24.1.2 垂直于弦的直径-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学设计（人教版）

该初中数学教学设计聚焦“垂直于弦的直径”，以赵州桥主桥拱半径问题导入，引导学生从现实问题出发，通过折叠实验探究圆的轴对称性，进而推导垂径定理及推论，构建知识支架。 亮点在于融合数学眼光、思维与语言，以赵州桥问题激发探究欲（数学眼光），通过折叠与逻辑证明理解定理（数学思维），结合勾股定理解决实际问题（数学语言），助力教师结构化教学，提升学生问题解决与模型应用能力。

24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径 一、教学目标 【知识与技能】 1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性. 2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题. 【过程与方法】 通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法. 【情感态度与价值观】 1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透. 2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 二、课型 新授课 三、课时 1课时。 四、教学重难点 【教学重点】 垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题. 【教学难点】 垂径定理及其推论. 五、课前准备 课件、图片、直尺等. 六、教学过程 （一）导入新课 你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（出示课件2） （二）探索新知 探究一 圆的轴对称性 教师问：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（出示课件4） 学生通过自己动手操作，归纳出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 出示课件5：教师问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 学生答：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴. 思考：如何来证明圆是轴对称图形呢？ 出示课件6:已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E． 教师问：此图是轴对称图形吗？ 学生答：是轴对称图形． 教师问：满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？ 师生共同解答如下：（出示课件7） 证明：连结OA、OB. 则OA＝OB． 又∵CD⊥AB， ∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线. ∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称. 师生进一步认知：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 探究二 垂径定理及其推论 出示课件8：如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么? 学生独立思考后口答：线段:AE=BE 弧:=,= 学生简述理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，重合． 教师总结归纳：（出示课件9） 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, =,= 教师强调：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（出示课件10） 学生独立思考后口答：1图是；2图不是，因为没有垂直；3图是；4图不是，因为CD没有过圆心. 教师强调：垂径定理的几个基本图形：（出示课件11） 出示课件12：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 学生思考后教师总结： 深化认知：（出示课件13）如图，①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为E；③AE=BE；④=;⑤=.举例证明其中一种组合方法. 学生思考后独立解决，并加以交流，教师加以指导，并举例.（出示课件14） 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ ⑵与相等吗？与相等吗？为什么？ 证明：⑴连接AO,BO,则AO=BO, 又AE=BE，OE=OE ∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. （2）由垂径定理可得=,= 教师归纳总结：（出示课件15） 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例. 教师强调：圆的两条直径是互相平分的. 出示课件16：例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm. 学生思考后师生共同解答：连接OA，∵OE⊥AB， 1. ∴ cm. 巩固练习：（出示课件17） 如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长. 学生自主思考后，独立解答如下： 解：连接OA，∵CE⊥AB于D， ， ∴ 设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得 x2=42+(x-2)2， 解得x=5， 即半径OC的长为5cm. 出示课件18：例2 已知：⊙O中弦AB∥CD, 求证： 学生思考后师生共同解答. 证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则（垂直于弦的直径平分弦所对的弧） 教师强调：平行弦夹的弧相等. 师生共同归纳总结：（出示课件19） 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件. 巩固练习：（出示课件20） 如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证: 四边形ADOE是正方形． 学生独立解答，一生板演. 证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC， ∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°. ∴四边形ADOE为矩形，AE=AC,AD=AB. 又∵AC=AB, ∴AE=AD. ∴ 四边形ADOE为正方形. 出示课件21：例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗? 教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答. 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高. ∴AB=37m，CD=7.23m. ∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23. OA2=AD2+OD2， R2=18.52+(R-7.23)2， 解得R≈27.3. 即主桥拱半径约为27.3m. 巩固练习:（出示课件23） 如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______. 学生独立思考后解答：如图，分两种情况，弓形的高为5cm或12cm. 教师归纳：1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法（出示课件24） 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 2.弓形中重要数量关系 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： 1 d+h=r；⑵. （三）课堂练习（出示课件25-29） 1. 2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 . 3.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= . 4.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 . 5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？ 6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 参考答案： 1.C 2.5cm 3. 4.14cm或2cm 5.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE. ∴AE－CE＝BE－DE. 即AC＝BD. 6.解:连接OC. 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m. ， 根据勾股定理，得 解得R=545. ∴这段弯路的半径约为545m. （四）课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？ （五）课前预习 预习下节课（24.1.3）的相关内容. 七、课后作业 配套练习册内容 八、板书设计： 九、教学反思： 1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质. 2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径. 学科网（北京）股份有限公司 $