精品解析：河北省邯郸市冀南新区凌云中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

2025—2026学年度 精英凌云中学高一数学期中试题 考试范围：人教A版《数学必修第一册》第一、二章；考试时间：120分钟； 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 给出下列关系：①；②；③；④，其中错误的个数是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依次判断出各数所属的数集，再利用元素与集合的关系判定即可. 【详解】对于①：，所以①错误； 对于②：，所以②错误； 对于③：因为是无理数，即，所以③错误； 对于④：因为，所以④正确； 综上所述：错误的个数是3. 故选：C. 2. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D.  【答案】C 【解析】 【分析】根据子集、真子集的定义以及元素与集合的关系求解． 【详解】， ，，故A错误； 又，，故B错误； ，故C正确，D错误． 故选：C． 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的交并补运算,进行求解判断即可. 【详解】对于A，由于，故A错误； 对于B，由于或， 所以，故B错误； 对于C, 由于或，所以或，故C错误； 对于D，由于或，所以，故D正确； 故选：D． 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】举反例，根据充分必要条件的概念进行判断即可. 【详解】当时，满足，不满足，故“”不能推出“”； 当时，满足，不满足，故 “” 不能推出“”； 所以“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 5. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词与存在量词命题真假的判断方法依次判断即可. 【详解】选项A：因为，，所以选项A错误； 选项B：当时，，所以选项B错误； 选项C：，所以选项C正确； 选项D：因为有的无理数的平方仍是无理数，如：，所以选项D错误. 故选：C. 6. 已知且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举特例说明ABD错误，用不等式的性质证明C正确. 【详解】对A：当，时，满足，但不成立，故A错误； 对B：当时，由可得，故B错误； 对C：因为，所以，故C正确； 对D：当，，时，满足，但，，，所以不成立，故D错误. 故选：C 7. 若正数，满足，则的最小值是（ ） A. 8+ B. 18 C. 16 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为正数，满足， 所以，所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值是. 故选：B 8. 一家金店使用一架两臂不等长天平称黄金，一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡：再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡：最后将两次称得的黄金交给顾客.则顾客实际购得的黄金质量（ ） A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用平衡条件得出的表达式，再结合基本不等式求出答案即可. 【详解】设顾客实际购得的黄金为，天平左臂长为， 右臂长为，且， 设第一次称量时放在右盘的黄金质量为克，第二次称量放在左盘的黄金质量为克， 可得，解得， 而，当且仅当时等号成立， 由于，可得，故A正确. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知非空集合都是的子集，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据交集、并集、补集的定义及性质判断各选项. 【详解】由可得，，故A，B正确； 结合与，可知，故C错误， 则，故，故D正确． 故选：ABD 10. 若集合，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由集合中元素的特征可判断结论. 【详解】因为，所以， 因为 ，所以， 又是奇数，是偶数， 所以，，，，故ABD正确，C不正确； 故选：ABD. 11. 下列命题正确是（    ） A. 是关于的方程有一正一负根的充要条件 B. 若关于的不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 C. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由韦达定理即可判断，对于B，参变分离即可判断，对于C，由条件确定，即可求解，对于D，由，再结合基本不等式即可求解. 【详解】对于A，若的根一正一负，则，解得：； 反之，当时，，方程有一正一负根，也成立， 所以是关于x的方程，有一正一负根的充要条件，A对； 对于B，若关于的不等式在上恒成立， 则只需，即在上恒成立即可， 则实数k的取值范围是，故B错误； 对于C，若关于的不等式的解集是，则， 所以关于的不等式或，故C正确； 对于D，若，则，可得，等号成立当且仅当， 所以，等号成立当且仅当，故D正确， 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据补集和并集的定义即可求解. 【详解】由，可得或，或， 故或， 故答案为：或 13. 已知、，且，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质进行求解即可. 【详解】，又， 所以由不等式的性质可得， 又因为，所以，因此， 故答案为： 14. 已知，且，则的最小值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】方法一：变形得到，利用基本不等式“1”的变换得到，从而得到的最小值是6；方法二：由，得，故，得到答案. 【详解】方法一： 因为，所以．所以， 其中， 当且仅当，即时，等号成立．故的最小值是6． 方法二： 因为，所以．由，得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以．故的最小值是6． 故答案为：6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 解下列不等式 （1）； （2）； （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接化简解出一元二次不等式即可； （2）根据判别式即可得到其解； （3）移项并通分将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解. 【小问1详解】 将不等式化简为， 解得或， 则解集为； 【小问2详解】 将不等式化简为， 因为， 该不等式无实数解，即解集为； 【小问3详解】 ，即，通分可得， 则，解得， 所以解集为. 16. 已知集合，，. （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用并集、补集、交集的定义求解. （2）由（1）的信息，利用交集的结果，结合包含关系列式求解. 【小问1详解】 解不等式，得，则， 当时，，， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，由，得， 当时，，解得，满足； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 已知关于的函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若对任意的恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的求解即可得答案， （2）分离参数，即可根据基本不等式求解最值得解. 【小问1详解】 当时，，故， 解得或， 故不等式的解为或 【小问2详解】 由题意可知对任意的恒成立， 故对任意的恒成立， 由于，当且仅当时取等号， 故，因此最大值为 18. 若关于x的不等式的解集是． （1）解关于x的不等式； （2）若关于x的不等式的解集为，求实数b的取值范围． 【答案】（1）；. （2） 【解析】 【分析】（1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值，最后解一元二次不等式即可； （2）讨论参数是否为0，分别讨论并得出不等式计算求解. 【小问1详解】 由题意知，是方程的两个根， 则，则. 则不等式为， 则，所以解集为；. 【小问2详解】 因为关于x的不等式的解集为，由（1）， 所以关于x的不等式的解集为， 所以当时，解集为，符合题意； 当时，，所以； 所以实数b的取值范围是. 19. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元．x为每月生产人形机器人的个数． （1）该企业每月产量为多少时，平均每个人形机器人的成本y（单位：万元）最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润W（单位：万元）不低于400万元？ 附：利润=售价×销量-成本． 【答案】（1）台，最低为万元 （2）不低于台 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到平均每个人形机器人的成本为，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，得到每月的利润，结合，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意得，生产台人形机器人的总成本为， 所以每个人形机器人的平均成本为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以该企业每月的产量为台时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为万元. 【小问2详解】 解：由题意得，每月的利润， 令，即， 整理得，解得或， 因为为正整数，所以， 所以该企业应每月制订生产的人形机器人不少于台时，才能确保每月的利润不低于万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度 精英凌云中学高一数学期中试题 考试范围：人教A版《数学必修第一册》第一、二章；考试时间：120分钟； 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 给出下列关系：①；②；③；④，其中错误的个数是（   ） A. B. C. D. 2 已知集合，，则（    ） A. B. C. D.  3. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. D. 6. 已知且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若正数，满足，则的最小值是（ ） A. 8+ B. 18 C. 16 D. 14 8. 一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡：再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡：最后将两次称得的黄金交给顾客.则顾客实际购得的黄金质量（ ） A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 不确定 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知非空集合都是的子集，满足，，则（ ） A B. C. D. 10. 若集合，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题正确的是（    ） A. 是关于的方程有一正一负根的充要条件 B. 若关于的不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 C. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或 D. 若，则最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则______． 13. 已知、，且，则的取值范围是___________. 14. 已知，且，则的最小值是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 解下列不等式 （1）； （2）； （3）. 16. 已知集合，，. （1）若，求和； （2）若，求实数取值范围. 17. 已知关于的函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若对任意的恒成立，求实数的最大值. 18. 若关于x的不等式的解集是． （1）解关于x的不等式； （2）若关于x的不等式的解集为，求实数b的取值范围． 19. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元．x为每月生产人形机器人的个数． （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本y（单位：万元）最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润W（单位：万元）不低于400万元？ 附：利润=售价×销量-成本． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $