21.2.3 因式分解法-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学设计（人教版）

21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法 一、教学目标 【知识与技能】 1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程. 2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性. 【过程与方法】 在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力. 【情感态度与价值观】 通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性. 二、课型 新授课 三、课时 1课时 四、教学重难点 【教学重点】 会用因式分解法解一元二次方程. 【教学难点】 理解并应用因式分解法解一元二次方程. 五、课前准备 课件 六、教学过程 （一）导入新课 1.解一元二次方程的方法有哪些？（出示课件2） 学生答： 直接开平方法：x2=a (a≥0)， 配方法：(x+m)2=n (n≥0)， 公式法：x=（b2-4ac≥0）. 2. 什么叫因式分解? 学生答：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式. 3.分解因式的方法有那些?（出示课件3） 学生答：（1）提取公因式法:am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法:a²-b²=(a+b)(a-b), a²±2ab+b²=(a±b) ². （3）十字相乘法. 教师问：下面的方程如何使解答简单呢？ x2+25x=0. 出示课件5： 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x2. 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s） 教师问：你能根据题意列出方程吗？ 学生答：设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0m，即10x-4.9x2=0. 教师问：你能想出解此方程的简捷方法吗？ （二）探索新知 探究 因式分解法的概念 学生用配方法和公式法解方程10x-4.9x2=0.（两生板演） 配方法解方程10x-4.9x2=0. 解：， 公式法解方程10x-4.9x2=0. 解：， a=4.9，b=－10，c=0. b2－4ac= (－10)2－0=100， 教师引导学生尝试找出其简洁解法为：（出示课件7） x(10-4.9x)=0. ∴x=0或10-4.9x=0, ∴x1=0,x2=≈2.04. 这种解法是不是很简单？ 教师问：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的? x(10-4.9x)=0， ① x=0或10-4.9x=0,② 通过学生的讨论、交流可归纳为：（出示课件8） 可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解法叫做因式分解法． 教师提示：（出示课件9） 1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的方法; 3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0 ”. 师生共同归纳：（出示课件10） 分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.将方程右边化为等于0的形式； 2.将方程左边因式分解为A×B； 3.根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程； 4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根. 例1 解下列方程：（出示课件11） （1）x(x-2)+x-2=0; (2)5x2-2x-=x2-2x+. 师生共同解答如下： 解：（1）因式分解，得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.∴x1=2,x2=-1; （2）原方程整理为4x2-1=0.因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0.∴2x+1=0或2x-1=0.∴x1=-,x2=. 想一想 以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点. 学生思考后，教师总结如下：（出示课件12） 一.因式分解法简记歌诀： 右化零，左分解；两因式，各求解. 二.选择解一元二次方程的技巧： 1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的方程. 2.因式分解法适用于能化为两个因式之和等于0的形式的方程. 3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程. 出示课件13：解下列方程： 学生自主思考并解答.（六生板演） 解：⑴因式分解，得 x(x+1)=0. 于是得x=0或x+1=0， x1=0,x2=－1. ⑵因式分解，得x（x-2）=00 于是得x=0或x-2=0 x1=0,x2=2. ⑶将方程化为x2－2x+1 = 0. 因式分解，得 (x－1)(x－1)=0. 于是得x－1=0或x－1=0， x1=x2=1. ⑷因式分解，得 (2x+11)(2x－11)=0. 于是得2x+11=0或2x-11=0， x1=-5.5,x2=5.5. ⑸将方程化为6x2－x－2=0. 因式分解，得(3x－2)(2x+1)=0. 于是得3x－2=0或2x+1 = 0， x1=，x2=. ⑹将方程化为(x－4)2－(5－2x)2=0. 因式分解，得 (x－4－5+2x)(x－4+5－2x)=0. (3x－9)(1－x)=0. 于是得3x－9=0或1-x=0， x1=3，x2=1. 出示课件16：用适当方法解下列方程： (1)(1−x)2=； (2)x2－6x－19＝0； (3)3x2＝4x＋1; (4)y2－15＝2y； (5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0； (6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2. 教师提示：根据方程的结构特征，灵活选择恰当的方法来求解.四种方法的选择顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法． 师生共同解答如下.（出示课件17,18,19） 解：(1)(1－x)2＝3，∴(x－1)2＝3，x－1＝±. ∴x1＝1＋，x2＝1－. (2)移项，得x2－6x＝19. 配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28. ∴x－3＝±2.∴x1＝3＋2，x2＝3－2 . (3)移项，得3x2－4x－1＝0. ∵a＝3，b＝－4，c＝－1， ∴x＝＝. ∴x1＝，x2＝. (4)移项，得y2－2y－15＝0. 把方程左边因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0. ∴y－5＝0或y＋3＝0. ∴y1＝5，y2＝－3. (5)将方程左边因式分解，得(x－3)[5x－(x＋1)]＝0. ∴(x－3)(4x－1)＝0. ∴x－3＝0或4x－1＝0.∴x1＝3，x2＝. 6)移项，得 4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0. ∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0. ∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0. ∴(11x－8)(x＋12)＝0. ∴11x－8＝0或x＋12＝0.∴x1＝，x2＝－12. 出示课件20,21：用适当的方法解下列方程： (1)x2－＝0； (2) 5(3x＋2)2＝3x(3x＋2)． 学生自主思考并解答. 解：(1)∵x2－＝0， ∴x2＝，即x＝±. ∴x1＝，x2＝－. ⑵原方程可变形为5(3x＋2)2－3x(3x＋2)＝0， ∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0. ∴3x＋2＝0或12x＋10＝0. ∴x1＝－，x2＝－. （三）课堂练习（出示课件22-30） 1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ． 2. 解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）． 3.解下列方程： （1）x2+4x-9=2x-11； （2）x(x+4)=8x+12. 4.小华在解一元二次方程 x2－x＝0 时，只得出一个根 x＝1，则被漏掉的一个根是（ ） A．x＝4 B．x＝3 C．x＝2 D．x＝0 5.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程． ①x2－3x＋1＝0； ②(x－1)2＝3； ③x2－3x＝0； ④x2－2x＝4. 我选择______________________. 6.解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0. 参考答案： 1.-3 2.解：2（x﹣3）=3x（x﹣3）， 移项得 2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0， 因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0， x﹣3=0或2﹣3x=0， 解得：x1=3,x2=． 3.解：⑴x2+2x+2=0， (x+1)2=-1. 此方程无解. ⑵x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6,x2=-2. 4.D 5.解：答案不唯一．若选择①， ①适合公式法， x2－3x＋1＝0， ∵a＝1，b＝－3，c＝1， ∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝. ∴x1＝，x2＝. 若选择②， ②适合直接开平方法， ∵(x－1)2＝3， x－1＝±， ∴x1＝1＋，x2＝1－. 若选择③ ， ③适合因式分解法， x2－3x＝0， 因式分解，得 x(x－3)＝0. 解得 x1＝0，x2＝3. 若选择④， ④适合配方法， x2－2x＝4， x2－2x＋1＝4＋1＝5， 即(x－1)2＝5. 开方，得x－1＝±. ∴x1＝1＋，x2＝1－. 5.提示：把(x2＋3)看作一个整体来提公因式，再利用平方差公式，因式分解. 解：设 x2＋3＝y，则原方程化为 y2－4y＝0. 分解因式，得 y(y－4)＝0，解得 y＝0，或 y＝4. ①当 y＝0 时，x2＋3＝0，原方程无解； ②当 y＝4 时，x2＋3＝4，即 x2＝1.解得 x＝±1. 所以原方程的解为 x1＝1，x2＝－1. （四）课堂小结 1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细节问题？ 2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会? ⑴公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）. ⑵方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法. （五）课前预习 预习下节课（21.2.4）的相关内容。 七、课后作业 1.教材12页练习2 2.配套练习册内容 八、板书设计： 九、教学反思： 1.本节课围绕利用因式分解法解一元二次方程这一重点内容，教师通过问题情境以及学生的合作交流，使学生的问题凸现出来，让学生迅速掌握解题技能，并探讨出解题的一般步骤，使学生知道因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，提高解题速度. 2.学生已经学过多项式的因式分解，所以对本课内容并不陌生，通过本课学习，让学生更能领会因式分解在数学领域的广泛应用. 3.本节课有大量的基础计算问题，也有符合不同学生层次的问题，力争让所有学生学有所得，提高课堂效率. 4.解一元二次方程是本章教学的重中之重，如何正确选择用不同方法解一元二次方程是关键，本节课中的计算题有一题多解问题，体现了选择“最优化”解方程方法的问题. 学科网（北京）股份有限公司 $