22.2 二次函数与一元二次方程 教材知识背默清单 课时练习 ---2025--2026学年人教版九年级数学上册

22.2 二次函数与一元二次方程 教材知识背默清单 课时练习 班级： 姓名： 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 b2－4ac的取值 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的交点 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况 a＞0 a＜0 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 没有实数根 参考答案 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 b2－4ac＜0 课时练习 一、单选题（本大题共9小题） 1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是.有下列结论： ①小球从抛出到落地需要; ②小球运动中的高度可以是; ③小球运动时的高度小于运动时的高度. 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2．已知二次函数 的图象如图所示，对称轴为直线 ，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（    ） A． B．当时，的值随值的增大而增大 C．点的坐标为 D． 4．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 6．二次函数（，，，为常数）中，函数与自变量的部分对应值如下表，则方程的一个解的范围是（ ） … 3.17 3.18 3.19 … … 0.02 … A. B. C. D. 7．已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④ 8．如图为二次函数的图象，则下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共4小题） 10．若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为 ． 12．已知二次函数与轴的交点的横坐标为，则的值为 ． 13．如图，抛物线的顶点的坐标为，，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：；；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则.其中正确结论是____（请填写序号）. 三、解答题（本大题共5小题） 14．已知抛物线经过点. （1） 求的值. （2） 若点在此抛物线上，求点的坐标. 15．已知抛物线． (1)求证：不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点； (2)如果有一交点坐标为，求的值． 16．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） （1）求缆索所在抛物线的函数表达式； （2）点E在缆索上，，且，，求的长． 17．二次函数的部分图象和对称轴如图所示. （1）求该二次函数的表达式； （2）若方程总有两个正实数根，直接写出k的取值范围. 18．在平面直角坐标系中，设二次函数（b，c为常数）． （1）写出一组b，c的值，使抛物线与x轴有两个不同的交点，并说明理由． （2）若抛物线经过，． ①求抛物线的表达式，并写出顶点坐标； ②设抛物线与y轴交于点A，点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，点为抛物线上点A，B之间（不含点A，B）的一个动点，求点P的纵坐标n的取值范围． 参考答案 1．【答案】C 【解析】令，则，解得，， 小球从抛出到落地需要，故①正确；， 最大高度为， 小球运动中的高度可以是，故②正确；当时，；当时，, 小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误.故选C. 2．【答案】C 【详解】解：由函数图象可知， ， ， ， 所以 故A选项不符合题意． 因为抛物线与x轴有两个不同的交点， 所以方程 有两个不相等的实数根， 则 ， 所以 故B选项不符合题意． 因为抛物线的对称轴为直线 ， 所以 时的函数值与 时的函数值相等． 由函数图象可知， 时函数值小于零， 所以 时函数值也小于零， 即 故C选项符合题意． 因为抛物线的对称轴为直线 ， 所以 ， 即 故D选项不符合题意． 3．【答案】D 【分析】结合二次函数图象与性质，根据条件与图象，逐项判定即可． 【详解】解：A、根据图象可知抛物线开口向下，即，故该选项不符合题意； B、根据图象开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小；当，随的增大而增大，故当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，故该选项不符合题意； C、根据二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意； D、根据可知，当时，，故该选项符合题意； 故选D． 4．【答案】D 【分析】直接根据图象求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴方程的解为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵两个交点坐标分别为，， ∴方程的解为，． 故选D． 5．【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质；根据图象的开口方向、与坐标轴交点位置、对称轴位置，可对选项进行判断，从而得出结果. 【详解】解：观察图象可知， ∵抛物线开口向下， ∴ ∵抛物线对称轴为 ∴ 故①错误； ∵抛物线与y轴交于正半轴 ∴ 故②正确； 在中，令得 观察图象可知：当时，图象位于x轴下方 即 ∴ 故③正确； 观察图象可知：抛物线与x轴有两个交点 即方程有两个不同的解 ∴ 故④正确. ∴②③④正确，正确个数有3个. 故选C. 6．【答案】B 【解析】由表格中的数据看出和0.02更接近于0，且不同号，故方程的一个解的范围为，故选B. 7．【答案】B 【分析】将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④． 【详解】解：将代入，可得， 故①正确； 二次函数图象的对称轴为直线， 点到对称轴的距离分别为：4，1，3， ， 图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ， 故②错误； 二次函数图象的对称轴为直线， ， 又， ， ， 当时，y取最大值，最大值为， 即二次函数的图象的顶点坐标为， 若m为任意实数，则 故③正确； 二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， 与x轴的另一个交点坐标为， 的图象向上平移一个单位长度，即为的图象， 的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧， 若方程的两实数根为，且，则， 故④正确； 综上可知，正确的有①③④， 故选B． 8．【答案】D 【分析】根据抛物线的开口向下可知a<0，由此可判断①；根据抛物线的对称轴可判断②；根据x=1时y的值可判断③；根据抛物线与x轴交点的个数可判断④；根据x=-2时，y的值可判断⑤． 【详解】抛物线开口向下，∴a<0，故①错误； ∵抛物线与x轴两交点坐标为（-1，0）、（3，0）， ∴抛物线的对称轴为x==1，又因为x=，∴2a+b=0，故②正确； 观察可知当x=1时，函数有最大值，a+b+c>0，故③正确； ∵抛物线与x轴有两交点坐标， ∴，故④正确； 观察图形可知当x=-2时，函数值为负数，即4a-2b+c<0，故⑤正确. 故此题答案为D． 【知识归纳】一元二次方程都可化为，它的解是 ，根与系数的关系为，.一元二次方程的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 二次函数：b，c是常数且，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小．当a>0时，二次函数图象向上开口；当a<0时，抛物线向下开口．|a|越大，则二次函数图像的开口越小． 二次函数图像是轴对称图形，对称轴为直线. 9．【答案】A 【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵对称轴在y轴的右侧， ∴ab＜0， 由图象可知：c＞0， ∴abc＜0， 故①不正确； ②∵， ∴b=-2a， ∴2a+b=0， 故②不正确； ③由对称知，当x=3时，函数值小于0，即y=9a+3b+c＜0， 故③不正确； ④∵当x=-1时，函数值小于0，即a-b+c＜0， 又∵b=-2a， ∴a+2a+c＜0， ∴3a＜-c，即c＜-3a， 故④正确； ⑤当x=1时，y=a+b+c值最大． ∴a+b+c≥am2+bm+c， 故a+b≥am2+bm，即a+b≥m（am+b）， 故⑤正确． 综上，④⑤正确． 10．【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 11．【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由题意知，关于直线的对称点为，根据的解为抛物线与轴交点的横坐标，作答即可． 【详解】解：由题意知，关于直线的对称点为， ∵的解为抛物线与轴交点的横坐标， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 12．【答案】 【详解】解：二次函数与轴的交点对应的一元二次方程为，设根为， ∴，， ∴. 13．【答案】①②④ 【解析】 抛物线的顶点的坐标为，，， 抛物线开口向下，，.当时，，，故①正确．由图象可得当时，，，故②正确. 直线是抛物线的对称轴， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，，故③错误． 关于的一元二次方程无实数根， 顶点，在直线的下方，，故④正确.故答案为①②④. 14．【答案】（1） 解：将点代入抛物线，可得，即. （2） ，.将代入，得，解得，则点的坐标为或. 15．【答案】(1)见解析; (2). 【分析】（1）证明判别式即可判断； （2）把代入即可求得的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点； （2）把代入抛物线得， 解得． 【知识点拨】一元二次方程根的判别式，当时方程有两个不相等的实数根；当时方程有两个相等的实数根；当时方程有实数根；当时方程没有实数根. 16．【答案】（1）； （2）的长为． 【分析】（1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可； （2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为， 设缆索所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为， ∵， ∴把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴的长为． 17．【答案】（1） （2） 【分析】（1）直接利用待定系数法求得二次函数解析式为； （2）根据题意可知与的函数图象有两个交点，且两个交点的横坐标大于0，结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象可得，的图象过点，，对称轴是直线， ， 解得：， 二次函数解析式为； （2）解：由（1）知，二次函数解析式为，则， 该抛物线的顶点坐标是， 有两个不相等的正实数根， 与的函数图象有两个交点，且两个交点的横坐标大于0， ． 18．【答案】（1），理由见详解 （2）①，；②且 【分析】（1）依据题意，由抛物线与x轴有两个不同的交点，从而，进而可以举例得解； （2）①依据题意，由抛物线经过，，进而建立方程组计算可以得解析式，又化成顶点式即可得解； ②由题意，对于，令，可得，又点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，可得或，进而可得或，从而根据二次函数的性质进行分类讨论即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意， ∵抛物线与x轴有两个不同的交点 ∴ 即 可取，代入 则，满足题意． （2）解：①由题意，抛物线经过， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为． ∵ ∴顶点为 ②由题意，对于 令，则 ∴ ∵点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度 ∴或 ∴当时，；或当时， ∴或 a、当在，之间时 ∵抛物线开口向下 又当时，y取最大值为4 ∴ b、当在，之间时 ∴抛物线开口向下 又对称轴是直线，且 ∴此时y随x的增大而增大 ∴ 综上，且． 学科网（北京）股份有限公司 $