2.7探索勾股定理 解答题专题提升训练 2025-2026学年浙教版（2024）八年级数学上册

2025-2026学年浙教版（2024）八年级数学上册《2.7探索勾股定理》 解答题专题提升训练（附答案） 1．在中，，设，，． (1)已知，，求c； (2)已知，，求a． 2．如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 3．如图，中，是上一点，．且．求的长． 4．如图，在中，，若，． (1)求的长； (2)求的周长和面积． 5．如图，在中，点为的中点，其中，，，，求的长． 6．四边形（如图所示）中，已知米，米，，根据以上条件，小明认为不能求出线段的长度，小亮认为可以求出线段的长度，你认为小明和小亮谁正确？如你认为小亮正确，请帮助小亮求出线段 的长度． 7．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，，点F是中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 8．在直角三角形中，，的对边分别为． (1)计算：①当时，___________； ②当时，___________； ③当时，___________； (2)通过（1）中计算出的的值，可知是整数的是___________；是分数的是___________既不是整数，也不是分数的是___________．（请填写序号） 9．为了迎接国庆70周年，南海区某镇政府采用了移动宣讲的形式进行爱国主义宣传教育．如图，笔直公路的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路的距离为1200米，假使宣讲车P周围1300米以内能听到广播宣讲，宣讲车P在公路上沿方向行驶． (1)请问村庄能否听到宣讲？并说明理由． (2)如果能听到，已知宣讲车的速度是250米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣讲？ 10．如图所示，在中，点在边上，点在边上，沿将折叠，使点与点重合，折痕为．若，，．求： (1)的周长； (2)折痕的长． 11．如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处， (1)求的长； (2)求的长． 12．如图，纬一街两侧分别有A，B两个居民区，它们到街道所在直线的距离分别为千米，千米，千米，现要在纬一街修建一个快递站，且要它到居民区A，B的距离之和最小，在图中标出快递站的位置，并求出此时快递站到居民区A，B的直线距离之和． 13．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股定理”．即在直角三角形中（如右图），．两条直角边分别为，，斜边为．则．利用勾股定理解答下列问题： (1)在直角三角形中，，，，求的长． (2)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，每个小格的顶点叫做格点． ①在图中，利用勾股定理求线段的长度． ②在图中，画一条格点线段，使． 14．数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 15．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 16．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 17．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 18．如图，一牧人在A处牧马，牧人的家在B处，A，B处距河岸的距离分别是，且C，D两地间的距离为500m，牧人准备从A处出发将马牵到河边去饮水，再赶回家． (1)为了使所走的路程最短，牧人应将马赶到河边什么地点？请你在图中画出来并说明理由； (2)请求出牧人要走的最短路程． 19．消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 20．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 参考答案 1．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理； （1）由勾股定理得，即可求解； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 2．见解析 【分析】本题考查勾股定理，先根据勾股定理得出，，再得出，根据M为中点，得出，进而进行转换可得出结论． 【详解】解：连接． 因为， 所以， 所以，， 因为， 所以． 因为M为中点， 所以， 所以． 3． 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的求解方法是解答的关键．在中，利用勾股定理求出的长，再根据线段的和差即可求得的长． 【详解】解： 在中： 4．(1)的长为6 (2)的周长等于24；的面积等于24 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的周长和面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）利用勾股定理求解； （2）利用三角形的周长和面积公式求解． 【详解】（1），，， ， 的长为6． （2）的周长等于， 的面积等于． 5．2 【分析】根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，，再利用勾股定理求出的长度，从而求出的长度；熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ， ∵点为的中点， ∴． 6．小亮正确，的长度为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，连接，先判定出为等边三角形，得到，且，求出，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：小亮正确，理由如下： 如图，连接， ，， 为等边三角形， ，且， ， ， 在 中，， 根据勾股定理得： ， 即， ， 的长度为． 7．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理， 对于（1），连结，根据直角三角形的性质得，进而得，再根据直角三角形两个锐角互余得出答案； 对于（2），先根据勾股定理求出，可得，再结合（1）得，最后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）证明：连结，如图， ∵是边上的高线， ∴. ∵是边上的中线， ∴E是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点F是中点， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵点F是中点， ∴. ∵，E是边上的中点， ∴， ∴， ∵， 在直角三角形中，由勾股定理得：． 8．(1)①3；②16；③ (2)②；③；① 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数的分类，熟知勾股定理是解题的关键． （1）①②③根据勾股定理可得，据此代值计算即可； （2）根据（1）所求求出对应的b即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵，， ∴； ③∵，， ∴； （2）解：由（1）可得，（1）①中的，此时b既不是整数，也不是分数， （1）②中的，此时b是整数， （1）③中的，此时b是分数， 故答案为：②；③；①． 9．(1)能听到，见解析 (2)4分钟 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握相关知识是解题关键． （1）根据村庄村庄A到公路的距离为1200米，小于1300米解答； （2）分两种场景，利用勾股定理求出线段的长度，求出听到声音的总长度，然后求出时间即可． 【详解】（1）解：由题意知，宣讲车可传播声音范围为1300米， 因此只要在行驶途中宣讲车与村庄距离小于1300米， 即可让村庄听到宣讲， 由题知村庄到公路距离为米小于1300米， 因此，可以听到宣讲； （2）解：当宣讲车与村庄直线距离为1300米时，村庄恰好可以听到宣讲， 抽象为数学模型可知， 这里应注意P为动点，因此P可能在段，也可以在段， 当P移动到段时有图（一）， 则可知，， 在中由勾股定理知：． ， ； 当P移到段时有图（二）， 则可知，， 在中由勾股定理知：， ， ， 由此可知，可听到广播距离为米， 则能听到宣讲的时间为（分钟）． 10．(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）由折叠可得，根据勾股定理求出，进而得到，即可求解； （2）由折叠可得，，，设，则，在中，由勾股定理求出，即，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可得， ，，， ， ， 的周长为； （2）解：由折叠可得，，， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即， 解得， 即， ． 11．(1) (2) 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，进而即可求出的长． （2）在中，用勾股定理列方程即可求得的长． 【详解】（1）解：，，， 根据翻折的性质可得， 则． （2）解：设，由折叠可知：，， 在中， ∴ 解得： ∴的长为． 12．快递站位置见解析，千米 【分析】本题考查勾股定理的应用，两点之间线段最短，掌握相关知识是解决问题的关键．连接交纬一街于点，过点作，交的延长线于点，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如答图，连接交纬一街于点， 则快递站建在点处时，到两处居民区的距离之和最短； 过点作，交的延长线于点， 在中，（千米）， 千米， 由勾股定理，得， 即， ∴千米， ∴此时快递站到居民区的直线距离之和为千米． 13．(1)； (2)①；②见详解． 【分析】该题考查了勾股定理． （1）利用勾股定理，求解即可． （2）①利用勾股定理求解即可． ②利用数形结合的思想解决问题即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 因为，所以． （2）解：①，所以． ②如图2中，线段即为所求作． 14．(1)12米 (2)7米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，根据勾股定理列方程求解即可； （2）先根据勾股定理求出，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米， 由题意知：米，， 在中， ， ， 解得：， 答：旗杆的高度12米； （2）解：由（1）知，米，则米， 米， 米， 答：珍珍应从A处向东走7米． 15．(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 16．(1) (2)北偏西 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用； （1）先求解，结合，可得，再进一步的利用勾股定理计算即可； （2）先证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴轮船从岛沿返回港所需的时间为． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西方向上． 17．(1)； (2)． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了将军饮马模型的应用，勾股定理的应用，掌握这两个知识点是解题的关键． （1）作点关于河岸的对称点，连接交河岸于点，此时路程最短，牧人应将马赶到河边的点P处； （2）过点作，交的延长线于点，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． 理由：作点关于河岸的对称点，连接交河岸于点，连接，则． 因为，此时路程最短， 所以牧人应将马赶到河边的点处． （2）解：如图，过点作，交的延长线于点， 易得． 在中，， ， 所以牧人要走的最短路程是． 19．(1)米； (2)米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． （）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，∵米，米， ∴（米）， ∴（米， 答：处与地面的距离是米； （2）解：在中， ∵米，（米）， ∴米， ∴（米）， 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 20．(1)，，， (2) (3)“垂美”四边形对边的平方和相等 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解； （3）由（1）（2）得到，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，，，， ，，，， ，，，； （2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，， ，， ； （3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等． 学科网（北京）股份有限公司 $