22.3 实际问题与二次函数（第2课时）-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学设计（人教版）

该初中数学教学设计聚焦“实际问题与二次函数”中的利润问题，从商场定价的生活情境导入，衔接上一课时二次函数性质，通过梳理“销售额、利润、单件利润”等数量关系，搭建从实际问题到函数模型的学习支架，引导学生抽象利润与价格的二次函数关系。 资料以分层递进的例题链（基础利润计算、涨价/降价分类讨论、多情境应用）为载体，贯穿“分析数量关系—建立函数模型—确定自变量范围—求最值”的建模流程，培养学生抽象能力、模型意识和推理能力，丰富的练习与变式训练提升学生用数学思维解决现实问题的能力，为教师提供结构化、可操作的教学方案。

22.3 实际问题与二次函数（第2课时） 一、教学目标 【知识与技能】 能根据实际问题构建二次函数模型，并利用函数性质来解决实际问题. 【过程与方法】 再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建模思想，培养学生解决实际问题的能力. 【情感态度与价值观】 进一步体会数学知识的应用价值，感受数学来自于生活又服务于生活，激发学习数学的兴趣. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时，共3课时。 四、教学重难点 【教学重点】 用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想. 【教学难点】 根据抛物线型实际问题，建立恰当的平面直角坐标系，建立二次函数模型. 五、课前准备 课件、三角尺、铅笔等. 六、教学过程 （一）导入新课 出示课件2：在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.如繁华的商业城中很多人在买卖东西.如果你去买商品，你会选哪一家呢？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？ （二）探索新知 探究 利润问题中的数量关系 出示课件4：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元. 学生独立思考后口答：18000；6000 教师问：利润问题中有哪些数量关系? 学生答： （1）销售额= 售价×销售量； （2） 利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量； （3）单件利润=售价-进价. 出示课件5：例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 学生在教师的引导下分析： ①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即：y=-10x2+100x+6000. ②教师问：自变量x的取值范围如何确定？（出示课件6） 学生答：营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤30. ③教师问：涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ 学生答：y=-10x2+100x+6000， 当时,y=-10×52+100×5+6000=6250. 即定价65元时，最大利润是6250元. 出示课件7：例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 学生在教师的引导下分析： ①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 降价销售 建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)， 即y=-18x2+60x+6000. ②教师问：自变量x的取值范围如何确定？（出示课件8） 学生答：营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤20. ③教师问：涨价多少元时，利润最大，是多少？ 学生答：即：y=-18x2+60x+6000， 当时, 综合可知，应定价65元时，才能使利润最大. 出示课件9：例3 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 学生在教师的引导下分析： ①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每月利润（元） 正常销售 涨价销售 建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x), 即：y=-10x2+80x+1800. ②教师问：自变量x的取值范围如何确定？（出示课件10） 学生答：营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x≥0，因此自变量的取值范围是x≤18. ③教师问：涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ 学生答：y=-10x2+80x+1800=-10(x-4)2+1960. 当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元. 答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元. 出示课件11：教师总结：求解最大利润问题的一般步骤： （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”. （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式法求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 出示课件12：巩固练习：某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润? 学生独立思考后自主解决. 解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x) =-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500. ∴当x=5时，y最大=4500. 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元. 出示课件13,14,15,16：例4 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元. （1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？ 解：由题意得：当40≤x≤50时， Q=60(x－30)=60x－1800. ∵y=60>0，Q随x的增大而增大， ∴当x最大=50时，Q最大=1200. 答：此时每月的总利润最多是1200元. （2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ 解：当50≤x≤70时， 设y与x函数关系式为y=kx+b, ∵线段过(50，60)和(70，20). ∴y=－2x+160（50≤x≤70）. ∴Q=(x－30)y =(x－30)(－2x+160) =－2x2+220x－4800 =－2(x－55)2+1250(50≤x≤70). ∵a=－2＜0，图象开口向下， ∴当x=55时，Q最大=1250. ∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元. ⑶若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？ 解：∵当40≤x≤50时，Q最大=1200＜1218. 当50≤x≤70时，Q最大=1250＞1218. ∴售价x应在50~70元之间. 因此令－2(x－55)2+1250=1218, 解得：x1=51，x2=59. 当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160=58(件), 当x2=59时，y2=－2x+160=－2×59+160=42(件). ∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为 51 元或59元，当月的销售量分别为58件或42件. 出示课件17，18,19：变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ 师生共同分析后解答. 解：Q与x的函数关系式为： 由例4可知： 若40≤x≤50， 则当x=50时，Q最大=1200, 若50≤x≤70， 则当x=55时，Q最大=1250. ∵1200＜1250 ∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元. （2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围； 师生共同分析后解答. 解：①当40≤x≤50时，∵Q最大=1200＜1218， ∴此情况不存在. ②当50≤x≤70时，Q最大=1250>1218， 令Q=1218，得－2(x－55)2+1250=1218. 解得x1=51，x2=59. 由Q=－2(x－55)2+1250的图象和性质可知: 当51≤x≤59时，Q≥1218. 因此若该商品所获利润不低于1218元， 则售价x的取值范围为51≤x≤59. （3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？ 师生共同分析后解答. 解：由题意得 解得：51≤x≤53. ∵Q=－2(x－55)2+1250的顶点不在51≤x≤53范围内， 又∵a=－2＜0， ∴当51≤x≤53时，Q随x的增大而增大. ∴当x最大=53时，Q最大=1242. ∴此时售价x应定为53元，利润最大，最大利润是1242元. 出示课件20：巩固练习：某商店购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个. (1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是_______元，这种篮球每月的销售量是 个(用x的代数式表示). (2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润? 如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润,此时篮球的售价应定为多少元? 学生独立思考后自主解答. ⑴x+10，500-10x ⑵800元不是每月最大利润，最大月利润为9000元，此时篮球的售价为70元. （三）课堂练习（出示课件21-27） 1.某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件． （1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为______件； （2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润． 2.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元. 3.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）. 4.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？ 5.某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax²+bx-75.其图象如图. （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ 参考答案： 1.解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件）， （2）由题意得： y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）] =﹣10x2+1100x﹣28000 =﹣10（x﹣55）2+2250. ∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元． 2.25 3.y=2000-5(x-100)；w=[2000-5(x-100)](x-80) 4.解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则 w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)] =(10+2x)(84－4x) =－8x2+128x+840 =－8(x－8)2+1352. 当x=8时，w有最大值，且w最大=1352. 答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352元. 5.解：(1)由图可以看出：二次函数y=ax+bx-75过点（5,0），（7,16）, 将两点坐标代入解析式即可求得： (1)y=-x2+20x-75，即y=-（x-10）2+25. ∵-1<0,对称轴x=10, ∴当x=10时，y值最大，最大值为25. 即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元. (2)显然，当y=16时，x=7和13. 因为函数y=-x+20x-75图象的对称轴为x=10， 因此，点（7,16）关于对称轴的对称点为（13,16）, 故销售单价在7≤x≤13时，利润不低于16元. （四）课堂小结 1.通过本节课的学习，你有什么收获？ 2.对于由二次函数的性质求最大利润问题，你认为有哪些需要注意的？ （五）课前预习 预习下节课（22.3第3课时）的相关内容. 七、课后作业 1教材习题22.3第2、8题. 2.配套练习册内容 八、板书设计： 九、教学反思： 本课时教学与上一课时基本相同，所不同的是教学时应注意建立正确的直角坐标系，使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生相互交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并求出相应抛物线表达式，在这一过程中让学生体验探究发现的快乐，体会数学的最优化思考. 学科网（北京）股份有限公司 $