预习课第09讲 圆的概念与垂径定理 暑假讲义2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第09讲 圆的概念与垂径定理 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 圆的定义 【题型二】 圆的其相关概念 【题型三】 垂径定理 【题型四】 垂径定理的推论 【题型五】 垂径定理的应用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握圆的定义； 2.掌握垂径定理的内容及其推导，并会利用垂径定理处理问题. 1 与圆有关的概念 ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形； ② 弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦； ③ 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. ④ 能够重合的两个圆叫做等圆；能够重合的弧叫做等弧. 2 垂径定理及其推论 (1)垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图，若是直径，且，则，，. 【题型一】 圆的定义 相关知识点讲解 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，如上图的圆记作； 【典题1】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知如图正方形的边长为4，点为边上一动点，于，将绕着点顺时针旋转得到，连接，当点从点运动到点时，点的运动路径长为（   ） A．4 B． C． D． 变式练习 1（24-25九年级上·河北沧州·期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆的每一条直径都是它的对称轴 C．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合 D．面积相等的两个圆是等圆 2（2025·江苏连云港·二模）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．4 D．8 3（2023九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接．则线段的最大值是（　　）    A． B． C．3 D． 【题型二】 圆的相关概念 相关知识点讲解 ① 弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦；如上图，线段是弦，线段是直径； ② 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧；如上图，是优弧，是劣弧. ③ 能够重合的两个圆叫做等圆；能够重合的弧叫做等弧. 【典题1】（24-25九年级上·青海西宁·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．圆中最长的弦是经过圆心的弦 C．一条弦把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧 D．平分弦的直径垂直于弦 变式练习 1（23-24九年级下·全国·单元测试）已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 2（24-25九年级上·广东阳江·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．优弧一定大于劣弧 C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是一个圆中最长的弦 3（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）下列4个说法中：①直径是弦；②长度相等的弧是等弧；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④弧是半圆；正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型二】垂径定理 相关知识点讲解 (1)垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图，若是直径，且，则，，. (2)推论 ① 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ② 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 (3)延伸 根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中 ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 是直径； 只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即知二推三。 【典题1】（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，是的直径，弦，垂足为，如果，，那么线段的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．6 【典题2】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，是的直径，是弦，，垂足为点E，连接，，，求的面积． 变式练习 1（2025·贵州遵义·二模）如图，的半径为10，，P是弦上的一个动点（不与A，B重合），符合条件的的值不可能是（    ） A．7.5 B．6.5 C．6 D． 2（2025·河南平顶山·一模）如图，是的弦，点 是圆上一点，于点．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 3（2025·陕西渭南·二模）如图，内接于，是的直径，，点是劣弧的中点，连接交于点，，则弦的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 4（2025·辽宁营口·二模）如图，的直径垂直于弦，垂足为，弦，则长为（   ） A．8 B．10 C． D． 5（24-25九年级上·宁夏银川·期末）已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 6（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，为的弦，为直线上两点，，求证：． 【题型四】 垂径定理的推论 【典题1】（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，，，分别交，于点E，F，连接，则下列结论中不一定正确的是（     ）    A． B．， C．为等腰三角形 D．为等边三角形 变式练习 1（22-23九年级上·吉林松原·期中）如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3（24-25九年级上·浙江金华·期中）我们可用丁字尺来确定圆心位置，如图，点是的中点，测量数据得，，则圆的半径长为（      ）    A． B． C． D． 4（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，为的直径，，点为圆上一点，为的中点，连接，过点作交于点，过点作，垂足为，． (1)求的长；(2)求的长． 【题型五】 垂径定理的应用 【典题1】（2025·广东惠州·二模）圆在中式建筑中有着广泛的应用，如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为，地面入口的宽度为，门枕的高度为，则该圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ） A． B． C． D． 2（2025·内蒙古呼和浩特·二模）往一个水平放置的圆柱形油槽内佞入一些澳以后，假面如图所示，若筋而宽，油的最大深度为，则该圆柱形简槽截面面的半径为（　　） A． B． C． D． 3（2025·河南省直辖县级单位·一模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，．则的半径为 A． B． C． D． 【A组---基础题】 1（24-25九年级上·安徽滁州·期末）下列说法中，不正确的是（   ） A．直径是最长的弦 B．长度相等的弧是等弧 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．同圆中，所有的半径都相等 2（24-25九年级上·江苏连云港·期中）下列说法：①三点确定一个圆；②圆的直径是圆的对称轴；③三角形的外心到三个顶点的距离相等．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 4（2025·宁夏银川·一模）如图，的直径，是的弦，，垂足为P，且，则的长为（   ）． A． B． C． D． 5（2025·贵州遵义·一模）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6（2025·安徽亳州·二模）如图，，，都是的半径，，交于点．若，，则的长为（   ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 7（2025·陕西西安·一模）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B．45 C．50 D． 8（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 9（2025·河北石家庄·一模）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 【B组---提高题】 1（2025·四川宜宾·一模）如图，是的外接圆，弦交于点，，过点作于点，延长交于点，若，则的长为（    ） A． B． C．8 D． 2（2025·湖南常德·二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点（点在点的左侧）． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长． (3)如图2，若直线过点，求证：三角形是等边三角形． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 圆的概念与垂径定理 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 圆的定义 【题型二】 圆的其相关概念 【题型三】 垂径定理 【题型四】 垂径定理的推论 【题型五】 垂径定理的应用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握圆的定义； 2.掌握垂径定理的内容及其推导，并会利用垂径定理处理问题. 1 与圆有关的概念 ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形； ② 弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦； ③ 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. ④ 能够重合的两个圆叫做等圆；能够重合的弧叫做等弧. 2 垂径定理及其推论 (1)垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图，若是直径，且，则，，. 【题型一】 圆的定义 相关知识点讲解 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，如上图的圆记作； 【典题1】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知如图正方形的边长为4，点为边上一动点，于，将绕着点顺时针旋转得到，连接，当点从点运动到点时，点的运动路径长为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的综合，涉及中位线，直角三角形斜边的中线，全等三角形的判定与性质，轨迹圆，熟练根据图形画出辅助线、找出动点运动的轨迹是解题的关键．连接，设的中点分别为，连接，利用中点的性质确定点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，且点从点运动到点，通过， 得出，推出点的运动路径长与点的运动路径长相等即可． 【详解】解：如图，连接，设的中点分别为，连接， 则， ， ， ， 点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动， 点从点运动到点， 点从点运动到点， 的长， ，， ， ， ， ， ， 点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动， 和对应， 点的运动路径长与点的运动路径长相等， 点的运动路径长为， 故选：C． 变式练习 1（24-25九年级上·河北沧州·期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆的每一条直径都是它的对称轴 C．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合 D．面积相等的两个圆是等圆 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，圆的性质，直接利用中心对称图形以及轴对称图形的定义分析得出答案． 【详解】解：A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，说法正确，故此选项不合题意； B．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误，故此选项符合题意； C．圆绕着它的圆心旋转任意角度，说法正确，故此选项不合题意； D．面积相等的两个圆半径相等，它们是等圆，说法正确，故此选项不合题意； 故选：B． 2（2025·江苏连云港·二模）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了找圆心，沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心，据此可得答案． 【详解】解：∵圆的圆心一定在其直径上， ∴沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心， ∴一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折2次， 故选：B． 3（2023九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接．则线段的最大值是（　　）    A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，根据抛物线的性质可得，从而得到，进而得到当长最大时，长最大，且当过圆心C时，长最大，再求出的长，从而得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵抛物线关于y轴对称， ∴，    ∵Q是线段的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当长最大时，长最大， 且当过圆心C时，长最大， 当时，， ∴B的坐标是， ∴， ∵C的坐标是， ∴， ∴， ∵的半径是2， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，圆的基本性质，三角形中位线定理等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【题型二】 圆的相关概念 相关知识点讲解 ① 弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦；如上图，线段是弦，线段是直径； ② 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧；如上图，是优弧，是劣弧. ③ 能够重合的两个圆叫做等圆；能够重合的弧叫做等弧. 【典题1】（24-25九年级上·青海西宁·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．圆中最长的弦是经过圆心的弦 C．一条弦把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧 D．平分弦的直径垂直于弦 【答案】B 【分析】本题考查了命题，圆中的有关概念，熟练掌握圆的概念和性质是解题的关键。 根据圆的概念和性质分析即可． 【详解】解：A．在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故原说法错误，是伪命题，不符合题意； B．圆中最长的弦是经过圆心的弦，说法正确，是真命题，符合题意； C．一条弦（非直径）把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧，故原说法错误，是伪命题，不符合题意； D．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，是伪命题，不符合题意； 故选：B． 变式练习 1（23-24九年级下·全国·单元测试）已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【详解】解：∵的半径是， ∴中最长弦长是． 故选：C． 2（24-25九年级上·广东阳江·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．优弧一定大于劣弧 C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是一个圆中最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查了等弧、等弦的概念，优弧、劣弧大小的比较，弦与直径的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等弧的定义，弦的定义即可解答． 【详解】解：A、能够互相重合的弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，故A选项错误； B、两弧若不在同圆或等圆中，则结论不一定成立，故B选项错误； C、在等圆中，存在长度相等的弦，例如等圆中的直径都相等，故C选项错误； D、直径是一个圆中最长的弦，正确，故D选项正确； 故选：D． 3（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）下列4个说法中：①直径是弦；②长度相等的弧是等弧；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④弧是半圆；正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解决问题的关键．根据直径的定义对①进行判断；根据等弧的定义对②进行判断；利用过圆心的直线都是圆的对称轴可对③进行判断；根据弧和半圆的定义对④进行判断． 【详解】解：直径是经过圆心的弦，所以①正确； 能够完全重合的弧为等弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以②错误； 任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以③正确； 弧不一定是半圆，半圆是弧，所以④错误． ∴正确的有2个， 故选：B． 【题型二】垂径定理 相关知识点讲解 (1)垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图，若是直径，且，则，，. (2)推论 ① 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ② 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 (3)延伸 根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中 ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 是直径； 只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即知二推三。 【典题1】（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，是的直径，弦，垂足为，如果，，那么线段的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，由垂径定理可得，由题意可得，由勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦，垂足为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【典题2】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，是的直径，是弦，，垂足为点E，连接，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，先根据是的直径，是弦，，得出，再运用勾股定理列式，代入数值计算，得出半径是，再运用三角形的面积公式列式进行计算，即可作答． 【详解】解：连接， ∵ ∴， 设的半径为r，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 变式练习 1（2025·贵州遵义·二模）如图，的半径为10，，P是弦上的一个动点（不与A，B重合），符合条件的的值不可能是（    ） A．7.5 B．6.5 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，垂线段最短等知识．取的中点C，分别连接、，由垂径定理及勾股定理可求得的长，根据垂线段最短，则的值介于与之间，由此可求得结果． 【详解】解：如图，取的中点C，分别连接、，则，且， 在中，， ∴ ， 点P线段上（不与重合），则，即 ， ∵， ∴选项D符合题意； 故选：D． 2（2025·河南平顶山·一模）如图，是的弦，点 是圆上一点，于点．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理得，进而由勾股定理得，再根据线段的和差关系即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：于点，， ，， ∵， ∴， ∴， ， 故选：． 3（2025·陕西渭南·二模）如图，内接于，是的直径，，点是劣弧的中点，连接交于点，，则弦的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】该题考查了垂径定理，三角形中位线定理，根据垂径定理得出，从而得是的中位线，， ． 【详解】解：∵点是劣弧的中点，是半径， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 4（2025·辽宁营口·二模）如图，的直径垂直于弦，垂足为，弦，则长为（   ） A．8 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，垂径定理的应用，先证明，连接，结合题意，则，再利用勾股定理进一步计算即可． 【详解】解：∵的直径垂直于弦，垂足为，弦， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴，则， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：D 5（24-25九年级上·宁夏银川·期末）已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 【详解】解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF． 如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故． 综上，，之间的距离为或， 故选：D． 6（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，为的弦，为直线上两点，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，过点作于，由垂径定理得，由等腰三角形三线合一得，进而即可求证，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】证明：如图，过点作于，则， ∵，， ∴， ∴， 即． 【题型四】 垂径定理的推论 【典题1】（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，，，分别交，于点E，F，连接，则下列结论中不一定正确的是（     ）    A． B．， C．为等腰三角形 D．为等边三角形 【答案】D 【分析】根据，，即可判断出，从而进行判断A． 根据，利用垂径定理的推论，进行判断即可B． 根据垂径定理的推论，得到，从而可得结论，即可判断C、D． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴，A正确 ∵， ∴，，B正确 ∵，，， ∴， ∴为等腰三角形，不一定是等边三角形， ∴C正确，D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定、等边三角形的判定． 变式练习 1（22-23九年级上·吉林松原·期中）如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，根据垂径定理中“知二推三”进行推理论证，即可解题． 【详解】解： 为的直径，点为的中点． ， 故选：B． 2（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了垂径定理的推论、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理推论是关键．先利用垂径定理的推论得到，再利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：是的直径，是的弦，且 ， ． 故选A. 3（24-25九年级上·浙江金华·期中）我们可用丁字尺来确定圆心位置，如图，点是的中点，测量数据得，，则圆的半径长为（      ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．利用垂径定理的推论得到圆心在上，设圆心为O点，连接，如图，设圆的半径为，则，，利用勾股定理得到，然后就解方程即可． 【详解】解：，点C是的中点， 即垂直平分，， 圆心在上， 设圆心为O点，连接，如图，    设圆的半径为，则，， 在中，，解得， 即圆的半径为． 故选：D． 4（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，为的直径，，点为圆上一点，为的中点，连接，过点作交于点，过点作，垂足为，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂径定理得，根据勾股定理求解即可； （2）根据题意得，，可证明，得到，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点是弦的中点， ∴，， ∵直径， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ ∴， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ． 【题型五】 垂径定理的应用 【典题1】（2025·广东惠州·二模）圆在中式建筑中有着广泛的应用，如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为，地面入口的宽度为，门枕的高度为，则该圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．设该门洞的半径的半径为，过点作于点，延长交圆于点，连接，则，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设该门洞的半径的半径为，如图，过点圆心作于点，延长交圆于点，连接， 则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即该门洞的半径为， 故选：B． 变式练习 1（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故选：C． 2（2025·内蒙古呼和浩特·二模）往一个水平放置的圆柱形油槽内佞入一些澳以后，假面如图所示，若筋而宽，油的最大深度为，则该圆柱形简槽截面面的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，过点O作交于点C交于D，由垂径定理求出的长，再根据勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：连接，过点O作交于点C交于D， 设， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴圆的半径为． 故选：A． 3（2025·河南省直辖县级单位·一模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，．则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 由根据垂径定理可得，则，在中，有，然后求解即可解答． 【详解】解：如图：连接, ∵M是中弦的中点， ∴， 又∵， ∴， 设圆的半径是x米，， 在中，有， 即：，解得： ， 所以圆的半径长是． 故选：B． 【A组---基础题】 1（24-25九年级上·安徽滁州·期末）下列说法中，不正确的是（   ） A．直径是最长的弦 B．长度相等的弧是等弧 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．同圆中，所有的半径都相等 【答案】B 【分析】此题主要考查了圆的认识，中心对称图形和轴对称图形的定义．根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案． 【详解】解：A、直径是最长的弦，原说法正确，本选项不符合题意； B、同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，原说法错误，本选项符合题意； C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，原说法正确，本选项不符合题意； D、同圆中，所有的半径都相等，原说法正确，本选项不符合题意； 故选：B． 2（24-25九年级上·江苏连云港·期中）下列说法：①三点确定一个圆；②圆的直径是圆的对称轴；③三角形的外心到三个顶点的距离相等．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外心，圆的性质，确定圆的条件；①根据确定一个圆的条件即可判断．②根据对称轴为直线即可判断；③根据三角形外心的性质即可判断． 【详解】解：①不共线三点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意； ②圆的直径所在直线是圆的对称轴，故该选项不正确，不符合题意； ③三角形的外心到三个顶点的距离相等，故该选项正确，符合题意， ∴正确的有1个， 故选：B． 3（21-22九年级上·福建厦门·期中）如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 【答案】C 【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意； D、若也是直径，则原说法不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键． 4（2025·宁夏银川·一模）如图，的直径，是的弦，，垂足为P，且，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，连接，先根据已知求得，再根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：连接， ∵的直径，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：D． 5（2025·贵州遵义·一模）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，熟灵活运用垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理求得、，再对运用勾股定理即可求，最后即可求解． 【详解】解：∵，是的直径，， ∴，， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∴． 故选：B． 6（2025·安徽亳州·二模）如图，，，都是的半径，，交于点．若，，则的长为（   ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 【答案】B 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及圆的性质、垂径定理的推论、勾股定理等知识，根据题意可得，在中，由勾股定理可得，由圆的半径均相等，结合代值求解即可得到答案． 【详解】解： 是的半径，交于点，， ， 在中，，则由勾股定理可得， ， 故选：B． 7（2025·陕西西安·一模）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B．45 C．50 D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接，先判断出圆心在直线上，再根据垂径定理可得，然后设圆形工件的半径为，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接， ∵是弦的垂直平分线， ∴圆心在直线上， 又∵是弦的垂直平分线，， ∴，， 设圆形工件的半径为，则， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴圆形工件的半径为， 故选：C． 8（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】(1)见解析 (2)大圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【详解】（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 9（2025·河北石家庄·一模）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 【答案】(1)喷泉的半径为5米 (2)大约需要安装24盏景观灯 【分析】本题主要考查勾股定理、垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键； （1）连接，设喷泉的半径为，则：，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解； （2）由（1）可知米，然后根据圆的周长可进行求解． 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：， ， 是弦的中点， 平分弦，， ， ， ， 米； 答：喷泉的半径为5米； （2）解：由题意，得：米， ∴（盏） 答：大约需要安装24盏景观灯． 【B组---提高题】 1（2025·四川宜宾·一模）如图，是的外接圆，弦交于点，，过点作于点，延长交于点，若，则的长为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】作于点M，由题意可得出，从而可得出为等边三角形，从而得到，再由已知得出，的长，进而得出，的长，再求出的长，再由勾股定理求出的长． 【详解】解：作于点M， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键． 2（2025·湖南常德·二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点（点在点的左侧）． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长． (3)如图2，若直线过点，求证：三角形是等边三角形． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)弦的长度是定值．弦的长为6 (3)见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用，垂径定理，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，垂足为，连接，设点的坐标为，则，利用垂径定理结合勾股定理求出的长，进而求出的长，进行判断即可； （3）求出直线的解析式，设，则且，求出，分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）弦的长度是定值．理由如下： 如图1所示，过点作轴，垂足为，连接，则：， 设点的坐标为，则． ， ∴． ， ． ， ， ∴弦的长度为定值． （3）证明：设直线的解析式为， 直线过点， ，解得：， ∴； 设，则且， ， ， ． ①当时，点在对称轴左侧，如图2， ． ， 的坐标为， ，又， 三角形是等边三角形． ②当时，在对称轴右侧，如图3， ， ， 的坐标为， ， ，又， 三角形是等边三角形． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$