22.3 实际问题与二次函数（第3课时）-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学设计（人教版）

22.3 实际问题与二次函数（第3课时） 一、教学目标 【知识与技能】 能根据实际问题构建二次函数模型，并利用函数性质来解决实际问题. 【过程与方法】 再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建模思想，培养学生解决实际问题的能力. 【情感态度与价值观】 进一步体会数学知识的应用价值，感受数学来自于生活又服务于生活，激发学习数学的兴趣. 二、课型 新授课 三、课时 第3课时，共3课时。 四、教学重难点 【教学重点】 用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想. 【教学难点】 根据抛物线型实际问题，建立恰当的平面直角坐标系，建立二次函数模型. 五、课前准备 课件、三角尺、铅笔等. 六、教学过程 （一）导入新课 出示课件3：如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型. （二）探索新知 探究 建立平面直角坐标系解答抛物线形问题 出示课件5：如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？ 教师问：你能想出办法来吗？(出示课件6) 学生答：建立函数模型. 教师问：这是什么样的函数呢？ 学生答：拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数. 教师问：怎样建立直角坐标系比较简单呢？(出示课件7) 学生答：以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图． 教师问：从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？ 学生答：由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为 教师问：如何确定a是多少？(出示课件8) 学生答：已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出-2=a×22,解得 因此，，其中｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 教师问：由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是： . 现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？(出示课件9) 学生答：水面宽3m时,从而 因此拱顶离水面高1.125m. 教师问：建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？(出示课件10) 师生共同总结如下： 出示课件11：例1 图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？ 学生独立思考后，师生共同总结如下：(出示课件12,13,14) 解法一:如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. ∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2. 当拱桥离水面2m时,水面宽4m. 即抛物线过点(2,-2), ∴-2=a×22, ∴a=-0.5. ∴这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5x2. 当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有-3=-0.5x², 解得x=±，这时水面宽度为2m, 因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2-4)m. 解法二: 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(0,2)， 因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:y=ax²+2. 当拱桥离水面2m时,水面宽4m, 即:抛物线过点(2,0),0=a×22+2，a=-0.5. 因此这条抛物线所表示的二次函数为:y=-0.5x²+2. 当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有: -1=-0.5x²+2解得x=±，这时水面宽度为2m. 因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2-4)m. 解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(2,2). 因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=a(x-2)²+2. ∵抛物线过点(0,0), ∴0=a×(-2)²+2. ∴a=-0.5. 因此这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5(x-2)²+2. 当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1, 这时有-1=-0.5(x-2)2+2，解得x1=2-，x2=2+ 这时水面的宽度为x2-x1=2， 因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2-4)m. 出示课件15：回顾“最大利润”和“桥梁建筑”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流. 学生交流后，师生共同总结如下： 1.理解问题； 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系； 3.用数学的方式表示出它们之间的关系； 4.做数学求解； 5.检验结果的合理性. 出示课件16：巩固练习：有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式. 学生思考后自主解答. 解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2. ∵该抛物线过(10,-4), ∴-4=100a，a=-0.04. ∴y=-0.04x2 . 出示课件18：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？ 学生自主思考后，师生共同解决如下. 出示课件19：解：如图，建立直角坐标系. 则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度 时的位置为B（0，3.5）. 以点C表示运动员投篮球的出手处. 设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为y=a(x-0)2+k，即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有 所以该抛物线的表达式为y=﹣0.2x2+3.5. 当x=﹣2.5时，y=2.25. 故该运动员出手时的高度为2.25m. 出示课件20：巩固练习： 一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝x2+x+c，其图象如图所示．已知铅球落地时的水平距离为10m． （1）求铅球出手时离地面的高度； （2）在铅球行进过程中，当它离地面的高度为m时，求此时铅球 的水平距离． 学生自主思考后板演如下： 解：（1）根据题意，将（10，0）代入y＝x2+x+c， 得×102+×10+c＝0， 解得c＝， 即铅球出手时离地面的高度m； （2）将y＝代入x2+x+＝, ， 整理，得x2﹣8x﹣9＝0， 解得x1＝9，x2＝﹣1（舍）， ∴此时铅球的水平距离为9m． （三）课堂练习（出示课件22-30） 1.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 2.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地. 3.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为，那么铅球运动过程中 最高点离地面的距离为 米. 4.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ） A.50m B.100m C.160m D.200m 5.某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式． （2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？ 6.悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. (1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式； (2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长. 参考答案： 1.解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x﹣3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得25a+5=0，解得a=﹣0.2， ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣0.2（x﹣3）2+5（0＜x＜8）． （2）当y=1.8时，有﹣0.2（x﹣3）2+5=1.8，解得：x1=﹣1，x2=7， 因此为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内． （3）当x=0时，y=﹣0.2（x﹣3）2+5=3.2． 设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣0.2x2+bx+3.2， ∵该函数图象过点（16，0）， ∴0=﹣0.2×162+16b+3.2，解得b=3. ∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣0.2x2+3x+3.2=﹣0.2（x﹣7.5）2+14.45． ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为14.45米． 2.4 3.2 4.C 5.解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2. ∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上， ∴﹣5.6=36a， ∴抛物线的表达式为 （2）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标为（k，t），已知窗户高1.6m， ∴t=﹣5.6﹣（﹣1.6）=﹣4. ∴，解得k=， 即k1≈5.07，k2≈﹣5.07. ∴CD=5.07×2≈10.14（m）. 设最多可安装n扇窗户， ∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06． 则最大的正整数为4． 答：最多可安装4扇窗户. 6.解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5）， 对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5. 抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得 81.5=a•4502+0.5. 解得 故所求表达式为 (2)当x=450﹣100=350（m）时，得 当x=450﹣50=400（m）时，得 （四）课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ （五）课前预习 预习下节课（23.1第1课时）的相关内容. 七、课后作业 配套练习册内容 八、板书设计： 九、教学反思： 本课时教学与上一课时基本相同，所不同的是教学时应注意建立正确的直角坐标系，使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生相互交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并求出相应抛物线表达式，在这一过程中让学生体验探究发现的快乐，体会数学的最优化思考. 学科网（北京）股份有限公司 $