山西省临县2025-2026学年人教版九年级上学期数学期中质量模拟卷

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 2025-2026学年山西省临县九年级数学期中质量模拟卷 时间120分钟 满分120分 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教版九年级第21章---第24.1。 6．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．中国银行业的产生可追溯到1000多年前的唐代，当时出现了一些兼营银钱的机构，如邸店、质库等；随后，宋代有钱馆、钱铺，明代有钱庄、钱肆，清代有票号、汇票庄等．下列银行图标中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 5．对于关于的一元二次方程，下列说法错误的是（　　） A．若方程的两个根是和，则 B．若，则方程有一个根是 C．若是方程的一个根，则一定有成立 D．若，且方程有实数根，则 6．如图，将绕点C顺时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 8．某县大力治理生态环境，发展生态旅游，吸引了全国各地的游客．2023年暑假，该县接待游客35万人次，2025年增长至86万人次．设这两年暑假，该县接待旅游人次的年平均增长率为，则可列方程（　　） A． B． C． D． 9．山西省太原市金源区稻花城蔬菜大棚自实施以来，既提高了蔬菜的产能，又增加了村民的经济收入．如图，这是某蔬菜大棚的截面图（近似看成二次函数的图象——抛物线），其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 10．一个圆形人工湖如图所示，弦是湖上的一座桥，已知桥长，测得圆周角，则这个人工湖的直径为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若关于的方程有一个根为2，则的值为 ． 12．如图，在等边三角形中，P是内的一点，连接．若将绕点B逆时针旋转到的位置，点P的对应点为，则的度数是 °． 13．若二次函数部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则关于的一元二次方程的根为： ．    14．在数学活动课上，老师让同学们测一个残缺圆形工件（如图所示）的半径，实践小组给出了解决方案：在工件圆弧上任取两点，连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，交弦于点，经测量，，则圆形工件的半径为 ． 15．如图，中，，，点是边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到（点的对应点分别为）．若点到两点的距离相等，则的长为 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（10分）（1）解方程：． （2）求抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴． 17．（8分）如图，是内的一条弦．    (1)尺规作图（保留作图痕迹，标明字母）：作弦的垂直平分线，与交于点（垂足为），与交于点，（点在弦的上方），连接，． (2)在所作的图中，若，的半径为13，求的长． 18．（8分）已知关于x的方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)当为何值时，方程的两根互为相反数？请说明理由． 19．（8分）初秋金风至，盛会今又临．8月21日至25日，第七届山西文化产业博览交易会在山西潇河国际会展中心成功举办，其中餐饮区的山西刀削面颇受游客们的喜爱．它中厚边薄，棱角分明，入口外滑内筋，软而不粘，越嚼越香． 素材1 据统计，某摊位面馆6月份的销售量为5000碗，8月份的销售量为7200碗； 素材2 6、7、8三个月的平均增长率为； 素材3 这个摊位一份刀削面成本价为10元，若每份卖16元，平均每天售出200份； 素材4 在销售过程中发现，如果降低单价，销量会增加．若价格每降低0.5元，平均每天多销售40份． 任务1 求出的值． 任务2 每份刀削面价格是多少元时，该摊位能实现每天1440元的利润． 根据上述素材，解决任务1、任务2的问题． 20．（8分）如图，抛物线经过坐标原点，且与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)直接写出当时的取值范围； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 21．（8分）阅读与思考：下面是一篇数学小论文中的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程．都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时．两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】以一元二次方程为例， 设（为常数）， 则原方程化为，① 整理，得，② 即，③ 为使方程③不含的一次项，令， 此时，则， 所以，方程③化为， 解，得，， 所以，________，________． 【类比推广】按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． …… 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解________，________； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 22．（12分）综合与实践 某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状可近似看作抛物线，如图2，已知车棚建在两面墙之间，为水平地面，，，消防喷淋头安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为3米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点处，米，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，单位长度为1米． (1)求最外层水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若在处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险，则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否存在安全隐患？请判断并说明理由； (3)已知车棚的宽度为11米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖至少离地面1米高的全部范围，工作人员想在棚顶上加装一个相同型号（喷出水柱的形状相同）的消防喷淋头，请求出消防喷淋头与消防喷淋头的距离的取值范围． 23．(13分)综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师带领同学们利用等腰三角形纸片开展活动．老师先提出一个问题：如图1，是一张等腰三角形纸片，，，将纸片沿底边中线剪开，得到和，那么，及的长度分别是多少？ （1）请解答老师的问题．（直接写出，及的长度） 动手实践 （2）勤学小组的同学将图1中的沿方向平移得到，如图2，点，，的对应点分别为，，，与交于点，连接，试判断的形状，并说明理由． （3）奋斗小组的同学将图1中的绕点逆时针旋转得到，如图3，点和点的对应点分别为和，当所在直线与所在直线重合时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 2025-2026学年山西省临县九年级数学期中质量模拟卷 （解析版） 时间120分钟 满分120分 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教版九年级第21章---第24.1。 6．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为（a，b，c为常数且）．方程移项把右边化为0，左边按照x的降幂排列即可． 【详解】解：将方程化成一元二次方程的一般形式得：． 故选：D． 2．中国银行业的产生可追溯到1000多年前的唐代，当时出现了一些兼营银钱的机构，如邸店、质库等；随后，宋代有钱馆、钱铺，明代有钱庄、钱肆，清代有票号、汇票庄等．下列银行图标中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 3．如图，是的直径，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，先根据圆周角定理求出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选C． 4．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的平移规律． 先将原抛物线化为顶点式，再根据“上加下减常数项，左加右减自变量”计算即可． 【详解】解：， 则将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为：． 故选：A． 5．对于关于的一元二次方程，下列说法错误的是（　　） A．若方程的两个根是和，则 B．若，则方程有一个根是 C．若是方程的一个根，则一定有成立 D．若，且方程有实数根，则 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的与系数的关系，解一元二次方程以及根的判别式． 根据根的与系数的关系可判断A，根据一元二次方程的解法可判断B，根据一元二次方程的根可判断C，根据根的判别式可判断D，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵方程的两个根是和， ∴， ∵， ∴， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，， ∴方程有一个根是，原选项说法正确，不符合题意； 、∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，原选项说法不一定正确，符合题意； 、∵， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 6．如图，将绕点C顺时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和平行线的性质． 利用旋转的性质得出，再利用等腰三角形的性质得出，可得． 【详解】解：由旋转知，，， ， ， ， ， ， 故选B． 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 8．某县大力治理生态环境，发展生态旅游，吸引了全国各地的游客．2023年暑假，该县接待游客35万人次，2025年增长至86万人次．设这两年暑假，该县接待旅游人次的年平均增长率为，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握年平均增长率的计算方法是解题的关键．根据年平均增长率的概念，先求出2024年的游客人次，再求出2025年的游客人次，使其等于86万人次，从而列出方程． 【详解】解：由题意可得． 故选：C． 9．山西省太原市金源区稻花城蔬菜大棚自实施以来，既提高了蔬菜的产能，又增加了村民的经济收入．如图，这是某蔬菜大棚的截面图（近似看成二次函数的图象——抛物线），其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】解：由题意，设抛物线的解析式为，点的坐标为， 将代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为， 将代入得：，即， 则， 故选：D． 10．一个圆形人工湖如图所示，弦是湖上的一座桥，已知桥长，测得圆周角，则这个人工湖的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及圆的基本性质、圆周角定理、勾股定理等知识，连接，如图所示，由圆周角定理得到，由圆的半径相等，设，由勾股定理求出，进而得到答案．熟练掌握圆周角定理、圆中求线段长的方法是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ，， ， ， 设， 在中，，，，则由勾股定理可得， 解得，即， 直径为， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若关于的方程有一个根为2，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查利用一元二次方程的解求参数，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，由于2是方程的一个根，代入即可求得的值． 【详解】解：∵2是方程有一个根， ∴， 解得：， 故答案为：5． 12．如图，在等边三角形中，P是内的一点，连接．若将绕点B逆时针旋转到的位置，点P的对应点为，则的度数是 °． 【答案】60 【分析】本题主要是旋转图形的性质，等边三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据旋转的性质可得：，进而得到是等边三角形，继而求出，然后由图中相关角与角之间的和差关系来求的度数． 【详解】解：根据旋转的性质知，得 ， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 13．若二次函数部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则关于的一元二次方程的根为： ．    【答案】， 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与方程的关系，根据二次函数的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，然后根据图象即可求得时x的取值范围． 【详解】解：由图象可知：抛物线与x轴交于，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点为：， ∴的解为，， 故答案为：，． 14．在数学活动课上，老师让同学们测一个残缺圆形工件（如图所示）的半径，实践小组给出了解决方案：在工件圆弧上任取两点，连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，交弦于点，经测量，，则圆形工件的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理等知识，在上取一点作为圆心，连接，如图所示，根据题意表示出相关线段长度，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．熟记垂径定理构造直角三角形，勾股定理求线段长的组合是解决问题的关键． 【详解】解：在上取一点作为圆心，连接，如图所示： ， ， 设， ， ， 在中，，，，，则由勾股定理可得， 解得， 故答案为：． 15．如图，中，，，点是边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到（点的对应点分别为）．若点到两点的距离相等，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，过点作于，过点作于，连接，由旋转的性质可得，，，进而可证，得到，，利用勾股定理和等腰三角形的性质可得，即可得，设，则，，，由列出方程可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，过点作于，连接，则， 由旋转可得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（10分）（1）解方程：． （2）求抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）（2）抛物线的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】本题考查了解一元二次方程，二次函数的图象性质，把二次函数的解析式化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）先去括号，再化为顶点式，结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】解：（1）， ∴， 则， ∴， 解得； （2）依题意， ， ∴顶点坐标为，对称轴为直线． ∵， 抛物线的开口方向向上． 17．（8分）如图，是内的一条弦．    (1)尺规作图（保留作图痕迹，标明字母）：作弦的垂直平分线，与交于点（垂足为），与交于点，（点在弦的上方），连接，． (2)在所作的图中，若，的半径为13，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图复杂作图，垂径定理，解直角三角形等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）根据勾股定理解三角形可得结论； 【详解】（1）解：如图，即为所求．    （2）解：， ． 在中，根据勾股定理，得， ． 18．（8分）已知关于x的方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)当为何值时，方程的两根互为相反数？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）利用根的判别式，当时方程有两个不相等的实数根即可证明； （2）利用根与系数的关系得出，结合两根互为相反数，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴所以方程有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两根为和， 由根与系数的关系可得：， ∵两根互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴当时，方程的两根互为相反数． 19．（8分）初秋金风至，盛会今又临．8月21日至25日，第七届山西文化产业博览交易会在山西潇河国际会展中心成功举办，其中餐饮区的山西刀削面颇受游客们的喜爱．它中厚边薄，棱角分明，入口外滑内筋，软而不粘，越嚼越香． 素材1 据统计，某摊位面馆6月份的销售量为5000碗，8月份的销售量为7200碗； 素材2 6、7、8三个月的平均增长率为； 素材3 这个摊位一份刀削面成本价为10元，若每份卖16元，平均每天售出200份； 素材4 在销售过程中发现，如果降低单价，销量会增加．若价格每降低0.5元，平均每天多销售40份． 任务1 求出的值． 任务2 每份刀削面价格是多少元时，该摊位能实现每天1440元的利润． 根据上述素材，解决任务1、任务2的问题． 【答案】任务1：的值为20%；任务2：每份刀削面价格是14或14.5元时，该摊位能实现每天1440元的利润 【分析】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意列得方程是解题的关键： （1）根据平均增长率公式列方程解答即可； （2）根据每份刀削面的利润乘以数量得到总利润1440元列方程求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意，得： 解得： 由题意可知，所以不符合题意舍去 答：月平均增长率为20%． 任务2：由素材4可得：每碗面的价格每降低0.5元，平均每天多销售40份 设每份刀削面降低元， 根据题意，得： 解得：， 当时，元， 当时，元． 答：每份刀削面价格是14或14.5元时，该摊位能实现每天1440元的利润． 20．（8分）如图，抛物线经过坐标原点，且与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)直接写出当时的取值范围； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2) (3)点的坐标为或或 【分析】本题主要考查了求抛物线与轴的交点坐标，图象法解一元二次不等式，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键． （1）令，则，解一元二次方程，即可求出抛物线与轴的交点坐标； （2）由函数图象及其与轴的交点坐标即可直接得出答案； （3）根据求出点到轴的距离等于7，再分两种情况求解，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：令，则，解得，． 点的坐标为． （2）解：由函数图象及其与轴的交点坐标可知： 当时，； （3）解：点的坐标为，． 设点到轴的距离为．， ，解得． 分两种情况： ①当点在轴上方时，，解得． 点的坐标为． ②当点在轴下方时，，解得，． 点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或． 21．（8分）阅读与思考：下面是一篇数学小论文中的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程．都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时．两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】以一元二次方程为例， 设（为常数）， 则原方程化为，① 整理，得，② 即，③ 为使方程③不含的一次项，令， 此时，则， 所以，方程③化为， 解，得，， 所以，________，________． 【类比推广】按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． …… 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解________，________； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． （1）利用和的值写出和的值即可； （2）设，原方程化为，整理得，令得到，再计算出，关于y的方程化为，利用直接开平方法解方程，然后计算出对应的x的值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴；， 故答案为：，； （2）解：设（为常数）， 则原方程化为，① 整理，得，② 即，③ 为使方程③不含的一次项，令， 此时，则， 所以，方程③化为， 解得，， 所以，，． 22．（12分）综合与实践 某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状可近似看作抛物线，如图2，已知车棚建在两面墙之间，为水平地面，，，消防喷淋头安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为3米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点处，米，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，单位长度为1米． (1)求最外层水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若在处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险，则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否存在安全隐患？请判断并说明理由； (3)已知车棚的宽度为11米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖至少离地面1米高的全部范围，工作人员想在棚顶上加装一个相同型号（喷出水柱的形状相同）的消防喷淋头，请求出消防喷淋头与消防喷淋头的距离的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数解应用题，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象与性质，读懂题意，灵活运用二次函数图象与性质解决具体问题是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可得到答案； （2）将代入中，求出即可判定； （3）由题意可知，抛物线可看作是由抛物线向右平移得到的，可设抛物线的函数表达式为，将、代入求解即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 将点代入上式，得， 解得， 则抛物线的函数表达式为； （2）解：存在， 理由如下： 将代入中， 得， ， 消防喷淋头喷洒时存在安全隐患； （3）解：将代入中， 得， 解得，， 即外层水柱在1米线处的外侧点坐标为和， 设， 记顶点为的抛物线为，顶点为的抛物线为， 由题意可知，抛物线可看作是由抛物线向右平移得到的，可设抛物线的函数表达式为， 将代入中， 得， 解得（舍去），， 将代入中， 得， 解得（舍去）， ， 综上所述，. 23．(13分)综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师带领同学们利用等腰三角形纸片开展活动．老师先提出一个问题：如图1，是一张等腰三角形纸片，，，将纸片沿底边中线剪开，得到和，那么，及的长度分别是多少？ （1）请解答老师的问题．（直接写出，及的长度） 动手实践 （2）勤学小组的同学将图1中的沿方向平移得到，如图2，点，，的对应点分别为，，，与交于点，连接，试判断的形状，并说明理由． （3）奋斗小组的同学将图1中的绕点逆时针旋转得到，如图3，点和点的对应点分别为和，当所在直线与所在直线重合时，求的长． 【答案】（1），，；（2）是等腰三角形，见解析；（3） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平移以及旋转的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质可得，勾股定理求得，即可求解； （2）根据平移的性质可得，，进而证明，根据等角对等边，即可得证； （3）过点作于点，等面积法求得，勾股定理求得，根据旋转的性质求得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：（1）解：∵，， ∴， 在中，． （2）是等腰三角形． 理由如下：， ． 由平移的性质得，， ，． ，． ． ∴ 是等腰三角形． （3）如答图，过点作于点． ， ． 在中，由勾股定理得． 由旋转的性质得， ，． ． ． 学科网（北京）股份有限公司 $