解得， 所以，乙、丙都猜对的概率为， 故答案为：. 题型五 根据事件的概率求参数 1．（2023·重庆·模拟预测）一个不透明的袋子中有10个大小、材质一样的小球，其中有个红球，其余为黑球，从中不放回地先后各摸一个球出来，若第2次摸得红球的概率为，则 ． 【答案】 【分析】根据题意得到袋子中有个红球，个黑球，利用相互独立事件的概率公式，分别求得第1次摸出的是红球和第1次摸出的是黑球时，第2次莫得红球的概率，结合题意列出方程，即可求解. 【详解】由题意，不透明的袋子中有个红球，个黑球， 当第1次摸出的是红球时，第2次莫得红球的概率为； 当第1次摸出的是黑球时，第2次莫得红球的概率为， 因为第2次摸得红球的概率为，即， 解得. 故答案为：. 2．（24-25高一下·河南洛阳·期末）一个袋子中有大小和质地完全相同的个球，其中红球个，绿球个.现采用不放回方式从中依次取出2个球. (1)当，时，记红球为，绿球为，写出试验的样本空间； (2)若，且取出的2个球都是红球的概率为； ①求的值； ②求取到的2个球颜色不同的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2)①；② 【分析】（1）由题意利用有序数对，一一列举基本事件，根据样本空间的概念，可得答案； （2）①利用古典概型的概率计算，建立方程，可得答案；②根据互斥事件的概率加法公式，可得答案. 【详解】（1）用，分别表示第1，2次取到的球，则可用表示2次取球的可能结果， 则样本空间. （2）①样本点总数为，两个球都是红球的样本点个数为， 故，解得. ②设“第一次取到红球”，“第二次取到红球”， 则“取到的2个球颜色不同”，且与互斥， 所以. 3．（24-25高一下·河北保定·期末）在以“未来城市生活”为主题的科技嘉年华活动中，主办方精心打造了20个沉浸式体验项目.甲、乙、丙三位科技爱好者分别参与体验，甲成功通关了12个项目；乙成功通关了8个项目；丙成功通关了个项目. (1)已知，若丙成功通关的项目中有4个属于太空生活舱体验类别，若从丙成功通关的项目中任选一个，求选到太空生活舱体验类项目的概率； (2)任选一个项目，求甲、乙两人中恰有一人成功通关的概率； (3)任选一个项目，若甲、乙、丙三人中至少有一人成功通关的概率为，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用古典概型求解； （2）设“任选一个项目甲成功通关”，“任选一个项目乙成功通关”，由求解； （3）设“任选一个项目丙成功通关”，“甲、乙、丙三人中至少有一人成功通关”，，由求解. 【详解】（1）由题意得丙成功通关的项目中有4个是太空生活舱体验类， 而丙成功体验了8个项目，所以概率. （2）设“任选一个项目甲成功通关”，“任选一个项目乙成功通关”. 则，故， “甲、乙两人中恰有一人成功通关”，且与互斥. 每人独立体验，故互相独立，则与，与，与均相互独立. 所以. 即任选一个项目，甲、乙两人中恰有一人成功通关的概率为. （3）设“任选一个项目丙成功通关”，“甲、乙、丙三人中至少有一人成功通关”， ，则. 所以， 解得. 题型六 游戏的公平性问题 1．（24-25高一下·全国·单元测试）爸爸和亮亮用4张扑克牌（方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5）玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，爸爸先抽，亮亮后抽，抽出的牌不放回． (1)若爸爸恰好抽到了黑桃4． ①请把下面这种情况的树状图绘制完整；      ②求亮亮抽出的扑克的牌面数字比4大的概率． (2)爸爸、亮亮约定，若爸爸抽出的扑克的牌面数字比亮亮的大，则爸爸胜；反之，则亮亮胜．你认为这个游戏是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，更换一张扑克牌使游戏公平． 【答案】(1)①答案见解析；②． (2)不公平，理由见解析 【分析】（1）用列举法列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，进而可求出结果； （2）分别求出小明与小花获胜的概率，比较大小，即可得出结果. 【详解】（1）①树状图：    ②由①可知亮亮抽出的扑克的牌面数字比4大的概率是． （2）不公平，理由如下：    爸爸抽出的扑克的牌面数字比亮亮的大有5种情况，其余均为小于等于亮亮的牌面数字， 所以爸爸胜的概率只有，显然对爸爸来说是不公平的． 只需把黑桃5改成黑桃6即可使这个游戏公平（答案不唯一）． 2．（2025高一·全国·专题练习）晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．（1）班的文娱委员利用分别标有数字的两个转盘（如图），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．该方案对双方是否公平?为什么?    【答案】该方案对双方是公平的，理由见解析 【分析】将各种情况利用表格，列出基本事件个数，再利用古典概型计算两数字之和为偶数或奇数的概率即可判断游戏是否公平． 【详解】各种情况如表所示． 转到的数字 4 5 6 7 1 5 6 7 8 2 6 7 8 9 3 7 8 9 10 由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种， 所以（1）班代表获胜的概率，（2）班代表获胜的概率，即机会是均等的， 所以该方案对双方是公平的． 3．（19-20高一·全国·课后作业）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等） 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. （1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析. 【分析】（1）根据定义一一列举出即可； （2）由（1）根据古典概型的概率计算公式分别计算概率即可判断. 【详解】解：（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个. 分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456. （2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个. 由古典概型计算公式，得 ， 又A与B对立，所以， 所以.故选取规则对甲、乙两名学生不公平. 题型七 其它问题的概率解释 1．（20-21高一·全国·课后作业）袋中装有数量差别很大的白球和黑球（只是颜色不同），从中任取一球，若取得白球，那么我们可以认为数量多的是 . 【答案】白球 【分析】利用概率的概念和性质分析，即得解 【详解】由题意，可以认为取得白球的概率比取得黑球大，故我们可以认为数量多的是白球 故答案为：白球 2．（19-20高一·全国·课后作业）人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）同人的眼皮单双一样，也是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作D，隐性基因记作d；成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是卷舌的（这就是说，“卷舌”的充要条件是“基因对是，或”）.同前面一样，决定眼皮单双的基因仍记作B（显性基因）和b（隐性基因）. 有一对夫妻，两人决定舌头形态和眼皮单双的基因都是，不考虑基因突变，求他们的孩子是卷舌且单眼皮的概率.（有关生物学知识表明：控制上述两种不同性状的基因遗传时互不干扰）. 【答案】. 【分析】用树形图列出所有可能的结果，其中表示卷舌且单眼皮的是，，，根据古典概型的概率计算公式计算可得. 【详解】解：根据题意，这对夫妻孩子的决定舌头形态和眼皮单双的基因的所有可能情况用图表示.    不难看出，样本空间中共包含16个样本点，其中表示卷舌且单眼皮的是 ，，， 因此，所求概率为. 3．（19-20高一·全国·课后作业）某校为调查期末考试中高一学生作弊情况，随机抽取了200名高一学生进行调查，设计了两个问题，问题1：你出生月份是奇数吗？问题2：期末考试中你作弊了吗？然后让受调查的学生每人掷一次币，出现“正面朝上”则回答问题1，出现“反面朝上”则回答问题2，答案只能填“是”或“否”不能弃权.结果统计后得到了53个“是”的答案，则估计有百分之几的学生作弊了？ 【答案】3%. 【解析】由于硬币正面朝上，反面朝上的概率一样，即有100人回答问题1，100人回答问题2，再由出生月份为奇数和偶数的等可能的，即可计算出回答问题2的学生中回答“是”的人数，再根据古典概型的概率计算公式计算可得. 【详解】解：由于硬币正面朝上，反面朝上的概率一样，即有100人回答问题1，100人回答问题2； 由于问题1答案为“是”的概率为，有（人） 则53个“是”中应该有3个“是”回答问题2，从而作弊学生大约占3%. 4．（22-23高一下·天津河东·期末）人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab.其中a和b是显性基因，i是隐性基因.孩子分别继承父母一个基因，组成一个基因类型，则 (1)若一对夫妻的血型一个是A型，一个是AB型，分析他们子女的血型是O，A，B或AB型的概率； (2)父母为哪种血型时，孩子的血型不可能为O型（写出结论即可） 【答案】(1)；；；； (2)父母有一方是AB血型时，孩子的血型不可能为O型. 【分析】（1）列举所有基本事件，然后求出个事件包含的个数，利用古典概型概率公式求解即可； （2）求出各个血型的概率，即可得出结论. 【详解】（1）若一对夫妻的血型一个是A型，一个是AB型， 则他们子女血型的基因的可能结果如下：aa，ab，ai，bi，aa，ab，aa，ab共8个， O型的基因类型有0个，A型的基因类型有4个，B型的基因类型有1个，AB型的基因类型有3个， 故他们子女的血型是O的概率为，他们子女的血型是A的概率为， 他们子女的血型是B型的概率为，他们子女的血型是AB型的概率为； （2）当父母的血型一个是A型，一个是AB型时，孩子的血型不可能为O型； 当父母的血型都是AB型时，子女血型的基因的可能结果如下：aa，ab，ab，bb共4个， O型的基因类型有0个，故子女的血型是O的概率为，即孩子的血型不可能为O型； 当父母的血型一个是B型，一个是AB型时，则子女血型的基因的可能结果如下：ab，bb，ai，bi，ab，bb，ab，bb共8个， O型的基因类型有0个，故子女的血型是O的概率为，即孩子的血型不可能为O型； 当父母的血型一个是O型，一个是AB型时，则子女血型的基因的可能结果如下：ai，ai，ai，bi共4个，O型的基因类型有0个， 故子女的血型是O的概率为，即孩子的血型不可能为O型； 综上，父母有一方是AB血型时，孩子的血型不可能为O型. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）某市在旅游旺季时，为应对景区可能出现人流量过大的情况，规定：当人流量达到景区最大承载量的80%时，将对该景区采取局部限流措施；当人流量达到景区最大承载量的100%时，将对该景区采取完全限流措施．小明计划假期去该市甲、乙、丙三个旅游景区旅行，他调查了甲、乙、丙三个旅游景区在去年同期30天的限流措施情况，见下表：          景区限流情况累计天数 不限流 局部限流 完全限流 甲景区累计天数 21 7 2 乙景区累计天数 18 4 8 丙景区累计天数 15 9 6 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三个景区限流情况相互独立． (1)小明某天到甲景区旅游，估计小明遇到完全限流的概率． (2)小明任选两天，分别到乙、丙两景区游览，估计小明在两个景区至少遇到一次限流（包括局部限流和完全限流）的概率． (3)小明计划在一天内从甲、乙、丙三个景区中选择两个景区，并分别在上午和下午游览．若存在以下两种情况之一，则不能完成游览： （ⅰ）在上午的游览中遇到局部限流，且在下午的游览中遇到完全限流； （ⅱ）在上午的游览中遇到完全限流． 请帮助小明制定游览计划，使他完成游览的概率最大． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由表格中数据求出频率即可. （2）利用相互独立事件及对立事件的概率求解. （3）按上下午选择景区情况分类，利用相互独立事件及对立事件的概率求出概率并比较大小得解. 【详解】（1）由数表知，天中，甲景区完全限流的天数是2，所以小明遇到完全限流的概率为. （2）由数表知，乙景区不限流的概率为，丙景区不限流的概率为， 所以小明在两个景区至少遇到一次限流的概率 （3）若小明上午选甲景区，下午选乙景区能完成游览的概率； 若小明上午选甲景区，下午选丙景区能完成游览的概率； 若小明上午选乙景区，下午选甲景区能完成游览的概率； 若小明上午选乙景区，下午选丙景区能完成游览的概率； 若小明上午选丙景区，下午选甲景区能完成游览的概率； 若小明上午选丙景区，下午选乙景区能完成游览的概率， 而最大，即小明上午选甲景区，下午选丙景区能完成游览的概率最大. 题型一 概率计算的综合问题 1．（22-23高二上·河北保定·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具，下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位，十位，百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被3整除”，“表示的三位数能被5整除”.    (1)判断事件，是否相互独立； (2)求事件，至少一个发生的概率. 【答案】(1)事件，相互独立 (2) 【分析】（1）求出基本事件总数，分别求得事件，事件发生所包含的基本事件数，进而计算可，可得结论； （2）法一：根据计算即可；法二：利用对立事件的概率公式可求结论. 【详解】（1）由题意可得相应组成的三位数字分别为111、115、151、155、511、515、551、555，基本事件总数为8个， 能被3整除的数有111，555共2个，故事件包含的基本事件数为2， 能被5整除的数有115，155，515，555共4个，故事件包含的基本事件数为4， 所以包含的基本事件数为1. ，，，则， 事件与事件相互独立； （2）法一：. 所以事件，至少一个发生的概率为. 法二：. 所以事件，至少一个发生的概率为. 2．（24-25高一下·广西河池·期末）一个不透明的袋中装有除了颜色外大小、质地均一致的4个小球，其中3个红球，1个白球，设计了两个摸球游戏，其规则如下表所示： 游戏1 游戏2 摸球方式 不放回依次摸2球 有放回依次摸2球 获胜规则 若摸出2个红球，则甲获胜，否则乙获胜 (1)写出游戏1与游戏2的样本空间，并分别求出在游戏1与游戏2中甲获胜的概率； (2)甲与乙两人玩游戏1，约定每局胜利的人得2分，否则得0分，先得到4分的人获得比赛胜利，则游戏结束.每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）三个红球为号，记白球为号，用表示两次摸球的情况，结合游戏方式，即可求出答案； （2）确定甲要获胜，他先得4分有几种情况，根据互斥事件以及独立事件的概率公式，即可求得答案. 【详解】（1）记三个红球为号，记白球为号，用表示两次摸球的情况， 记游戏1与游戏2的样本空间分别为， 记“在游戏1中甲获胜”，记“在游戏2中甲获胜” ，， （2）记“甲获得第局游戏胜利”，，记“甲获得比赛胜利” 由（1）， 3．（24-25高一下·内蒙古·期末）某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的． (1)求甲得10分的概率； (2)求甲得3分的概率； (3)若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件的概率公式求解即可. （2）将甲得3分分为两种情况，再结合互斥事件的概率公式求解即可. （3）将甲答辩成功这个事件合理拆分，再结合互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意得每道题目能否答对都是相互独立的事件， 由独立事件概率公式得甲得10分的概率为． （2）甲得3分有两种情况：甲答对第1题和第2题，甲答对第3题．且两种情况互斥， 故甲得3分的概率为． （3）若甲恰好答对2道题目答辩成功，则甲必定答对第3题和第4题． 甲答辩成功的概率为． 若甲恰好答对3道题目答辩成功，则甲答对第2题、第3题、第4题， 或者答对第1题、第3题、第4题，或者答对第1题、第2题、第4题． 甲答辩成功的概率为． 由（1）可知甲得10分的概率为，所以甲答辩成功的概率为． 4．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织两部门的员工参加培训. (1)已知该公司部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间，并求出事件“选取的2人全部来自部门领导”的概率； (2)此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率； (3)从（1）中的6名领导中，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，求第一天选到部门领导且第二天选到部门领导的概率.（无需过程，直接作答） 【答案】(1)样本空间见解析， (2) (3) 【分析】（1）利用组合计数方法求出基本事件数，再利用古典概率列式求解. （2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），由此可得关系，结合概率公式即可求解. （3）利用（1）中结果求得基本事件的个数，记事件：第一天选到部门领导且第二天选到部门领导，直接求出事件包含的基本事件的个数，利用古典概率公式，即可求解. 【详解】（1）记部门的3名领导为，部门的3名领导为， 从6名部门领导中随机选取2人负责，样本空间为： ，共15种， 选取2人全部来自部门领导的事件，不同结果有：，共3种， 所以全部来自A部门领导的概率为. （2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， 则，， 依题意， ， 所以每位员工经过培训合格的概率为. （3）由（1）知，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，共有种， 记事件：第一天选到部门领导且第二天选到部门领导， 则事件包含：，共种， 所以. 题型二 统计与概率的综合问题 1．（24-25高一下·吉林长春·期末）象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如图频率分布直方图： (1)根据直方图，求a的值： (2)估计这次知识能力竞赛的平均数和中位数； (3)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率. 【答案】(1) (2)平均数78分，中位数80分 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图各组频率之和等于1求出； （2）由频率分布直方图估算平均数、中位数计算得解； （3）由题，甲最终获胜，比分可能是，，分别求出概率，再根据互斥事件的概率公式求解. 【详解】（1）由频率分布直方图，的频率为的频率为的频率为0.42，的频率为0.08， 所以的频率为， 所以； （2）根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数： 分， 因为前三组，，的频率之和为， 所以估计这次知识能力测评的中位数为80分； （3）因为甲最终获胜，比分可能是，， 设甲获胜为事件A，获胜为事件， 若甲获胜，则概率为， 若甲获胜，则概率为， 又A，B两个事件互斥，则甲最终获胜的概率为. 2．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：g），这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图. (1)估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数； (2)求a的值及实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠的只数； (3)现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件A表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过20g”，事件B表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过25g”，求，，并判断A，B是否相互独立. 【答案】(1)平均数为19，中位数为20 (2)24 (3)，，A，B不相互独立. 【分析】（1）应用频率分布直方图平均数及中位数公式计算求解； （2）先应用频率和为1得出参数a，再结合频率计算求解只数； （3）应用独立事件概率乘积公式判断即可. 【详解】（1）估计对照组小白鼠体重增加量的平均数为 . 因为， 所以估计对照组小白鼠体重增加量的中位数为20. （2）由， 得， 估计实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠只数为. （3）由题意知，从对照组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量超过20g的概率为0.5，超过25g的概率为0.3，从实验组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量超过20g的概率为0.4，超过25g的概率为0.15， 所以， ， ， ， 因为，所以A，B不相互独立. 1．（25-26高一上·全国·课堂例题）学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天．记事件A：甲选的是第一天，B：乙选的是第一天． (1)直觉上，你觉得A事件是否发生会影响B事件发生的概率吗？ (2)求出的值，观察这三个值之间的关系． 【答案】(1)不会，理由见解析 (2)， 【分析】（1）结合题意判断即可； （2）设表示甲选的是第天，乙选的是第天，列举出所有的情况，结合古典概型的概率公式求解即可. 【详解】（1）不会，因为甲、乙都是随机选择的，他们事先是没有商量的， 所以A事件是否发生是不会影响B事件发生的概率的. （2）设表示甲选的是第天，乙选的是第天， 则样本空间为，共包含6个样本点， 其中，事件A包含的样本点为，事件B包含的样本点为， 则，显然. 2．（24-25高一下·广东东莞·期末）现有一个质地均匀的正面体骰子，个面分别标有数字1到． (1)当时，设计一种“点数游戏”：任意抛掷两次这个骰子，以骰子与桌面接触的面上的数字的乘积为游戏结果．甲、乙两人玩这种“点数游戏”，规定每次游戏结果大于5时甲获胜，游戏结果小于5时乙获胜． ①试判断这种游戏是否公平？并说明理由； ②若约定先获胜3次“点数游戏”者赢得比赛，并获得100元奖金．当甲获胜2次，乙获胜1次时，“点数游戏”因意外而中止，现决定将100元奖金分给甲、乙两人，请应用概率知识设计合理的奖金分配方案； (2)当时，任意抛掷一次这个骰子，以它与桌面接触的面上的数字为试验结果．请构造适当的事件，使成立，但不满足两两独立． 【答案】(1)①公平，理由见解析；②答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）①用列举法写出样本空间，然后由古典概型概率公式计算两者获胜的概率是否相等即可判断；②按甲、乙继续比赛赢得比赛的概率比值进行奖金分配，由于甲、乙要分出比赛输赢至多需要再进行2次“点数游戏”，即可确认输赢，由列举法写出样本空间计算概率后可得； （2）当时，任意抛掷一次这个骰子的样本空间，所以，构造事件，然后计算概率检验. 【详解】（1）①当时，任意抛掷两次这个骰子的样本空间，所以， 记“游戏结果大于5”为事件，则事件包含的样本点包括，所以， 由古典概型得 同理“游戏结果小于5”的概率也是， 所以甲、乙获胜的概率相等，这种游戏是公平的 ②按甲、乙继续比赛赢得比赛的概率比值进行奖金分配， 由于甲、乙要分出比赛输赢至多需要再进行2次“点数游戏”，假设再进行2次“点数游戏”，则2次“点数游戏”比赛结果的样本空间（甲 胜，甲胜），（甲 胜，乙胜），（乙胜，甲 胜），（乙胜，乙胜），所以， 记“甲赢得比赛”为事件，则事件包含的样本点包括（甲胜，甲胜），（甲胜，乙胜），（乙胜，甲胜），所以， 由古典概型得， 所以“乙赢得比赛”的概率为， 所以甲分配奖金元，乙分配奖金． （2）当时，任意抛掷一次这个骰子的样本空间，所以， 构造事件， 则， 由古典概型得， 所以，满足题意． 3．（24-25高一下·浙江宁波·期末）乒乓球被称为中国的“国球”，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜（比如：比分为，得12分者胜），该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球. (1)若两人又打了2个球比赛结束且甲获胜的概率为，求的值； (2)若满足（1）中条件取值，记事件“两人又打了4个球该局比赛结束”，事件“两人又打了个球该局比赛结束”. （i）求； （ii）直接写出. 【答案】(1) (2)（i）；（ii），. 【分析】（1）记表示打第个球是甲胜，由题意可得，求解即可. （2）（i），为奇数；，为偶数，根据，，，互斥，各球的结果相互独立，计算可得结论；（ii）与（i）类似可得结论. 【详解】（1）记表示打第个球是甲胜， 两人又打了2个球比赛结束且甲获胜即，各球的结果相互独立， ，，，. （2）（i），为奇数；，为偶数. . ，，，互斥，各球的结果相互独立. . . . . . （ii），. 4．（24-25高一下·广东清远·期末）某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对类每个问题的答对的概率均为0.5.在类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. (1)求小明在第一轮得40分的概率； (2)求小红两轮总分得60分的概率； (3)试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？ 【答案】(1) (2) (3)小明谁更有机会进入面试环节. 【分析】（1）对A类的5个问题进行编号：，设小明只能答对4个问题的编号为：，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率； （2）小红两轮总分得60分，只能有两种得分情况：小红第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分或当小红第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分，求对应事件的概率再求和即可得解. （3）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小红和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论. 【详解】（1）对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答， 则有共种， 设小明只能答对4个问题的编号为：， 则小明在第一轮得40分，有共种， 则小明在第一轮得40分的概率为：； （2）设“小红两轮总分得60分”为事件，“小红第一轮答错一题得分， 第二轮答对两题得分”为事件;“小红当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分”. 则, ; . （3）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为， 则小明在第一轮得0分的概率为：， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分 当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时， 小红和小明晋级复赛的概率分别为： ； ； 当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时， 小红和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时， 小红和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时， 小红晋级复赛的概率分别为： ； 小红晋级复赛的概率为：； 小明晋级复赛的概率为：； ， 小明更有机会进入面试环节. 5．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）. (1)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由； (2)若选择方案一，求甲获胜的概率. 【答案】(1)方案二被选择的可能性更大，理由见解析 (2) 【分析】（1）列举出向上的点数所有情况和点数之差的绝对值不大于1的情况，求出概率，得到结论； （2）分三类情况，利用独立事件的概率乘法公式分别计算概率，再利用互斥事件的概率加法公式计算即得. 【详解】（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为，则共有36种情况，如下： ， ， 其中两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1的情况有： ，共16种情况， 故选择方案一的概率为，则选择方案二的概率为，故方案二被选择的可能性更大. （2）若选择方案一，甲获胜包括三类情况：①甲在前两局获胜，其概率为：； ②甲在第一局，第三局获胜，其概率为：；③甲在第二局，第三局获胜，其概率为：， 因三类情况两两互斥，故选择方案一，甲获胜的概率为：. 6．（22-23高一下·湖南邵阳·期末）在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，同组，同组.    (1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【答案】(1)获得冠军的概率为，获得冠军的概率为. (2)在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为；在“双败赛制”赛制下，获得冠军的概率为；双败赛制对强者更有利 【分析】（1）利用独立事件的概率公式进行求解即可； （2）首先利用独立事件的概率公式分别求出两种赛制下获得冠军的概率，再利用作差法比较大小即可. 【详解】（1）结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 所以获得冠军的概率为. 结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 所以获得冠军的概率为. （2）在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为. 在“双败赛制”赛制下，讨论进入胜者组､败者组两种情况： 当进入胜者组，若在胜者组失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军， 此时获得冠军的概率为； 当进入败者组，后三局都胜，方可得冠军， 此时获得冠军的概率为. 综上，获得冠军的概率为. 令， 则， 由得. 若A为强队，则，此时. 即，所以. 所以双败赛制对强者更有利. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $