2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学上册 期中单元复习试卷

期中单元复习试卷2025-2026学年北师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0 C． D．（x﹣1）2+1＝x2 2．一个等腰三角形的底边和腰分别是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个三角形的周长为（　　） A．6 B．10或8 C．8 D．10 3．榫卯是将两个木制单元凹凸接合的方式，是数千年以来中华古建筑的灵魂所在．下列四种榫，以箭头为主视方向，则其主视图是如图所示的图形是（　　） A． B． C． D． 4．小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　） A． B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠1 D．且k≠1 6．实数a，b定义新运算“*”如下：a*b＝b2+ab，例如1*2＝22+1×2＝4+2＝6，则方程2*x＝﹣2的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 7．如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，则下列结论不正确的是（　　） A．BC＝2DE B． C． D．S△ABC＝4S△ADE 8．如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两部分，将①展开后，得到的四边形一定是（　　） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 9．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P、M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝5：2，则PQ的长为（　　） A．15mm B．30mm C．75mm D．20mm 10．如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③；④△AMN∽△CAB．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题） 11．已知α、β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则α2+2β＝　 　 ． 12．十月佳节将至，某班将举办“庆中秋，迎国庆”文艺汇演活动．现打算从班级的四位同学中（两名男同学和两名女同学）随机选取两名同学来当节目主持人，则选中一男一女的概率是 　 　 ． 13．已知m，n是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则　 　 ． 14．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则线段EF的最小值为 　 　 ． 15．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC＝∠AQP＝90°，AP与BC相交于点D．测得AB＝1.2m，BD＝0.5m，AQ＝9m，则树高PQ＝　 　 m． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E是射线BC上一点，，连接AE，将△ABE沿AE翻折，得到△AFE，延长AF，交CD的延长线于点M，则DM＝ 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．用适当的方法解下列方程： （1）3x2+2x﹣1＝0； （2）4（3x﹣2）（x+1）＝3x+3． 18．关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2m＝0． （1）若方程有两个实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，求的最小值． 19．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 　 　 ； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 　 　 ； （3）△A2B2C2的面积是 　 　 平方单位． 20．今年暑假，我市各中小学试行“阳光分班”方案，以树立教育公平为基本方向，实现机会均等，确保每个孩子享有公平而有质量的教育．某校七年级共设4个教学班，班号依次为1、2、3、4，分班过程分两批完成，第一批由家长代表抽签确定各班学生，第二批抽签确定各班学生对应的班主任． （1）充亮被抽到1班是　 　 事件（填“必然”“随机”）； （2）求充亮和班主任计老师分到同一个班的概率（请用画树状图或列表的方法求解）． 21．如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH的长． 22．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形． （2）若AB＝6，BC＝10，若四边形ADCF是菱形，求DG的值． 23．2023年成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个32元的价格购进了一批蓉宝吉祥物，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个50元上涨到每个72元，此时每天可售出200个蓉宝吉祥物． （1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率； （2）经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，网店每个应降价多少元，才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？ 24．【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为BC上一点，连结AD，E为AD上一点，连结CE，若∠BAD＝∠ACE，CD＝CE，求证：△ABD∽△CAE． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OC上一点，连结BE，∠CBE＝∠DCO，BE＝DO，若BD＝12，OE＝5，求AC的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BC中点，F为DC上一点，连结OE、AF，∠AEO＝∠CAF，若，AC＝6，求菱形ABCD的边长． 期中单元复习试卷2025-2026学年北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C D D B B B C 一．选择题（共10小题） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0 C． D．（x﹣1）2+1＝x2 【分析】据此即可判定求解． 【解答】解：A、当a＝0时，方程为bx+c＝0是一元一次方程，该选项不合题意； B、方程x2＝0是一元二次方程，该选项符合题意； C、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意； D、方程（x﹣1）2+1＝x2整理为﹣2x+2＝0，是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 2．一个等腰三角形的底边和腰分别是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个三角形的周长为（　　） A．6 B．10或8 C．8 D．10 【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长． 【解答】解：∵x2﹣6x+8＝0， ∴（x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝2，x2＝4； 当底为2，腰为4时，4﹣2＜4＜4+2，能构成三角形，此时等腰三角形的周长为4+4+2＝10； 当底为4，腰为2时，2+2＝4，不能构成三角形． 故此等腰三角形的周长为10． 故选：D． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形三边关系，求解一元二次方程，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解． 3．榫卯是将两个木制单元凹凸接合的方式，是数千年以来中华古建筑的灵魂所在．下列四种榫，以箭头为主视方向，则其主视图是如图所示的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三视图的定义求解即可． 【解答】解：根据图片形状进行选择， 的主视图是， 故选：B． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题的关键． 4．小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】用绿灯时间除以红绿灯时间之和，即可得到答案． 【解答】解：根据题意可知，遇到绿灯的概率是． 故选：C． 【点评】本题考查了概率公式，掌握概率的意义是解题关键． 5．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠1 D．且k≠1 【分析】根据一元二次方程的定义与一元二次方程根的判别式可进行求解． 【解答】解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4（k﹣1）≥0，且k﹣1≠0， 解得：且k≠1； 故选：D． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 6．实数a，b定义新运算“*”如下：a*b＝b2+ab，例如1*2＝22+1×2＝4+2＝6，则方程2*x＝﹣2的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【分析】根据运算“*”的定义将方程2*x＝﹣2转化为一般式，由根的判别式Δ＜0，即可得出该方程无实数根． 【解答】解：由题可得：方程2*x＝﹣2化为x2+2x＝﹣2， 即x2+2x+2＝0， ∵Δ＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0， ∴方程没有实数根， 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键． 7．如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，则下列结论不正确的是（　　） A．BC＝2DE B． C． D．S△ABC＝4S△ADE 【分析】根据三角形的中位线性质得出BC＝2DE，DE∥BC，根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得出，，（）2＝（）2，即可得出答案． 【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点， ∴BC＝2DE，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴，，（）2＝（）2， ∴S△ABC＝4S△ADE， 即只有选项B错误，选项A、C、D都正确， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的中位线和相似三角形的性质和判定，能求出△ADE∽△ABC和BC＝2DE是解此题的关键． 8．如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两部分，将①展开后，得到的四边形一定是（　　） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．用到的知识点为：四条边相等的四边形是菱形． 【解答】解：由第三个图可以看出：最后从两次折叠的交点处剪去一个直角三角形， 由于是两次折叠得到的图形，那么所得到图形的4条边都是所剪直角三角形的斜边．故得到的四边形是菱形． 故选：B． 【点评】本题考查剪纸问题，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，学会动手操作． 9．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P、M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝5：2，则PQ的长为（　　） A．15mm B．30mm C．75mm D．20mm 【分析】证明△APM∽△ABC，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题． 【解答】解：如图，设AD交PM于点K． ∵PM：PQ＝5：2， ∴可以假设MP＝5k mm，PQ＝2kmm， ∵四边形PQNM是矩形， ∴PM∥BC， ∴△APM∽△ABC， ∵AD⊥BC，BC∥PM， ∴AD⊥PM，得矩形PQDK， ∴KD＝PQ＝2kmm， ∴AK＝AD﹣KD＝（80﹣2k）mm， ∴， ∴， 解得k＝15， ∴PQ＝2k＝30mm， 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 10．如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③；④△AMN∽△CAB．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】通过证明△AMN∽△CBN，可得，可证CN＝2AN；过D作DH∥BM交AC于G，可证四边形BMDH是平行四边形，可得BC，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得DN＝DC；由平行线性质可得∠DAC＝∠ACB，∠ABC＝∠ANM＝90°，可证△AMN∽△CAB；通过证明△ABM∽△BCA，可得，可求BC，即可得，则可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴△AMN∽△CBN， ∴， 在矩形ABCD中，M是AD边的中点， ∴ADBC， ∴， ∴CN＝2AN， 故①正确； 如图，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，过D作DH∥BM交AC于G， ∵DH∥BM，BM⊥AC， ∴DH⊥AC， ∵DH∥BM，AD∥BC， ∴四边形BMDH是平行四边形， ∴BH＝MDBC， ∴BH＝CH， ∵∠BNC＝90°， ∴NH＝HC，且DH⊥AC， ∴DH是NC的垂直平分线， ∴DN＝CD， 故②正确； ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC， ∴∠DAC＝∠ACB，∠ABC＝∠ANM＝90°， ∴△AMN∽△CAB， 故④正确； ∵△AMN∽△CAB， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA，且∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠AMB＝90°， ∴∠BAC＝∠AMB，且∠BAM＝∠ABC， ∴△ABM∽△BCA， ∴， ∴AB2BC2， ∴ABBC， ∴， ∴． 故③错误． 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．已知α、β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则α2+2β＝　5　 ． 【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出β2﹣2β＝1，α+β＝2，α•β＝﹣1，将代数式变形为（α+β）2﹣2αβ﹣（β2﹣2β），整体代入即可． 【解答】解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根， ∴β2﹣2β＝1，α+β＝2，α•β＝﹣1， ∴α2+2β＝（α+β）2﹣2αβ﹣（β2﹣2β）＝22﹣2×（﹣1）﹣1＝5． 方法二：∵α，β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根， ∴α2﹣2α﹣1＝0，∴α2＝2α+1 ∴α2+2β＝2α+1+2β＝2（α+β）+1＝2×2+1＝5 故答案为：5． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 12．十月佳节将至，某班将举办“庆中秋，迎国庆”文艺汇演活动．现打算从班级的四位同学中（两名男同学和两名女同学）随机选取两名同学来当节目主持人，则选中一男一女的概率是 　　 ． 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及选中一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：记两名男同学分别为男1，男2，两名女同学分别为女1，女2， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选中一男一女的结果有：（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），（女1，男1），（女1，男2），（女2，男1），（女2，男2），共8种， ∴选中一男一女的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 13．已知m，n是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则　　 ． 【分析】依据题意，根据一元二次方程根与系数的关系可得：m+n＝﹣2，mn＝﹣3，从而对所求式子适当变形即可得解． 【解答】解：由题意，∵m，n是方程x2+2x﹣3＝0的两个根， ∴m+n＝﹣2，mn＝﹣3． ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题时需要熟练掌握并灵活运用． 14．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则线段EF的最小值为 　　 ． 【分析】连接CD，证四边形CEDF是矩形，可得EF＝CD，再由垂线段最短可得CD⊥AB时线段CD的长最小，进而解答即可． 【解答】解：如图，连接CD， ∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°， ∴四边形CEDF是矩形， ∴EF＝CD， 由垂线段最短可得：CD⊥AB时，线段CD的长最小， 在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， 当CD⊥AB时， ∵△ABC的面积AB×CDAC×BC， ∴CD， ∴EF的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 15．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC＝∠AQP＝90°，AP与BC相交于点D．测得AB＝1.2m，BD＝0.5m，AQ＝9m，则树高PQ＝　3.75　 m． 【分析】根据题意可得△ABD∽△AQP，然后由相似三角形的性质，即可求解． 【解答】解：∵∠ABC和∠AQP均为直角， ∴BD∥PQ， ∴△ABD∽△AQP， ∴， ∵AB＝1.2m，BD＝0.5m，AQ＝9m， ∴PQ3.75（m）． 故答案为：3.75． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E是射线BC上一点，，连接AE，将△ABE沿AE翻折，得到△AFE，延长AF，交CD的延长线于点M，则DM＝ 　或　 ． 【分析】情形①如图当点E在线段BC上时，情形②如图当点E在线段BC的延长线上时分别求解即可解决问题； 【解答】解：情形①如图当点E在线段BC上时， ∵BC＝8，BE＝3EC， ∴EC＝2，EB＝EF＝6，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠ADM＝90°，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB＝∠AEG， ∴AG＝EG，设AG＝EG＝x， 在Rt△AFG中，∠AFG＝90°，AF＝AB＝4，FG＝6﹣x， ∴x2＝42+（6﹣x）2， ∴x， ∴FG＝EF﹣EG， ∵tan∠DAM， ∴， ∴DM， 情形②如图当点E在线段BC的延长线上时， ∵BC＝8，BE＝3EC， ∴EC＝4，EB＝EF＝12， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠ADG＝90°，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB＝∠AEG， ∴AG＝EG，设AG＝EG＝x， 在Rt△AFG中，∠AFG＝90°，AF＝AB＝4，FG＝12﹣x， ∴x2＝42+（12﹣x）2， ∴x， ∴FG＝EF﹣EG， ∵tan∠DAM， ∴， ∴DM， 故答案为：或． 【点评】本题考查翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三．解答题（共8小题） 17．用适当的方法解下列方程： （1）3x2+2x﹣1＝0； （2）4（3x﹣2）（x+1）＝3x+3． 【分析】（1）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）3x2+2x﹣1＝0， Δ＝22﹣4×3×（﹣1）＝16＞0， 则x， 所以； （2）4（3x﹣2）（x+1）＝3x+3， 4（3x﹣2）（x+1）﹣3（x+1）＝0， （x+1）（12x﹣8﹣3）＝0， （x+1）（12x﹣11）＝0， 则x+1＝0或12x﹣11＝0， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣公式法及解一元二次方程﹣因式分解法，熟知公式法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 18．关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2m＝0． （1）若方程有两个实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，求的最小值． 【分析】（1）根据一元二次方程有两个根，可得出根的判别式Δ≥0，解之即可得出k的取值范围； （2）利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣（2m﹣1），，将其代入中可得出2m2+1，再结合m的取值范围，即可得出的最小值． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2m＝0有两个实数根， ∴Δ≥0， 即（2m﹣1）2﹣4×1×（m2﹣2m）＝4m2﹣4m+1﹣4m2+8m＝4m+1≥0， 解得：m， ∴实数m的取值范围为m； （2）∵x1，x2是方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2m＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣（2m﹣1），， ∴ ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣2（m2﹣2m） ＝4m2﹣4m+1﹣2m2+4m ＝2m2+1， ∵m，m2≥0， ∴当m＝0时取最小值，此时2m2+1＝2×02+1＝1． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系，找出2m2+1． 19．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 　（2，﹣2）　 ； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 　（1，0）　 ； （3）△A2B2C2的面积是 　10　 平方单位． 【分析】（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可； （3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积． 【解答】解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）； 故答案为：（2，﹣2）； （2）如图所示：C2（1，0）； 故答案为：（1，0）； （3）∵A220，B220，A240， ∴△A2B2C2是等腰直角三角形， ∴△A2B2C2的面积是：20＝10平方单位． 故答案为：10． 【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键． 20．今年暑假，我市各中小学试行“阳光分班”方案，以树立教育公平为基本方向，实现机会均等，确保每个孩子享有公平而有质量的教育．某校七年级共设4个教学班，班号依次为1、2、3、4，分班过程分两批完成，第一批由家长代表抽签确定各班学生，第二批抽签确定各班学生对应的班主任． （1）充亮被抽到1班是　随机　 事件（填“必然”“随机”）； （2）求充亮和班主任计老师分到同一个班的概率（请用画树状图或列表的方法求解）． 【分析】（1）根据在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，即可求解； （2）根据题意，画出树状图进行求解即可． 【解答】解：（1）七年级共设4个教学班，充亮被抽到1班是随机事件； 故答案为：随机． （2）如图： 由树状图给出的信息可得：共有16种等可能的结果，其中充亮和班主任计老师分到同一个班的结果有4种， 故充亮和班主任计老师分到同一个班的概率为． 【点评】本题考查了事件的分类，画树状图法求概率． 21．如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH的长． 【分析】设长边OA＝acm，短边OB＝bcm，O离地面的距离为hcm，由相似的性质得到OA、OB和OH之间的关系并求解，即可解题． 【解答】解：设长边OA＝acm，短边OB＝bcm，O离地面的距离为hcm， 如图所示，由题意得，AA′，BB′，OB都与地面垂直， 则AA′∥OH∥BB′， ∴△BOH∽△BA′A，△AOH∽△AB′B， ∴， ∴， 由①+②得：， 解得h＝36， ∴跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH的长为36cm． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是作出辅助线，构造相似三角形解决问题． 22．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形． （2）若AB＝6，BC＝10，若四边形ADCF是菱形，求DG的值． 【分析】（1）由三角形中位线定理得DE∥AB，再证四边形ABDF是平行四边形，得AF＝BD，则AF＝DC，即可得出结论； （2）由菱形的性质得AC⊥DF，AD＝CD＝BD＝CF，再证△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，则AC＝8，然后由平行四边形的性质得DF＝AB＝6，最后由菱形的面积求出DG的长即可． 【解答】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，BD＝CD， ∴DE∥AB， ∵AF∥BC， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴AF＝BD， ∴AF＝DC， ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形； （2）解：∵四边形ADCF是菱形， ∴AC⊥DF，AD＝CD＝CF， ∴， ∵CD＝BD， ∴AD＝CD＝BD， ∴∠ABD＝∠DAB，∠ACD＝∠DAC， ∵∠ABD+∠DAB+∠ACD+∠DAC＝180°， ∴∠BAC＝∠DAB+∠DAC＝90°， ∴， 由（1）可知，四边形ABDF是平行四边形， ∴DF＝AB＝6， ∵DG⊥CF， ∴， 即， ∴． 【点评】此题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、菱形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，掌握其相关知识点是解题的关键． 23．2023年成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个32元的价格购进了一批蓉宝吉祥物，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个50元上涨到每个72元，此时每天可售出200个蓉宝吉祥物． （1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率； （2）经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，网店每个应降价多少元，才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？ 【分析】（1）依据题意，设每次上涨的百分率为m，再由题意列出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）依据题意，设每个售价为x元，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可列出关于x的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，设每次上涨的百分率为m， 依题意，得：50（1+m）2＝72， 解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：每次上涨的百分率为20%． （2）由题意，设每个售价为x元， ∴每天的利润w＝（x﹣32）[200+10（72﹣x）] ＝﹣10x2+1240x﹣29440 ＝﹣10（x﹣62）2+9000． ∴当x＝62时，每天的最大利润为9000． ∴网店每个应降价（72﹣62）元，即网店每个应降价10元． 答：网店每个应降价10元，才能使每天利润达到最大，最大利润为9000元． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键． 24．【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为BC上一点，连结AD，E为AD上一点，连结CE，若∠BAD＝∠ACE，CD＝CE，求证：△ABD∽△CAE． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OC上一点，连结BE，∠CBE＝∠DCO，BE＝DO，若BD＝12，OE＝5，求AC的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BC中点，F为DC上一点，连结OE、AF，∠AEO＝∠CAF，若，AC＝6，求菱形ABCD的边长． 【分析】（1）可证得∠CDE＝∠CED，从而∠ADB＝∠CEA，进一步得出结论； （2）可证得∠BEO＝∠BOE，从而得出∠BEC＝∠COD，进而得出△BEC∽△COD，从而，设OC＝x，则CE＝OC﹣OE＝x﹣5，从而得出，从而求得x的值，进一步得出结果； （3）延长AG，BC，交于点G，可得出△CGF∽△DAF，从而，进而表示出CG，可证得△AOE∽△GCA，从而，进而求得t的值，进一步得出结果． 【解答】（1）证明：∵CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED， ∴180°﹣∠CDE＝180°﹣∠CED， ∴∠ADB＝∠CEA， ∵∠BAD＝∠ACE， ∴△ABD∽△CAE． （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴BE＝DO＝BO＝6． ∴∠BEO＝∠BOE， ∴180°﹣∠BEO＝180°﹣∠BOE， ∴∠BEC＝∠COD． ∵∠CBE＝∠DCO， ∴△BEC∽△COD， ∴， 设OC＝x，则CE＝OC﹣OE＝x﹣5， ∴， ∴x1＝9，x2＝﹣4（舍去）， ∴OC＝9， ∴AC＝2OC＝18； （3）解：如图， 延长AG，BC，交于点G． ∵， ∴设DF＝5t，FC＝3t，则CD＝8t， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝8t，AD∥BC，，AC⊥BD， ∴△CGF∽△DAF， ∴， 即， ∴． 在Rt△BOC中， ∵E为BC的中点， ∴OE＝CEBC＝4t． ∴∠COE＝∠ACE， ∴∠AOE＝∠ACG， ∵∠AEO＝∠CAF， ∴△AOE∽△GCA， ∴， 即， ∴t1，t2（舍去）， ∴， 即菱形ABCD的边长为． 【点评】本题考查了平行四边形、菱形的性质，直角三角形和等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/28 8:44:06；用户：张思雨；邮箱：18366661343；学号：24445058 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $