专题06 代数式章末56道压轴题型专训（7大题型）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题06 代数式章末56道压轴题型专训（7大题型） 题型一 整式的加减运算问题 题型二 整式加减中的化简求值问题 题型三 整式加减中的无关型问题 题型四 整式加减的新定义问题 题型五 整式的加减规律探究问题 题型六 整式加减中的整体思想求值问题 题型七 整式加减的综合应用 【经典例题一 整式的加减运算问题】 1．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）现定义新运算为：，如． (1)计算和的值； (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1)23；8 (2)0 (3)6 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，进行运算和的值，即可作答． （2）根据，进行运算化简，即可作答． （3）根据，进行运算得，再结合，得出，即可作答． 【详解】（1）解：， ． （2）解： ． （3）解：因为， 所以， 所以 ． 2．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）先将多项式1化简，再解决下列问题． (1)若给赋予一组数据后该多项式的计算结果为，求的值． (2)若，求该多项式的计算结果． (3)若该多项式的计算结果与的取值无关，请直接写出其计算结果． 【答案】（1）；（2）；（3）-3 【分析】本题考查了整式的加减，掌握去括号、合并同类项法则是解决本题的关键． 先化简整式的结果． （1）根据计算结果，算出、的值即可； （2）根据，，代入化简整式即可； （3）根据最后的结果与取值无关，计算出最后的结果． 【详解】（1）解：原式． 因为该多项式的计算结果为， 所以， 解得． （2）因为， 所以原式， 所以该多项式的计算结果为． （3）其计算结果为． 3．（25-26七年级上·江苏南京·期中）一个三位数，它的个位数字是，十位数字是个位数字的倍少，百位数字比个位数字大． (1)用含的代数式表示该三位数； (2)若交换个位数字和百位数字，其余不变，得到新的三位数，求原来的三位数比新得到的三位数多了多少？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减． （1）根据题意得到：十位数字为，百位数字为，列代数式即可； （2）列出新的三位数代数式，再用原代数式减去新的代数式即可． 【详解】（1）根据题意得到：十位数字为，百位数字为， 所以此三位数为：； （2）新得到的三位数：， ． 答：原来的三位数比新得到的三位数多了． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）一位同学做一道题：“已知两个多项式、，计算”．他误将“”看成“”求得的结果为，已知， (1)计算的代数式． (2)求正确结果的代数式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则，是解题的关键： （1）将错就错，求出的代数式即可； （2）根据整式的加减运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）∵，， ∴ ． 5．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 1 a b c 8 … (1)填空： ， ， ，第2024个格子中所填的数是 ． (2)前n个格子中所填整数之和是否可能为2021?若能，求出n的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)8，，1，8 (2)能，或1511 【分析】本题考查了数字类变化规律，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据题意和表格中的数据，可以得到a、b、c的值，然后即可得到第2024个格子中的数． （2）先判断是否存在，然后根据判断进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ∴，， ∵表格中有数字， ∴， 根据题意分析可得：数字以1、8、循环出现， ∵， ∴第2024个格子中的数是8． 故答案为：8，，1，8． （2）解：能，理由如下： ∵，， ∴， ∵最后5个数的和为， ∴当时，和为2021， ∴n的值为1516或1511． 6．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图所示的是四张卡牌①、②、③、④，它们分别代表一种运算． (1)经过②→①→④→③的顺序所得的运算结果为______； (2)a经过③→①→④的顺序所得的运算结果记为M，经过④→③→②的顺序所得的运算结果记为N，比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的减法运算，掌握有理数和整式的运算法则是解题的关键． （）根据运算顺序列出算式计算即可； （）根据运算顺序分别表示出，再利用作差法比较即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：1； （2）解：，理由如下： 由题意得，，， ∴， ， ∴， ∴， 即． 7．（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， (2)若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______________ ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． (3)若是三项式，是否存在同样是三项式的，使得是的“友好多项式”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是的“友好多项式”，理由见详解 (2)①，②，理由见详解 (3)存在，理由见详解 【分析】本题考查阅读理解，涉及整式乘法运算法则，读懂题意，理解“友好多项式”、 “特别友好多项式”是解决问题的关键． （1）先由多项式乘以多项式得到，由“友好多项式”定义验证即可得到答案； （2）先由多项式乘以多项式得到，由“特别友好多项式”定义验证即可得到答案； （3）先由多项式乘以多项式得到，由“友好多项式”定义验证即可得到答案． 【详解】（1）解：是的“友好多项式”， 理由如下： ， 是三项式，二项式，比多不超过1项， 是的“友好多项式”； （2）解：当时， ①若是的“特别友好多项式”，若取， ， 是二项式，二项式，的项数和相同， 是的“特别友好多项式”； 故答案为：（答案不唯一）； ②， 理由如下： 若三项式是的“特别友好多项式”，则可取， ， 是二项式，二项式，的项数和相同， 是的“特别友好多项式”； （3）解：存在． 取， ， 是四项式，三项式，比多不超过1项， 是的“友好多项式”． 8．（24-25七年级上·江苏南京·期中）【数学背景】 幻方是一种中国传统益智游戏，它的规则是将数字安排在正方形格子中，使每行、每列及对角线上的数字和都相等． 【问题提出】 （1）如图1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到3×3的方格内，使每行、每列及每条对角线上的数字和都相等，则这个和是______； 【问题探究】 （2）在图1中填入一种符合（1）要求的方法； 【模型迁移】 （3）图2是显示部分式子的幻方，用含的式子表示； （4）图3是显示部分式子的幻方，求的值． 【答案】（1）15（2）见详解（3）（4）15 【分析】本题主要考查了列代数式及整式的加减，解题关键是理解幻方中每行、每列及对角线上的数字和都相等． （1）根据题意，先求出这几个数的和，再把它平均分成3份，求出每份即可； （2）理解题意，进行作图即可． （3）观察幻方可知每行、每列及对角线上的数字和都相等，列出关于，的等式，并把用含的式子表示即可； （4）观察幻方可知每行、每列及对角线上的数字和都相等，列出关于的等式，求出，再列出含有和的等式，求出即可． 【详解】解：（1）由题意得：， 这个和是15， 故答案为：15； （2）依题意，如图所示： 6 7 2 1 5 9 8 3 4 （3）由题意得： ， ， ； （4）由题意得： ， ， ， ∵幻方中每行、每列及对角线上的数字和都相等． ， ， ， ． 【经典例题二 整式加减中的化简求值问题】 9．（24-25七年级上·湖北黄石·期中）已知代数式，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算、代数式求值以及根据代数式的值与某字母无关求参数的值． （1）根据题意先求出的表达式，利用去括号法则去掉括号，再合并同类项得到的最简形式； （2）由于的值与x的取值无关，说明含x的项的系数为0，在的最简形式中找出含x的项，令其系数为0，解方程求出y的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 当，时， ∴原式． （2）解：由（1）知，， ∵的值与x的取值无关， ∴含x的项的系数为0， 在中，含x的项为，其系数为， ∴， 解得． 10．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）已知代数式． (1)若，则的值为 ． (2)若的值与的取值无关，则的值为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式运算，（1）计算出然后将的值分别代入即可求解；（2）令的结果中的系数为零即可求得的值. 【详解】（1）解：， 把代入可得 . （2）解：由（1）可得： 合并同类项可得 的值与无关 解得. 11．（24-25七年级上·江苏常州·期中）已知：，，． (1)通过计算：①；②．试判断①与②中，哪一个的运算结果的取值与x无关； (2)在（1）中的运算结果中，任选一个，当，时，求它的代数式的值． 【答案】(1)②的运算结果的取值与x无关，见解析 (2)选①，；选②， 【分析】本题考查整式的加减运算，解题关键是去括号、合并同类项，通过对整式进行化简，判断结果是否与x有关，并代入求值． （1）计算化简，，看哪个式子的化简结果不含x即可； （2）将，代入（1）中的化简结果，求值即可． 【详解】（1）解：① ② ②的运算结果的取值与x无关； （2）选①，当，时， 原式． 选②，当时，． 12．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）（）先化简再求值：，其中． （）有这样一道题：“计算的值，其中”．甲同学把“错抄成．”但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【答案】（），；（）理由见解析， 【分析】（）利用非负数的性质求出的值，再根据整式的加减运算法则进行化简，最后把的值代入到化简后的结果中计算即可求解； （）根据整式的加减运算法则对整式进行化简，得到结果为，可知所得结果与的取值没有关系，即可明理由，再把的值代入所得结果计算即可求解； 本题考查了非负数的性质，整式的加减化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴，， ∴，， ∴原式 ， 当，时， 原式 ； （）原式 ， ∵所得结果与的取值没有关系， ∴他将“”错抄成“”后，所得结果也是正确的， 当时，原式． 13．（25-26七年级上·江苏南京·期中）已知有理数 a，b 满足 ，定义新运算 “⊙”：对于任意有理数 m，n，都有 . (1)先化简运算式 ，再将 a，b 的值代入，计算 的结果； (2)若整式，整式 ，求当 时， 的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，有理数的混合运算，理解新定义，熟练掌握有理数的加减运算法则，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据整式的加减化简，根据绝对值与偶次幂的非负性求得，，再代入，即可求解； （2）先根据，化简，再计算，最后将代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】（1）化简 ， 由， ∴，， 得，， ； （2）由，，， ， ， ， 代入得：． 14．（24-25七年级上·云南·期中）小明在做一道题，由于粗心，将墨水洒在了作业上盖住“”．另外又将“”看成“”，他凭着印象求出了解：． (1)求多项式； (2)当，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减与化简求值； （1）根据已知得出，，则，进而根据整式的加减计算，即可求解． （2）由（1）得出，先计算，再将代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：依题意， ∴ ∴ （2）解：，， ∴ 当时， 15．（24-25七年级上·江苏南京·期中）下面是小岩整式化简的过程，请认真阅读并回答问题． ········第一步 ·········第二步 ． ··············第三步 (1)第一步的依据是_______________________________； (2)小岩的化简过程从第____步出现错误，出现错误的原因是______________________； (3)请写出正确的化简过程，并计算当，时该整式的值． 【答案】(1)分配律 (2)二；去括号后，括号内的第二项没有变号； (3)化简结果，求值结果为 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握整式的加减计算法则． （1）根据乘法分配律解答即可； （2）观察每一步发现，在第二步去括号的时候应该是； （3）按照整式的加减计算法则进行化简然后代值计算即可． 【详解】（1）解：的依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （2）解： ········第一步 ·········第二步 ．··············第三步 ∴是从第二步开始出错的，错误的原因是去括号时没有变号； （3）解： ． 当，，原式． 16．（24-25七年级上·福建莆田·期中）下面是小乐同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 ．第三步 (1)任务1：填空： ①以上化简步骤中，第一步依据的运算律是_______； ②以上化简步骤中，第______步开始出现错误． (2)任务2：请直接写出该整式正确的化简结果，并计算当时该整式的值． 【答案】(1)①乘法分配律；②二 (2)， 【分析】本题考查了整式的加减运算——化简求值，熟练掌握去括号以及合并同类项法则是解题的关键． （1）①观察第一步变形的过程，确定出依据即可；②找出出错的步骤，分析其原因即可； （2）原式去括号再合并同类项得到最简的结果，再把和的值代入计算即可． 【详解】（1）解：①第一步依据的运算律是乘法分配律． 故答案为：乘法分配律 ②以上化简步骤中，第二步开始出现错误，具体错误是去括号时，括号前面是“－”号，括号内的第二项没有变号． 故答案为：二 （2） ． 当，时，原式． 【经典例题三 整式加减中的无关型问题】 17．（24-25七年级上·江西吉安·期中）定义：若，则称与是关于数的“平衡数”．比如3和是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与（为常数）始终是关于数的“平衡数”，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查新定义问题，涉及到整式的加减计算以及取值无关型问题，理解题意，掌握整式的加减运算法则是解题关键． 根据题干定义，直接建立等式，然后根据始终是有理数n的“平衡数”，可得到与的取值无关，从而求出，即可得出结论． 【详解】解： 由题意： ， ∵与（为常数）始终是数的“平衡数”， ∴的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴， 18．（24-25七年级上·福建福州·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为 (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)当的取任意数值，的值是一个定值时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式加减的实质是去括号、合并同类项是解答此题的关键． （1）根据列出代数式，去括号合并同类项即可； （2）先根据列出代数式，去括号合并同类项求出结果，再根据当x取任意数值，的值是一个定值得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2） ∵当x取任意数值，的值是一个定值， ∴， ∴． 19．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）老师写出一个整式（其中、为常数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算． (1)小亮给出一组数，最后计算的结果为，求小亮给出的、的值； (2)小颖给出一组数，最后计算的结果与的取值无关，求小颖给出的、的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先将原式化简得结果为，根据小亮的计算结果为 可得，，求出、的值即可． （2）先将原式化简得结果为，根据小颖的计算结果与x的取值无关，可得，，求出、的值即可． 【详解】（1）解： ， ∵小亮给出一组数，最后计算的结果为， ∴，， ∴，． （2）解： ， ∵小颖给出一组数，最后计算的结果与的取值无关， ∴，， ∴，． 【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题，解题的关键在于能够熟练掌握整式的加减计算法则． 20．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）已知整式，其中“☐”表示系数，“○”表示运算符号“+”“-”“×”“÷”中的一个． (1)若“☐”表示系数7，“○”表示“+”，化简整式A． (2)若的值为，求（1）中整式A的值． (3)若整式A化简的结果为常数，直接写出“☐”“○”分别表示的系数与运算符号． 【答案】(1) (2)25 (3)“☐”表示系数，“○”表示“×” 【分析】本题考查整式的混合运算．熟练掌握整式的运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）将☐和○替换后进行解答即可； （2）把所给条件变形为，再整体代入计算即可解答问题； （3）整式A化简后二次项系数、一次项系数均为0，列式求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：若的值为．所以． 所以，即， 所以． （3）解： 由题意可知，整式A化简后二次项系数、一次项系数均为0． ∴．则； ∴，则 故“○”表示“×”． 21．（24-25七年级上·广东汕头·期中）在学习了整式的加减后，老师给出了一道课堂练习题： 选择的一个值，求 甲说：“当时，原式．” 乙说：“当时，原式．” 丙说：“当为任何一个有理数时，原式．” 这三位同学说法是否正确？请利用所学知识说明理由． 【答案】三位同学的说法都正确，理由见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算，化简求值，先去括号，再合并同类项，得到化简的结果为2025，从而得到结果． 【详解】解：三位同学的说法都正确，理由如下： ， ∴当或或为任何一个有理数时，原式， ∴三位同学的说法都正确． 22．（24-25七年级上·云南临沧·阶段练习）我们将这样的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是，例如． (1)请你依此法则计算二阶行列式； (2)若代数式是与的和，代数式，小昆说无论取什么值，代数式与的差都不变，小昆的说法是否正确？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)小昆的说法是正确的，见解析 【分析】本题主要考查定义新运算及整式的化简求值，掌握去括号，合并同类项的法则及有理数混合运算的顺序和法则是解题的关键． （1）根据，把相应的数代入即可求得所求式子的值； （2）根据题意可以化简二阶行列式，进而计算，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：小昆的说法是正确的，理由如下： 根据题意，得，， 无论取什么值，代数式与的差都不变． 23．（24-25七年级上·广东广州·期中）学习了整式的加减法之后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个关于的多项式、，其中，求． 小强同学把“”错看成“”，求出的结果为． (1)填空：多项式的次数为 ，常数项为 ； (2)请帮小强同学求出的正确答案； (3)若当取任意数值时，的值都是一个常数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的项和次数，整式的加减运算以及无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，故多项式的次数为，常数项为，即可作答． （2）因为，且，故，再把，，分别代入，进行计算化简，即可作答． （3）先得出，结合当取任意数值时，的值都是一个常数，故，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 多项式的次数为，常数项为； 故答案为： （2）解：∵，且， ， ； （3）解： ． 当取任意数值时，的值都是一个常数， ， ． 24．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）阅读理解： 已知；若的值与字母的取值无关，则，解得． 当时，的值与字母的取值无关． 知识应用： （1）已知，．若的值与字母的取值无关，求的值； 知识拓展： （2）小华用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为．当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的加减运算，整式加减运算中的无关型问题： （1）先去括号，合并同类项；再根据值与无关，合并同类项后，使的系数为0，进行求解即可； （2）设，分别表示出，，求出的值，根据的值始终保持不变，得到的值与无关，进行求解即可． 【详解】解：（1） ， 又的值与字母的取值无关， ， ； （2）设， 依题意，， ， 当的长发生变化时，的值始终保持不变， ．即． 【经典例题四 整式加减的新定义问题】 25．（24-25七年级上·四川攀枝花·期中）定义一种新运算：对任意有理数a，b都有，例如：． (1)求的值； (2)化简并求值：，其中a，b互为相反数，x是最大的负整数 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，整式的加减，有理数的混合运算，理解新定义掌握运算法则是解题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，再求出x，y，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意，得 ∵a，b互为相反数，x是最大的负整数 ∵ ∴原式 26．（24-25七年级上·河南·期中）新定义：若，则称与是关于2的平衡数． (1)则3与______是关于2的平衡数； (2)______与是关于2的平衡数；（用含的代数式表示） (3)若，判断与是否是关于2的平衡数，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与不是关于2的平衡数，理由见解析 【分析】此题考查了新定义，整式的加减，关键是能根据题目定义列式并计算． （1）根据关于2的平衡数的定义列式计算即可； （2）根据关于2的平衡数的定义列式计算即可； （3）通过计算的计算结果即可进行判断． 【详解】（1）∵， ∴， 由题意得，， 故答案为：； （2）∵， ∴， 由题意得，， 故答案为：； （3）若a与b不是关于2的平衡数， 则． ∵ ， ∴a与b不是关于2的平衡数． 27．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）定义一种新运算：对于任意有理数x和y，有（m，n为常数且），如：． （1）①＝ （用含有m，n的式子表示）； ②若，求14的值； （2）请你写出一组m，n的值，使得对于任意有理数x，y，均成立． 【答案】（1）①；②8；（2）m=1，n=1（答案不唯一） 【分析】（1）①直接根据新定义写出结果即可； ②先根据求出m、n的关系，然后再求14的值； （2）根据得出含m、n的等式，然后根据结果对于任意有理数x，y都成立可求出m，n的值． 【详解】解：（1）①∵， ∴=； 故答案为：； ②∵， ∴=3， ∴， ∴， ∴14=m-4n+4=4+4=8； （2）x▽y=mx-ny+xy，y▽x=my-nx+xy， ∵， ∴mx-ny+xy= my-nx+xy， ∴mx-ny – my+nx=0， ∴(m-n)x-(m+n)y=0， ∴(m-n)(x-y)=0， ∴当m=n时，对于任意有理数x，y，均成立， ∴m，n的值可以是m=1，n=1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了新定义，整体代入法求代数式的值，以及整式的加减无关型等知识，明确新定义的运算方式是解答本题的关键． 28．（24-25七年级上·辽宁营口·期中）定义一种新运算： 例如：1☆； 3☆； 5☆； 4☆． （1）观察上面各式，用字母表示上面的规律：☆　　； （2）若，那么☆　　☆（填“”或“” ； （3）若☆，则　　；并求☆的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；． 【分析】（1）根据已知的等式归纳总结得到一般性规律，写出即可； （2）利用题中的新定义计算得到结果，判断即可； （3）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出值． 【详解】解：（1）根据题意得：☆； （2）根据题中的新定义得：☆，☆， ， ☆☆； （3）已知等式整理得：， 即； 原式． 故答案为：；；，． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减化简求值，以及有理数的混合运算，解题的关键是弄清题中的新定义． 29．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）定义一种新运算“▲”，其运算方式如下： …… 观察式子的运算方式，请解决下列问题： (1)这种运算方式是： _________(用含m，n的式子表示)； (2)解方程； (3)若关于x的方程的解为整数，求整数a的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给定的新运算的法则，进行计算即可； （2）根据新运算的法则，列出方程进行求解即可； （3）根据新运算的法则，列出方程进行求解，根据解为整数，求出a的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； 故答案为：； （2）解：， ∴， ∵， 即：， 解得：； （3）解：， 即：，解得：， ∵方程的解为整数， ∴为整数， 又为整数， ∴． 【点睛】本题考查定义新运算，一元一次方程的应用．解题的关键是理解并掌握新运算的法则，正确的列出一元一次方程． 30．（24-25七年级上·福建宁德·期中）先化简，后求值： (1)：（其中）． 定义一种新运算：观察下列各式： ， ， ， ． (2)请你想想：___________； (3)若，那么___________（填“=”或“≠”）； (4)先化简，再求值：，其中， 【答案】(1)， (2) (3)≠ (4)，6 【分析】（1）先去括号，再按照整式的混合运算法则进行化简，最后代入求值即可； （2）根据题意，总结出变化规律即可； 【详解】（1）解：原式 ． 当时，原式． （2）根据题意得：． 故答案为：． （3）∵，，． ∴． 故答案为：≠． （4） ． 当，时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值以及根据新定义总结规律，解题的关键是熟练掌握整式混合运算的运算法则和运算顺序以及正确理解题意，明确新定义的运算法则． 31．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“差异数”．将一个“差异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： (1)填空：①下列两位数：30，33，34中，“差异数”为_____； ②计算：_______； (2)如果一个“差异数”的十位数字是m，个位数字是，且，求这个“差异数”的十位数字． 【答案】(1)①34；②10 (2)5 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次方程的应用，熟练的利用新定义的含义建立方程求解是解本题的关键． （1）①根据新定义知34为“差异数”；②根据的计算方法求解； （2）根据新定义列方程求解． 【详解】（1）解：①两位数30，33，34中，“差异数”为34； 故答案为：34； ②． 故答案为：10． （2）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 32．（24-25七年级上·江苏常州·期中）新定义：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“幸运数”，例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“幸运数”． （1）直接运用：最大的“幸运数”是 ； （2）提升运用：将一个“幸运数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“幸运数”为“相伴幸运数”．例如：1423与4132为“相伴幸运数”；设任意一个“幸运数”的千位上数字为a，百位上数字为b，十位上数字为c，个位上数字为d，请你说明“幸运数”和它的“相伴幸运数”之和一定是11的倍数； （3）拓展运用：请你直接写出同时满足下列条件的所有“幸运数”． ①个位上的数字是千位上的数字的两倍； ②百位上的数字与十位上的数字之和是12． 【答案】（1）9999；（2）见解析；（3）4848，2754 【分析】（1）直接根据“幸运数”的定义进行求解即可； （2）设任意一个“幸运数”的千位上数字为a，百位上数字为b，十位上数字为c，个位上数字为d，则其“相伴幸运数”的千位上数字为b，百位上数字为a，十位上数字为d，个位上数字为c，然后求出“幸运数”和它的“相伴幸运数”之和为，由此即可证明； （3）设这个“幸运数”的千位上的数字是a，百位上的数字是m，十位上的数字是n，其中a，m，n均是正整数且1≤a≤9，0≤m≤9，0≤n≤9，则个位上的数字是2a，则由0≤2a≤9，可得a的取值为1，2，3，4，再由百位上的数字与十位上的数字之和是12，得到m+n=12，即可推出a=2m-12，由此进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，最大的“幸运数”9999， 故答案为：9999； （2）设任意一个“幸运数”的千位上数字为a，百位上数字为b，十位上数字为c，个位上数字为d，则其“相伴幸运数”的千位上数字为b，百位上数字为a，十位上数字为d，个位上数字为c， ∴“幸运数”和它的“相伴幸运数”之和 ， ∵a、b、c、d都是整数， ∴也是整数， ∴“幸运数”和它的“相伴幸运数”之和一定是11的倍数； （3）设这个“幸运数”的千位上的数字是a，百位上的数字是m，十位上的数字是n，其中a，m，n均是正整数且1≤a≤9，0≤m≤9，0≤n≤9，则个位上的数字是2a， 又∵0≤2a≤9， ∴a的取值为1，2，3，4， ∵百位上的数字与十位上的数字之和是12 ∴m+n=12， 又∵a+m=n+2a， ∴a+m=12-m+2a，即a=2m-12， 又∵m，a均为正整数，m的取值为7，8，9 当m=7时，a=2，这个“幸运数”是2754 当m=8时，a=4，这个“幸运数”是4848， 当m=9时，a=6，不成立， 综上所述，满足条件的“幸运数”是4848和2754． 【点睛】本题主要考查了整式的加法和列代数式，解题的关键在于能够读懂题意了解“幸运数”的定义． 【经典例题五 整式的加减规律探究问题】 33．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段练习）观察下列各等式，并回答问题（是正整数）： ；；；；． (1)填空：______； (2)计算：______； (3)计算：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查规律探究以及分数的裂项相消法，解题的关键是总结出规律． （1）观察所给等式各部分的变化，发现规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可； （3）先将原式中的各项进行变形，使其能利用前面发现的规律进行计算，再通过拆分、抵消等方法得出结果． 【详解】（1）解：由题中给出的规律可得：； （2）解： ； （3）解： ． 34．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在横线上写出相应的等式： (2)请写出第个等式： ； (3)利用（2）中的等式计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，熟练掌握通过观察点阵图和等式找到连续奇数和的规律是解题的关键． （1）观察前面等式，等号左边是连续奇数相加，等号右边是相加奇数个数的平方，据此写出等式； （2）根据规律总结第个等式； （3）利用（2）中规律，将所求式子转化为从开始到的连续奇数和减去从开始到的连续奇数和进行计算． 【详解】（1）解：观察前面等式，等号左边是连续奇数相加，等号右边是相加奇数个数的平方， ； 故答案为：； （2）解： 所以； 故答案为：； （3）解： ． 35．（24-25七年级上·湖北荆州·期中）如图，某影厅共有16排座位，第1排有m个座位，第2排比第1排多6个座位，第3排及后面每排座位数相同，都比第2排多n个座位． (1)用含m，n的式子表示该影厅所有的座位数； (2)图中的阴影区域为居中区域，仔细观察图形，若，，求该影视厅的居中区域的座位数． 【答案】(1)个 (2)该影视厅的居中区域的座位数为214个 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、列代数式及代数式求值，能根据题意用，表示出每排的座位数是解题的关键． （1）根据所给座位的个数关系，先得出第2排的座位数，再进一步得出第3排的座位数，即可求解； （2）用表示出图中阴影部分座位数的个数，再将的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为第1排有个座位，第2排比第1排多6个座位， 所以第2排的座位个数为个． 又因为第3排及后面每排座位数相同，都比第2排多个座位， 所以第3至16排的座位个数为个． ， 所以影厅所有的座位数有个； （2）解：由阴影部分可知， 第1排阴影部分中的座位个数为个， 第2排阴影部分中的座位个数为个， 第3至16排阴影部分中每排的座位个数都为个， 所以阴影部分中的座位总个数为：（个， 当时，（个， 即该影视厅的居中区域的座位数为214个． 36．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）小曦在学习中遇到这样一道题：计算，他觉得太烦琐，认为应该有简化计算的方法．老师告诉他：解决下面的问题后就能知道该如何简化计算啦！请你和小曦一起解决老师提供的问题． (1)填写下表： 式子 x，y的取值 ， ， ， ， ， 2 5 8 4 9 (2)观察表格，你发现A，B之间有什么关系？ (3)请结合上述有关信息，计算 【答案】(1)见解析 (2) (3)4 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，代数式求值，正确理解题意找到A与B之间的关系是解题的关键． （1）直接代值计算即可； （2）根据（1）所求结合表格中的数据可得； （3）根据（2）所求可得所求式子，据此求解即可． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，， 当，时，， 填表如下： 式子 x，y的取值 ， ， ， ， ， 2 5 8 4 9 25 49 64 （2）解： 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 以此类推可知，； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 37．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆的周长为个单位长度，且在圆周的三等分点处分别标上数字，，）．先让原点与圆周上数字所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上，，，，所对应的点分别与圆周上数字，，，，所对应的点重合这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系． (1)若圆周上的数字与数轴上的对应，则 (2)若数轴绕圆周圈后，数轴上的一个整数所对应的点刚好落在圆周上数字所对应的点的位置，求这个整数． 【答案】(1)2 (2)298 【分析】本题考查的是规律型：数字的变化类，数轴的特点，先根据题意找出规律是解答此题的关键． （1）根据被3除余2的数与2重合求解即可． （2）找规律可知：被3整除的数与0重合，被3除余1的数与1重合，被3除余2的数与2重合，若数轴绕过圆周99圈后，数轴上的一个整数点刚好落在圆周上数字1所对应的位置，则与1重合的数可表示为． 【详解】（1）解：， ∴圆周上的数字与数轴上的对应，则， 故答案为：2； （2）解：数轴绕过圆周99圈后，一个整数点落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是． 38．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）． (1)如图1所示，图中共有_____对对顶角； (2)如图2所示，图中共有_____对对顶角； (3)如图3所示，图中共有_____对对顶角； (4)研究（1）（3）题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有条直线相较于一点，则可形成_____对对顶角； (5)若有2020条直线相交于一点，则可形成_____对对顶角． 【答案】(1)2 (2)6 (3)12 (4) (5)4078380 【分析】本题考查对顶角，解答的关键是明确若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角． 由图示可得，（1）两条直线相交于一点，形成2对对顶角； （2）三条直线相交于一点，形成6对对顶角， （3）4条直线相交于一点，形成12对对顶角； （4）依次可找出规律，若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角； （5）将代入，可得2020条直线相交于一点可形成的对顶角的对数． 【详解】（1）解：如图1，图中共有对对顶角， 故答案为：2； （2）解：如图2，图中共有对对顶角， 故答案为：6； （3）解：如图3，图中共有对对顶角， 故答案为：12； （4）解：研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系， 若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角， 故答案为：； （5）解：若有2020条直线相交于一点，则可形成对对顶角， 故答案为：4078380． 39．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）数学课上，王老师提出了这样一个问题： 一张方桌周围可坐8人，试探索把桌子按下图排放时周围可坐人数的变化规律． 下面是三名同学就这个问题作出了不同的阐述： 第一张桌子东西方向各坐2人，共4人，南北方向也各坐2人，共4人，后面每增加一张桌子，东西方向坐的人数①______变化，而南北方向增加②______人，那么张桌子共坐人；（左西右东，上北下南） 如果把每张桌子都看成坐了8人，那么后面每张桌子坐的人数重复算了4人，减去重复算的所有人数，那么张桌子共坐______人； ______，那么张桌子共坐人． 请认真阅读他们的阐述，回答下列问题： (1)填空：①______（填“没有”或“有”），②______； (2)请用含的代数式表示小颖同学阐述的变化规律（结果保留原式，不要化简），并说明她的算式结果与小明的算式结果是一致的； (3)请根据小丽同学列出的代数式，补充完整她对这个问题变化规律的正确描述． 【答案】(1)①没有，②4 (2)，化简见解析 (3)第一张桌子坐8人，后面每增加一张桌子，增加4人． 【分析】本题考查的是图形类规律探究，整式的加减运算，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）由图形中东西方向各坐2人，南北方向也各坐2人，结合增加的桌子数量可得答案； （2）由把每张桌子都看成坐了8人，那么后面每张桌子坐的人数重复算了4人，减去重复算的所有人数，可得张桌子共坐人，再化简进行计算即可； （3）由表示的意义可补充对这个问题变化规律的正确描述． 【详解】（1）解：第一张桌子东西方向各坐2人，共4人，南北方向也各坐2人，共4人，后面每增加一张桌子，东西方向坐的人数没有变化，而南北方向增加4人，那么张桌子共坐人； （2）解：如果把每张桌子都看成坐了8人，那么后面每张桌子坐的人数重复算了4人，减去重复算的所有人数，那么张桌子共坐人， ∵， ∴两个同学的运算结果是一致． （3）解：∵张桌子共坐人， ∴第一张桌子坐8人，后面每增加一张桌子，增加4人． 40．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）综合与实践 问题情境：综合与实践课上，老师展示了图1、图2、图3、图4四幅平面图，若构成平面图的顶点数记为a、边数记为b、围成的封闭区域数记为c，则a，b，c之间存在某种关系，其图形和数据如下表： 尝试操作： (1)观察图3、图4，把表格补充完整． 平面图 顶点数（a） 边数（b） 区域数（c） 图1 4 6 3 图2 5 8 图3 6 图4 (2)根据表中的数值，直接写出a，b，c之间的关系． (3)拓展探究：图5是由多个区域组成的平面图，该图有_______个顶点，有_______个区域，用（2）中得出的关系求这个平面图的边数． 【答案】(1)填表见解析 (2) (3)，， 【分析】本题考查的是图形类的规律探究； （1）计数图1、图2、图3、图4的顶点数，边数，区域数，再填表即可； （2）根据表格信息总结归纳即可； （3）根据图5是由多个区域组成的平面图，该图有个顶点，有个区域，再利用（2）中规律计算即可． 【详解】（1）解：填表如下： 平面图 顶点数（a） 边数（b） 区域数（c） 图1 4 6 3 图2 5 8 4 图3 6 10 5 图4 7 12 6 （2）解：由表格信息可得：顶点数、边数、区域数c之间的关系是： ； （3）解：图5是由多个区域组成的平面图，该图有个顶点，有个区域， ∵，，， ∴， ∴这个平面图的边数为． 【经典例题六 整式加减中的整体思想求值问题】 41．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）【阅读材料】：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【尝试应用】： （1）把看成一个整体，合并的结果是_________． （2）已知，求的值； 【拓展探索】： （3）已知，，，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了整式的加减，掌握整体的思想是解决本题的关键． （1）把看成一个整体，合并同类项即可； （2）把的前两项提取公因式3，然后整体代入求值； （3）把式子先去括号，再利用加法的交换结合律变形为、、和的形式，最后整体代入求值． 【详解】解：（1） ； （2）， 原式 ； （3）①，②，③， 由可得， 由可得， ∴原式 ． 42．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）数学思想·整体思想 “整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入、整体换元等．有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼整体思考，会使问题化繁为简、化难为易，复杂问题也能迎刃而解． 例：当的值为7时，求的值． 解：因为，所以．所以 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，计算的结果是_____； (2)设，则_____（用含的代数式表示）； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2045 【分析】本题考查了整体思想的应用，合并同类项，以及已知式子的值，求代数式的值，掌握整体思想的应用是解题的关键． （1）把看成一个整体，合并同类项即可求解； （2）把变形成，然后再将代入求解即可． （3）由已知条件可知，然后将变形求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵ ， ∴ （3）解：∵， ∴， ∴ ． 43．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）阅读与思考：整体思考是一种重要的解决数学问题的策略．例如：已知当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值是多少？ 解：当时，代数式的值为2024， 则， ． 当时，． 请认真阅读上面例题的解答过程，完成下面问题． (1)若，则________． (2)已知，，求的值． 【答案】(1)3 (2)2 【分析】此题考查了整式的加减、代数式求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）原式变形，再整体代入求解即可； （2）原式变形后，把已知等式整体代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵， 原式； 故答案为：3； （2）解：∵，， ∴ ． 44．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）【教材呈现】 “整体思想”是一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：如果整式的值为4，那么整式是多少？ 【阅读理解】 小亮同学把看做一个整体进行求解，过程如下： ． 所以整式的值为20． 【方法应用】 （1）已知：，则__________． （2）已知：，，求的值． 【知识拓展】 （3）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，当，时，求的值． 【答案】（1）2022；（2）36；（3）6 【分析】本题主要考查了代数式求值，化简绝对值，整式的加减， （1）整体代入可得答案； （2）先整理得，再整体代入计算； （3）先根据数轴去掉绝对值，再根据整式的加减法计算，然后整体代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． 故答案为：2022； （2）∵， ∴； （3）根据数轴可知， ∴，． ∴ ． ∵， ∴原式 ． 45．（24-25七年级上·山东滨州·期中）（1）小明在写作业时，不慎将一滴墨水滴在了卷子上，遮住了数轴上和3之间的数据，如图： 若遮住的最大整数是x，最小整数是y，根据图中信息，先化简下列多项式然后求值：的值； （2）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，．类似的我们可以把看成一个整体．则．请尝试解决： 若，，求的值． 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是整体思想的应用； （1）先根据题意求出x，y，再化简整式并代入求值即可； （2）把变形为，把变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：是和3之间的最大整数， ， 是和3之间的最小整数， ， 又， 当，时， 原式； （2）解：，， ． 46．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）“整体思想”是一种非常重要的数学思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．阅读下列材料，并解决相关问题． 【材料呈现】 求代数式的值，其中，． 先去括号，再合并同类项 把看成一个整体，用字母表示记为，这个代数式可以简化为 【问题解决】 （1）对“材料呈现”中的代数式，利用“整体思想”进行化简求值，并写出过程； 【简单应用】 （2）①把看成一个整体，合并的结果是______； ②若，则的值为______． 【答案】（1），，过程见解析；（2）①；② 【分析】本题考查了整体思想，合并同类项，代数式求值． （1）令，则原式化为，然后合并同类项，再将代入，最后将，代入计算即可； （2）①令，则，再计算即可； ②将变形为，然后将整体代入求值即可． 【详解】解：（1）令，则 ， 当，时，原式； （2）①令，则 ， 故答案为：； ②∵ ∴ ， 故答案为：． 47．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式：的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为 所以原式＝． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则＝______； （2）已知，求的值； 【拓展提高】 （3）若，，则代数式：______． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题主要考查了求代数式的值，本题是阅读型题目，将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答是解题的关键． （1）将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可； （2）去括号，合并同类项，再利用整体代入的方法解答即可； （3）将第一个等式两边同乘以2，将第二个等式两边同乘以3，再加个两个新等式的左右两边分别相减即可． 【详解】解：（1）∵， ∴原式； 故答案为：； （2）原式， ∵， ∴原式； （3）把的两边同乘以2得：， 把的两边同乘以3得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 48．（24-25七年级上·山东聊城·期中）下图是七年级教辅资料上的一道题，请同学们阅读材料解决问题． 代数式的值为7，则代数式的值为___________． 【阅读理解】 小亮通过观察发现：．前后两个多项式中，含次数相同项的系数存在相同的倍数关系． 思考：只需求得的值即可求得的值，进而解决问题． 于是他在做作业时采用了如下方法： 由题意，得，，则有． ． 所以代数式． 【方法学习】 这种方法叫整体代入法，是我们在整式求值时常用到的一种方法，即题目已知条件告诉我们的不是单个未知数的值，而是一个或者几个式子的值，让我们根据条件去求其他代数式的值．这个时候，我们要将问题中的式子转化成含有已知式子的形式，然后整体将已知条件代入求值． 【方法运用】 （1）若代数式的值为5，求代数式的值； （2）若，求的值； 【方法拓展】 （3）当时，代数式的值为9；求当时，求代数式的值； （4）若，求代数式的值． 【答案】（1）9；（2）50；（3）；（4）28 【分析】本题考查整式的加减和代数式求值，解题的关键是掌握整式是加减法则和整体思想的应用． （1）由得，再利用整体思想代入求值即可； （2）将变为，再利用整体思想代入求值即可； （3）将代入得，将代入得，再利用整体思想代入求值即可； （4）把变为，根据整体思想代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴ ； （3）当时，， ∴， ∴当时，； （4）∵，， ∴． 49．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）数轴上有两个点A、B，分别代表的整数是a和b，a、b满足． (1)　　　，　　　，点A与点B之间的距离是　　　． (2)点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点B以每秒4个单位长度的速度向左运动，点A、B同时运动，设运动时间为t秒，回答下列问题： ①t秒时，点A对应的数为　　　；（用含t的式子表示） ②当时，求点A与点B之间的距离．（用含t的式子表示） 【答案】(1)，2，10 (2)①；② 【分析】本题考查了数轴、绝对值的非负性及乘方： （1）根据绝对值的非负性及乘方可得，，求出的值即可求解； （2）①根据数轴上点移动的规律即可求解； ②根据数轴上点移动的规律得点B对应的数为，当点B与点A相遇时，根据可求得，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ，， 解得：，， 点A、点B表示的数分别是、2， ∴， ∴点A与点B之间的距离是10， 故答案为：，2，10； （2）解：①∵点A以每秒2个单位长度的速度向左运动， ∴t秒时，点A对应的数为， 故答案为：． ②∵点B以每秒4个单位长度的速度向左运动， ∴t秒时，点B对应的数为， 当点B与点A相遇时，则， 解得：， ∴当时，点A在点B的右侧， ∴， 故点A与点B之间的距离． 【经典例题七 整式加减的综合应用】 50．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）如下图，小明在研究数字问题时发现了一个有趣的现象． 请你用不同的三位数（个位上的数字不能为0）再做一做，能发现什么有趣的现象？用你所学过的知识进行解释． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解决本题的关键． 满足条件的三位数，经过变化，得到最终结果均为，理由详见解答过程． 【详解】解：（所取三位数不唯一）所取三位数为614，则有． 现象：结果一定为1089． 设百位上的数字为a，十位上的数字为b，则个位上的数字为， 原数为， 交换后的数为， 两式相减，得 ， 所以结果一定为． 51．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义“标准多项式”，整式的加减运算，理解定义是解题的关键． （1）根据“标准多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“标准多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解； （3）先根据整式加减预算法则求出，再结合“标准多项式”的定义证明即可． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， ②多项式的系数和为，不是的整数倍， 该多项式不是“标准多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， 故答案为：①③； （2）解：是，理由如下： 多项式是关于，的“标准多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式”； （3）证明：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴多项式为， 多项式的系数和为， ∴多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 52．（24-25七年级上·江苏南京·期中）窗户的形状如图所示（图中长度单位：），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是．（取3） (1)求窗户的面积； (2)求窗户的外框的总长（即图中实线部分的总长）； (3)当时，若窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米18元，窗框材料每米6元，求制作这样一个窗户需要多少钱？ 【答案】(1) (2) (3)78.75元 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系； （1）窗户面积为：4个小正方形的面积半圆的面积，据此列出式子，并化简； （2）窗户的外框的总长等于所有小正方形的边长之和3个半径的长半个圆的弧长，据此列出式子，并化简； （3）总费用为：玻璃钱窗框钱，据此列出算式求解． 【详解】（1）由图知，半圆的半径为， ． 答：窗户的面积等于． （2）． 答：窗户的外框的总长等于． （3）当时，窗户的面积等于，窗户的外框的总长等于， （元）． 答：制作这样一个窗户需要78.75元． 53．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在江苏南京多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.4元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收0.4元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 【答案】(1)52元 (2)当时，小明付费元；当时，小明付费元 (3)分钟或分钟 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式的加减的应用等知识点，理解题意、列出代数式是解题的关键． （1）根据表中新型网约车的计价规则计算即可解答； （2）根据和当分情况讨论，分别用代数式表示出小明应付车费即可； （3）先根据行车里程数分情况讨论，再根据题意在每种情况下分别表示出小王和小张的行车时长，并算出相差的时长即可． 【详解】（1）解：根据计费规则，当行车里程为公里，行车时间为分钟时， 小东需付车费：（元）， 答：需付车费52元． （2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：元； 当时，小明应付车费：元． 综上，当时，小明付费元；当时，小明付费元． （3）解：设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为公里， 小张付费y元，则小王付费元， 根据题意： 当行车里程公里以内时，小张行车时长：（分钟）， 小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）； 当里程超过公里时，小张行车时长：（分钟）， 小王行车时长：（分钟）， 行车时长差为：（分钟）． 答：这两辆新型网约车的行车时长相差为分钟或分钟． 54．（2025·江苏盐城·模拟预测）阅读思考 某校初三有32个班级共1510名学生参加模拟考试，学校给学生编制了模拟考试的准考证条形码，共有13位数字（均为0–9之间的整数），它是由12位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如图1：其中校验码用于校验准考证条形码中前12位数字代码的正确性，具体算法如下： 入学年份班级学号考场号座位号学验码 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和 步骤3：计算与的和， 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数， 步骤5：计算与的差就是校验码*， (1)某同学的准考证条形码号为，计算的值为___________，校验码*的值是___________； (2)如图2，某学生的“准考证条形码”号中有两位数字被污损了，这两个数字的差为1，你能通过其他信息还原出这两个数字吗？请说明理由． (3)如图3，某学生说他的准考证的班级号、学号、考场号、座位号的末位数与校验码都相同，你同意他的说法吗？同意，请求出该数字，不同意，请说明理由． 【答案】(1)70， (2)3，2；理由见解析 (3)不同意 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，整式加减混合运算的应用，理解检验码的计算方法是解答本题的关键． （1）根据d和*的计算方法计算即可； （2）设一个为m，另一个为．根据a，b，c，d， *的计算方法求出各个数分析即可； （3）表示出，然后根据d是10的倍数即可求出x的值． 【详解】（1）∵， ， ， ∴，． 故答案为：70，6； （2）∵2个数都在奇数位上， ∴设一个为m，另一个为． 由题意，得 ， ， ， ∴当时， ， ， ∴时符合题意， ∴， ∴这两个数为3，2或8，7． ∵共有32个班级 ∴这两个数为3，2； （3）由题意，得 ， ， ， ∴当时， ， ， ∵， ∴， ∵d是10的倍数， ∴， ∴该数字为2022000000000． 但不存在班级号、学号、考场号、座位号不可能为00， ∴不同意. 55．（25-26七年级上·山西·阶段练习）项目式学习 【项目主题】探究包装盒的打包方式 【项目背景】学习了课本中“项目式学习2：包装中的智慧”后，同学们对包装盒打包带的打包方式进行了探究． 【项目素材】某电商在包装商品时，用到长、宽、高分别为a，b，c（单位：，）的箱子，并发现有如图所示的甲、乙、丙三种打包方式（打包带不计接头处的长度）． 任务一：用含a，b，c的式子表示甲、乙、丙三种打包方式所用的打包带的长度，甲需要 ，乙需要 ，丙需要 ． 任务二： ①当，，时，分别求出三种方式打包所用打包带的长度并比较哪种方式最节省打包带． ②当，，时，分别求出三种方式打包所用打包带的长度并比较哪种方式最节省打包带． 任务三：在完成任务二时，同学们发现在a，b，c取上面两组数值时，这三种打包方式中，图 所用打包带总是最少，请你自己为a，b，c选一组数值验证同学们的猜想是否正确： （填“是”或“否”）（草稿纸上验证即可，不要求写在答题卡上） 在数学中，我们经常通过观察特例形成猜想．然而，特例不能作为一般结论的证明，要确认一个猜想对于所有情况都成立，必须进行严格的逻辑推理计算或数学证明．请结合上述猜想并用所学知识判断：三种打包方式中，哪种方式最节省打包带？并说明你的理由． 【答案】任务一：；；；任务二：①甲种打包方式所用的打包带的长度：；乙种打包方式所用的打包带的长度：；丙种打包方式所用的打包带的长度：；丙种打包方式最节省打包带；②甲种打包方式所用的打包带的长度：；乙种打包方式所用的打包带的长度：；丙种打包方式所用的打包带的长度：；丙种打包方式最节省打包带；任务三：丙；是；丙种打包方式最节省，见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，代数式求值，解题的关键是理解题意，熟练掌握整式加减运算法则． 任务一：根据图形列出代数式即可； 任务二：分别代入a、b、c的值，求出代数式的值即可； 任务三：根据任务二的结果得出这三种打包方式中，图丙所用打包带总是最少，根据整式加减运算法则，分别求出甲与乙所用打包带长度的差值，甲和丙所用打包带的长度差，然后进行判断即可． 【详解】任务一：甲需要； 乙需要； 丙需要； 任务二： ①当，，时， 甲种打包方式所用的打包带的长度： ； 乙种打包方式所用的打包带的长度： ； 丙种打包方式所用的打包带的长度： ； 因为，所以丙种打包方式最节省打包带； ②当，，时， 甲种打包方式所用的打包带的长度： ； 乙种打包方式所用的打包带的长度： ； 丙种打包方式所用的打包带的长度： ； 因为，所以丙种打包方式最节省打包带 任务三：这三种打包方式中，图丙所用打包带总是最少； 当，，时， 甲种打包方式所用的打包带的长度： ； 乙种打包方式所用的打包带的长度： ； 丙种打包方式所用的打包带的长度： ； 因为，所以图丙所用打包带最少，猜想是正确； 丙种打包方式最节省 ， ∵ ∴， ∴， ∴甲比乙省， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：丙种打包方式最节省打包带． 56．（24-25七年级上·山西·阶段练习）综合与实践 现有三个边长分别为3，4，5的正方形卡片（如图1），分别记为，，，还有一个两边长分别为的长方形． 数学思考 （1）如图2，将放入长方形中，用含的代数式表示阴影部分的面积：___________．当，时，阴影部分的面积为___________． 深入探究 （2）将，两张卡片按图3所示的方式（和部分重叠）放置在长方形中，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． （3）将，，三张卡片按图4所示的方式（和II不重叠，和部分重叠，）放置在长方形中，求左上角阴影部分与右下角阴影部分周长的差，勤学小组成员认为缺少与的值无法计算，善思小组成员则认为不需要与的值也能计算，哪一个小组成员的说法正确？请说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）善思小组成员说法正确，理由见解析 【分析】此题考查了列代数式及求值和整式加减运算，熟记长方形、正方形的面积、周长公式求解即可． （1）根据长方形、正方形的面积公式列代数式并求值即可； （2）根据长方形、正方形的面积公式列代数式求解即可； （3）根据长方形、正方形的周长公式列代数式求解即可． 【详解】解：（1）， 当时，； 故答案为：，； （2）； （3）善思小组成员说法正确，理由如下： 周长之差为： ． 则左上角阴影部分与右下角阴影部分周长的差为8， 故善思小组成员说法正确． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 代数式章末56道压轴题型专训（7大题型） 题型一 整式的加减运算问题 题型二 整式加减中的化简求值问题 题型三 整式加减中的无关型问题 题型四 整式加减的新定义问题 题型五 整式的加减规律探究问题 题型六 整式加减中的整体思想求值问题 题型七 整式加减的综合应用 【经典例题一 整式的加减运算问题】 1．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）现定义新运算为：，如． (1)计算和的值； (2)化简； (3)若，求的值． 2．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）先将多项式1化简，再解决下列问题． (1)若给赋予一组数据后该多项式的计算结果为，求的值． (2)若，求该多项式的计算结果． (3)若该多项式的计算结果与的取值无关，请直接写出其计算结果． 3．（25-26七年级上·江苏南京·期中）一个三位数，它的个位数字是，十位数字是个位数字的倍少，百位数字比个位数字大． (1)用含的代数式表示该三位数； (2)若交换个位数字和百位数字，其余不变，得到新的三位数，求原来的三位数比新得到的三位数多了多少？ 4．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）一位同学做一道题：“已知两个多项式、，计算”．他误将“”看成“”求得的结果为，已知， (1)计算的代数式． (2)求正确结果的代数式． 5．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 1 a b c 8 … (1)填空： ， ， ，第2024个格子中所填的数是 ． (2)前n个格子中所填整数之和是否可能为2021?若能，求出n的值；若不能，请说明理由． 6．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图所示的是四张卡牌①、②、③、④，它们分别代表一种运算． (1)经过②→①→④→③的顺序所得的运算结果为______； (2)a经过③→①→④的顺序所得的运算结果记为M，经过④→③→②的顺序所得的运算结果记为N，比较M与N的大小，并说明理由． 7．（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， (2)若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______________ ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． (3)若是三项式，是否存在同样是三项式的，使得是的“友好多项式”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由． 8．（24-25七年级上·江苏南京·期中）【数学背景】 幻方是一种中国传统益智游戏，它的规则是将数字安排在正方形格子中，使每行、每列及对角线上的数字和都相等． 【问题提出】 （1）如图1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到3×3的方格内，使每行、每列及每条对角线上的数字和都相等，则这个和是______； 【问题探究】 （2）在图1中填入一种符合（1）要求的方法； 【模型迁移】 （3）图2是显示部分式子的幻方，用含的式子表示； （4）图3是显示部分式子的幻方，求的值． 【经典例题二 整式加减中的化简求值问题】 9．（24-25七年级上·湖北黄石·期中）已知代数式，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 10．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）已知代数式． (1)若，则的值为 ． (2)若的值与的取值无关，则的值为 ． 11．（24-25七年级上·江苏常州·期中）已知：，，． (1)通过计算：①；②．试判断①与②中，哪一个的运算结果的取值与x无关； (2)在（1）中的运算结果中，任选一个，当，时，求它的代数式的值． 12．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）（）先化简再求值：，其中． （）有这样一道题：“计算的值，其中”．甲同学把“错抄成．”但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 13．（25-26七年级上·江苏南京·期中）已知有理数 a，b 满足 ，定义新运算 “⊙”：对于任意有理数 m，n，都有 . (1)先化简运算式 ，再将 a，b 的值代入，计算 的结果； (2)若整式，整式 ，求当 时， 的值． 14．（24-25七年级上·云南·期中）小明在做一道题，由于粗心，将墨水洒在了作业上盖住“”．另外又将“”看成“”，他凭着印象求出了解：． (1)求多项式； (2)当，求的值． 15．（24-25七年级上·江苏南京·期中）下面是小岩整式化简的过程，请认真阅读并回答问题． ········第一步 ·········第二步 ． ··············第三步 (1)第一步的依据是_______________________________； (2)小岩的化简过程从第____步出现错误，出现错误的原因是______________________； (3)请写出正确的化简过程，并计算当，时该整式的值． 16．（24-25七年级上·福建莆田·期中）下面是小乐同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 ．第三步 (1)任务1：填空： ①以上化简步骤中，第一步依据的运算律是_______； ②以上化简步骤中，第______步开始出现错误． (2)任务2：请直接写出该整式正确的化简结果，并计算当时该整式的值． 【经典例题三 整式加减中的无关型问题】 17．（24-25七年级上·江西吉安·期中）定义：若，则称与是关于数的“平衡数”．比如3和是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与（为常数）始终是关于数的“平衡数”，求的值． 18．（24-25七年级上·福建福州·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为 (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)当的取任意数值，的值是一个定值时，求的值． 19．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）老师写出一个整式（其中、为常数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算． (1)小亮给出一组数，最后计算的结果为，求小亮给出的、的值； (2)小颖给出一组数，最后计算的结果与的取值无关，求小颖给出的、的值． 20．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）已知整式，其中“☐”表示系数，“○”表示运算符号“+”“-”“×”“÷”中的一个． (1)若“☐”表示系数7，“○”表示“+”，化简整式A． (2)若的值为，求（1）中整式A的值． (3)若整式A化简的结果为常数，直接写出“☐”“○”分别表示的系数与运算符号． 21．（24-25七年级上·广东汕头·期中）在学习了整式的加减后，老师给出了一道课堂练习题： 选择的一个值，求 甲说：“当时，原式．” 乙说：“当时，原式．” 丙说：“当为任何一个有理数时，原式．” 这三位同学说法是否正确？请利用所学知识说明理由． 22．（24-25七年级上·云南临沧·阶段练习）我们将这样的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是，例如． (1)请你依此法则计算二阶行列式； (2)若代数式是与的和，代数式，小昆说无论取什么值，代数式与的差都不变，小昆的说法是否正确？请通过计算说明． 23．（24-25七年级上·广东广州·期中）学习了整式的加减法之后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个关于的多项式、，其中，求． 小强同学把“”错看成“”，求出的结果为． (1)填空：多项式的次数为 ，常数项为 ； (2)请帮小强同学求出的正确答案； (3)若当取任意数值时，的值都是一个常数，求的值． 24．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）阅读理解： 已知；若的值与字母的取值无关，则，解得． 当时，的值与字母的取值无关． 知识应用： （1）已知，．若的值与字母的取值无关，求的值； 知识拓展： （2）小华用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为．当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出与之间的数量关系． 【经典例题四 整式加减的新定义问题】 25．（24-25七年级上·四川攀枝花·期中）定义一种新运算：对任意有理数a，b都有，例如：． (1)求的值； (2)化简并求值：，其中a，b互为相反数，x是最大的负整数 26．（24-25七年级上·河南·期中）新定义：若，则称与是关于2的平衡数． (1)则3与______是关于2的平衡数； (2)______与是关于2的平衡数；（用含的代数式表示） (3)若，判断与是否是关于2的平衡数，并说明理由． 27．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）定义一种新运算：对于任意有理数x和y，有（m，n为常数且），如：． （1）①＝ （用含有m，n的式子表示）； ②若，求14的值； （2）请你写出一组m，n的值，使得对于任意有理数x，y，均成立． 28．（24-25七年级上·辽宁营口·期中）定义一种新运算： 例如：1☆； 3☆； 5☆； 4☆． （1）观察上面各式，用字母表示上面的规律：☆　　； （2）若，那么☆　　☆（填“”或“” ； （3）若☆，则　　；并求☆的值． 29．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）定义一种新运算“▲”，其运算方式如下： …… 观察式子的运算方式，请解决下列问题： (1)这种运算方式是： _________(用含m，n的式子表示)； (2)解方程； (3)若关于x的方程的解为整数，求整数a的值； 30．（24-25七年级上·福建宁德·期中）先化简，后求值： (1)：（其中）． 定义一种新运算：观察下列各式： ， ， ， ． (2)请你想想：___________； (3)若，那么___________（填“=”或“≠”）； (4)先化简，再求值：，其中， 31．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“差异数”．将一个“差异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： (1)填空：①下列两位数：30，33，34中，“差异数”为_____； ②计算：_______； (2)如果一个“差异数”的十位数字是m，个位数字是，且，求这个“差异数”的十位数字． 32．（24-25七年级上·江苏常州·期中）新定义：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“幸运数”，例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“幸运数”． （1）直接运用：最大的“幸运数”是 ； （2）提升运用：将一个“幸运数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“幸运数”为“相伴幸运数”．例如：1423与4132为“相伴幸运数”；设任意一个“幸运数”的千位上数字为a，百位上数字为b，十位上数字为c，个位上数字为d，请你说明“幸运数”和它的“相伴幸运数”之和一定是11的倍数； （3）拓展运用：请你直接写出同时满足下列条件的所有“幸运数”． ①个位上的数字是千位上的数字的两倍； ②百位上的数字与十位上的数字之和是12． 【经典例题五 整式的加减规律探究问题】 33．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段练习）观察下列各等式，并回答问题（是正整数）： ；；；；． (1)填空：______； (2)计算：______； (3)计算：______． 34．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在横线上写出相应的等式： (2)请写出第个等式： ； (3)利用（2）中的等式计算：． 35．（24-25七年级上·湖北荆州·期中）如图，某影厅共有16排座位，第1排有m个座位，第2排比第1排多6个座位，第3排及后面每排座位数相同，都比第2排多n个座位． (1)用含m，n的式子表示该影厅所有的座位数； (2)图中的阴影区域为居中区域，仔细观察图形，若，，求该影视厅的居中区域的座位数． 36．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）小曦在学习中遇到这样一道题：计算，他觉得太烦琐，认为应该有简化计算的方法．老师告诉他：解决下面的问题后就能知道该如何简化计算啦！请你和小曦一起解决老师提供的问题． (1)填写下表： 式子 x，y的取值 ， ， ， ， ， 2 5 8 4 9 (2)观察表格，你发现A，B之间有什么关系？ (3)请结合上述有关信息，计算 37．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆的周长为个单位长度，且在圆周的三等分点处分别标上数字，，）．先让原点与圆周上数字所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上，，，，所对应的点分别与圆周上数字，，，，所对应的点重合这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系． (1)若圆周上的数字与数轴上的对应，则 (2)若数轴绕圆周圈后，数轴上的一个整数所对应的点刚好落在圆周上数字所对应的点的位置，求这个整数． 38．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）． (1)如图1所示，图中共有_____对对顶角； (2)如图2所示，图中共有_____对对顶角； (3)如图3所示，图中共有_____对对顶角； (4)研究（1）（3）题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有条直线相较于一点，则可形成_____对对顶角； (5)若有2020条直线相交于一点，则可形成_____对对顶角． 39．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）数学课上，王老师提出了这样一个问题： 一张方桌周围可坐8人，试探索把桌子按下图排放时周围可坐人数的变化规律． 下面是三名同学就这个问题作出了不同的阐述： 第一张桌子东西方向各坐2人，共4人，南北方向也各坐2人，共4人，后面每增加一张桌子，东西方向坐的人数①______变化，而南北方向增加②______人，那么张桌子共坐人；（左西右东，上北下南） 如果把每张桌子都看成坐了8人，那么后面每张桌子坐的人数重复算了4人，减去重复算的所有人数，那么张桌子共坐______人； ______，那么张桌子共坐人． 请认真阅读他们的阐述，回答下列问题： (1)填空：①______（填“没有”或“有”），②______； (2)请用含的代数式表示小颖同学阐述的变化规律（结果保留原式，不要化简），并说明她的算式结果与小明的算式结果是一致的； (3)请根据小丽同学列出的代数式，补充完整她对这个问题变化规律的正确描述． 40．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）综合与实践 问题情境：综合与实践课上，老师展示了图1、图2、图3、图4四幅平面图，若构成平面图的顶点数记为a、边数记为b、围成的封闭区域数记为c，则a，b，c之间存在某种关系，其图形和数据如下表： 尝试操作： (1)观察图3、图4，把表格补充完整． 平面图 顶点数（a） 边数（b） 区域数（c） 图1 4 6 3 图2 5 8 图3 6 图4 (2)根据表中的数值，直接写出a，b，c之间的关系． (3)拓展探究：图5是由多个区域组成的平面图，该图有_______个顶点，有_______个区域，用（2）中得出的关系求这个平面图的边数． 【经典例题六 整式加减中的整体思想求值问题】 41．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）【阅读材料】：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【尝试应用】： （1）把看成一个整体，合并的结果是_________． （2）已知，求的值； 【拓展探索】： （3）已知，，，求代数式的值． 42．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）数学思想·整体思想 “整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入、整体换元等．有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼整体思考，会使问题化繁为简、化难为易，复杂问题也能迎刃而解． 例：当的值为7时，求的值． 解：因为，所以．所以 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，计算的结果是_____； (2)设，则_____（用含的代数式表示）； (3)已知，求的值． 43．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）阅读与思考：整体思考是一种重要的解决数学问题的策略．例如：已知当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值是多少？ 解：当时，代数式的值为2024， 则， ． 当时，． 请认真阅读上面例题的解答过程，完成下面问题． (1)若，则________． (2)已知，，求的值． 44．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）【教材呈现】 “整体思想”是一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：如果整式的值为4，那么整式是多少？ 【阅读理解】 小亮同学把看做一个整体进行求解，过程如下： ． 所以整式的值为20． 【方法应用】 （1）已知：，则__________． （2）已知：，，求的值． 【知识拓展】 （3）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，当，时，求的值． 45．（24-25七年级上·山东滨州·期中）（1）小明在写作业时，不慎将一滴墨水滴在了卷子上，遮住了数轴上和3之间的数据，如图： 若遮住的最大整数是x，最小整数是y，根据图中信息，先化简下列多项式然后求值：的值； （2）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，．类似的我们可以把看成一个整体．则．请尝试解决： 若，，求的值． 46．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）“整体思想”是一种非常重要的数学思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．阅读下列材料，并解决相关问题． 【材料呈现】 求代数式的值，其中，． 先去括号，再合并同类项 把看成一个整体，用字母表示记为，这个代数式可以简化为 【问题解决】 （1）对“材料呈现”中的代数式，利用“整体思想”进行化简求值，并写出过程； 【简单应用】 （2）①把看成一个整体，合并的结果是______； ②若，则的值为______． 47．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式：的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为 所以原式＝． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则＝______； （2）已知，求的值； 【拓展提高】 （3）若，，则代数式：______． 48．（24-25七年级上·山东聊城·期中）下图是七年级教辅资料上的一道题，请同学们阅读材料解决问题． 代数式的值为7，则代数式的值为___________． 【阅读理解】 小亮通过观察发现：．前后两个多项式中，含次数相同项的系数存在相同的倍数关系． 思考：只需求得的值即可求得的值，进而解决问题． 于是他在做作业时采用了如下方法： 由题意，得，，则有． ． 所以代数式． 【方法学习】 这种方法叫整体代入法，是我们在整式求值时常用到的一种方法，即题目已知条件告诉我们的不是单个未知数的值，而是一个或者几个式子的值，让我们根据条件去求其他代数式的值．这个时候，我们要将问题中的式子转化成含有已知式子的形式，然后整体将已知条件代入求值． 【方法运用】 （1）若代数式的值为5，求代数式的值； （2）若，求的值； 【方法拓展】 （3）当时，代数式的值为9；求当时，求代数式的值； （4）若，求代数式的值． 49．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）数轴上有两个点A、B，分别代表的整数是a和b，a、b满足． (1)　　　，　　　，点A与点B之间的距离是　　　． (2)点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点B以每秒4个单位长度的速度向左运动，点A、B同时运动，设运动时间为t秒，回答下列问题： ①t秒时，点A对应的数为　　　；（用含t的式子表示） ②当时，求点A与点B之间的距离．（用含t的式子表示） 【经典例题七 整式加减的综合应用】 50．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）如下图，小明在研究数字问题时发现了一个有趣的现象． 请你用不同的三位数（个位上的数字不能为0）再做一做，能发现什么有趣的现象？用你所学过的知识进行解释． 51．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 52．（24-25七年级上·江苏南京·期中）窗户的形状如图所示（图中长度单位：），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是．（取3） (1)求窗户的面积； (2)求窗户的外框的总长（即图中实线部分的总长）； (3)当时，若窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米18元，窗框材料每米6元，求制作这样一个窗户需要多少钱？ 53．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在江苏南京多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.4元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收0.4元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 54．（2025·江苏盐城·模拟预测）阅读思考 某校初三有32个班级共1510名学生参加模拟考试，学校给学生编制了模拟考试的准考证条形码，共有13位数字（均为0–9之间的整数），它是由12位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如图1：其中校验码用于校验准考证条形码中前12位数字代码的正确性，具体算法如下： 入学年份班级学号考场号座位号学验码 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和 步骤3：计算与的和， 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数， 步骤5：计算与的差就是校验码*， (1)某同学的准考证条形码号为，计算的值为___________，校验码*的值是___________； (2)如图2，某学生的“准考证条形码”号中有两位数字被污损了，这两个数字的差为1，你能通过其他信息还原出这两个数字吗？请说明理由． (3)如图3，某学生说他的准考证的班级号、学号、考场号、座位号的末位数与校验码都相同，你同意他的说法吗？同意，请求出该数字，不同意，请说明理由． 55．（25-26七年级上·山西·阶段练习）项目式学习 【项目主题】探究包装盒的打包方式 【项目背景】学习了课本中“项目式学习2：包装中的智慧”后，同学们对包装盒打包带的打包方式进行了探究． 【项目素材】某电商在包装商品时，用到长、宽、高分别为a，b，c（单位：，）的箱子，并发现有如图所示的甲、乙、丙三种打包方式（打包带不计接头处的长度）． 任务一：用含a，b，c的式子表示甲、乙、丙三种打包方式所用的打包带的长度，甲需要 ，乙需要 ，丙需要 ． 任务二： ①当，，时，分别求出三种方式打包所用打包带的长度并比较哪种方式最节省打包带． ②当，，时，分别求出三种方式打包所用打包带的长度并比较哪种方式最节省打包带． 任务三：在完成任务二时，同学们发现在a，b，c取上面两组数值时，这三种打包方式中，图 所用打包带总是最少，请你自己为a，b，c选一组数值验证同学们的猜想是否正确： （填“是”或“否”）（草稿纸上验证即可，不要求写在答题卡上） 在数学中，我们经常通过观察特例形成猜想．然而，特例不能作为一般结论的证明，要确认一个猜想对于所有情况都成立，必须进行严格的逻辑推理计算或数学证明．请结合上述猜想并用所学知识判断：三种打包方式中，哪种方式最节省打包带？并说明你的理由． 56．（24-25七年级上·山西·阶段练习）综合与实践 现有三个边长分别为3，4，5的正方形卡片（如图1），分别记为，，，还有一个两边长分别为的长方形． 数学思考 （1）如图2，将放入长方形中，用含的代数式表示阴影部分的面积：___________．当，时，阴影部分的面积为___________． 深入探究 （2）将，两张卡片按图3所示的方式（和部分重叠）放置在长方形中，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． （3）将，，三张卡片按图4所示的方式（和II不重叠，和部分重叠，）放置在长方形中，求左上角阴影部分与右下角阴影部分周长的差，勤学小组成员认为缺少与的值无法计算，善思小组成员则认为不需要与的值也能计算，哪一个小组成员的说法正确？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $