22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学设计（人教版）

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=ax²的图象画法与性质，通过篮球运动路线的生活实例导入，引出抛物线，搭建生活与数学的联系，引导学生从具体情境抽象出二次函数模型，为后续性质探究奠定基础。 该资料以学生动手操作为特色，通过分组画y=x²、y=-x²图象，经历列表描点连线过程，培养几何直观和抽象能力。对比a>0与a<0时的图象特征，归纳开口方向、对称轴等性质，发展推理意识。结合正方形周长与面积关系等实例，让学生用数学语言解决问题，提升应用意识，帮助教师高效教学，促进学生主动探究。

22.1 二次函数的图象和性质 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 一、教学目标 【知识与技能】 1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念； 2.掌握二次函数y=ax2的性质，能确定二次函数y=ax2的表达式. 【过程与方法】 通过画出简单的二次函数探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征. 【情感态度与价值观】 使学生经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯. 二、课型 新授课 三、课时 1课时 四、教学重难点 【教学重点】 1.二次函数y=ax2的图象的画法及性质； 2.能确定二次函数y=ax2的解析式. 【教学难点】 1.用描点法画二次函数y=ax2的图象，探索其性质； 2.能依据二次函数y=ax2的有关性质解决问题. 五、课前准备 课件、三角尺、铅笔等. 六、教学过程 （一）导入新课 1.你们喜欢打篮球吗？（出示课件2） 2.你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 学生自主思考. （二）探索新知 探究一：二次函数y=ax2的图象的画法 出示课件4：画出二次函数y=x2的图象. 学生分组画y=x2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导. ⑴列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 ⑵描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）（出示课件5） ⑶连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象． 当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：（出示课件6） 教师归纳：二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 出示课件7：画出二次函数y=-x2的图象. 学生分组画y=-x2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导. ⑴列表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 ⑵描点： ⑶连线： 探究二：二次函数y=ax2的图象性质 出示课件8：教师问：根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. 学生交流后，师生共同总结如下： 1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． 出示课件9：教师问：说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. 学生交流后，师生共同总结如下： 1.y＝-x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（0，0）; 5.图象有最高点． 教师归纳：（出示课件10）二次函数y=ax2的图象性质： 1.顶点都在原点（0,0）; 2.图像关于y轴对称; 3.当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下． 师生共同探究：观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？（出示课件11） 教师强调：二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称. 探究三：二次函数y=ax2的性质 出示课件12：观察图形，y随x的变化如何变化？ 教师归纳：（出示课件13）对于抛物线y=ax2（a＞0）， 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小. 师生共同探究：观察图形，y随x的变化如何变化？（出示课件14） 教师归纳：（出示课件15）对于抛物线 y =ax2（a＜0） 当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x<0时，y随x取值的增大而增大. 出示课件16：在同一直角坐标系中，画出函数的图象． 将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰当的描述. 解：分别填表，再画出它们的图象，如图： x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 出示课件17：师生共同探究：二次函数的图象开口大小与a的大小有什么关系？ 教师归纳：当a>0时，a越大，开口越小. 出示课件18：在同一直角坐标系中，画出函数的图象． 将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰当的描述. 解：分别填表，再画出它们的图象，如图： x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 出示课件19：师生共同探究：二次函数的图象开口大小与a的大小有什么关系？ 教师归纳：当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小. 对于抛物线y=ax2，｜a｜越大，抛物线的开口越小． 师生共同完善认知：（出示课件20） 出示课件21：填一填： （1）函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ; （2）函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ，顶点是抛物线的最 点; ⑶函数y=x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ，顶点是抛物线的最 点; ⑷函数y=－0.2x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 . 学生独立思考后，口答如下： ⑴向上；y轴；(0,0) ⑵向下；y轴；(0,0)；高 ⑶向上；y轴；(0,0)；低 ⑷向下；y轴；(0,0) 出示课件22：例 已知y=(m+1)xm2+m是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式. 学生自主思考后，师生共同解答如下： 解: 依题意有: 解②,得m1=－2,m2=1. 由①,得m>－1. 因此m=1. 此时,二次函数为y=2x2. 出示课件23：已知是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k= . 学生独立思考后，自主解答如下： 解：是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0. 因此，，解得k=2. 探究四：二次函数y =ax2的实际应用 出示课件24：师生共同认知：二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型. 出示课件25：例 已知正方形的周长为Ccm，面积为Scm2， （1）求S与C之间的二次函数关系式； （2）画出它的图象； （3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长； （4）根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2. 学生独立思考后，师生共同解答.（出示课件26） 解：（1）∵正方形的周长为Ccm， ∴正方形的边长为cm， ∴S与C之间的关系式为S=； （2） 作图如图： （3）当S=1cm2时，C2=16，即C=4cm； （4）若S≥4cm2，即≥4，解得C≥8，或c≤-8(舍去），因此C ≥ 8cm. 出示课件27：已知二次函数y＝2x2. (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；(填“>”“＝”或“<”)； (2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和． 学生独立思考后，自主解答：（出示课件28） (2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴， ∴OA＝OB, ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积， ∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16. 教师总结如下：（出示课件29） 二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解． （三）课堂练习（出示课件30-34） 1.已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）,B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ） A.y1＞0＞y2 B.y2＞0＞y1 C.y1＞y2＞0 D.y2＞y1＞0 2.函数y=2x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 3.函数y=-3x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 4.如图，观察函数y=（k-1）x2的图象,则k的取值范围是 . 5.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： 开口方向 对称轴 顶点坐标 6.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围． 7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 参考答案： 1.C 2.向上；y轴；(0,0)；减小；增大 3.向下；y轴；(0,0)；增大；减小 4.k>1 5. 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 y轴 （0,0） 向下 y轴 （0,0） 向上 y轴 （0,0） 向下 y轴 （0,0） 6.解：在二次函数y=x2中，a=1＞0 因此当x=0时，y有最小值. ∵当x≥m时，y最小值=0， ∴m≤0． 7.解：由题意得 解得 因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)． ∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围成的三角形面积S△ABO＝S△ACO＋S△BOC.在△BOC中，OC边上的高就是B点的横坐标值的绝对值1；在△ACO中，OC边上的高就是A点的横坐标值的绝对值4. 因此S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝×4×1+×4×4＝10. （四）课堂小结 1.画二次函数y=ax2的图象时，有哪些地方是你需关注的？ 2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax2的性质的？ 3.本节课你还存在哪些疑问？. （五）课前预习 预习下节课（22.1.3第1课时）的相关内容. 七、课后作业 1.教材41页习题22.1第3,4题 2.配套练习册内容 八、板书设计： 九、教学反思： 本课时的设计比较注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行对比.本课的目的是要让学生通过动手操作，经历探索归纳的思维过程，逐步获得图象传达的信息，熟悉图象语言，进而形成函数思想. 学科网（北京）股份有限公司 $