22.1.3 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 （第3课时）-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学设计（人教版）

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质，通过复习y=ax²+k与y=a(x-h)²的平移规律导入，搭建新旧知识桥梁，引导学生从已知过渡到新知探究。 资料以学生自主画图观察为核心，通过对比不同抛物线的开口方向、顶点坐标等培养几何直观，结合喷水池、大门高度等实例引导建立坐标系解决问题，发展模型意识与应用意识。分层练习与多角度解题设计，助力学生深化理解，提升教师教学效率。

22.1 二次函数的图象和性质 22.1.3 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第3课时） 一、教学目标 【知识与技能】 1.会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象； 2.掌握抛物线y=ax2与y=a(x-h)2+k之间的平移规律； 3.依据具体问题情境建立二次函数y=a(x-h)2+k模型来解决实际问题. 【过程与方法】 通过“活动探究——观察思考——运用迁移”等三个环节来获取新知识，掌握新技能，解决新问题. 【情感态度与价值观】 进一步培养学生观察能力、抽象概括能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，了解从特殊到一般的辩证关系. 二、课型 新授课 三、课时 第3课时，共3课时。 四、教学重难点 【教学重点】 二次函数y=a(x-h)2+k（a≠0）的图象及其性质. 【教学难点】 1.二次函数y=a(x-h)+k与y=ax2(a≠0)的图象之间的平移关系； 2.通过对图象的观察，分析规律，归纳性质. 五、课前准备 课件、三角尺、铅笔等 六、教学过程 （一）导入新课 说出平移方式，并指出其顶点与对称轴.（出示课件2） ⑴y=ax2→y=ax2+k. ⑵y=ax2→y=a(x-h)2. 学生口答：⑴k>0，上移；k＜0，下移；顶点（0,k）；对称轴y轴. ⑵左加右减；顶点（h,0）；对称轴x=h. （二）探索新知 探究一 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 画出函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.（出示课件4） 学生自主操作，画图，教师加以巡视，纠正画图过程中可能出现的失误，并引导他们进行分析，发现规律，获得感性认识. 解：如图所示： 开口方向：向下； 对称轴：x=-1; 顶点：(-1,-1). 请在上面所在的平面直角坐标系内，画出抛物线y=-x2，及抛物线y=-x2-1,y=-（x+1）2，观察所得到的四个抛物线，你能发现什么？（出示课件5） 学生自主操作，画图，并整理 解：如图所示. 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=x2 向下 x=0 （0,0） y=x2-1 向下 x=0 (0，-1) y=（x+1）2 向下 x=-1 (-1，0) y=（x+1）2-1 向下 x=-1 (-1，-1) 出示课件6：画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点. 学生独立思考，自主操作. 解：如图所示. 开口方向向上；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2). 师生共同总结如下:（出示课件7） 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质: a>0a>0 a<a<0 图象 h>0 h<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 （h,k） （h,k） 函数的增减性 当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时，y随x增大而增大. 当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小. 最值 x=h时，y最小值=k x=h时，y最大值=k 例 已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　)（出示课件8） 学生自主思考后，师生共同解决如下： 解析 根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限． 在同一坐标系内，一次函数y=ax+2与二次函数y=x²+a的图象可能是（ ）（出示课件9） 生独立解决并口答：C 探究二 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与平移 教师问：怎样移动抛物线就可以得到抛物线？（出示课件10） 教师图形演示后，师生共同总结如下： 教师问：还可以怎样移动抛物线就可以得到抛物线？（出示课件11） 教师图形演示后，师生共同总结如下： 出示课件12：二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象： 教师问：这些图象与抛物线y=ax2有什么关系？ 学生自主思考后，教师归纳：（出示课件13） 一般地,抛物线y=a(x－h)²＋k与y=ax²形状相同,位置不同.把抛物线y=ax²向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x－h)²＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定. 平移方法: 师生共同总结：抛物线y=a(x－h)2+k的特点（出示课件14） (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k). 二次函数y=ax2与y=a（x-h)2+k的关系（出示课件15） 可以看作互相平移得到的.平移规律： 简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.二次项系数a不变. 出示课件16：如果一条抛物线的形状与形状相同，且顶点坐标是（4，2），试求这个函数关系式. 学生独立思考后自主解决. 解： 出示课件17：例 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长? 生自主思考后，师生共同解决如下：（出示课件18） 解:如图建立直角坐标系, 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点， 因此可设这段抛物线对应的函数是y=a(x－1)2＋3(0≤x≤3). ∵这段抛物线经过点(3,0)， ∴0=a(3－1)2＋3. 解得:a=－. 因此抛物线的解析式为:y=－(x－1)2＋3(0≤x≤3). 当x=0时,y=2.25. 答:水管长应为2.25m. 出示课件19：如图所示，已知一个大门呈抛物线型，其地面宽度AB=18m，一个同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好定在抛物线形门上C处，请你求出大门的高h的值. 学生独立思考后自主解决.（出示课件20） 解:如图,建立平面直角坐标系, 设抛物线解析式为y=ax2+k. 由题意得B（9,0），C（8,1.7）. 把B、C两点的坐标代入y=ax2+k，得 解得 ∴y=-0.1x2+8.1, ∴h=k=8.1,即大门高8.1m. 教师问：此题还可以怎样解决？ 学生答：此题还可以以AB所在直线为x轴,A点或B点为原点,建立平面直角坐标系,求得抛物线的解析式，进而得出顶点坐标,顶点的纵坐标即为h的值. （三）课堂练习（出示课件21-26） 1.抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（　 ） A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1） 2.将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3 3.完成下表: 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2 y=4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6 4.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是___________________. 5.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为 _____________. 6.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到y=-3x2. 7.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式. 8.已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式． 9.小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y=x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( ) A.3.5 m B.4 m C.4.5 m D.4.6 m 参考答案： 1.A 2.A 3. 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2(x+3)2+5 向上 直线x=－3 (－3,5) y=－3(x－1)2－2 向下 直线x=1 (1,-2) y=4(x－3)2＋7 向上 直线x=3 (3,7) y=－5(2－x)2－6 向下 直线x=2 (2,-6) 4. 5. 6.答：先向左平移一个单位，再向下平移两个单位. 7.解：设该二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k，由题意得y=5(x+1)2+3. 8.解：由函数顶点坐标是（1，-2）， 设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-2. 因为图象过点(0，0)，则0=a(0-1)2-2， 解得a=2. 所以这个二次函数的关系式为y=2(x-1)2-2. 9.解析：由图可以知道，小敏与篮底的距离就是AB.因为AB=OA+OB,OA=2.5m，所以要求OB即可，而OB就是篮圈中心的横坐标，设为a，则篮圈中心的坐标就是（a，3.5），点在抛物线上，即：3.5=a2+3.5，整理得：a2=2.25,即a=±1.5,a=-1.5（舍去），故a=1.5，因此AB=4. （四）课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看. （五）课前预习 预习下节课（22.1.4第1课时）的相关内容. 七、课后作业 1.教材习题22.1第5题. 2.配套练习册内容 八、板书设计： 九、教学反思： 前面的几个课时是从最基本的二次函数图象入手开始探索，已初步对二次函数的性质进行了归纳，因此本课时的内容算是对前面内容的小结.所以教学时教师应大胆放手让学生自主归纳与探究，教师给予引导和提示并让学生适时进行练习，以巩固所学，在这一过程中应注意渗透数形结合的思想方法. 学科网（北京）股份有限公司 $