22.1.1 二次函数-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学设计（人教版）

22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 一、教学目标 【知识与技能】 1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 【过程与方法】 通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征. 【情感态度与价值观】 在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣. 二、课型 新授课 三、课时 1课时 四、教学重难点 【教学重点】 结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念. 【教学难点】 1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系； 2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件. 五、课前准备 课件 六、教学过程 （一）导入新课 如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？（出示课件2） 教师问：上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？ （二）探索新知 探究一 二次函数的概念 出示课件4：教师问：正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为 . 学生答：y=6x2①. 出示课件5：教师问：多边形的对角线总条数d与边数n有什么关系？ 如果多边形有n条边,那么它有 个顶点,从一个顶点出发,可以作 条对角线. 学生答：n；（n-3） 教师问：多边形的对角线总数为 ，即 . 学生答：d=n(n-3)；d=n2-n② 教师强调：②式表示了多边形的对角线总条数d与边数n之间的关系,对于n的每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数. 出示课件6：教师问：某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？ 这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 件,再经过一年后的产量是 件,即两年后的产量为 ，即 . 学生答：20(1+x)；20(1+x)2；y=20（1+x）2；y=20x2+40x+20③ 教师强调：③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数. 出示课件7：教师问：函数①②③有什么共同点? 学生以小组形式讨论，并由每组代表总结. 出示课件8：教师问：认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数． 函数解析式 自变量 函数 y=6x2 d=n2-n y=20x2+40x+20 学生答：x；y；n；d；x；y 教师问：这些函数有什么共同点？ 学生答：这些函数自变量的最高次项都是二次的！ 出示课件9：教师归纳：二次函数的定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数，叫做二次函数. 教师强调： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式. （2）a,b,c为常数，且a≠0. （3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. （4）x的取值范围是任意实数. 出示课件10：教师归纳：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数，一次项系数和常数项. 出示课件11：教师归纳：二次函数的形式： 二次函数的一般形式:y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0). 二次函数的特殊形式: 当b＝0时，y＝ax2＋c.（只含有二次项和常数项） 当c＝0时，y＝ax2＋bx.（只含有二次项和一次项） 当b＝0，c＝0时，y＝ax2.（只含有二次项） 出示课件12：例1 下列函数中是二次函数的有 . 学生自主思考后，学生口答：①⑤⑥ 出示课件13：师生共同完善认知：运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0. 出示课件14：下列函数中,哪些是二次函数？ (1) y=3(x-1)²+1；⑵； (3) s=3-2t²； ⑷； (5)y=(x+3)²-x²；(6) v=10πr²； (7) y=x²+x³+25；(8) y =2²+2x. 学生自主思考后解答：⑴⑶⑹是，⑵⑷⑸⑺⑻不是. 出示课件15：例2 关于x的函数是二次函数, 求m的值. 学生共同思考后，师生共同解答如下： 解:由二次函数的定义得m2-m=2,m+1≠0. 解得m=2. 因此当m=2时，函数为二次函数. 教师强调：注意：二次函数的二次项系数不能为零. 出示课件16：是二次函数，求常数a的值. 学生自主思考后，独立解答. 解：根据二次函数的定义，得 解得a=-1. 探究二 根据实际问题确定二次函数解析式 师生共同完善认知：（出示课件17） 根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤： ①审题：仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转化为符号语言； ②列式：根据实际问题中的等量关系，列二次函数关系式，并化成一般形式； ③取值：联系实际，确定自变量的取值范围. 出示课件18：例 一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围.当x=12m时，计算菜园的面积. 师生共同分析后，共同解答. 解：由题意得：y=x(40-2x). 即y=-2x2+40x.(0<x<20) 当x＝12m时，菜园的面积为y=-2x2+40x=-2×122+40×12=192（m2）. 教师点拨：确定实际问题中的二次函数关系式时，常常用到生活中的经验及数学公式（例长方形和圆的面积、周长公式）等. 出示课件19：做一做: ①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式； ②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数关系式； ③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式. 学生自主思考后，口答： ①y=πx2(x>0)； ②y=2(1+x)2(x>0)； ③S=4πr2(r>0). 说一说以上二次函数解析式的各项系数. （三）课堂练习（出示课件20-24） 1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c C.s=2t2-2t+1 D.y=x2+ 2.已知函数 y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 3.下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为( ) A.y=ax2+bx+c B.y2=x2-4x+1 C.y=x2 D.y=22+x+1 4.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是( ) A.m,n是常数,且m≠0 B.m,n是常数,且n≠0 C.m,n是常数,且m≠n D.m,n为任何实数 5.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式. 6.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式. 7.当m为何值时，函数y=(m-4)xm²-5m+6+mx是关于x的二次函数. 参考答案： 1.C 2.解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0， 解得m=0或m=1，又∵m﹣1≠0即m≠1, ∴当m=0时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义， 得：m2﹣m≠0，解得m1≠0，m2≠1, ∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数. 3.C 4.C 5.S=4πr2. 6.m=n(n-1),即m=n2-n. 7.解：由二次函数的定义，得 解得m=1. ∴当m=1时，函数y=(m-4)xm²-5m+6+mx是关于x的二次函数. （四）课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看. （五）课前预习 预习下节课（22.1.2）的相关内容. 七、课后作业 1.教材习题22.1第1、2、8题； 2.配套练习册内容 八、板书设计： 九、教学反思： 本课时的内容涉及到初中第二个函数内容，由于前面有了学习一次函数的经验，因此教师教学时可在学生以往经验的基础上，创设丰富的现实情境，使学生初步感知二次函数的意义，进而能从具体事物中抽象出数学模型，并列出二次函数的解析式. 教学时应注重引导学生探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重学生的过程经历和体验，让学生领悟到现实生活中的数学问题，提高研究与应用能力. 学科网（北京）股份有限公司 $