精品解析：江苏省镇江市丹阳市华南实验初级中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级数学限时训练 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； B、，满足一元二次方程的定义，故该选项是正确的； C、不是整式方程，则不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； D、，含有一个未知数x，未知数的最高次数是1，故该选项是错误的； 故选：B． 2. 已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（　　） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，判断点P与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为3，， ∴半径， ∴点P在外． 故选：B． 3. 关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义列不等式组求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴，解得：且． 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义、根的判别式等知识点，学会运用一元二次方程根的判别式是解题的关键． 4. 如图，在中，，，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直角三角形的两锐角互余得出∠B=62°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB=∠B=62°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 的度数为． 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及圆心角的性质，圆心角的度数等于它所对弧的度数是解题的关键． 5. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由题意列出第一轮传染后患流感的人数，再列出第二轮传染后患流感的人数，即可列出方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 则第一轮传染后患流感的人数是：1+x， 第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x（1+x）， 因此可列方程，1+x+x（1+x）=121． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找到等量关系是解题的关键． 6. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将x=﹣1代入方程中求得a﹣b=1，将求代入所求代数式中求解即可 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴a﹣b﹣1=0即a﹣b=1， ∴2021+3a﹣3b=2021+3（a﹣b）=2021+3×1=2024， 故选：D． 【点睛】本题考查代数式求值、一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是解答的关键． 7. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 8. 已知关于的方程的解是，均为常数，且，那么方程的解是（ ） A. B. C. D. 无法求解 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键．已知方程的解，对比所求方程，两者在结构上是一致的，因此只需要把看作一个整体对应已知方程的解，即可求解． 【详解】解：∵，是方程的解， ∴令，，满足方程，即． ∴，， ∴方程的解是，， 故选：B 9. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理的推论得到为的直径，则点为的中点，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，得到点、的坐标，即可得到点坐标． 【详解】解：四边形为圆的内接四边形， ， ， ， 为的直径， 点为的中点， 在中，，， ， ， ，， 点为的中点， ， 故选：B． 10. 如图，是半圆直径，半径于点O，平分交弧于点D，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据题意得，则有，结合角平分线得，即可得到，则①正确；②过点E作，由角平分线的性质得，在中，，则，故②错误；③结合，，且，则③错误；④作，由角平分线的性质得，求得，进一步求得，故④正确． 【详解】解：①∵是半圆直径， ∴， ∴， ∵平分交弧于点D， ∴， ∴， 则，故①正确； ②过点E作，如图， ∵，平分交弧于点D， ∴， 在中，，则，故②错误； ③在和中，，， ∵， ∴，故③错误； ④作，如图， ∵平分交弧于点D， ∴， ∴， ∵是半圆直径， ∴， ∴，， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，只有①④正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆的性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质和圆周角定理，解题的关键是作辅助线并熟悉等腰三角形的性质和圆周角定理． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知关于的方程x2-3x+m=0的一个根是1，则另一个根为____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：设方程的另一个根为x2 因为一元二次方程x2-3x+m=0的一个根是1． 根据根与系数的关系，1+x2=3，得x2=3-1=2． 故答案是：2． 12. 已知中最长的弦长为，则的半径为_______________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为, 中最长的弦，即直径的长为. 故答案为：5． 13. 关于的方程有实数根，化简=____________ 【答案】a2-a一1. 【解析】 【分析】根据方程有实数根可得出关于a的一元一次不等式，即可得出a的取值范围，进而可得出a-4＜0、2-a＞0，将原式化简后即可得出结论． 【详解】解：∵关于的方程有实数根， ∴△=（-2）2-4×1×a≥0， 解得：a≤1. 无论a为何值，a2-2a+1=(a-1)2≥0；因为a≤1，所以2-a>0， 所以原式= （a2-2a+1）一（2-a）= a2-2a+1一2+a = a2-a一1. 故答案为a2-a一1. 【点睛】本题考查根的判别式，解题关键是熟练掌握“当△≥0时，方程有实数根”． 14. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝6，则OC的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】利用垂径定理，勾股定理解决问题即可． 【详解】解：设OC＝OA＝r． ∵AB⊥CD， ∴EC＝DE＝3， 在Rt△EOC中，∵OC2＝EC2+OE2， ∴r2＝32+（r﹣1）2， 解得r＝5， 故答案为5． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 15. 如图，点A，B，C均在的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案． 【详解】如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O， 以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆， 由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点， 故答案为：5 16. 已知实数a、b满足，则代数式的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式的求值，二次函数的性质，解题的关键是利用代数式变形得到． 根据得出，代入代数式中，代数式变形得到，根据二次函数的性质即可求得最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵二次项系数是， ∴当时，代数式取得最小值，最小值是． 故答案为： 三．解答题（本大题共10小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答； （4）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ， 解得， 【小问2详解】 解： ， 解得， 【小问3详解】 解：，， 解得， 【小问4详解】 解： ， ， ， 解得， 18. 如图，点在上，．求证：． 【答案】 证明：， ， ，即， ． 【解析】 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由得到，进而可得，即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 19. 关于x的一元二次方程． （1）判断该方程根的情况，并说明理由； （2）若此方程的一个根为，求m的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 方程有两个不相等的实数根． 理由∶∵关于x的一元二次方程中， ，，， ∴， ∵无论m为任意实数，， ∴原方程总有两个实数根． （2），方程的另一个根为2 【解析】 【分析】（1）求出的值，再根据根的判别式判断即可； （2）把代入方程，求出m的值，再解方程求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 设方程的另一个根为， ∵， ∴． ∴，方程的另一个根为2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解此题的关键． 20. 尺规作图，将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）画出该轮的圆心； （2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求圆片的半径R． 【答案】（1）如图所示： （2）圆片的半径R为cm． 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求； （2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R． 【详解】（1）分别作弦AB和AC的垂直平分线，交点O即为所求的圆心； （2）连接AO，OB， ∵BC=16cm，∴BD=8cm，∵AB=10cm，∴AD=6cm， 设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R-6）cm， ∴R2=82+（R-6）2， 解得：R=cm， ∴圆片的半径R为cm． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧．在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立． 21. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变、售价不变的前提下，五月份的销量达到200件． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，如果售价不变，预计销售量和五月份持平，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降2元，销售量增加10件，当商品降价多少元时，商场六月可获利2250元？ 【答案】（1） （2）5元 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系列出方程是解题关键． (1)首先设四、五两个月销售量的月平均增长率为x，然后列出方程即可得解； (2)首先设商品降价m元，表示出每件利润和销售量，然后列出方程即可得解． 【小问1详解】 解：设四、五两个月销售量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（舍）， 答：四、五两个月销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价 m 元， ∵每降2元，销售量增加10件， ∴每降1元，销售量增加5件， 则商品降价 m 元，销售量增加件， 由题意得，， 解得，（舍） 答：商品降价 5 元时，商场六月可获利 2250 元． 22. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形； 证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB， ∴∠ACB=∠CAB， ∴△ABC是等腰直角三角形； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明； （2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=， ∴AC=， Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=， ∴CD=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 23. 如图所示，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于G． （1）求证：弧GE=弧EF； （2）若弧BF的度数为70°，求∠C的度数． 【答案】 (1)证明:连接AF. A为圆心,AB=AF, ∠ABF=∠AFB, 四边形ABCD为平行四边形, AD∥BC,∠AFB=∠DAF, ∠GAD=∠ABF ∠DAF=∠GAD, ; (2) ∠C=125. 【解析】 【分析】(1)要证明,则要证明∠DAF=∠GAD,由题干条件能够证明; (2)根据的度数为70,得到∠BAF=70,于是得到∠B=∠AFB=(180-∠BAF)=55,根据平行四边形的性质即可得到结论. 【详解】(1)略 (2)解: 的度数为70, ∠BAF=70, AB=AF, ∠B=∠AFB=(180-∠BAF)=55, 四边形ABCD为平行四边形, AB//CD, ∠C=180-∠B=125. 【点睛】本题考查了平行四边形性质,平行线性质,圆周角定理等知识点的应用,关键是求出 ∠DAF=∠GAD,题目比较典型,难度不大. 24. 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）解方程：； （2）已知实数满足，求的值； （3）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数． 【答案】（1）， （2）6 （3）1，2，3，4 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法，直接开平方的方法解一元二次方程，利用整体思想解答是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）把看作是一个整体，先整理，再利用直接开平法解答即可； （3）设这四个连续正整数分别为，其中a为正整数，根据题意列出方程，再把方程整理可得，从而得到或，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 整理得：， ∴或， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设这四个连续正整数分别为，其中a为正整数，根据题意得： ， 即， ∴， ∴， ∴， ∴或， 对于方程， ∵， ∴此方程无解； 对于方程， 解得：（舍去）， ∴这四个连续正整数分别为1，2，3，4． 25. 如图，在矩形中，，点P从点A沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B沿边向点C以的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为，求： （1）当x为何值时，为等腰三角形； （2）当x为何值时，的面积为； （3）当x为何值时，为等腰三角形． 【答案】（1）当时，是等腰三角形 （2）x为1或5时，的面积为 （3）x为或时，是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）由题意得，得，当为等腰三角形时，，得出方程，解方程即可； （2）由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可； （3）根据题意，分两种情况：①当时，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当时，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， 根据题意得：， ∴， 当为等腰三角形时，， ∴， 解得：， 即当时，是等腰三角形； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：当x为1或5时，的面积为； 【小问3详解】 解：根据题意，分两种情况： ①当时，如图1所示： 在和中，由勾股定理得：，， ∴， 解得：或（不合题意舍去）， ∴； ②当时，如图2所示： 在和中，，， ∴， 解得：或（不合题意舍去）， ∴． 综上所述，当x为或时，是等腰三角形． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法、勾股定理、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 26. 【模型建立】 如图①、②，点分别在圆外、在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】 （1）已知点到圆上的点的最短距离为3，最长距离为7．则圆的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是______． （3）如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，则线段的最大值为______． （4）如图⑤，正方形中，点分别为上的动点，且，，交于，点为的中点，点为上一个动点，连接．若，则的最小值为______． 【答案】（1）2或5 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）分两种情况：若点在圆外，若点P在圆内，即可求解； （2）连接，交圆E于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； （3）取点，连接，可得是的中位线，从而得到当线段取得最大值时，线段也取得最大值，连接，并延长交圆P于点，当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与圆P的半径即可求出的长，进而即可解答； （4）证明，可得，从而得到，进而得到点E在以为直径的圆上运动；取的中点O，作点F关于的对称点H，连接，可得到当E，P，H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，当O，P，E三点共线时，有最小值，即此时有最小值，再求出的长，从而得到的长，进而得到的最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：如图①，若点在圆外，此时， ∴， ∴圆的半径为2； 如图②，若点P在圆内，此时， ∴， ∴圆的半径为5； 综上所述，圆的半径为2或5； 故答案为：2或5 【小问2详解】 解：如图，连接，交圆E于点D， 由【模型建立】得：可得的长是点A到圆E上的点的最短距离， 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为： 【小问3详解】 解：取点，连接， ∵点， ∴点A为线段的中点， ∵点C为线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， 连接，并延长交圆P于点， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵， ∴， ∵圆P的半径为，即， ∴， ∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为； 故答案为： 【小问4详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上运动； 如图，取的中点O，作点F关于的对称点H，连接， ∴， ∴， ∴当E，P，H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴当O，P，E三点共线时，有最小值，即此时有最小值， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，正方形的性质全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，坐标与图形，三角形中位线定理，正确理解一点到圆上一点的距离取值最值的情形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学限时训练 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（　　） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 不能确定 3. 关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 如图，在中，，，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为　　 A. B. C. D. 5. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 8. 已知关于的方程的解是，均为常数，且，那么方程的解是（ ） A. B. C. D. 无法求解 9. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是半圆直径，半径于点O，平分交弧于点D，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知关于的方程x2-3x+m=0的一个根是1，则另一个根为____． 12. 已知中最长的弦长为，则的半径为_______________． 13. 关于的方程有实数根，化简=____________ 14. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝6，则OC的长为_____． 15. 如图，点A，B，C均在的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为_______． 16. 已知实数a、b满足，则代数式的最小值是________． 三．解答题（本大题共10小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，点在上，．求证：． 19. 关于x的一元二次方程． （1）判断该方程根的情况，并说明理由； （2）若此方程的一个根为，求m的值及方程的另一个根． 20. 尺规作图，将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）画出该轮的圆心； （2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求圆片的半径R． 21. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变、售价不变的前提下，五月份的销量达到200件． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，如果售价不变，预计销售量和五月份持平，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降2元，销售量增加10件，当商品降价多少元时，商场六月可获利2250元？ 22. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 23. 如图所示，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于G． （1）求证：弧GE=弧EF； （2）若弧BF的度数为70°，求∠C的度数． 24. 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）解方程：； （2）已知实数满足，求的值； （3）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数． 25. 如图，在矩形中，，点P从点A沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B沿边向点C以的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为，求： （1）当x为何值时，为等腰三角形； （2）当x为何值时，的面积为； （3）当x为何值时，为等腰三角形． 26. 【模型建立】 如图①、②，点分别在圆外、在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】 （1）已知点到圆上的点的最短距离为3，最长距离为7．则圆的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是______． （3）如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，则线段的最大值为______． （4）如图⑤，正方形中，点分别为上的动点，且，，交于，点为的中点，点为上一个动点，连接．若，则的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $