专题3.5 圆锥曲线与方程易错必刷题型专训（64题16个考点）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019选修第一册）

专题3.5 圆锥曲线与方程易错必刷题型专训（64题16个考点） 【易错必刷一 椭圆定义及辨析】 1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）点P是椭圆上一动点，则点P到两焦点的距离之和为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】由椭圆的定义求解即可. 【详解】由可得：， 由椭圆的定义可知：点P到两焦点的距离之和为. 故选：C. 2．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）下列说法中正确的有（   ） A．已知点，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹是椭圆 B．已知点，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C．已知点，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆 D．已知点，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆 【答案】CD 【分析】根据椭圆定义分别判断各个选项即可. 【详解】根据题意，点，，则， 对于A，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹不存在，错误； 对于B，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹为线段，错误； 对于C，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆，正确； 对于D，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆，正确； 故选：CD. 3．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知，分别为椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，是的中点，是椭圆的中心，.（i） ；（ii） . 【答案】 【详解】 根据椭圆方程，可得，又因为点在椭圆上， 根据椭圆定义：， 在中，是的中点，是的中点， 所以为的中位线，所以， 又因为，所以 故答案为：； 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）计算点，到椭圆的两个焦点的距离之和，并比较这个和与2a之间的大小关系，探索点在椭圆内、外与这个数量大小关系有何联系. 【答案】答案见解析. 【分析】先求出椭圆的两个焦点坐标，再利用两点间的距离公式分别求出这两个点，到两个焦点的距离之和，再比较求出的和与的大小，探索出点在椭圆内，点在椭圆外，点在椭圆上与这个数值的大小关系. 【详解】椭圆的两个焦点分别为，，，，， 设， ， 在椭圆外； 设， ， 在椭圆内. 探索可得：若点P在椭圆外，则；若点P在椭圆内，则；若点P在椭圆上，则. 【易错必刷二 利用椭圆定义求方程】 5．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，， 所以，故所求的轨迹方程为. 故选：D 6．（23-24高二·全国·阶段测试）已知椭圆上任意一点都满足关系式，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据关系式，可知点满足椭圆方程，即可根据定义，求解椭圆方程. 【详解】由题设可知椭圆的焦点在轴上，其坐标分别为，，，故，，，所以椭圆的标准方程为． 故选：B 7．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知点在以为圆心，半径为6的圆上，，若点在线段上且满足点到，两点的距离相等，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据几何关系和椭圆的定义可知点的轨迹为以定点，为焦点的椭圆，即可求解轨迹方程. 【详解】由题意，可作图如下， 因为点到，两点的距离相等，即， 所以， 则点的轨迹为以定点，为焦点的椭圆， 其中，，解得，故其轨迹方程为. 故答案为： 8．（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点与点关于原点对称，四边形的周长为8，记点的轨迹为曲线．求的方程. 【答案】（） 【分析】先根据点与点关于原点对称，点与点也关于原点对称，得四边形为平行四边形，再根据四边形的周长，求出，进而判断出点的轨迹，然后即可求解. 【详解】 因为动点与点关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 又因为四边形的周长为8， 所以，所以点的轨迹为椭圆（去掉长轴两端点）， 设其方程为，其中半焦距， ，所以， 所以曲线的方程为（）. 【易错必刷三 根据方程表示椭圆求参数的范围】 9．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆的一个焦点是，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把椭圆的方程化为标准形式，再由给定焦点坐标列出方程求解出. 【详解】椭圆，即，由椭圆的焦点坐标为，得， 所以. 故选：A 10．（24-25高二上·湖南岳阳·期中）若为椭圆的方程，则的值可以为（    ） A．3 B．6 C．8 D．11 【答案】AC 【分析】根据椭圆方程满足的关系，列不等式即可求解. 【详解】因为为椭圆的方程，所以解得或， 故选：AC 11．（23-24高二上·河北保定·阶段练习）若曲线表示椭圆，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由椭圆定义列出不等式组即可求解. 【详解】曲线表示椭圆， 所以或， 所以的取值范围为. 故答案为： 12．（24-25高二下·山西·阶段练习）在平面直角坐标系内，已知曲线方程． (1)若方程表示圆，则圆有多少个？ (2)若方程表示椭圆，则椭圆有多少个？ 【答案】(1)5 (2)20 【分析】（1）当曲线表示圆的方程时，，由题意可得有5个； （2）分类讨论焦点在轴上时与的情况，从而得椭圆的个数. 【详解】（1）因为方程表示圆，所以． 因为，所以共有5种情况， 即圆有5个． （2）因为方程表示椭圆，所以． 因为，所以当焦点在轴上时，， 当时，没有对应的值，有0个椭圆； 当时，，有1个椭圆； 当时，，有2个椭圆； 当时，，有3个椭圆； 当时，，有4个椭圆． 由分类加法计数原理知，焦点在轴上的椭圆有个． 焦点在轴上的椭圆与焦点在轴上的椭圆个数相同，有10个． 综上所述，满足题意的椭圆共有个 【易错必刷四 求椭圆上点的坐标】 13．（24-25高三上·江苏·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，且直线的斜率之积为，则（    ） A．1 B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用椭圆方程和的斜率之积为，建立A、B两点坐标的关系，代入原式化简计算即可. 【详解】因为在椭圆上， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以． 故选：A. 14．（2024·云南昆明·一模）点分别是椭圆的左顶点和右焦点, 点在椭圆上, 且,则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件求得，再求面积即可. 【详解】因为分别是椭圆的左顶点和右焦点, 点在椭圆上, 且， 所以，为直角三角形，时，可得，即，又因为，所以面积为. 故选：B 15．（23-24高二·全国·课后作业）若椭圆上点P到右焦点的距离为4，则点P的横坐标为 ． 【答案】 【分析】由椭圆方程求得右焦点坐标，设，由椭圆方程和距离列方程组求解． 【详解】由已知，，右焦点为， 设，， 则，消去得， ，，（舍去）， 所以点横坐标为． 故答案为：． 16．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知平面上两点，，的周长为18. (1)求动点P的轨迹方程； (2)当动点P满足时，求点P的纵坐标. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据周长可得动点满足的几何性质，根据椭圆的定义可得动点的轨迹方程. （2）设，根据可得关于的方程组，从而可求点P的纵坐标. 【详解】（1）因为的周长为18，故， 由椭圆的定义可得的轨迹为椭圆，其长轴长，故， 而半焦距，故， 故方程为：. （2）设，则，， 因为，故，所以， 而，解得， 故点P的纵坐标为. 【易错必刷五 根据a、b、c求椭圆标准方程】 17．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（    ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义与方程，即可求解. 【详解】由题意可知，，，即，，， 所以椭圆的标准方程为 或 . 故选：B 18．（2023·湖北武汉·一模）若椭圆的某两个顶点间的距离为4，则m的可能取值有（    ） A． B． C． D．2 【答案】BCD 【分析】讨论两顶点的位置，由椭圆的性质结合勾股定理求解. 【详解】由题意可知，， 若这两个顶点为长轴的两个端点时，； 若这两个顶点为短轴的两个端点时，； 若一个顶点短轴的端点，另一个为长轴的端点时，； 故选：BCD 19．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则＝ ． 【答案】9 【分析】根据椭圆的性质求解即可. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则，，， 所以，解得， 故答案为：9 20．（23-24高二上·海南三亚·期中）求满足条件的曲线方程： (1)椭圆C的焦点在x轴上，短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为，求椭圆C的标准方程； (2)圆心在第一象限且在直线上，圆与轴相切，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求得，进而可求解； （2）设圆的标准方程，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可. 【详解】（1）设椭圆长轴长、短轴长、焦距分别为. 由已知，有解得，， 因为焦点在x轴，所以方程为. （2）设圆的标准方程为, 圆心到直线的距离, 由题可知，,解得， 所以圆的标准方程为. 【易错必刷六 求椭圆的离心率或离心率的取值范围】 21．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知为实数，椭圆的离心率为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】先判断椭圆焦点位置，然后根据离心率的公式列方程求解即可. 【详解】因为该方程为椭圆方程，所以且，解得， ，所以，， 则，所以， 由题意得，解得. 故选：D. 22．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，则椭圆C的离心率可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据已知条件列不等式，求得的取值范围，进而求得离心率的取值范围，从而确定正确答案. 【详解】依题意，则， 由于在椭圆内部，所以， 则即， 即，令，则， 解得，即，所以， 所以， 而 ， 所以AB选项错误，CD选项正确. 故选：CD 23．（2024·陕西汉中·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，过作x轴的垂线交椭圆于，若为等边三角形，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】根据椭圆通径、焦距及等边三角形的性质结合离心率的定义计算即可. 【详解】不妨设，则，, 又为等边三角形，则， 即， 解之得，负根舍去. 故答案为：. 24．（2023高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，分别为椭圆的三个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，若点在直线上，求椭圆的离心率 【答案】 【分析】由直线和的方程求点的横坐标，根据点在直线上，得到关于a，c齐次式，再求椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，点的坐标分别为，，， 所以直线的方程为，直线的方程为. 由和，消除，得，即为点的横坐标. 因为点在直线上，所以. 整理得，所以， 所以离心率. 【易错必刷七 双曲线定义的理解】 25．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）设为双曲线上一点，、为双曲线的左右焦点，若，则（   ） A．1 B．9 C．3或7 D．1或9 【答案】B 【分析】利用双曲线定义计算并根据最值可得结果. 【详解】根据双曲线定义可知， 所以或； 又因为双曲线上的点到焦点距离的最小值为，所以舍去； 可得. 故选：B 26．（23-24高二上·全国·课后作业）已知是双曲线的两个焦点．若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，则点M到另一个焦点的距离为（    ） A．8 B．10 C．22 D．32 【答案】BC 【分析】利用双曲线定义即可求得结果. 【详解】根据题意不妨设，根据双曲线的定义知， 即，解得或； 故选：BC. 27．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知双曲线左右焦点分别为、，是双曲线上的一点，若，则 ． 【答案】13 【分析】由焦半径取值范围确定P点位置，从而由双曲线定义即可求解. 【详解】由题意， 所以当在左支上时，当在右支上时， 因为，所以在右支上，所以. 故答案为：. 28．（23-24高二·全国·课后作业）已知双曲线，点，为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，求的值． 【答案】 【分析】根据双曲线方程为，可得焦距，因为，所以．再结合双曲线的定义，得到，最后联解、配方，可得，从而得到的值． 【详解】解：双曲线方程为， ，，可得， ， 又为双曲线上一点， ， 因此 的值为． 【易错必刷八 利用双曲线定义求方程】 29．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，求出、，即可得到轨迹方程. 【详解】由及双曲线的定义可知， 点的轨迹为以为焦点，实轴为的双曲线的上支，则， 因为，所以，故点的轨迹方程为． 故选：A 30．（23-24高二下·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由可知，点P的轨迹是以为焦点的双曲线上支， 设双曲线的方程为，可知，， 所以，，， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 31．（23-24高二上·吉林·阶段练习）如图，已知点，，从点同时出发的两个质点，均以每秒2个单位长度的速度做匀速直线运动，从运动到A，从运动到B，且到达A的时间比到达B的时间晚3秒，则的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】分析点C到点A、B的距离之差，即可判断出C的轨迹为以A，B为焦点，且实轴长为6的双曲线的下支，即可求出C的轨迹方程. 【详解】由题意得， 所以的轨迹是以A，B为焦点，且实轴长为6的双曲线的下支. 由，，得， 所以的轨迹方程为. 故答案为：. 32．（23-24高二上·全国·课后作业）已知、两点，根据下列条件，写出动点的轨迹方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)（） (2)（） (3) 【分析】（1）由得到的轨迹是轴上以为端点向右的一条射线，从而得到其轨迹方程； （2）（3）根据双曲线的定义求出轨迹方程； 【详解】（1）因为、，则， 又， 所以点的轨迹是轴上以为端点向右的一条射线，则轨迹方程为（）. （2）因为， 所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且、， 所以， 所以轨迹方程为（）. （3）因为， 所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线，且、， 所以， 所以轨迹方程为. 【易错必刷九 根据方程表示双曲线求参数的范围】 33．（24-25高二上·河南·期末）若圆锥曲线：的焦距是6，则实数的值为（   ） A．40 B．13 C．40或 D．13或 【答案】D 【分析】分焦点在轴、焦点在轴讨论可得答案. 【详解】焦距，所以， 当焦点在轴上时，，， 由得，所以； 当焦点在轴上时，，故不可能为椭圆，只能为双曲线，故， 由得，所以. 故选：D. 34．（23-24高二下·湖南岳阳·期中）方程表示曲线，给出以下命题是真命题的有（    ） A．曲线可能为圆 B．若曲线为双曲线，则或 C．若曲线为椭圆，则 D．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 【答案】AB 【分析】根据圆，椭圆，双曲线的的系数特征列不等式求解判断. 【详解】当，即时，方程为，为圆，A正确 当，即或时，方程为双曲型，B正确； 当，即且时，方程为椭圆，C错误； 当，即时，方程为焦点在轴上的椭圆，D错误； 故选： AB. 35．（24-25高二上·上海·阶段练习）曲线是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据焦点在轴上的双曲线的标准方程的特征得到不等式组，即可得解. 【详解】方程，表示焦点在轴上的双曲线， ， ． 故答案为： 36．（23-24高二上·河南南阳·期中）已知曲线. (1)若曲线是椭圆，求的取值范围； (2)若曲线是双曲线，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将二元二次方程化为椭圆的标准方程形式，得出关于的关系式，即可解得. （2）将二元二次方程化为双曲线的标准方程形式，分类讨论焦点位置，得出关于的关系式，即可解得. 【详解】（1）曲线C化为： ∵曲线C是椭圆，故 ∴ （2）若焦点在x轴上，曲线C化为： 则， ∴ 若焦点在y轴上，曲线C化为： 则， ∴ 综上可得， 【易错必刷十 根据a、b、c求双曲线的标准方程】 37．（24-25高二上·江苏徐州·期中）双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由该双曲线焦点坐标在轴上可得，再利用焦点坐标与方程的关系计算即可得解. 【详解】由该双曲线的一个焦点坐标为，则， 由可得， 即有，解得. 故选：B. 38．（23-24高三上·北京通州·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可设双曲线标准方程为，进而确定的值，求得，即得答案. 【详解】由题意可设双曲线标准方程为，焦距为2c， 则由双曲线的左､右焦点分别为，可知， 由，知，故， 故双曲线的标准方程为， 故选：A 39．（2025高二·全国·专题练习）过点，且与双曲线有共同离心率的双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意求出即可. 【详解】过点，可知所求双曲线的焦点在轴上，且， 因为所求双曲线与双曲线的离心率相等； 所以，解得，所以， 所以双曲线方程为． 故答案为：. 40．（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，．求双曲线的方程. 【答案】 【分析】根据数量积的坐标运算可得，又根据可得，即可求解. 【详解】由已知，，，，① ∵，则，∴， 则，∴，代入①式， 解得，， ∴双曲线的方程为． 【易错必刷十一 已知方程求双曲线的渐近线】 41．（24-25高三上·北京房山·阶段测试）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线方程易求得，进而可求双曲线的渐近线方程. 【详解】由，则，焦点在轴上， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 故选：C. 42．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知A，B，C，D四点均在双曲线上，则四边形ABCD可能为（   ） A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】AC 【分析】利用双曲线的对称性和渐近线的性质，结合选项中图形的形状，即可判断选项. 【详解】等腰梯形和矩形都是轴对称图形，而双曲线也是轴对称图形， A.取与轴对称的两组点，，，，，顺次连结这四点，可以构成等腰梯形，故A正确； C.同样取与轴对称的两组点，，，，，顺次连结这四点，可以构成矩形，故C正确； 而菱形和正方形不仅是轴对称，而且是中心对称，并且对角线互相垂直，而双曲线是等轴双曲线，渐近线互相垂直，所以双曲线上连结两组关于原点对称的直线的夹角为锐角，不可能垂直，所以不能构成菱形和正方形，故BD错误. 故选：AC 43．（24-25高二下·上海·阶段练习）双曲线两渐近线夹角的正切值为 . 【答案】 【分析】求得双曲线的一条渐近线的倾斜角范围，结合二倍角公式即可求解. 【详解】双曲线两渐近线为， 设的倾斜角为，所以，所以， 故所求为. 故答案为：. 44．（24-25高二上·四川眉山·期末）已知椭圆（）长轴长为8，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)以的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为，求的方程及其渐近线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式求，即可得方程； （2）设，再根据题意得到，进而可得双曲线方程和渐近线方程. 【详解】（1）由题意可知：，可得， 则，所以椭圆的方程为. （2）椭圆的焦点为，且短轴长为． 以为左，右顶点的双曲线的方程设为． 依题意得，所以双曲线的方程为． 其渐近线方程为． 【易错必刷十二 求双曲线的离心率或离心率的取值范围】 45．（2025·湖南·模拟预测）设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为原点），则C的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的渐近线的性质，结合双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】如图所示： 由得，所以， 故选：A 46．（24-25高三下·广东揭阳·开学考试）以两条直线为渐近线的双曲线的离心率可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据双曲线渐近线方程的定义，可得，的关系，再由离心率的计算公式可求得. 【详解】根据渐近线方程可得，双曲线的渐近线斜率为.根据双曲线渐近线方程的性质可得或. ①当时，， ∴，则 ②当时，， ∴，则. 故选：BD. 47．（2025高二·全国·专题练习）若双曲线的离心率为3，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的离心率公式即可求得,则可求. 【详解】由双曲线的离心率，则,得, 所以双曲线的离心率为, 故答案为：． 48．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知正六边形ABCDEF，双曲线以B，E为焦点，且经过A，C，D，F四点，求该双曲线的离心率．    【答案】 【分析】以正六边形中心为原点，为x轴，过作垂线为y轴建系，令正六边形的边长为2，求出顶点A坐标，由焦点坐标、点在双曲线上求双曲线参数，进而求离心率. 【详解】如下图，以正六边形中心为原点，为x轴，过作垂线为y轴，    令正六边形的边长为2，则， 令所求双曲线为，则，A在双曲线上， 所以，解得，故， 则. 【易错必刷十三 抛物线定义的理解】 49．（24-25高二上·吉林·阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【分析】先将抛物线方程化成标准方程，列出，解出，再利用抛物线的焦点到准线的距离为得解. 【详解】，抛物线的标准方程为， ，， 抛物线的焦点到准线的距离为. 故选：A. 50．（24-25高二上·广西桂林·期末）抛物线的焦点为，点在上，若.则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据抛物线的定义求得的横坐标，进而求得的坐标. 【详解】依题意，抛物线的焦点为， 准线方程为， 由于，根据抛物线的定义可知， 则， 所以的坐标为、. 故选：AB 51．（2025高三·全国·专题练习）若抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线定义求出点M的横坐标，代入方程可得. 【详解】由题知，，设，则，即， 所以，解得，所以点M的坐标为. 故答案为： 52．（24-25高二·全国·课后作业）一条抛物线的焦点是，其准线方程是，求抛物线的顶点坐标． 【答案】 【分析】设过与准线垂直的直线为，再将点的坐标代入求出，然后两直线方程联立求出交点的坐标，由抛物线的定义可知的中点就是抛物线的顶点，从而可求出其坐标. 【详解】设过与准线垂直的直线为， 因为点在直线上， 所以，得， 所以直线方程为， 设直线与准线交点， 由，得，即， 因为顶点为的中点， 所以顶点坐标为， 故答案为： 【易错必刷十四 利用抛物线定义求动点轨迹】 53．（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知曲线C上任意一点P到定点的距离比点P到直线的距离小1，M，N是曲线C上不同的两点，若，则线段MN的中点Q到y轴的距离为（      ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义求出曲线的方程，再根据抛物线的性质计算可得； 【详解】解：依题意曲线上任意一点到定点的距离和点到直线的距离相等， 由抛物线的定义可知：曲线是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为．分别设点M、N、Q到准线的距离分别为，，d， 则，所以中点Q到y轴的距离为3， 故选：A． 54．（2024·广东深圳·一模）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据动圆C与圆A和直线l都相切，分圆C与圆A相外切和圆C与圆A相内切，分别取到A的距离为d+1，d-1，且平行于l的直线，，利用抛物线的定义求解. 【详解】解：动圆C与圆A和直线l都相切， 当圆C与圆A相外切时，取到A的距离为d+1，且平行于l的直线， 则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离， 由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线； 当圆C与圆A相内切时，取到A的距离为d-1，且平行于l的直线， 则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离， 由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线； 所以，当时，抛物线不完整， 所以，，，， 故选：ABD 55．（2025高二上·全国·专题练习）在平面内，到定点的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是 ． 【答案】或 【分析】由抛物线的定义即可求解. 【详解】当点M横坐标大于等于0时，由题意可转化为点M到点的距离等于点M到的距离， 设，所以点M的轨迹是以为焦点，为准线，顶点在原点， 开口向右的抛物线，设其方程为，所以，， 所以点M的轨迹方程为； 当点M横坐标小于0时，因为点到y轴的距离为2，所以点M在x轴上，即点M的轨迹方程为； 所以点M的轨迹方程为或. 故答案为：或. 56．（2023高三·全国·专题练习）已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M. 求点M的轨迹方程； 【答案】 【分析】由抛物线的定义求解即可. 【详解】 由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等， 所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为； 【易错必刷十五 根据抛物线方程求焦点或准线】 57．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知曲线，则C为（   ） A．一条抛物线和两条互相平行的直线 B．一条抛物线，且该抛物线的焦点坐标为 C．一条抛物线，且该抛物线的焦点坐标为 D．两条抛物线，且这两条抛物线的焦点之间的距离为4 【答案】C 【分析】方程的两个因式中至少有一个必须为零，通过分析每个方程是否有实数解，结合抛物线方程的标准形式，即可得出选项. 【详解】因为，且， 所以，即， 因此C为一条抛物线，且该抛物线的焦点坐标为. 故选：C. 58．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据抛物线的定义和标准方程，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上， 则焦点，所以A错误； 由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确； 由，可得，所以，则，所以C不正确； 由，所以D正确． 故选：BD． 59．（24-25高三上·北京·阶段测试）已知抛物线：的焦点到准线的距离为4，则上的纵坐标为的点到焦点的距离为 ． 【答案】 【分析】结合题意求出抛物线方程和焦点坐标，再代入求出，最后结合两点间距离公式求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为4，所以， 则方程为，可得焦点为， 设抛物线上纵坐标为的点为，代入抛物线方程， 可得，解得，故， 由两点间距离公式得距离为. 故答案为： 60．（23-24高二·全国·随堂练习）写出下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)； (2)． 【答案】(1)焦点为，准线为 (2)焦点为，准线为 【分析】（1）（2）利用抛物线标准方程及其焦点和准线运算即可得解. 【详解】（1）解：由得，故， ∴焦点为，准线为. （2）解：由得， 当时，，焦点为，准线为； 当时，，焦点为，准线为； ∴焦点为，准线为. 【易错必刷十六 根据定义求抛物线的标准方程】 61．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点，满足，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】将代入抛物线方程得，解得，再根据抛物线焦半径公式列出方程，求出的值. 【详解】由题意，将代入抛物线方程得，解得，由抛物线的焦半径公式可得，整理得，解得， 故选：C. 62．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知为抛物线上的一点，点到抛物线焦点的距离为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】因为到抛物线焦点的距离为2， 所以由抛物线定义知，，解得. 故选：A. 63．（23-24高二下·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为4，则该抛物线的方程为 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法直接求解. 【详解】因为抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点， 所以可设抛物线：. 由抛物线的定义可得：，解得：. 所以抛物线的方程为：. 故答案为：. 64．（23-24高二·江苏·专项练习）动圆与定圆：外切，且与直线：相切，求动圆圆心的轨迹方程． 【答案】 【分析】作直线：，点性质转化为到点的距离等于到直线的距离，轨迹为抛物线，由此易得轨迹方程. 【详解】如图，设动圆圆心为，过点作于点， 作直线：，过点作于点，连接．    设动圆的半径为，由题知圆的半径为1．∵圆与圆外切，∴． 又∵圆与直线：相切，∴． ∵，即动点到定点与到定直线的距离相等， ∴点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线． 设抛物线的方程为，可知， ∴所求动圆圆心的轨迹方程为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 圆锥曲线与方程易错必刷题型专训（64题16个考点） 【易错必刷一 椭圆定义及辨析】 1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）点P是椭圆上一动点，则点P到两焦点的距离之和为（    ） A．2 B． C． D．4 2．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）下列说法中正确的有（   ） A．已知点，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹是椭圆 B．已知点，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C．已知点，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆 D．已知点，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆 3．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知，分别为椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，是的中点，是椭圆的中心，.（i） ；（ii） . 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）计算点，到椭圆的两个焦点的距离之和，并比较这个和与2a之间的大小关系，探索点在椭圆内、外与这个数量大小关系有何联系. 【易错必刷二 利用椭圆定义求方程】 5．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二·全国·阶段测试）已知椭圆上任意一点都满足关系式，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知点在以为圆心，半径为6的圆上，，若点在线段上且满足点到，两点的距离相等，则点的轨迹方程为 . 8．（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点与点关于原点对称，四边形的周长为8，记点的轨迹为曲线．求的方程. 【易错必刷三 根据方程表示椭圆求参数的范围】 9．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆的一个焦点是，那么（ ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·湖南岳阳·期中）若为椭圆的方程，则的值可以为（    ） A．3 B．6 C．8 D．11 11．（23-24高二上·河北保定·阶段练习）若曲线表示椭圆，则的取值范围为 ． 12．（24-25高二下·山西·阶段练习）在平面直角坐标系内，已知曲线方程． (1)若方程表示圆，则圆有多少个？ (2)若方程表示椭圆，则椭圆有多少个？ 【易错必刷四 求椭圆上点的坐标】 13．（24-25高三上·江苏·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，且直线的斜率之积为，则（    ） A．1 B．3 C．2 D． 14．（2024·云南昆明·一模）点分别是椭圆的左顶点和右焦点, 点在椭圆上, 且,则的面积为（   ） A． B． C． D． 15．（23-24高二·全国·课后作业）若椭圆上点P到右焦点的距离为4，则点P的横坐标为 ． 16．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知平面上两点，，的周长为18. (1)求动点P的轨迹方程； (2)当动点P满足时，求点P的纵坐标. 【易错必刷五 根据a、b、c求椭圆标准方程】 17．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（    ） A． B． 或 C． D． 或 18．（2023·湖北武汉·一模）若椭圆的某两个顶点间的距离为4，则m的可能取值有（    ） A． B． C． D．2 19．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则＝ ． 20．（23-24高二上·海南三亚·期中）求满足条件的曲线方程： (1)椭圆C的焦点在x轴上，短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为，求椭圆C的标准方程； (2)圆心在第一象限且在直线上，圆与轴相切，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 【易错必刷六 求椭圆的离心率或离心率的取值范围】 21．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知为实数，椭圆的离心率为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 22．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，则椭圆C的离心率可以是（   ） A． B． C． D． 23．（2024·陕西汉中·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，过作x轴的垂线交椭圆于，若为等边三角形，则椭圆的离心率为 . 24．（2023高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，分别为椭圆的三个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，若点在直线上，求椭圆的离心率 【易错必刷七 双曲线定义的理解】 25．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）设为双曲线上一点，、为双曲线的左右焦点，若，则（   ） A．1 B．9 C．3或7 D．1或9 26．（23-24高二上·全国·课后作业）已知是双曲线的两个焦点．若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，则点M到另一个焦点的距离为（    ） A．8 B．10 C．22 D．32 27．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知双曲线左右焦点分别为、，是双曲线上的一点，若，则 ． 28．（23-24高二·全国·课后作业）已知双曲线，点，为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，求的值． 【易错必刷八 利用双曲线定义求方程】 29．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二下·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二上·吉林·阶段练习）如图，已知点，，从点同时出发的两个质点，均以每秒2个单位长度的速度做匀速直线运动，从运动到A，从运动到B，且到达A的时间比到达B的时间晚3秒，则的轨迹方程为 . 32．（23-24高二上·全国·课后作业）已知、两点，根据下列条件，写出动点的轨迹方程． (1)； (2)； (3)． 【易错必刷九 根据方程表示双曲线求参数的范围】 33．（24-25高二上·河南·期末）若圆锥曲线：的焦距是6，则实数的值为（   ） A．40 B．13 C．40或 D．13或 34．（23-24高二下·湖南岳阳·期中）方程表示曲线，给出以下命题是真命题的有（    ） A．曲线可能为圆 B．若曲线为双曲线，则或 C．若曲线为椭圆，则 D．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 35．（24-25高二上·上海·阶段练习）曲线是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为 . 36．（23-24高二上·河南南阳·期中）已知曲线. (1)若曲线是椭圆，求的取值范围； (2)若曲线是双曲线，求的取值范围. 【易错必刷十 根据a、b、c求双曲线的标准方程】 37．（24-25高二上·江苏徐州·期中）双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高三上·北京通州·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 39．（2025高二·全国·专题练习）过点，且与双曲线有共同离心率的双曲线的标准方程为 ． 40．（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，．求双曲线的方程. 【易错必刷十一 已知方程求双曲线的渐近线】 41．（24-25高三上·北京房山·阶段测试）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 42．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知A，B，C，D四点均在双曲线上，则四边形ABCD可能为（   ） A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 43．（24-25高二下·上海·阶段练习）双曲线两渐近线夹角的正切值为 . 44．（24-25高二上·四川眉山·期末）已知椭圆（）长轴长为8，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)以的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为，求的方程及其渐近线方程. 【易错必刷十二 求双曲线的离心率或离心率的取值范围】 45．（2025·湖南·模拟预测）设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为原点），则C的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 46．（24-25高三下·广东揭阳·开学考试）以两条直线为渐近线的双曲线的离心率可以是（   ） A． B． C． D． 47．（2025高二·全国·专题练习）若双曲线的离心率为3，则双曲线的离心率为 ． 48．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知正六边形ABCDEF，双曲线以B，E为焦点，且经过A，C，D，F四点，求该双曲线的离心率．    【易错必刷十三 抛物线定义的理解】 49．（24-25高二上·吉林·阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B．1 C．3 D． 50．（24-25高二上·广西桂林·期末）抛物线的焦点为，点在上，若.则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 51．（2025高三·全国·专题练习）若抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为 ． 52．（24-25高二·全国·课后作业）一条抛物线的焦点是，其准线方程是，求抛物线的顶点坐标． 【易错必刷十四 利用抛物线定义求动点轨迹】 53．（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知曲线C上任意一点P到定点的距离比点P到直线的距离小1，M，N是曲线C上不同的两点，若，则线段MN的中点Q到y轴的距离为（      ） A．3 B．4 C．5 D．6 54．（2024·广东深圳·一模）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为，，则（    ） A． B． C． D． 55．（2025高二上·全国·专题练习）在平面内，到定点的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是 ． 56．（2023高三·全国·专题练习）已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M. 求点M的轨迹方程； 【易错必刷十五 根据抛物线方程求焦点或准线】 57．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知曲线，则C为（   ） A．一条抛物线和两条互相平行的直线 B．一条抛物线，且该抛物线的焦点坐标为 C．一条抛物线，且该抛物线的焦点坐标为 D．两条抛物线，且这两条抛物线的焦点之间的距离为4 58．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 59．（24-25高三上·北京·阶段测试）已知抛物线：的焦点到准线的距离为4，则上的纵坐标为的点到焦点的距离为 ． 60．（23-24高二·全国·随堂练习）写出下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)； (2)． 【易错必刷十六 根据定义求抛物线的标准方程】 61．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点，满足，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 62．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知为抛物线上的一点，点到抛物线焦点的距离为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 63．（23-24高二下·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为4，则该抛物线的方程为 ． 64．（23-24高二·江苏·专项练习）动圆与定圆：外切，且与直线：相切，求动圆圆心的轨迹方程． 学科网（北京）股份有限公司 $