微专题02 二次函数的图像与性质（进阶）12题型（专项训练）数学苏科版九年级下册

微专题02 二次函数的图像与性质（进阶） 题型一 二次函数与多结论问题 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 5）根据抛物线的顶点，判断的大小. 6）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性. 7）特殊点代入确定a，b，c的关系. 当x=±1时，；当x=±2时，；当x=±1时，. 重难点一 已知对称轴 1．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图所示是二次函数 的部分图像，该函数图像的对称轴是直线，图像与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程 一定有两个不相等的实数根：④．其中，正确结论的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数图像与系数的关系以及二次函数与方程的关系， 熟练掌握二次函数的图像与性质并灵活运用是解题的关键； 根据抛物线的对称轴是直线可判断结论①；根据抛物线与坐标轴的交点情况可判断结论②； 根据二次函数与方程的关系可判断结论③；根据抛物线与轴的交点及当时的函数值可判断结论④． 【详解】二次函数图像的对称轴是直线，图像与y轴交点的纵坐标是2， ，， ， ，故结论①正确； 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在2，3之间， 该抛物线与轴的另一个交点在，0之间，故结论②错误； 根据函数图像可得，二次函数的最大值一定大于2， 抛物线与直线一定有两个交点， 方程一定有两个不相等的实数根，故结论③正确； 抛物线与轴的另一个交点在，0之间， 当时，， ， ．故结论④正确． 正确的有①③④，共3个． 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③点在抛物线上，则；④点在抛物线上且，则，正确结论的序号是 ． 【答案】①③/③① 【分析】根据抛物线的图象的开口方向，对称轴，与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，逐一判断各结论，即可得到结果． 本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的图象开口向上， ， 故结论①正确； 抛物线的对称轴为直线， ∴， 则， ∴， 故结论②错误； 抛物线经过，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 抛物线的图象开口向上，点在抛物线上， ， 故结论③正确； 抛物线的图象与y轴交点坐标为，点在抛物线上且， 或， 故结论④错误， 故正确结论的序号为①③． 故答案为：①③． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符合特征等，①由图象得，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断．能熟练利用二次函数的性质进行运算判断是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， ∴， ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线， 图象与轴交于点， ∴图象与轴交于另一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即（为任意实数）， ∴，故③正确； ④由②得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有：①③④， 故选：D． 4．（24-25九年级上·江西上饶·期末）已知抛物线是常数，且）经过点，对称轴为直线，有下列结论： ①抛物线经过点； ②当时，； ③当关于x的方程有两个相等的实数根时，． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据对称轴为，经过点，由对称性可得经过点，即可判断①；由得到，经过，则代入化简得，那么，由即可判断②；把，代入方程，再根据根的判别式求解即可． 【详解】解：∵抛物线是常数，且）经过点，对称轴为直线， ∴抛物线经过点，故①正确； 由题意得， ∴， ∵抛物线是常数，且）经过点 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②错误； 方程化为， ∵，， ∴方程化为：，即， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴ 解得：或（舍），故③正确， ∴正确的有2个， 故选：C． 5．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②和3是关于x的方程的两个根；③，其中，正确结论的个数是（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，包括对称轴，顶点坐标，函数值的计算以及根据条件判断结论的正确性，需要熟练掌握二次函数的相关知识并能灵活运用． 依据题意，由抛物线过，可得抛物线的对称轴是直线，进而逐个判断即可得解． 【详解】由表格可知和时，值都为，根据二次函数的对称性，对称轴为, 又因为当时，，所以顶点坐标为，顶点在第一象限，故①错误； 由表格可知当时，，根据二次函数的对称性，对称轴为，那么与关于对称轴对称的点的横坐标满足，解得，所以和3是关于的方程的两个根，故结论②正确． 设二次函数的表达式为 ， 把代入可得： ， 即，则， 所以 , 把代入可得：, 把代入可得：, 所以, 当时，，即 ．解得． 当时，，所以，该结论正确． 故结论③正确． 综上，正确结论有2个，答案选C． 综上，正确的有②③． 故选：C． 重难点二 过定点 6．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）二次函数的图象与轴交于点，且．那么①；②；③；④，一定正确的是 (填序号)． 【答案】③④ 【分析】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用已知结合图象分析得出各项符号，注意对称轴公式以及图象位置与各系数之间的关系是解决问题的关键． 根据图象与x轴交于点，且，则，即可判断③，根据，，的值不确定，即可判断①，根据抛物线与轴有交点，即可判断②，根据不等式的性质即可判断④． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于点， ，故③正确； 又， ，，的值不确定， ①不一定正确； 图象与轴有交点，则，故②选项错误， ， ， ， ， ，故④正确； 故正确的有：③④． 故答案为：③④． 7．（2025·江苏南京·三模）已知二次函数的图象经过点和． (1)若该函数的图象经过原点，求a的值； (2)下列结论：①；②无论a取何值，该函数图象与x轴总有公共点；③当时，y的最小值为4；④无论a取何值，方程总有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号是________； (3)直接写出该函数图象与一次函数的图象的公共点个数及对应的a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①； (3)时，没有公共点；或1时，1个公共点；或且时，2个公共点． 【分析】（1）根据该函数的图象经过原点，以及经过点和，利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据二次函数的图象与性质，以及二次函数与轴的交点情况，逐个分析求解，即可解题； （3）联立与有：，整理得到，再结合一元二次方程根的判别式，分情况讨论求解，即可解题． 【详解】（1）解：该函数的图象经过原点，以及经过点和， ， 解得， ； （2）解：①由题知，则有，故，①正确； ②当时， ，， ， . 当时，有， 即存在该函数图象与x轴无交点的情况，故②错误； ③当时，二次函数开口向下，y没有最小值，故③错误； ④ 整理得：， ∵， ∴, ， ∴时，方程有两个相等的实数根，故④错误． 综上所述，所有正确结论的序号是①； 故答案为：①； （3）解：联立与有：， 整理得， 当时，没有公共点； ，， ， 即， ， ， ， 则①或②， 解①得，该不等式组无解，解②得， 时，没有公共点； 当时，有1个公共点； 即， 解得或1， 或1时，1个公共点； 当时，有2个公共点； 即， 则③或④， 解③得，，解④得， 或且时，2个公共点． 综上所述，时，没有公共点； 或1时，1个公共点； 或且时，2个公共点． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，二次函数与的交点情况，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式组，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 8．（2025·江苏淮安·二模）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点 ．以下说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤（其中），其中说法正确的是 ． 【答案】①②③④⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于抛物线与x轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到，则可对①进行判断；利用抛物线经过点得到，则可对③进行判断；同时得到，加上，则可对②进行判断；通过比较点到直线的距离与点到直线的距离的大小可对④进行判断；利用时，函数值最大以及可对⑤进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与y轴的交点在x轴上方， ， ，所以①正确； 抛物线经过点， ，所以③正确； ， ，所以②正确； 点到直线的距离比点到直线的距离大， ；所以④正确； 抛物线的对称轴为直线 当时，函数值最大， ， ， 即，所以⑤正确． 故答案为：①②③④⑤． 9．（2025·河南洛阳·一模）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即)，对称轴在轴左；当与异号时即)，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．根据抛物线与轴有两个交点，可得，据此解答即可；根据抛物线的对称轴，开口向下，据此判断即可；根据抛物线与轴的一个交点A在点和之间，可得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，所以当时，据此判断即可；根据的最大值是，可得方程没有实数根，则，据此判断即可；首先根据抛物线的对称轴，可得，然后根据，判断出即可． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ， 结论不正确． 抛物线的对称轴，开口向下，，是图象上的两点， ， 结论正确． 抛物线与轴的一个交点A在点和之间， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 当时，， 结论正确． 的最大值是， 方程没有实数根，则， 结论正确． 抛物线的对称轴， ， ， ， ， 结论正确． 综上，可得正确结论的序号是：． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知函数是常数，且图象经过，三点．下列结论：①；②如果，那么；③如果，那么．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，把，代入整理后即可判断①；利用二次函数的性质，根据二次函数的最值即可判断②；把代入解析式即可判断③．正确理解二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：函数，，是常数，且图象经过，， ， 解得，故①正确； 如果为顶点时，抛物线开口向下， 那么时，，故②不正确； ， ， ， ， ， ，故③正确； 故选：B． 11．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．则下列四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点，在抛物线上，当时，总有，则． 其中一定正确的是 ．（填写正确序号）． 【答案】②③④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点的位置、以及与x轴y轴的交点，综合判断即可． 【详解】解：①由抛物线的开口向下知， ∵对称轴位于y轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故错误； ②∵图象经过， ∴， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， 即，故正确． ③∵抛物线与x轴交于点，点， ∴二次函数的图象与x轴交于点，， ∵， ∴， ∴当时，，故正确． ④∵抛物线与x轴交于点，点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在抛物线上，总有， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的平移等知识，解题的关键是掌握数形结合思想的应用． 题型二 二次函数与面积问题 如图1，三角形的一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”三角形的面积，直接用面积公式； 如图2，先把三角形补成梯形，算出梯形面积再减去两个规则三角形ADB、CEB的面积； 如图3，把三角形割成两个三角形，用“水平宽、铅锤高”的方法，计算面积方法如下: 图1 图2 图3 如图4，同底等高三角形的面积相等，平行线间的距离处处相等； 如图5，三角形底相同时，面积比等于高之比； 如图6，三角形高相同时，面积比等于底之比. 图4 图5 图6 重难点一 割补法 12．（22-23九年级上·广东·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于，A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1) (2)存在，P点的坐标为 (3)P点的坐标为，四边形面积的最大值为． 【分析】对于（1），根据待定系数法，可得函数解析式； 对于（2），根据菱形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据函数值与自变量的对应关系，可得答案； 对于（3），根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标． 【详解】（1）解：将B、C两点的坐标代入得， 解得． 所以二次函数的表达式为； （2）解：如图， 存在点P，使四边形为菱形． 设P点坐标为， 交于E 若四边形是菱形，则有． 连接则于E． ， ， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴P点的坐标为； （3）解：如图1， ， 过点P作y轴的平行线与交于点Q，与交于点F，设， 将点代入关系式，得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 则Q点的坐标为． ∴． ， 当时，四边形的面积最大 此时P点的坐标为，四边形面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形，菱形的性质和判定，求一次函数关系式，求二次函数的最大值，理解用坐标差表示线段长是解题的关键. 13．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）（1）如图，已知点，且，抛物线（）图象经过A，B，C三点．求抛物线的解析式； （2）若点P是如图中的直线上方的抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值． （3）将图中的抛物线向下平移5个单位，将平移所得抛物线（）的部分记为，将绕原点旋转后的图象记为，将，合起来得到的图象记为L，完成以下问题： ①抛物线的函数解析式为 （）． ②若直线与L有三个交点，把这三个交点的横坐标从左至右依次记为，与，且 ，求t的值． ③若点，在L上，且，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②；③或 【分析】（1）根据点，且，求得两点的坐标，用待定系数法即可求解； （2）设直线的解析式为，将点，代入， 得，解得，求得，作轴，交于点，设，则，，由，得 即可求解； （3）①根据中心对称的特点得出的顶点坐标为，将绕点原点旋转后，的对称点坐标为，即可求得；②结合图像，分时，时，两种情况，当时，，，是方程的两个根，得 ，，，即可求解，进而可求得，同理可求的另一个值；③分两种情况：当点在上时，点关于直线的对称点， 当点在上时，点关于直线的对称点，结合题意列出不等式即可求解或． 【详解】解：（1）点， ， ， ， ，， 抛物线（）图象经过A，B，C三点， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，将点，代入， 得， 解得， ， 作轴，交于点， 设，则，， ， ； ， 四边形面积的最大值为； （3）①将图中的抛物线向下平移5个单位， 所得抛物线为， 顶点坐标为， 将绕原点旋转后，的对称点坐标为， 即为抛物线的顶点坐标，这时抛物线开口向上， 抛物线的解析式为，即； ②将，合起来得到的图象记为L，如下图， 当时，，，是方程的两个根， 此时 ，，， ，即， ， 把代入， 同理可求当时，； 综上所述，t的值为； ③当点在上时，点关于直线的对称点， ， ， ； 当点在上时，点关于直线的对称点， ， ， ； 综上所述，m的取值范围是或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数的解析式、面积问题，二次函数图像的变换等，其中结合图形分类讨论是本题解题的关键． 14．（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值是，此时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，可求出，再根据点的坐标为，求出，即可求解； （2）连接，设，则，可得，再求出点，，得到，，，由可得，根据二次函数的性质可得答案； （3）求出直线的解析式为，设，，则，，由知，，是菱形的一组对边；分两种情况：①当、为对角线时，、的中点重合，且，②当、为对角线时，、的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线， ， ， 点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 设，则， ， 在中，令，则，令，则， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 当时，四边形的面积取最大值，四边形面积的最大值是，此时； （3）解：在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，，则，， ， 当以、、、为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边； ①当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（此时、与重合，舍去）或， ； ②当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或 或， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形、四边形面积，菱形性质及应用，一次函数的图象与性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 15．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的几何应用，二次函数的最值问题，三角形的面积，熟练根据题意列出四边形的面积关于的函数关系式是解题的关键．设，则，利用得出，利用二次函数的最值求解即可． 【详解】解：如图， 设， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，， ∴四边形的面积最大值为． 重难点二 铅锤法 16．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图（1），抛物线与轴交于，两点，与轴交于，顶点． (1)写出抛物线的解析式，点，点的坐标； (2)连接，在上方的抛物线上是否存在点使面积最大，若存在，求面积的最大值，若不存在请说明理由； (3)直线交抛物线于点，（点在点的右边），交直线于点，若，求的值； (4)如图（2），点是抛物线对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是直角三角形时，的值为______． 【答案】(1)，点，点 (2)存在，最大值为 (3)的值为或 (4)或或 【分析】本题考查了二次函数、一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求解析式，二次函数的对称性，直角三角形的性质，勾股定理，二次函数与线段（转化），分类讨论是解题的关键 （1）由顶点可知对称轴为直线，根据对称性知，设抛物线为交点式，即，再代入，可得，故抛物线的解析式为，点，点； （2）先求直线的表达式为，作轴交于点，设，，故，，即当时，最大为 1 ，此时； （3）设对称轴直线交于点，如图 1 所示，先求出直线的解析式为，则，分时和时分别表示出点的坐标，代入二次函数解析式后，从而实现求解； （4）设，则，，再根据每个顶点处都可能出现直角分 3 种讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由顶点可知对称轴为直线， 又由抛物线与轴交于， 故根据对称性知，设抛物线为交点式，即，再代入， 可得4＝－4a，解得a＝－1， 故抛物线的解析式为，点，点； （2）解：存在点满足条件，理由如下： ， ∴由待定系数法可知直线的表达式为， 作轴交于点， 设， 故， ， 当时，最大为 1 ，此时； （3）解：设对称轴直线交于点，如图所示， 由待定系数法可知直线的解析式为，则， 当时，由，可知， ∴，则， 故，再将点坐标代入中，得，解得或（舍去）； 当时，如图 所示， ， ， ，， ，把点坐标代入中， 得，解得或（舍去） 综上，的值为或； （4）解：设，，， 则，，， 当时，， 即，解得； 当时，， 即，解得； 当时，， 即，解得， 综上，的值为或或． 故答案为：或或． 17．（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线与直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线l的函数表达式为 (2)的面积最大值为， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线和直线的解析式即可； （2），过点作轴交于，设，则，表示出，从而可得，再由二次函数的性质即可得解； （3），将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于，则为等腰直角三角形，证明，得出，，求得，待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即；作点关于直线的对称点，连接交轴于，由轴对称的性质可得，，证明出点为的中点，即可得出，同理可得，直线的解析式为，当时，，即，由此即可得解． 【详解】（1）解：将、、代入二次函数的解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 设直线l的函数表达式为， 将、代入解析式可得， 解得：， ∴直线l的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴交于， ∵点P是抛物线上的点且在直线l上方， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，为，此时； （3）解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于， 则为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵轴于，轴于，、， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即； 作点关于直线的对称点，连接交轴于， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，即， ∴，即点为的中点， ∴， 同理可得，直线的解析式为， 当时，，即， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 18．（2024·山东聊城·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点）、A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，点B在y轴上，． (1)求二次函数的解析式； (2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连接，，求面积的最大值； (3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）先求出顶点坐标，设二次函数解析式为，将点代入即可求函数的解析式； （2）设，过点P作x轴的垂线交于点Q，直线的解析式，则点Q的坐标为，可得，当时，有最大值，即可得的最大值； （3）设N点坐标为，根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求n的值即可求N点坐标． 【详解】（1）∵二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点， ∴二次函数顶点为， 设二次函数解析式为， 将点代入得，， ∴， ∴； （2）设，过点P作x轴的垂线交于点Q，则点Q的横坐标为t， 令抛物线解析式的，得到， 解得，， ∴A的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得 ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴点Q的坐标为， ∴ ， ∴当时，有最大值， ∴面积的最大值为； （3）存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设N点坐标为， 当为对角线时，由中点坐标公式得，， ∴， ∴， 当为对角线时，由中点坐标公式得，， ∴， ∴， 当为对角线时，由中点坐标公式得，， ∴， ∴， 综上所述：或或． 【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，二次函数与几何综合，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 19．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点． (1) ______，顶点的坐标为______． (2)连接，在直线下方的抛物线上是否存在点P，使得的面积最大，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)如图2，连接、，点、分别在线段、上均含端点，且，若是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)①1，②； (2)存在， (3)或或． 【分析】（1）把代入，求出b的值，根据二次函数的性质即可求出顶点的坐标； （2）过点作轴，交于点H，求出直线的解析式为，设，则点H的坐标为，得到的面积，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）证明，并求出m的取值范围，分①若；②若；③若，三种情况讨论，结合等腰三角形的性质即可求出点M的坐标． 【详解】（1）解：①把代入， 得， 解得， 故答案为：1 ②抛物线的解析式为， 整理得， 得顶点的坐标为； 故答案为：； （2）存在， 过点作轴，交于点H， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则点H的坐标为， ∴， ∴的面积 ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，的面积取得最大值， 最大值为， 此时； （3）由抛物线对称性可得，， ∵， ∴， 把代入， 解得，， ∴点B的坐标为， 设点M的坐标为， ∵点M在线段上（含端点）， ∴， ①若，则， ∵， ∴， 得点N与点A重合，则点M与点B重合， ∴点M的坐标为； ②若，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴点M的坐标为； ③若，则， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； 综上所述，若是等腰三角形，则点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，二次函数与等腰三角形的存在性问题，二次函数的面积综合题，本题的关键是把握题目等腰三角形的条件，利用分类讨论思想解决问题． 重难点三 平行转化法 20．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上一动点，若的面积是6，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解方程组等知识点， （1）由抛物线解析式可得抛物线经过定点，从而可得a的值，进而即可得解． （2）过点P作的平行线交x轴于点H，连接，求出直线解析式为，直线解析式为，联立解方程组即可得解； 熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）∵抛物线， ∴对称轴为直线，令， 解得， ， 又， ， 代入解析式得， ； （2）过点P作的平行线交x轴于点H，连接， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立， 解得， 或． 21．（2025·江苏扬州·一模）已知抛物线与轴交于两点、，与轴交于点，且为直角三角形． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)将绕平面内一动点旋转后所得，与该抛物线没有公共点，请直接写出m的取值范围_________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据题意可证，得，结合已知点的坐标即可求得点C的坐标，设抛物线，将点求得a，即可得到解析式； （2）分情况：当点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，则点A和点B到线段的距离相等，利用平行线的性质即可求得点；当点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，则，可证明，得，求得点，利用待定系数法求得直线的表达式，联立求得点即可； （3）根据题意可得，，，分类：当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，求得直线的解析式，进一步得直线的解析式为，联立求得s，将点代入直线上，即可求得；当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，将点代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵为直角三角形，， ∴， ∴， ∵、， ∴， 则，解得， 设抛物线， 将点代入得，解得， ∴； （2）解：存在，理由如下， 若点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，如图， 则点A和点B到线段的距离相等， ∴， 令，则，解得（舍去），， ∴点， 若点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点， 设直线的表达式为，则 ，解得， 则直线的表达式为， 联立解得（舍去）或， ∴， 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：∵将绕平面内一动点旋转后所得， ∴，，， 当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，如图， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， ∵旋转后与抛物线相切， ∴， ∴， 解得， 则直线的解析式为， ∵在直线上， ∴，解得， 则时与抛物线没有公共点； 当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，如图， 则，解得， ∴当时与抛物线没有公共点， 综上所述，或与抛物线没有公共点． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定和性质、求一次函数的解析式和旋转的性质，解题的关键是熟悉分类讨论思想和二次函数的性质旋转． 重难点四 面积比转化为底的比 22．（23-24九年级上·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点两点，且与轴交于点．连接，，为抛物线在第二象限内一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，，抛物线上是否存在点，使得．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，连接，，过点作交于点，连接．若，求点坐标． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)． 【分析】()用待定系数法求出函数解析式即可； ()由得 ，则 ，用待定系 数法求出直线的解析式，过点作 轴于，交于，设，则，利用面积法即可得出结论； ()连接，可得，则 ，过作轴于，根 据平行线分线断成比例求出，可得 ，利用待定系数法求出直线 的解析式为，设直线的解析式为，由点求出的值，联立即可 得点坐标； 本题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质，三角形的面积、平行线分线断成比例定理等知识点，数形结合熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）分别将、、代入中得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）不存在点，使得， 理由如下： ∵ ， ∴， ∴ ， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴于，交于，    设，则， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴原方程无解， ∴不存在点，使得； （3）连接，    ∵ ， ∴， ∵， ∴， 过作轴于， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∵直线的解析式为， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∵ ， ∴， 解得 ， ∴直线的解析式为， 联立得 ， ， 解得或（不合题意，舍去） ∴点坐标为． 23．（2025·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点P是第一象限中抛物线上一动点，连接，分别交对称轴于点E、F． ①在点P的运动过程中，这三条线段能否相等？若相等，求出点P的坐标；若不相等，请说明理由； ②如图2，连接与相交于点H，若的面积为的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)①存在，；② 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）写出顶点式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①假设能相等，求出的坐标，进而求出直线的解析式，联立后求出交点坐标，进而代入抛物线进行判断即可；②求出点坐标，进而求出直线的解析式，作轴，交的延长线于点，作轴，交于点，设设，则：，求出，证明，得到，根据同高三角形的面积比等于底边比得到，转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：，解得：， ∴； （2）①存在，理由如下： 假设存在， ∵， ∴， ∴当时，， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，，代入，得： ，解得：， ∴； 同法可得：直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴两条直线的交点坐标为， 对于，当时，， 故两条直线的交点在抛物线上， ∴存在，； ②令，解得：， ∴， 同①法可得：直线的解析式为直线， 作轴，交的延长线于点，作轴，交于点， 则：， ∵， ∴当时，， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是同高三角形， ∴， ∴当时，的值最大，为． 24．（2025·四川·二模）如图1， 我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”， 已知， ， ， 分别为“果圆”与坐标轴的交点，  与“果圆”中的抛物线 交于 ， 两点． (1)求“果圆”中的抛物线的解析式． (2)“果圆”上是否存在点 使？如果存在请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． (3)如图2， 为直线下方“果圆”上一点， 连接， ， ， 设与 交于点 ， 的面积记为 ， 的面积记为 ， 求 的最小值． 【答案】(1) (2)使,点坐标为或 (3) 【分析】（1）先求出点，坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）求出线段，进而得出，判断出满足条件的一个点和点重合，再利用抛物线的对称性求出另一个点． （3）先判断出要的最小值，只要最大即可，再求出直线解析式和抛物线解析式联立成的方程只有一个交点，求出直线解析式，即可求出，即可求解． 【详解】（1）解：对于直线 ，交坐标轴 两点， ，， ∵抛物线 过，两点， ∴， 解得：， 即， （2）解：如图2， 是半圆的直径， 半圆上除点，外任意一点，都有， 点只能在抛物线部分上， ，， ， ， ， ， 当时，点和点重合，即：， 由抛物线的对称性知，另一个点的坐标为， 即：使，点坐标为或． （3）如图3， ，， ， 过点作 交轴于， 的边上的高和的边的高相等，设高为， ， ， ， 的最小值，即最小， ， ， 当最大时，即最小，的最小值， 和果圆的抛物线部分只有一个交点时，最大， 直线的解析式为 ， 设直线的解析式为 ①， 抛物线的解析式为即②， 联立①②化简得，， ，抛物线和直线只有一个交点． 解得：， 直线的解析式为 ， 直线与轴交点坐标 ， ； 的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，抛物线的对称性，等腰三角形的判定和性质，判断出最大时，两三角形面积之比最小是解本题的关键． 25．（2025·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与坐标轴分别相交于点A、B、三点，其对称轴为直线 (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、直线交于点D、E． ①当点E是线段的中点时，求点F的坐标； ②若的面积分别为， 且满足，请直接写出点F的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数与面积的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，直线与抛物线的交点问题，解一元二次方程，难度较大，解题的关键是将面积比进行转化． （1）根据待定系数即可求解； （2）①先求出中点的坐标，然后求出直线的表达式，与抛物线的表达式联立即可求解交点坐标； ②先将面积比化为底之比得到，设，取的中点记为点，则，进行线段转化得到为的中点，再表示出点的坐标，最后代入直线的表达式，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：根据抛物线的对称轴为， 得， 解得， 将代入抛物线可得， 抛物线的解析式为； （2）解：①解：当时，得， 解得，， ，， ∵点E是线段的中点， ∴， 设的解析式为，将，代入， 得， 解得， 的解析式为， 与抛物线解析式联立得：， 解得：或， 点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点， ∴； ②设的解析式为，将，代入， 得， 解得， 的解析式为， ∵， ∴， ∴， 设， 取的中点记为点，则，如图： ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， 即， 将代入， 得：， 整理得：， 解得：， ∴点的横坐标为． 26．（2025·江苏苏州·一模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，点是直线下方抛物线上的一个动点，连接，与交于点．连接，，过点作交于点，连接．设点的横坐标为，面积为，面积为，面积为． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求的值； (3)若，则点的坐标为 ． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）根据抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，代入解析式解方程组即可． （2）过点A作轴交于点P，过点E作轴交于点Q，确定直线的解析式为：，设，则，，，结合，得到，得到，根据题意，得，得到方程，解答即可． （3）根据，得到，故，设， ∵根据同高两个三角形的面积之比等于对应底的比，得，，得到，求得（舍去）；过点A作轴交于点M，过点E作轴交于点N，仿照2问解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵抛物线与x轴正半轴交于点，且对称轴为直线，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 过点A作轴交于点P，过点E作轴交于点Q， ∴， 设，则， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵根据同高两个三角形的面积之比等于对应底的比，得， ∴， 整理，得， 解得， ∵点E是直线下方抛物线上的一个动点， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， 设， ∵根据同高两个三角形的面积之比等于对应底的比，得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； ， 过点A作轴交于点M，过点E作轴交于点N， ∴， 设，则， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， ∵点E是直线下方抛物线上的一个动点， ∴， ∴都符合题意， 当时，，此时点； 当时，，此时点； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，三角形的面积性质，熟练掌握待定系数法，解方程，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 重难点五 面积比转化为高的比 27．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，经过定点A的直线交抛物线于B，C两点（点C在点B的右侧），D为抛物线的顶点． (1)直接写出点A的坐标； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由A为直线上的定点，可得k的系数为0，从而求得x值，则点A的坐标可得； （2）先求得顶点D的坐标，可得轴．分别过点B，C作直线的垂线，垂足分别为M，N，设B，C的横坐标分别为，，由的面积是面积的两倍得出．将抛物线解析式与直线解析式联立，得出关于x的一元二次方程，方法一可以直接解方程，再结合求得答案． 【详解】（1）解：A为直线上的定点， ， ， ； （2）解：， ∴顶点， ， 轴． 分别过点B，C作直线的垂线， 垂足分别为M，N， 设B，C的横坐标分别为， ， ， ， ． 由 得， ， 由，得． ， 解得． ， ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，综合考查了一次函数、二次函数、一元二次方程等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 28．（2021·云南昆明·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx﹣3交于A、B点，点A在x轴上，点B的纵坐标为5．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A，B重合）．过点P作x轴的垂线交直线AB于点C．作PD⊥AB于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值； ②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，若这两个三角形的面积之比为2：3，求出m的值． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①当m＝时，PD最大值为；②m＝或m＝2． 【分析】（1）在y=x+1中，当y=0时，x=-1；当y=5时，x=4，依此可得A与B的坐标；将A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式； （2）①设直线AB与y轴交于点E，由CP与y轴平行，易证△PCD是等腰直角三角形，从而得出PD＝PC，由点P的横坐标为m，得出P（m，m2﹣2m﹣3），C（m，m+1），根据两点间的距离公式可得出PC＝﹣m2+3m+4，从而得出PD＝PC＝﹣m2+m+2，最后根据二次函数的性质即可得出答案； ②过D作DF⊥PC于F，过B作BG⊥PC于G，表示出DF与BG，进而表示出三角形DCP面积与三角形BCP面积，根据面积之比为2：3列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值即可． 【详解】解：（1）在y＝x+1中，令y＝0得x＝﹣1，令y＝5得x＝4， ∴A（﹣1，0），B（4，5）， 将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝ax2+bx﹣3得： ，解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）①设直线AB与y轴交于E，如图： 在y＝x+1中，令x＝0得y＝1， ∴OA＝OE ∴△AOE是等腰直角三角形，∠EAO＝∠AEO＝45°， ∵PCy轴， ∴∠PCA＝45°， ∵PD⊥AB， ∴△PCD是等腰直角三角形， ∴PD＝PC， ∵点P的横坐标为m， ∴P（m，m2﹣2m﹣3），C（m，m+1）， ∴PC＝（m+1）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m+4， ∴PD＝PC＝﹣m2+m+2， ∵﹣＜0， ∴当m＝ ＝时，PD最大值为； ②过D作DF⊥PC于F，过B作BG⊥PC于G，如图： S△PCD＝PC•DF，S△BCP＝PC•BG， ∴， ∵△PCD是等腰直角三角形， ∴DF＝PC＝（﹣m2+3m+4）， 而BG＝4﹣m， 当时，， 解得m＝4（舍去）或m＝， ∴此时m＝， 当时，， 解得m＝4（舍去）或m＝2， ∴此时m＝2， 综上所述，两个三角形的面积之比为2：3，则m＝或m＝2． 【点睛】本题考查二次函数的综合知识，解题的关键是用m的代数式表示PC的长度． 29．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线过交y轴于点C． (1)求抛物线解析式及其顶点坐标； (2)已知点D为第一象限内的抛物线上一点，点E，F分别在线段上，若四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，求其周长与面积之比； (3)点C与点P关于x轴对称，连接交线段于Q，若，求点D坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，四边形可能是矩形或者菱形，证明四边形是正方形，即可解答； （3）设直线与x轴交于点K，分别过点A、B作垂足分别为G、H；证明，根据，得到，求出，由点C与点P关于x轴对称，得到，求出直线的解析式为，联立直线与抛物线得，即可求出结果． 【详解】（1）解：将代入抛物线， 则， 解得：， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为 （2）解：∵四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形， 四边形可能是矩形或者菱形， 如图，当四边形是矩形时，， ， ， 四边形是正方形， 点纵坐标为6， 当时，代入， 解得：， 根据题意得：    ， ， 正方形形周长为：，面积为， 其周长与面积之比为：； 当四边形是菱形时；同理可证四边形是正方形； 正方形形周长为：，面积为， 其周长与面积之比为：； 综上，四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形时，其周长与面积之比为：； （3）解：设直线与x轴交于点K，分别过点A、B作垂足分别为G、H； 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点C与点P关于x轴对称，， ， 设直线的解析式为：， 将，代入，得， 解得：， 直线的解析式为：， 联立直线与抛物线得，即， ， 解得（负值舍去）， 则， 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与三角形相似问题，正方形的判定与性质，中心对成图形与轴对称图形的定义，二次函数面积问题、解一元二次方程等知识，属于中考题型． 30．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，若顶点D的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点F是抛物线上位于第一象限的动点，直线分别与y轴、直线交于点E，H． ①当时，求的长； ②连接，若与面积之比是，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）设出顶点式，将点代入求解即可； （2）①设，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，从而求出的长，过过点作轴，求出的长，再根据，列出方程进行求解即可； ②根据与面积之比是，得到与的面积之比为，进而推出，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为：， 把点代入得：，解得：， ∴； （2）①∵， 当时，，当，， 解得：， ∴， 设的解析式为，将，代入，得：， ∴， 设， 设直线的解析式为，则： ，解得：， ∴， 当时，； ∴， ∴， 联立：，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，， 过点作轴，则：， ∵， ∴， ∵， ∴，解∶或（不合题意，舍去）， 经检验，原方程的解； ∴； ②∵与面积之比是， ∴与的面积之比为， ∵， ∴， 由①知：，， ∴，解得：或（舍去）； 经检验是原方程的解， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两条直线的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度较大，计算量大，解题的关键是掌握的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解．属于压轴题． 重难点六 将要求的四边形面积转化为三角形面积 31．（25-26九年级上·广东·阶段练习）已知抛物线交x轴于两点．交y轴于点． (1)求该抛物线的表达式和对称轴． (2)设点P是抛物线的顶点，求四边形的面积． 【答案】(1)抛物线的表达式：；对称轴为直线 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与面积问题，灵活运用数形结合的思想是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解抛物线的解析式，进而求出对称； （2）先求出顶点，，过点P作于H，则，根据四边形的面积为即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点． ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式：； ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：令， 解得：， ∴， 将代入，则， ∴， 过点P作于H，则， ∵， ∴， ∴四边形的面积为 ． 32．（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值是，此时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，可求出，再根据点的坐标为，求出，即可求解； （2）连接，设，则，可得，再求出点，，得到，，，由可得，根据二次函数的性质可得答案； （3）求出直线的解析式为，设，，则，，由知，，是菱形的一组对边；分两种情况：①当、为对角线时，、的中点重合，且，②当、为对角线时，、的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线， ， ， 点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 设，则， ， 在中，令，则，令，则， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 当时，四边形的面积取最大值，四边形面积的最大值是，此时； （3）解：在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，，则，， ， 当以、、、为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边； ①当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（此时、与重合，舍去）或， ； ②当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或 或， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形、四边形面积，菱形性质及应用，一次函数的图象与性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 33．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)求b、c的值． (2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，四边形的面积最小，最小值为4 (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，垂足为E，利用表示出四边形的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）画出图形，作出辅助线，证明，根据全等三角形的性质，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， 则 ， 解得：； （2）解：由（1）得：抛物线表达式为，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由点P的运动可知： ， 过点P作轴，垂足为H，如图， ∴，即， 又， ∴ ， ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， ，， ∴， ∴当时，四边形的面积最小，最小值为4； （3）解：存在．假设点M是线段上方的抛物线上的点， 如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与交于F，连接，． ∵是等腰直角三角形，，， ∴，又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴点M的坐标为， ∵点M在抛物线上， ∴， 解得：或（舍）， ∴M点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 题型三 二次函数与等角问题 ①特殊情况 a.若两角为内错角的位置，可考虑构造平行线，如：若∠1=∠2，则点D一定在过点C与AB平行的直线上. b.若两角为同旁内角的位置，可考虑构造等腰三角形，如：若∠1=∠2，延长AD与BC相交于点E，则△EAB为等腰三角形. ②一般情况：构造相似三角形：如：若∠1=∠2，过点F作FH⊥CD，则△ACB∽△BHF. 重难点一 构造平行 34．（2025·山东济南·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C，顶点为D．          (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点E，满足，求点E的坐标； (3)如图3，点F为x轴上一动点，连接，当最大时，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1)，顶点 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式，再将抛物线一般式化成顶点式即可得出点D的坐标． （2）分两种情况，当点E在x轴上方的抛物线上，和点E在x轴下方的抛物线上，画出图形，根据分解求解即可． （3）延长到点M，利用待定系数法求出的解析式，进而可得出点M的坐标，根据题意可知，当点C，D，F所在的圆与x轴相切时，取得最大值，再证明，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴ 解得 ∴抛物线 ∴顶点 （2）解：如图， ∵ ∴， 设直线的解析式为，将点D的坐标代入得： ， ∴直线的解析式为 联立， 解得：（舍）或 ∴； ②∵ ∴当时， ∴ ∵ ∴直线 如图，设交于点G ∵ ∴， 设 解得 解得 设直线的解析式为， 则， 解得： ∴直线的解析式为， 联立 解得：（舍）或 ∴； （3）解：延长到点M， ，， ∴设的解析式为： 把代入，可得出， ∴的解析式为：， 当时，则， ∴， ∴， 根据题意可知，当点C，D，F所在的圆与x轴相切时，取得最大值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数角度综合题，相似三角形的判定和性质等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 35．（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为 (1)请直接写出A、B、D三点坐标． (2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值； (3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为； (2) (3)或 【分析】由抛物线，分别令，，则可确定抛物线与坐标轴的交点坐标，根据顶点坐标可确定点D的坐标； 设轴于点E，设，确定直线的解析式为，得到，继而得到，根据二次函数的最值可得结论； 确定直线的解析式为，然后分两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为；理由如下： 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C， 当时，得， 解得：或， 当时，得， ，，， 抛物线， ， 点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为； （2）解：设轴于点E，设，如图1， 设直线的解析式为，将点B，点C的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 过点M作x轴的垂线，交直线于点N， ， ， ， 当时，线段的长度取得最大值，此时最大值为； （3）解：设直线的解析式为，将点B，点D的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， ①如图2， ， ∴， 设直线的解析式为，将点C的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点P的坐标为； ②如图3，设交于点G，作射线交于点F， ， ， ，， ， 垂直平分， 点F是的中点， 点F的坐标是，即， 设直线的解析式为，过点， ， ， 直线的解析式为， 直线：与直线：交于点G， 联立， 解得：， ， 设直线的解析式为，将点C，点G的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值，待定系数法确定函数解析式，平行线的判定，二次函数与一次函数的交点，等角对等边，中点坐标，垂直平分线的判定和性质等知识点．掌握二次函数的性质、确定二次函数与一次函数交点坐标的方法是解题的关键． 36．（2025·青海西宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是轴上一点，点是抛物线上一点，以为边，为另外两个顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标； (3)点是抛物线上的一个动点，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）利用二次函数的对称性可得点坐标，即得，再根据平行四边形的性质可得，，进而解答即可求解； （）先求出直线的解析式，再分和点关于对称轴对称两种情况，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵以为边，为另外两个顶点的四边形为平行四边形， ∴，， ∴点的纵坐标相同， 设点的横坐标为，则， ∴， ∴或； （3）解：把代入，得， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作交抛物线于点，则， 设直线的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∴； 当点关于对称轴对称时，可知， ∴， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 重难点二 等角对等边 37．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C． (1)求C点的坐标； (2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标； (3)如图2所示，点为第二象限内一动点，经过H的两条直线与分别与抛物线均有唯一的公共点E和F（点E在点F的左侧），直线与y轴交于点G，M为线段的中点，连接、，当时，求h的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）设与轴的交点为，由题意得出，由勾股定理得出，求出直线的解析式为，与二次函数的交点即为点； （3）分别求出直线的解析式为，同理直线的解析式为，联立求出，从而得出，，求出，得到轴，求出直线的解析式为，则，作于，求出，，再结合，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：将代入抛物线解析可得： 解得：． ∴C点的坐标为； （2）解：设与轴的交点为， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，令，则， 解得：，， ∴， ∴， 在中，， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时， 解得：或， ∴D点的坐标为： （3）解：设直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， 同理直线的解析式为， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴轴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， 作于，则，， ， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、一次函数、直角三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 38．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，抛物线与x轴分别交于点和点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上一点，对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的表达式； (2)若的面积为4，求P点坐标； (3)x轴上方是否存在点P，满足，若存在，求PD的长，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，的长为 【分析】（1）将和代入，利用待定系数法求解； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，根据抛物线的对称轴求出点N的坐标，再根据即可求解； （3）作交的延长线于点E，过点E作轴于点F，当时，，利用证明，推出，，再证明，设，根据相似三角形对应边成比例可得，即，求出t值即可． 【详解】（1）解： 和在的图象上， ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为， 令得， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为， ， 设， 则， 解得或， P点坐标为或； （3）解： ，， ， ， ，即． 如图，作交的延长线于点E，过点E作轴于点F， 若， 则， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ， 设， 则， 解得（舍），， ． 【点睛】本题考查利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，难度较大，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 39．（2021·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线交轴于，两点（在的左侧），与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，点在抛物线上，且满足，求点的坐标； （3）如图2，直线交轴于点，过直线上的一动点作轴交抛物线于点，直线交抛物线于另一点，直线交轴于点，试求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）8 【分析】（1）求出点的坐标，由抛物线的解析式可得出的值，则可得出答案； （2）延长、交于点，设点点的坐标为，求出直线的解析式为，解方程组可求出点的坐标，联立直线和抛物线解析，则可得出答案； （3）设点的坐标为，，由题意得出，设直线，由得出，则，可得出，由点的坐标可得出． 【详解】解：（1）对于抛物线，当时，， ∴点的坐标为，即， ∵， ∴，即点的坐标为， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）延长、交于点， 设点点的坐标为， ∵， ∴， ∴，即， 整理得，， 解方程得，，， 则点的坐标为， 设直线的解析式为：， 则， 解得，， ∴直线的解析式为：， ∵点在直线上， ∴， ， 解得，， ∴点点的坐标为， 设直线的解析式为：， 则， 解得，， 则直线的解析式为：， 解方程组，得，， ∴点的坐标为； （3）设点的坐标为，， ∴直线的解析式为， 联立，得， ∴， ∴， 设直线， 联立， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 重难点三 延长构等腰 40．（2025·四川南充·一模）如图，顶点为的拋物线经过．Rt的顶点在轴正半轴上． (1)求抛物线的解析式． (2)求点的坐标． (3)在拋物线上求出点，使． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）已知抛物线上的点在轴上，可设抛物线的一般式，再将点、的坐标代入，得到关于、的方程组，求解方程组即可得到抛物线的解析式． （2）先根据（1）中求出的抛物线解析式确定顶点的坐标，结合图像可知，通过延长与轴交于点，作轴于，利用全等三角形的性质求出点的坐标，再求出直线的解析式，进而求出直线与轴正半轴的交点的坐标． （3）分两种情况讨论，一是当时，先求出直线的解析式，再根据两直线平行斜率相等求出直线的解析式，最后联立直线与抛物线的解析式求出点的坐标；二是利用角的关系，通过中点构造全等三角形，求出相关直线解析式，再联立直线与抛物线解析式求出点的坐标． 【详解】（1）解：在轴上， 可设抛物线为 将A,B的坐标代入，得． 解得． 抛物线解析式为． （2）解：由（1），． ． 如图1，由所给数据，结合图象，只能． 延长与轴交于，作轴于．则． 设直线表达式为．则 ， 解得， 直线表达式为． 当时，， ． ． ． ， ． ． （3）解：如图2，①当时，． 设直线表达式为．则 ，解得， 直线表达式为． 设直线表达式为． 则． ． 直线表达式为． 由， 整理，得， ，或． 当时，． ． ②由（2），得中点． 此时， ． 设直线表达式为．则 ， 解得． 直线表达式为． 由， 整理，得．解得，或． 当时，， ． 综上，点的坐标为，或 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，以及直线与抛物线的交点问题．熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能根据几何关系（如平行、垂直、角相等）构造全等三角形或利用直线斜率关系，以及联立函数解析式求交点坐标，是解题的关键． 41．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）抛物线交轴于，两点（点在点的左边），交轴正半轴于点. （1）如图1，当时. ①直接写出点，，的坐标； ②若抛物线上有一点，使，求点的坐标. （2）如图2，平移直线交抛物线于，两点，直线与直线交于点，若点在定直线上运动，求的值. 【答案】（1）①，，；②；（2） 【分析】（1）①令x=0，可求点C坐标，令y=0，可求A点，B点坐标； ②延长CP交x轴于点E，由勾股定理和等腰三角形的性质可求点Q坐标，再求直线CE的解析式，联立方程可求点P坐标；（2）先求出BC解析式，再求出点M，N的横坐标，最后利用联立可解决问题． 【详解】（1）①当m=3时，y=-x2+2x+3， 当x=0时，y=3，则点C（0，3）， 当y=0时，0=-x2+2x+3， ∴x1=3，x2=-1， ∴，，； ②如图1，延长交轴于点，设， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， ∴， ∴（舍）， ∵在抛物线上， ∴； （2）如图2， 令，，， ∴，，， 设解析式为：， 联立 ，即 ， ∴， 同理：设解析式为：， ∴， ∵， ∴的解析式为， ∴设解析式为：， 联立， ∴， ∴， ∴即， 联立， ∴， ∴， 又， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式等知识，属于二次函数综合题，难度较大. 重难点四 构造相似 42．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）如图1，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．点是抛物线上的一个动点，连接和． (1)求a的值和的度数； (2)当点运动到抛物线顶点时，求与的面积之比； (3)如图2，当点在抛物线上运动，且满足时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)P的坐标为， 【分析】 （1）把线段长转化为点的坐标，后根据一元二次方程确定点的坐标，再根据线段的长度计算角的度数． （2）先确定、的坐标，计算的长度，根据三角形面积公式计算各自的面积，求得比值即可． （3）如图，这样的点有两个．过点作交于点，过点作轴于点，过点作轴于点．证明，，列式计算即可． 【详解】（1） ， ，代入， 得：， 解得； 令，有， 解得或， ，， ， ． （2） ，， ，， 顶点坐标为， ，， ． （3） 如图，这样的点有两个．过点作交于点 过点作轴于点，过点作轴于点． ， 是等腰直角三角形． ， ，． 设，则，， 所以，． ，． ， ， ， 化简得，，即， 解得，取， ， 根据对称性可知，． 综上所述的坐标为，． 【点睛】本题考查二次函数综合题，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解方程，熟练掌握抛物线的性质，灵活掌握三角形的全等与相似是解题的关键． 43．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与x轴交于点A，与y轴相交于点C，，已知抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q是抛物线上的一点，满足，求点Q的坐标； (3)点H是线段BC上一点，满足以O，H，B为顶点的三角形与相似，则点H的坐标为 ； (4)将抛物线射线方向平移个单位，所得的新抛物线的对称轴与x轴交于点D，交于点E，点N是线段上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接，．直接写出的最小值； 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）先根据对称性，求出，，，然后用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点G作轴于点H，根据，得出，证明，得出，设，则，，得出，求出结果即可； （3）先求出直线的解析式为：，直线的解析式为，分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； （4）先求出新抛物线的解析式为：，得出新抛物线的对称轴为直线，连接，，则交y轴于点，先证明四边形为平行四边形，得出，说明当最小时，最小，最小，根据两点之间线段最短，得出当点M在点处时，最小，即最小值为的长，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，与x轴交于点A，，抛物线的对称轴为直线， ∴点A的坐标为， ∵， ∴， ∴点， 把，，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点G作轴于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点G的坐标为； （3）解：设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得：直线的解析式为， 当时，如图所示： 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴此时点H的坐标为； 当时，过点H作轴于点M，如图所示： 则， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 把代入得：， ∴此时点H的坐标为； 综上分析可知：点H的坐标为或； （4）解：， ∵， ∴将抛物线射线方向平移个单位，相当于将抛物线向右平移个单位，向下平移个单位， ∴新抛物线的解析式为：， ∴新抛物线的对称轴为直线， ∴点D的坐标为， 连接，，则交y轴于点，如图所示： ∵， ∴， ∵点N在直线上，轴， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当点M在点处时，最小， 即最小值为的长， ∵点G为的中点， ∴根据中点坐标公式可得：， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，两点间距离公式，二次函数平移，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 44．（2024·广东清远·模拟预测）综合探究 如图，在中，，经过点C的直线交x轴正半轴于点，一抛物线经过点A、B、C，顶点为D，对称轴交x轴于点E． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)若点G是在第一象限内抛物线上的一动点，求使面积达到最大时点G的坐标，并求出此时面积的最大值； (3)若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)最大值为4，点G坐标为 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出C点坐标，再用待定系数法求二次函数和一次函数解析式即可； （2）过点G作轴，交直线于点F，，设点G坐标为，点F坐标为，用e表示出的面积为，得出当时，面积取得最大值，最大值为4，求出点的坐标即可； （3）分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为N、M，，证 ，利用对应边成比例可以解题． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， ∵，， ∴点A的坐标为，点C的坐标为， 又∵点B的坐标为， ∴将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得： ，解得， ∴抛物线的表达式为． 将点B、C的坐标代入直线得： ，解得， ∴直线BC的表达式为． （2）解：如图，过点G作轴，交直线于点F， 设点G坐标为，点F坐标为， 则， 故， ∴当时，面积取得最大值，最大值为4，此时点G坐标为． （3）解：存在． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点E的坐标为． 设点P的坐标为、点Q的坐标为， 则，，，， ①当点Q在点P的左侧时，如图，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为N、M， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 又∵， ∴， ∴，解得（舍去负值）， 当时，， ∴点P的坐标为． ②当点Q在点P的右侧时，如图，分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N、M， 则，，，， 同理可得：∽，∴， ∴，解得（舍去负值）， ∴当时，， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，包括解直角三角形、直角三角形存在性问题，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用二次函数知识，设出点的坐标，利用相似三角形的判定与性质表示出其他点的坐标，列出方程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题02 二次函数的图像与性质（进阶） 题型一 二次函数与多结论问题 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 5）根据抛物线的顶点，判断的大小. 6）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性. 7）特殊点代入确定a，b，c的关系. 当x=±1时，；当x=±2时，；当x=±1时，. 重难点一 已知对称轴 1．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图所示是二次函数 的部分图像，该函数图像的对称轴是直线，图像与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程 一定有两个不相等的实数根：④．其中，正确结论的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③点在抛物线上，则；④点在抛物线上且，则，正确结论的序号是 ． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 4．（24-25九年级上·江西上饶·期末）已知抛物线是常数，且）经过点，对称轴为直线，有下列结论：①抛物线经过点；②当时，；③当关于x的方程有两个相等的实数根时，．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②和3是关于x的方程的两个根；③，其中，正确结论的个数是（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 重难点二 过定点 6．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）二次函数的图象与轴交于点，且．那么①；②；③；④，一定正确的是 (填序号)． 7．（2025·江苏南京·三模）已知二次函数的图象经过点和． (1)若该函数的图象经过原点，求a的值； (2)下列结论：①；②无论a取何值，该函数图象与x轴总有公共点；③当时，y的最小值为4；④无论a取何值，方程总有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号是________； (3)直接写出该函数图象与一次函数的图象的公共点个数及对应的a的取值范围． 8．（2025·江苏淮安·二模）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点 ．以下说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤（其中），其中说法正确的是 ． 9．（2025·河南洛阳·一模）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ． 10．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知函数是常数，且图象经过，三点．下列结论：①；②如果，那么；③如果，那么．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 11．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．则下列四个结论：①；②；③当时，；④点，在抛物线上，当时，总有，则． 其中一定正确的是 ．（填写正确序号）． 题型二 二次函数与面积问题 如图1，三角形的一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”三角形的面积，直接用面积公式； 如图2，先把三角形补成梯形，算出梯形面积再减去两个规则三角形ADB、CEB的面积； 如图3，把三角形割成两个三角形，用“水平宽、铅锤高”的方法，计算面积方法如下: 图1 图2 图3 如图4，同底等高三角形的面积相等，平行线间的距离处处相等； 如图5，三角形底相同时，面积比等于高之比； 如图6，三角形高相同时，面积比等于底之比. 图4 图5 图6 重难点一 割补法 12．（22-23九年级上·广东·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于，A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 13．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）（1）如图，已知点，且，抛物线（）图象经过A，B，C三点．求抛物线的解析式； （2）若点P是如图中的直线上方的抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值． （3）将图中的抛物线向下平移5个单位，将平移所得抛物线（）的部分记为，将绕原点旋转后的图象记为，将，合起来得到的图象记为L，完成以下问题： ①抛物线的函数解析式为 （）． ②若直线与L有三个交点，把这三个交点的横坐标从左至右依次记为，与，且 ，求t的值． ③若点，在L上，且，请直接写出m的取值范围． 14．（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 15．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 重难点二 铅锤法 16．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图（1），抛物线与轴交于，两点，与轴交于，顶点． (1)写出抛物线的解析式，点，点的坐标； (2)连接，在上方的抛物线上是否存在点使面积最大，若存在，求面积的最大值，若不存在请说明理由； (3)直线交抛物线于点，（点在点的右边），交直线于点，若，求的值； (4)如图（2），点是抛物线对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是直角三角形时，的值为______． 17．（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线与直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 18．（2024·山东聊城·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点）、A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，点B在y轴上，． (1)求二次函数的解析式； (2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连接，，求面积的最大值； (3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点． (1) ______，顶点的坐标为______． (2)连接，在直线下方的抛物线上是否存在点P，使得的面积最大，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)如图2，连接、，点、分别在线段、上均含端点，且，若是等腰三角形，求点的坐标． 重难点三 平行转化法 20．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上一动点，若的面积是6，求点P的坐标． 21．（2025·江苏扬州·一模）已知抛物线与轴交于两点、，与轴交于点，且为直角三角形． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)将绕平面内一动点旋转后所得，与该抛物线没有公共点，请直接写出m的取值范围_________． 重难点四 面积比转化为底的比 22．（23-24九年级上·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点两点，且与轴交于点．连接，，为抛物线在第二象限内一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，，抛物线上是否存在点，使得．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，连接，，过点作交于点，连接．若，求点坐标． 23．（2025·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点P是第一象限中抛物线上一动点，连接，分别交对称轴于点E、F． ①在点P的运动过程中，这三条线段能否相等？若相等，求出点P的坐标；若不相等，请说明理由； ②如图2，连接与相交于点H，若的面积为的面积为，求的最大值． 24．（2025·四川·二模）如图1， 我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”， 已知， ， ， 分别为“果圆”与坐标轴的交点，  与“果圆”中的抛物线 交于 ， 两点． (1)求“果圆”中的抛物线的解析式． (2)“果圆”上是否存在点 使？如果存在请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． (3)如图2， 为直线下方“果圆”上一点， 连接， ， ， 设与 交于点 ， 的面积记为 ， 的面积记为 ， 求 的最小值． 25．（2025·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与坐标轴分别相交于点A、B、三点，其对称轴为直线 (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、直线交于点D、E． ①当点E是线段的中点时，求点F的坐标； ②若的面积分别为， 且满足，请直接写出点F的横坐标． 26．（2025·江苏苏州·一模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，点是直线下方抛物线上的一个动点，连接，与交于点．连接，，过点作交于点，连接．设点的横坐标为，面积为，面积为，面积为． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求的值； (3)若，则点的坐标为 ． 重难点五 面积比转化为高的比 27．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，经过定点A的直线交抛物线于B，C两点（点C在点B的右侧），D为抛物线的顶点． (1)直接写出点A的坐标； (2)若，求k的值． 28．（2021·云南昆明·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx﹣3交于A、B点，点A在x轴上，点B的纵坐标为5．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A，B重合）．过点P作x轴的垂线交直线AB于点C．作PD⊥AB于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值； ②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，若这两个三角形的面积之比为2：3，求出m的值． 29．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线过交y轴于点C． (1)求抛物线解析式及其顶点坐标； (2)已知点D为第一象限内的抛物线上一点，点E，F分别在线段上，若四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，求其周长与面积之比； (3)点C与点P关于x轴对称，连接交线段于Q，若，求点D坐标． 30．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，若顶点D的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点F是抛物线上位于第一象限的动点，直线分别与y轴、直线交于点E，H． ①当时，求的长； ②连接，若与面积之比是，请直接写出点F的坐标． 重难点六 将要求的四边形面积转化为三角形面积 31．（25-26九年级上·广东·阶段练习）已知抛物线交x轴于两点．交y轴于点． (1)求该抛物线的表达式和对称轴． (2)设点P是抛物线的顶点，求四边形的面积． 32．（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 33．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)求b、c的值． (2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三 二次函数与等角问题 ①特殊情况 a.若两角为内错角的位置，可考虑构造平行线，如：若∠1=∠2，则点D一定在过点C与AB平行的直线上. b.若两角为同旁内角的位置，可考虑构造等腰三角形，如：若∠1=∠2，延长AD与BC相交于点E，则△EAB为等腰三角形. ②一般情况：构造相似三角形：如：若∠1=∠2，过点F作FH⊥CD，则△ACB∽△BHF. 重难点一 构造平行 34．（2025·山东济南·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与y轴交于点C，顶点为D．          (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点E，满足，求点E的坐标； (3)如图3，点F为x轴上一动点，连接，当最大时，请直接写出点F的坐标． 35．（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为 (1)请直接写出A、B、D三点坐标． (2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值； (3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标． 36．（2025·青海西宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是轴上一点，点是抛物线上一点，以为边，为另外两个顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标； (3)点是抛物线上的一个动点，满足，求点的坐标． 重难点二 等角对等边 37．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C． (1)求C点的坐标； (2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标； (3)如图2所示，点为第二象限内一动点，经过H的两条直线与分别与抛物线均有唯一的公共点E和F（点E在点F的左侧），直线与y轴交于点G，M为线段的中点，连接、，当时，求h的值． 38．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，抛物线与x轴分别交于点和点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上一点，对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的表达式； (2)若的面积为4，求P点坐标； (3)x轴上方是否存在点P，满足，若存在，求PD的长，若不存在，说明理由． 39．（2021·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线交轴于，两点（在的左侧），与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，点在抛物线上，且满足，求点的坐标； （3）如图2，直线交轴于点，过直线上的一动点作轴交抛物线于点，直线交抛物线于另一点，直线交轴于点，试求的值． 重难点三 延长构等腰 40．（2025·四川南充·一模）如图，顶点为的拋物线经过．Rt的顶点在轴正半轴上． (1)求抛物线的解析式． (2)求点的坐标． (3)在拋物线上求出点，使． 41．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）抛物线交轴于，两点（点在点的左边），交轴正半轴于点. （1）如图1，当时. ①直接写出点，，的坐标； ②若抛物线上有一点，使，求点的坐标. （2）如图2，平移直线交抛物线于，两点，直线与直线交于点，若点在定直线上运动，求的值. 重难点四 构造相似 42．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）如图1，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．点是抛物线上的一个动点，连接和． (1)求a的值和的度数； (2)当点运动到抛物线顶点时，求与的面积之比； (3)如图2，当点在抛物线上运动，且满足时，求点的坐标． 43．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与x轴交于点A，与y轴相交于点C，，已知抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q是抛物线上的一点，满足，求点Q的坐标； (3)点H是线段BC上一点，满足以O，H，B为顶点的三角形与相似，则点H的坐标为 ； (4)将抛物线射线方向平移个单位，所得的新抛物线的对称轴与x轴交于点D，交于点E，点N是线段上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接，．直接写出的最小值； 44．（2024·广东清远·模拟预测）综合探究 如图，在中，，经过点C的直线交x轴正半轴于点，一抛物线经过点A、B、C，顶点为D，对称轴交x轴于点E． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)若点G是在第一象限内抛物线上的一动点，求使面积达到最大时点G的坐标，并求出此时面积的最大值； (3)若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $