23.1图形的旋转【十大考点+十大题型】-2025-2026学年人教版九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

23.1图形的旋转 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一．旋转的概念： 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做__旋转中心，转动的角叫做_旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做旋转的_对应点_． 旋转有三要素：（1）旋转中心；（2）_旋转方向_；（3）_旋转角度_． 知识点二．旋转的性质： 对应点到旋转中心的距离相等； 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 旋转前、后的图形全等． 知识点三．旋转作图的基本步骤 （1）明确旋转中心，旋转方向和旋转角． （2）找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置． （3）按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形． 【题型探究】 题型一：生活中的旋转现象 【例1】．下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列选项中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．下列选项中的运动，属于旋转变换的是（   ） A．升国旗的过程 B．摩天轮的转动 C．汽车刹车时的滑动 D．电梯的运行 题型二：旋转的三要素 【例2】．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】．如图，将绕点旋转后得到，则旋转方式是（   ） A．顺时针旋转 B．逆时针旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 【变式2】．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则旋转中心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 题型三：旋转性质求角度问题 【例3】．如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，，将绕点B逆时针旋转，得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，将绕点C顺时针旋转后得到，且点恰好落在边上，若，则（   ） A． B． C． D． 题型四：旋转性质求线段问题 【例4】．如图，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在等边中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转后得到，连接，那么线段的长为（   ） A． B．6 C． D． 【变式2】．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，点C落在边上的E处，则B、D两点间的距离为（   ） A． B． C．3 D． 题型五：旋转中的坐标问题 【例5】．如图，的顶点的坐标为，点的坐标为，，将沿方向平移，使点与点重合，再将所得三角形绕点逆时针旋转，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，线段在直角坐标轴中，已知，将线段绕点逆时针旋转后，点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，点A的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型六：旋转中的规律问题 【例6】．如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2025次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，正方形中，其中，，将正方形绕点逆时针旋转，每次旋转，问次旋转后点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型七：旋转几何变换之线段问题 【例7】．正方形的边长为，，分别是，边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到． (1)求证： ； (2)当时，求的长． 【变式1】．如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． (1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 【变式2】．如图1，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，过点作于点，将绕点逆时针旋转得，连接． (1)证明：． (2)延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，求线段的长度． 题型八：旋转几何变换之面积问题 【例8】．如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 【变式1】．如图，三个顶点的坐标分别为，， (1)请画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)请画出绕点顺时针旋转后的； (3)在旋转到的过程中，则扫过的面积为______． 【变式2】．（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，C上，若，则，，之间的数量关系为________________；（提示：以点为旋转中心，将顺时针旋转90°） 解决问题： （2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，，是底边上任意两点，且满足，试探究，，之间的关系； 拓展应用： （3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形，，菱形的边长为，，分别为边，上任意两点，且满足，请直接写出四边形的面积． 题型九：旋转几何变换之角度问题 【例9】．如图，点E是正方形内一点，将绕点A顺时针旋转至，点E的对应点为点F． (1)若，，求的度数． (2)连接，若，求线段的长． 【变式1】．如图，在四边形中，，连接AC，将绕点B逆时针旋转60°，点C与点D重合，得到，若， (1)求证：是等边三角形； (2)求线段的长度． 【变式2】．如图，在中，，点为边上一点（不与点重合），连接，将绕点逆时针旋转得到．    (1)若，写出旋转角及其度数； (2)当度数变化时，与之间存在某种不变的数量关系．请你写出结论并证明． 题型十：旋转几何变换压轴问题 【例10】．将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形．    (1)如图，当点E在上时． ①若，则_____________°； ②求证：； (2)探究：当为何值时，？请你画出图形，并说明理由． 【变式1】．中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接． (1)当点E在线段上，时，如图①，求证：： (2)当点E在线段延长线上，时，如图②；当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段，，的数量关系； (3)在（1）、（2）的条件下，若，，则______． 【变式2】．如图，四边形是正方形，连接，将绕点A逆时针旋转α得到，连接，O为的中点，连接． (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，当时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【高分演练】 一、单选题 1．下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 2．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则正确的旋转方式是（   ） A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转 C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转 3．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为(　　) A． B． C． D． 4．如图，在中，，将绕着点O逆时针旋转后得到．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到．下列结论错误的是（　　） A． B． C．B，E两点之间的距离为8 D．A，C，E三点共线 6．如图，菱形的对角线、交于点，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是(　　) A．3 B．4 C．5 D．7 7．如图，将绕点顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、），点恰好落在的延长线上，连接，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，正方形中，点为对角线上一点，．且，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，使，则的度数为（） A． B． C．或 D．或 9．如图，在中，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（   ） A． B． C． D． 10．如图，在菱形中，对角线，交于点O，，现以点O为旋转中心，将所在的直线绕点O逆时针旋转一定的角度，旋转之后的直线与边，所在的直线分别交于点E，F，连接、，要使四边形是矩形，这个旋转角的度数最小是（   ） A． B． C． D． 11．如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，，则的长为（    ） A． B． C．4 D． 二、填空题 13．如图，把绕着点顺时针旋转，得到，若，则 ． 14．如图，在中，，，点，在边上，，，，则的长 ． 15．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则的长为 ． 16．某AI（生成式人工智能）图像识别系统对平面直角坐标系中的图形进行分析，将边长为2的正方形（其中点A与原点O重合，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上），按照特定算法进行变换：先将各点的横、纵坐标都乘以2，再将所得图形绕原点顺时针旋转．那么点C在经过两次变换后的对应点的坐标为 ． 17．如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．过点作于点，连接，若，，则的长为 ． 18．如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是 ． 三、解答题 19．如图，在的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． (1)将绕点逆时针旋转得到，画出旋转后的图形． (2)写出点、的坐标． 20．如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的度数． 21．如图，中，，将绕A点逆时针旋转得到 ，连接交于点F． (1)求的度数； (2)若，四边形是菱形，求的长度． 22．如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． (1)求证：； (2)若，，，请直接写出的度数． 23．如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． 如图，在正方形中，，是对角线上两点，，将绕点顺时 (1)求证：； (2)若，求的长． 24．已知：如图和都是等边三角形．D是延长线上一点，与相交于点P，与相交于点M． (1)说明：是经过怎样的旋转得到的？（请从旋转“三要素”加以说明） (2)在图①中，①求证：； ②______． (3)当绕点C沿逆时针方向旋转到图②时， ①的度数会发生变化吗？请说明理由？ ②求证：点C落在的角平分线上． 25．如图1，点E为正方形内一点，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度，点B、E的对应点分别为点． (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； (3)在直角三角形绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $23.1图形的旋转 【考点归纳】 考点一：生活中的旋转现象 考点二：旋转的三要素 考点三：旋转性质求角度问题 考点四：旋转性质求线段问题 考点五：旋转中的坐标问题 回图形的旋转 考点六：旋转中的规律问题 考点七：旋转几何变换之线段问题 考点八：旋转几何变换之面积问题 考点九：旋转几何变换之角度问题 考点十：旋转几何变换压轴问题 【知识梳理】 知识点一.旋转的概念： 把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度，就叫做图形的旋转，点0叫做旋转中心，转动的角叫做 旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P，那么这两个点叫做旋转的对应点· 旋转有三要素：(1)旋转中心；(2)旋转方向；(3)旋转角度· 知识点二。旋转的性质： 对应点到旋转中心的距离相等： 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角： 旋转前、后的图形全等. 知识点三.旋转作图的基木步骤 (1)明确旋转中心，旋转方向和旋转角. (2)找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置， (3)按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形. 【题型探究】 题型一：生活中的旋转现象 【例1】，下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是() C 【答案】A 【详解】解：A选项中，可看作“基本图案”经过旋转得到，符合题意； B选项中，可看作“基本图案”经过轴对称得到，不符合题意； C选项中，可看作“基本图案”经过平移缩放得到，不符合题意； D选项中，可看作“基本图案”经过平移得到，不符合题意. 故选：A. 2 【变式1】.下列选项中不能由下图旋转得到的是（) A B C. D 【答案】C 【详解】解：A.该图形与原图形完全相同，可由原图形旋转360°（或0°）得到，故此选项不符合题意： B.原图形绕某点旋转一定角度（如90°）后，可得到此图形，因为形状、大小未变，只是方向改变，故此选项不符 合题意 C,图形不能由由原图形经过旋转得到，故此选项符合题意； D.原图形绕某点旋转一定角度（如180°）后，可得到此图形，形状、大小不变，方向改变符合旋转性质，故此选 项不符合题意； 故选：C. 【变式2】.下列选项中的运动，属于旋转变换的是() A.升国旗的过程 B.摩天轮的转动 C.汽车刹车时的滑动 D.电梯的运行 【答案】B 【详解】解：A.升旗的过程属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意； B,摩天轮的转动属于旋转，故该选项符合题意： C.汽车刹车时的滑动属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意： D.电梯的运行属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题 故选：B 题型二：旋转的三要素 【例2】.在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A'B'CD'(所有顶点都是 网格线交点)，在网格线交点M,N,P,Q中，可能是旋转中心的是() A M A A.点M B.点N C.点P D.点Q 【答案】A 【详解】解：如图，连接BB',CC',分别作BB',CC'的垂直平分线，其交点为点M,则旋转中心是点M, B M D A 故选：A. 【变式1】.如图，将ABC绕点A旋转后得到ADE,则旋转方式是() A.顺时针旋转90° B.逆时针旋转45° C.顺时针旋转45° D.逆时针旋转90° 【答案】D 【详解】解：观察图形可知，旋转角为LBAD=90°， ,将△ABC绕A点逆时针旋转90°后得到△ADE, 故选：D 【变式2】.如图，在4×4的正方形网格中，ABC绕某点旋转90°，得到△AB,C,则旋转中心是() B F A G B C A.点D B.点E C.点F D.点G 【答案】C 【详解】解：由图可得∠AFA=90°， 令正方形网格的边长为1， 则AF=A,F=1, BF=BF=V1+22=V5, CF=CF=V22+22=2√2， 所以点F为旋转中心。 故选：C. 题型三：旋转性质求角度问题 【例3】，如图，在三角形ABC中，∠BAC=40°，将三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到三角形ADE, 则∠BAD的度数是() A.20° B.30° C.40° D.60 【答案】D 【详解】解：：将三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到三角形ADE, ∴.∠BAD=60°， 故选：D. 【变式1】，如图，在ABC中，∠A=50°，将ABC绕点B逆时针旋转，得到BDE,点D恰好落在AC的延长 线上，则旋转角的度数是() B A.80° B.75° C.70° D.65 【答案】A 【详解】解：由旋转可知：AB=BD, :点D在AC的延长线上， ∠A=∠BDA. :∠A=50°， .∠BDA=∠A=50°， ∠ABD=180°-2×50°=80°，即旋转角的度数为80°. 故选：A. 【变式2】·如图，将ABC绕点C顺时针旋转后得到△A'B'C,且点B恰好落在边AB上，若LB=70°，则 ∠A'CA=() B B' A.35° B.70° C.20° D.40° 【答案】D 【详解】解：：aABC绕点C顺时针旋转后得到△A'B'C, :CB'=CB ZA'CB'=ZACB, .∠CB'B=∠B=70°， ∠B'CB=180°-2×70°=40°， :∠A'CA+∠ACB'=∠B'CB+∠ACB', 6 :∠A'CA=∠B'CB=40°， 故选：D. 题型四：旋转性质求线段问题 【例4】.如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上，且DE=AD=4, 则AB长为() G D A F E B C A.2√2 B.2√5 C.4v2 D.45 【答案】C 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， ∠D=90°， DE AD=4, ·AE=VDE2+AD2=V42+42=4V2, :矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG, :AB=AE=42. 故先选：C 【变式1】.如图，在等边ABC中，AB=6,点D是BC的中点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°后得到AE, 连接DE,那么线段DE的长为() D A.25 B.6 C.35 D.4N2 【答案】C 【详解】解：：△ABC是等边三角形， :BC=AC=AB=6,又D是BC的中点，BD=BC=x6=3,AD⊥BC,∠ADB=90°， 1 2 :AD=√AB2-BD2=V62-32=3√5，：将线段AD绕点A逆时针旋转60°后得到AE, .AE=AD,∠DAE=60°， △DAE是等边三角形， DE AD=33, 故选：C. 【变式2】.如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,将ABC绕点A逆时针旋转，点C落在边AB上的 E处，则B、D两点间的距离为() D A.10 B.2√2 C.3 D.2W5 【答案】A 连接BD,在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AB=√AC2+BC2=5,由旋转的性质可得AE=AC=4, DE=BC=3,∠AED=LC=90°，进而可得BE=AB-AE=1,由邻补角互补可得∠BED=180°-∠AED=90°，在 RtABED中，根据勾股定理可得BD=√DE”+BE2，由此即可求出B、D两点间的距离. 【详解】解：如图，连接BD, D 在ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3, E :根据勾股定理可得： AB=VAC2+BC2=V42+32=5, 由旋转的性质可得： AE=AC=4,DE=BC=3,∠AED=∠C=90°， .BE=AB-AE=5-4=1, ∠BED=180°-∠AED=180°-90°=90°， :在Rt△BED中，DE=3,BE=1, :根据勾股定理可得： BD=DE2+BE2=32+12=10. 故选：A. 题型五：旋转中的坐标问题 【例5】.如图，Rt△ABC的顶点C的坐标为1,0)，点A的坐标为(4，O),BC=2,将ABC沿AB方向平移，使 点A与点B重合，再将所得三角形绕点O逆时针旋转90°，则点C的对应点C的坐标是() y A A.（2,2 B.-2,2 C.-2,-2 D.（2,-2 【答案】C 【详解】解：依题意，平移和旋转所得图形如图所示，连接CC交x轴于点M, Bu B(A) :Rt△ABC的顶点C的坐标为1,0，点A的坐标为(4,0)， M B' ∴.AC=4-1=3, 将ABC沿AB方向平移，使点A与点B重合，则B"C”=BC=2,A"C”=AC=3, xc=-(3-1=-2,yc=2, 即C"的坐标为-2,2)， 即M0=2, :∠C0M=5x90°=45°， 2 :将所得三角形绕点O逆时针旋转90°， ∠C"0C'=90°，0C'=0C", .LM0C'=∠C"0C'-45°=90°-45°=45°， 0 C'C"⊥x轴， “aC'OM是等腰直角三角形， :CM=OM=2,观察图形，得出点C在第三象限，即点C的坐标是-2，-2)， 故选：C. 【变式1】.如图，线段AC在直角坐标轴中，已知A(m,n),C(1,0),将线段AC绕点C逆时针旋转90°后，点A的 对应点A的坐标是() A.（n-1,m-1)B.（n-1,1-m C.(1-n,1-m) D.(1-n,m-1D 【答案】D 【详解】解：过A作AD⊥x轴于D,过作A'E⊥x轴于E. :线段AC绕点C逆时针旋转90°， ∠ACA'=90°，AC=A'C, ∠ADC=∠CEA'=90°，∠ACD+∠A'CE=90°，∠ACD+LCAD=90°， ∠CAD=∠A'CE, :.△ACD≌△CA'E(AAS), Am,n),C1,0), :AD n,CD =1-m, .CE AD=n,A'E CD =1-m, 0E=n-1, .A'1-n,m-1