21.2.2 公式法-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学设计（人教版）

该初中数学教学设计聚焦公式法解一元二次方程，核心为求根公式推导与应用。课堂导入先通过配方法解方程回顾步骤，再引导用配方法推导一般形式ax²+bx+c=0的求根公式，搭建从旧知到新知的学习支架。 特色在于引导学生自主探索求根公式，培养推理意识与运算能力，结合根的判别式探究（如例2讨论m取值对根的影响）发展抽象能力，学生动手训练为主提升参与感，教师可通过环节发现教学问题，助力夯实方程求解基础。

21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法 一、教学目标 【知识与技能】 1.理解并掌握求根公式的推导过程； 2.能熟练应用公式法求一元二次方程的解. 【过程与方法】 经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力. 【情感态度与价值观】 用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度. 二、课型 新授课 三、课时 1课时 四、教学重难点 【教学重点】 用公式法解一元二次方程. 【教学难点】 推导一元二次方程求根公式的过程. 五、课前准备 课件 六、教学过程 （一）导入新课 1.利用配方法解一元二次方程（出示课件2） 学生板演如下： 解：移项，得， 配方 由此可得， 2. 用配方法解一元二次方程的步骤?（出示课件3） 学生口答： 化：把原方程化成 x2＋px＋q = 0 的形式. 移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q. 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方. x2＋px＋()2=－q＋()2 开方：根据平方根的意义，方程两边开平方. (x+)2=－q＋()2 求解：解一元一次方程. 定解：写出原方程的解. 我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？ （二）探索新知 探究一 公式法的概念 教师问：一元二次方程的一般形式是什么？（出示课件5） 学生答：ax2＋bx＋c=0(a≠0). 教师问：如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？ 师生共同探究：用配方法解一般形式的一元二次方程 （出示课件6） 解:移项，得ax2+bx=-c. 二次项系数化为1，得x2+x=-. 配方，得x2+x+ =-+， 即. 教师问：（1）两边能直接开平方吗？为什么？ （2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法. 师生共同完善认知：（出示课件7） 当 ， . 出示课件8：由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).当b2-4ac≥0时，将a，b，c 代入式子x=，就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根. 例1用公式法解方程：(1)x2-4x-7=0; （出示课件9） 学生思考后，共同解答如下： 解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0. ∴ (2)2x2-2x+1=0;（出示课件10） 教师问：这里的a、b、c的值分别是什么？ 解： 则方程有两个相等的实数根： （3）5x2-3x=x+1;（出示课件11） 解：原方程可化为 ， 则方程有两个不相等的实数根 （4）x2+17=8x.（出示课件12） 解：原方程可化为， ， 方程无实数根. 教师归纳：（出示课件13） ⑴当∆=b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根; ⑵当∆=b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根; ⑶当∆=b2-4ac＜0时，一元二次方程没有的实数根. 教师问：用公式法解一元二次方程的步骤是什么？ 学生思考后，共同总结如下：（出示课件14） 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.将方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2.求出 ∆ 的值. 3. (1)当 ∆ >0 时，代入求根公式：，写出一元二次方程的根. (2)当∆=0时，代入求根公式：，写出一元二次方程的根. （3）当∆<0时，方程无实数根. 出示课件15：用公式法解方程： 学生自主思考并解答. 解：a=3, b=-6, c=-2, ∆=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60. 探究二 一元二次方程的根的情况 出示课件16：用公式法解下列方程： （1）x2＋x－1=0；（2）x2－＋3=0；（3）2x2－2x＋1=0. 学生板演后，教师问：观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？ 教师进一步问：（出示课件17）不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ ⑴x2＋2x－8=0； ⑵x2=4x－4； ⑶x2－3x=－3. 学生思考后回答： （1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根. 教师问：你有什么发现？ 学生答：b2－4ac的符号决定着方程的解. 师生共同总结如下：（出示课件18） 一元二次方程的根的情况 ⑴当b2-4ac＞0 时，有两个不等的实数根： （2）当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根： （3）当b2-4ac<0时，没有实数根. 一般的，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b2-4ac. 出示课件20，21：例1 不解方程，判断下列方程根的情况： （1）；（2）x2+4x=2. （3）4x2+1=-3x;（4）x²-2mx+4（m-1）=0. 师生共同讨论解答如下： 解：⑴a＝﹣1，b＝，c＝﹣6, ∵△= b2-4ac=24－4×（﹣1）×（-6）=0. ∴该方程有两个相等的实数根. ⑵移项，得 x2+4x-2=0, a＝1，b＝4 ，c＝﹣2, ∵△=b2-4ac=16-4×1×（-2）=24＞0. ∴该方程有两个不相等的实数根. ⑶移项，得4x2+3x+1=0， a＝4，b＝3 ，c＝1, ∵ △= b2-4ac=9-4×4×1=-7＜0. ∴该方程没有实数根. ⑷a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）, ∵ △= b2-4ac =（-2m）²-4×1×4（m-1） =4m2-16（m-1） =4m2-16m+16 =（2m-4）2≥0. ∴该方程有两个实数根. 选一选：（出示课件22） （1）下列方程中，没有实数根的方程是（ ） A.x²=9 B.4x² =3(4x-1) C.x(x+1)=1 D.2y² +6y+7=0 （2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（ ） A.b²-4ac＞0 B.b²-4ac＜0 C.b²-4ac≤0 D.b²-4ac≥0 学生口答：⑴D⑵D 出示课件23：例2 m为何值时，关于x的一元二次方程 2x2-（4m+1）x+2m2-1=0： （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？ 学生思考后，教师板演解题过程： 解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1, b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9. （1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac ＞0，即8m+9＞0，∴m＞； （2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0，∴m=； （3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0, ∴m＜. ∴当m＞时，方程有两个不相等的实数根；当m=时，方程有两个相等的实数根；当m＜时，方程没有实数根. 出示课件24：m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根. 学生自主思考并解答. 解：b2−4ac=[−(m−1)]2−4[−3(m+3)] =m2+10m+37 =m2+10m+52−52+37 =(m+5)2+12. ∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0, ∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0, ∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根. （三）课堂练习（出示课件25-29） 1.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1 2.解方程x2﹣2x﹣1=0． 3.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有一个实数根 D.没有实数根 4.关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等 的实根，则k的取值范围是（ ） A.k>-1 B.k>-1且k≠ 0 C.k<1 D.k<1且k≠0 5.已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根. 参考答案： 1.D 2.解：a=1，b=﹣2，c=﹣1， △=b2﹣4ac=4+4=8＞0， 所以方程有两个不相等的实数根， 3.B 4.B 5.证明：∵没有实数根， ∴ 4-4(1-m)<0, ∴m<0. 对于方程 x2＋mx＝1-2m ，即 . ，∵，∴△>0. ∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根. （四）课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看. （五）课前预习 预习下节课（21.2.3）的相关内容。 七、课后作业 1.教材12页练习1,2 2.配套练习册内容 八、板书设计： 九、教学反思： 1.本课容量较大，难度较大，计算的要求较高，因此在教学设计各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开，问题设计，课堂学习有利于学生强化运算能力，掌握基本技能，也有利于教师发现教学中存在的问题. 2.在教学设计中，引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，在师生讨论中发现求根公式，并学会利用公式解一元二次方程. 3.整个课堂都以学生动手训练为主，让学生积极介入探索活动，体验到成功的喜悦. 4.公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法，它使解一元二次方程更加简便，在公式的运用中，涉及到根的判别式，使公式法解一元二次方程得到延续和深化. 学科网（北京）股份有限公司 $