22.3 实际问题与二次函数（第1课时）-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学设计（人教版）

该初中数学教学设计聚焦“实际问题与二次函数”第1课时，核心为二次函数模型构建及最值应用。通过排球运动高度问题导入，衔接小球运动复习顶点最值，结合矩形面积例题及变式，搭建从实际问题到数学建模的学习支架。 特色在于“问题链+情境变式”驱动教学，借矩形面积不同情境（靠墙与否、墙长差异）引导学生抽象数量关系，培养数学眼光（抽象能力）。通过分析自变量取值范围与最值关系，发展数学思维（推理意识）。让学生自主建立函数模型，提升数学语言表达（模型意识），助力教师高效教学，帮助学生体会数学应用价值。

22.3 实际问题与二次函数（第1课时） 一、教学目标 【知识与技能】 1.能根据实际问题构造二次函数模型. 2.能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最大（小）值问题. 【过程与方法】 通过对“矩形面积”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想. 【情感态度与价值观】 体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时，共3课时。 四、教学重难点 【教学重点】 用二次函数的最大值（或最小值）来解决实际应用问题. 【教学难点】 将实际问题转化为数学问题，并用二次函数性质进行决策. 五、课前准备 课件、三角尺、铅笔等. 六、教学过程 （一）导入新课 出示课件3：排球运动员从地面竖直向上抛出排球，排球的高度h（单位：m）与排球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=20t-5t2（0≤t≤4）．排球的运动时间是多少时，排球最高？排球运动中的最大高度是多少？ （二）探索新知 探究 二次函数与几何图形面积的最值 出示课件5：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 教师分析：可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值. 教师问：如何求出二次函数y=ax2+bx+c的最小（大）值？（出示课件6） 学生答：由于抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，当时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值 师生共同解答：（出示课件7） 解： 小球运动的时间是3s时，小球最高;小球运动中的最大高度是45m． 师生共同总结： 一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说，当时，二次函数有最小（大）值 出示课件8：例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ 问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用l表示另一边？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？ 学生思考后，师生共同解答. 解：矩形场地的周长是60m,一边长为lm, 所以另一边长为（）m. 场地的面积S=l(30-l)， 即S=-l2+30l(0<l<30). 因此，当时， S有最大值 即当l是15m时，场地的面积S最大. 教师点拨：利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：（出示课件10） 1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式； 2.确定自变量的取值范围； 3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； 4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值. 变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（出示课件11） 教师问：变式1与例题有什么不同？ 学生答：一边靠墙. 教师问：我们可以设面积为S，如何设自变量？ 学生答：设垂直于墙的边长为x米. 教师问：面积S的函数关系式是什么？ 学生答：S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. 教师问：如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？（出示课件12） 学生答：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 教师问：如何求最值？ 学生答：最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2. 变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ （出示课件13） 教师问：变式2与变式1有什么异同？ 学生答：墙长不一样. 教师问：可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？ 学生答：设垂直于墙的边长为x米. S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. 教师问：可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边与面积？ 学生答：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则 教师问：当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？（出示课件14） 学生答：不正确. 教师问：如何求自变量的取值范围？ 学生答：0＜x≤18. 教师问：如何求最值？ 学生答：由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378. 教师总结：（出示课件15） 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值. 出示课件16：已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？ 师生共同分析后，生独立解决. 解：∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长x, ∴另一边长为8-x. 则该直角三角形面积：S=（8-x）x÷2, 即： 当x==4,另一边为4时, S有最大值＝8， ∴当两直角边都是4时，直角三角形面积最大，最大值为8. （三）课堂练习（出示课件17-25） 1.如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值． 2.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大面积是________. 3.如图，在△ABC中， ∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小. 4.如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？ 5.某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？ 6.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用. 参考答案： 1.解：⑴设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m， 根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45. 当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去； 当x=45时，100﹣2x=10. 答：AD的长为10m； ⑵设AD=xm， ∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250， 当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250； 当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大； 当x=a时，S的最大值为50a﹣a2， 综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250； 当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2． 2. 3.3 4.解：令AB长为1，设DH=x，正方形EFGH的面 积为y，则DG=1-x. 当x=时，y有最小值. 即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小. 5.解： 即 ∵0＜x＜25， ∴当x=20时，满足条件的绿化带面积y最大=200. 6.解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x), S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6. (2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; 当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2. 这时设计费最多，为9×1000=9000（元）. （四）课堂小结 1.通过本节课的学习你有什么收获？ 2.你觉得这节课有哪些问题需要特殊关注的？谈谈自己的看法. （五）课前预习 预习下节课（22.3第2课时）的相关内容. 七、课后作业 1教材习题22.3第4、5、6、7题. 2.配套练习册内容 八、板书设计： 九、教学反思： 二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，也是某些单变量最优化的数学模型，如最大利润、最大面积等实际问题，因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题，由于学生对于这一转化过程较难理解，因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出，让学生自主建立数学模型，在这个过程中教师可通过让学生画图探讨最值.总之，在本课时的教学过程中，要让学生经历数学建模的基本过程，体验探究知识的乐趣. 学科网（北京）股份有限公司 $