第22章 一元二次方程 单元测试2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

华师大版九年级上册 第22章 一元二次方程 单元测试 一、选择题 1.下列各数中，是方程x2﹣（1+）x+＝0的解的有（　　） ①1+；②1﹣；③1；④﹣. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为（　　） A.7 B.﹣1 C.7或﹣1 D.﹣2或1 3.关于x的多项式﹣x2+6x﹣m的最大值为10，则m的值是（ ） A.1 B.﹣1 C.﹣10 D.﹣19 4.a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，c＝5，则△ABC是（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 5.解下列方程，最适合用公式法求解的是（　　） A.（x+2）2﹣16＝0 B.（x+1）2＝4 C.x2＝1 D.x2﹣3x﹣5＝0 6.已知x2+y2+13＝4y﹣6x，则化简的结果是（　　） A.0 B. C. D.12 7.若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有实数根，则c的值不可能是（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 8.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m+n＝0有两个不相等的实数根，则实数m，n在数轴上的位置是（　　） A. B. C. D. 9.一个容器盛满纯药液30升，第一次倒出若干升，用水加满；第二次倒出同样的体积，这时容器中剩下的纯药液是升，则每次倒出药液（　　） A.10升 B.20升 C.20升或10升 D.以上答案都不对 10.若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k＝0的两个根，则k的值是（　　） A.27 B.36 C.27或36 D.18 11.方程2x2﹣6x+3＝0较小的根为p，方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的根为q，则p+q等于（　　） A.3 B.2 C.1 D. 12.小马在解关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0时，他一马虎把常数项c的值抄成了c的相反数，解出两个相等的实数根，那么原方程的根的情况是（　　） A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.有一个根是x＝2 二、填空题 13.若关于x的一元二次方程mx2+4x+1＝0无实数根，则一次函数y＝（4﹣m）x﹣m的图象不经过第　   　象限． 14.设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝12，则a2+b2的值为　       　． 15.已知方程（2﹣m）x|m|﹣x+3＝0，当m＝　   　时，是关于x的一元二次方程． 16.利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是长方形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝6，b＝3，则长方形ABCD的面积是　   　． 17.若关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的唯一实数根也是关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根，则关于x的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根为　    　． 三、解答题 18.请根据图片内容，回答下列问题： （1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？ （2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？ 19.已知关于x的方程2x2﹣4kx+x＝1﹣2k2，问当k取什么值时， （1）方程有两个实数根； （2）方程没有实数根． 20.根据下列问题列一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式． （1）三个连续偶数的平方和为200，求这三个数． （2）用一根长为120 cm的铁丝折成一个斜边长为50 cm的直角三角形，求两条直角边的长． 21.阅读后解答问题． 解方程：2x2﹣3x﹣2＝0. 解：2x2﹣3x﹣2＝0， 拆项，分组得2x2﹣4x+x﹣2＝0， 提公因式，得2x（x﹣2）+（x﹣2）＝0， 再提公因式，得（x﹣2）（2x+1）＝0， 所以x﹣2＝0或2x+1＝0． 即x1＝2，x2＝﹣． 运用以上因式分解法解方程6x2+7x﹣3＝0． 22.[材料阅读] 若m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m和n的值． 解：由题意得（m2+2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0． ∴（m+n）2+（n﹣2）2＝0． 解得m＝﹣2，n＝2． [问题解决] （1）对于代数式x2﹣2xy+2y2+4y+8，存在最大值还是最小值？此时x，y分别取何值？并求出该代数式的最大值或最小值； （2）已知△ABC的边长a，b，c满足a2+b2＝6a+10b﹣34，若c是最长边且为偶数，求△ABC的周长． 华师大版九年级上册 第22章 一元二次方程 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.下列各数中，是方程x2﹣（1+）x+＝0的解的有（　　） ①1+；②1﹣；③1；④﹣. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】B 【解析】a＝1，b＝﹣（1+），c＝， Δ＝（1+）2﹣4＝（1﹣）2＞0， ∴x＝， ∴x1＝1，x2＝，所以四个选项中，是方程的解的只有一个1． 故选：B． 2.已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为（　　） A.7 B.﹣1 C.7或﹣1 D.﹣2或1 【答案】A 【解析】设x2﹣x＝y，则原方程可化为：y2﹣4y﹣12＝0， 解得y＝﹣2，y＝6， 当y＝﹣2时，x2﹣x＝﹣2，即x2﹣x+2＝0，Δ＝1﹣8＜0，原方程没有实数根，故y＝﹣2不合题意，舍去， 当y＝6时，x2﹣x＝6，即x2﹣x﹣6＝0，Δ＝1+24＞0，故y的值为6， ∴x2﹣x+1＝y+1＝6+1＝7． 故选：A． 3.关于x的多项式﹣x2+6x﹣m的最大值为10，则m的值是（ ） A.1 B.﹣1 C.﹣10 D.﹣19 【答案】B 【解析】﹣x2+6x﹣m＝﹣（x﹣3）2+9﹣m≤9﹣m， ∵关于x的多项式﹣x2+6x﹣m的最大值为10， ∴9﹣m＝10， 解得m＝﹣1， 故选：B． 4.a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，c＝5，则△ABC是（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【答案】B 【解析】∵a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0， ∴a2﹣6a+9+（b2﹣8b+16）＝0， ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0， ∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0， ∴a＝3，b＝4， ∵c＝5， ∴a2+b2＝32+42＝52＝c2， ∴△ABC是直角三角形， 故选：B． 5.解下列方程，最适合用公式法求解的是（　　） A.（x+2）2﹣16＝0 B.（x+1）2＝4 C.x2＝1 D.x2﹣3x﹣5＝0 【答案】D 【解析】A.用因式分解法好，故本选项错误； B.用直接开平方法好，故本选项错误； C.变形后用直接开平方法好，故本选项错误； D.用公式法好，故本选项正确； 故选：D． 6.已知x2+y2+13＝4y﹣6x，则化简的结果是（　　） A.0 B. C. D.12 【答案】B 【解析】x2+y2+13＝4y﹣6x， x2+6x+9+y2﹣4y+4＝0， （x+3）2+（y﹣2）2＝0， x+3＝0，y﹣2＝0， x＝﹣3，y＝2， ∴＝＝2． 故选：B． 7.若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有实数根，则c的值不可能是（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D 【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4c≥0，解得c≤4， 故选项D中的5不符合题意， 故选：D． 8.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m+n＝0有两个不相等的实数根，则实数m，n在数轴上的位置是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣x+m+n＝0有两个不相等的实数根， ∴（﹣1）2﹣4（m+n）＞0， 解得：， ∴实数m，n在数轴上的位置只有C选项正确． 故选：C． 9.一个容器盛满纯药液30升，第一次倒出若干升，用水加满；第二次倒出同样的体积，这时容器中剩下的纯药液是升，则每次倒出药液（　　） A.10升 B.20升 C.20升或10升 D.以上答案都不对 【答案】B 【解析】设每次倒出液体y L，由题意得：30﹣y﹣•y＝， 解得：y＝40（舍去）或y＝20． 所以每次倒出20升． 故选：B． 10.若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k＝0的两个根，则k的值是（　　） A.27 B.36 C.27或36 D.18 【答案】B 【解析】当3为腰长时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+k＝0，解得：k＝27， ∴原方程为x2﹣12x+27＝0， ∴x1＝3，x2＝9， ∵3+3＜9， ∴长度为3，3，9的三条边不能围成三角形， ∴k＝27舍去， 当3为底边长时，Δ＝（﹣12）2﹣4k＝0， 解得：k＝36， ∴原方程为x2﹣12x+36＝0， ∴x1＝x2＝6， ∵3+6＝9＞6， ∴长度为3，6，6的三条边能围成三角形， ∴k＝36符合题意． 故选：B． 11.方程2x2﹣6x+3＝0较小的根为p，方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的根为q，则p+q等于（　　） A.3 B.2 C.1 D. 【答案】B 【解析】2x2﹣6x+3＝0， 这里a＝2，b＝﹣6，c＝3， ∵Δ＝36﹣24＝12， ∴x＝＝，即p＝； 2x2﹣2x﹣1＝0， 这里a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1， ∵Δ＝4+8＝12， ∴x＝＝，即q＝， 则p+q＝+＝＝2． 故选：B． 12.小马在解关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0时，他一马虎把常数项c的值抄成了c的相反数，解出两个相等的实数根，那么原方程的根的情况是（　　） A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.有一个根是x＝2 【答案】C 【解析】∵方程x2﹣4x﹣c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝16+4c＝0， ∴c＝﹣4， ∴原方程为x2﹣4x﹣4＝0， ∵Δ＝16+4×4＝32＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 二、填空题 13.若关于x的一元二次方程mx2+4x+1＝0无实数根，则一次函数y＝（4﹣m）x﹣m的图象不经过第　   　象限． 【答案】一 【解析】根据题意得m≠0且Δ＝42﹣4m＜0， 解得m＞4， ∴4﹣m＜0，﹣m＜0， ∴一次函数y＝（4﹣m）x﹣m图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故答案为：一． 14.设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝12，则a2+b2的值为　       　． 【答案】4 【解析】∵（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝12， ∴（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣12＝0， ∴（a2+b2﹣4）（a2+b2+3）＝0， ∴a2+b2﹣4＝0或a2+b2+3＝0， ∴a2+b2＝4或a2+b2＝﹣3（舍去）． 故答案为：4． 15.已知方程（2﹣m）x|m|﹣x+3＝0，当m＝　   　时，是关于x的一元二次方程． 【答案】﹣2 【解析】∵（2﹣m）x|m|﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程． ∴2﹣m≠0，|m|＝2， ∴m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 16.利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是长方形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝6，b＝3，则长方形ABCD的面积是　   　． 【答案】36 【解析】设小正方形的边长为x， ∴矩形的长为（a+x），宽为（b+x）， 由图1可得：， 整理得：x2+ax+bx﹣ab＝0， ∵a＝6，b＝3， ∴x2+9x﹣18＝0， ∴x2+9x＝18， ∴矩形的面积为（a+x）（b+x）＝（x+6）（x+3）＝x2+9x+18＝18+18＝36． 故答案为：36． 17.若关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的唯一实数根也是关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根，则关于x的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根为　    　． 【答案】x1＝﹣1，x2＝ 【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0有唯一实数根， ∴Δ＝（﹣a）2﹣4×1×1＝0，解得a＝±2， ∵关于x的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0是一元二次方程， ∴a＝﹣2， ∴关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0为x2+2x+1＝0， 解得x1＝x2＝﹣1， ∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的唯一实数根也是关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根， ∴x＝﹣1是x的一元二次方程4x2+bx+1＝0的根， ∴﹣4×（﹣1）2﹣b+1＝0， ∴b＝﹣3， ∴关于x的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0为﹣4x2﹣3x+1＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝． 故答案为：x1＝﹣1，x2＝． 三、解答题 18.请根据图片内容，回答下列问题： （1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？ （2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？ 【答案】解：（1）设每轮传染中，平均一个人传染x个人， 根据题意，可得（1+x）2＝121， 解得x1＝10，x2＝﹣12（舍去）， 答：每轮传染中，平均一个人传染10个人； （2）根据题意，121×10＝1210（名）， 答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者． 19.已知关于x的方程2x2﹣4kx+x＝1﹣2k2，问当k取什么值时， （1）方程有两个实数根； （2）方程没有实数根． 【答案】解：原方程整理得：2x2﹣（4k﹣1）x+2k2﹣1＝0， ∵a＝2，b＝﹣（4k﹣1），c＝2k2﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（4k﹣1）]2﹣4×2×（2k2﹣1）＝﹣8k+9． （1）∵方程有两个实数根， ∴Δ≥0，即﹣8k+9≥0， 解得：k≤， ∴当k≤时，原方程有两个实数根； （2）∵方程没有实数根， ∴Δ＜0，即﹣8k+9＜0， 解得：k＞， ∴当k＞时，原方程没有实数根． 20.根据下列问题列一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式． （1）三个连续偶数的平方和为200，求这三个数． （2）用一根长为120 cm的铁丝折成一个斜边长为50 cm的直角三角形，求两条直角边的长． 【答案】解：（1）设中间的偶数为x， 根据题意得（x﹣2）2+x2+（x+2）2＝200， 化简为一般形式是：x2﹣64＝0； （2）设其中一条直角边的长为x cm， 根据题意得x2+（70﹣x）2＝502， 化简为一般形式是：x2﹣70x+1200＝0. 21.阅读后解答问题． 解方程：2x2﹣3x﹣2＝0. 解：2x2﹣3x﹣2＝0， 拆项，分组得2x2﹣4x+x﹣2＝0， 提公因式，得2x（x﹣2）+（x﹣2）＝0， 再提公因式，得（x﹣2）（2x+1）＝0， 所以x﹣2＝0或2x+1＝0． 即x1＝2，x2＝﹣． 运用以上因式分解法解方程6x2+7x﹣3＝0． 【答案】解：6x2+7x﹣3＝0， 拆项，分组得6x2+9x﹣2x﹣3＝0， 提公因式3x（2x+3）﹣（2x+3）＝0， 再提公因式得（2x+3）（3x﹣1）＝0， 即2x+3＝0，3x﹣1＝0， x1＝﹣，x2＝． 22.[材料阅读] 若m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m和n的值． 解：由题意得（m2+2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0． ∴（m+n）2+（n﹣2）2＝0． 解得m＝﹣2，n＝2． [问题解决] （1）对于代数式x2﹣2xy+2y2+4y+8，存在最大值还是最小值？此时x，y分别取何值？并求出该代数式的最大值或最小值； （2）已知△ABC的边长a，b，c满足a2+b2＝6a+10b﹣34，若c是最长边且为偶数，求△ABC的周长． 【答案】解：（1）代数式存在最小值， ∵x2﹣2xy+2y2+4y+8＝（x﹣y）2+（y+2）2+4， 又∵（x﹣y）2+（y+2）2≥0， ∴（x﹣y）2+（y+2）2+4≥4， ∴代数式x2﹣2xy+2y2+4y+8存在最小值， 当代数式取最小值时，解得y＝﹣2，x＝﹣2， ∴代数式的最小值为4， 答：代数式存在最小值，y＝﹣2，x＝﹣2，最小值为4； （2）∵a2+b2＝6a+10b﹣34， ∴（a﹣3）2+（b﹣5）2＝0， 解得a＝3，b＝5， ∵△ABC的边长a，b，c， ∴2＜c＜8， ∵c是最长边且为偶数， ∴c＝6， ∴△ABC的周长＝a+b+c＝3+5+6＝14， 答：△ABC的周长为14． 学科网（北京）股份有限公司 $