精品解析：安徽省合肥市第六中学2025-2026学年高一上学期第一次教学质量检测数学试卷

合肥六中2025-2026学年上学期高一第一次教学质量检测数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据阴影部分是三个集合的交集求解即可. 【详解】由图可以直接看出阴影部分是三个集合的交集， 故选:C． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题“”的否定为全称量词命题“”，结合已知条件求解． 【详解】存在量词命题“”的否定为全称量词命题“”， 命题“”的否定是“”． 故选：A． 3. 已知，则与大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用作差法比较大小即可. 【详解】因为，所以. 故选：C 4. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式确定解集，再根据必要不充分条件列不等式即可得实数的取值范围. 【详解】根据题意，解不等式，可得，即不等式的解集为， 若“”是“”的必要不充分条件， 则是集合的真子集，所以，解得，故实数的取值范围是． 故选：C 5. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知不等式的解集确定之间的关系，再代入所求不等式进行求解即可. 【详解】由题意得，，由韦达定理得，， 代入得：，解集为． 故选：. 6. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作差法依次判断即可. 【详解】对于A，，因为，有，故A错误； 对于B，不确定符号， 取，则，故B错误； 对于C，，因为， 故，即，故C错误； 对于D，，因为， 故，即，故D正确． 故选：D 7. 已知a，b为正实数，且，若恒成立，则m的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将变形为，再利用基本不等式求出的最小值即可得解. 【详解】，，恒成立， 的最大值，又， . 当且仅当且取等号. 的最大值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用不等式的性质来进行计算并作出判断. 【详解】对于A：，所以，，故A错误； 对于B：，所以，，故B正确； 对于C，所以，，故C正确； 对于D所以，，故D正确． 故选：BCD 9. 设正实数满足，则（ ） A. 有最大值为1 B. 有最小值为5 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式可直接判断A；将化为，即可判断B；利用不等式以及取等条件可判断CD. 【详解】对于A：由题意知，正实数满足， 则，当且仅当时，等号成立，A错误； 对于B：由， 当且仅当时，结合，即时等号成立，故B正确； 对于C：由，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D：由， 所以，当且仅当，即时取等号， 因为是正实数，所以等号不成立，故D错误． 故选：BC 10. 对任意集合，记，且，并称为集合的相异集，则（ ） A. B. 若，则 C. 命题“若，则”为假命题 D. 若，则是成立的充要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据集合的新定义结合并集及子集定义分别计算判断各个选项即可. 【详解】对A，且，A正确； 对B，若，当时，，， 且，当时，假设，则，故，B错误； 对C，若，则C错误； 对D，由得，反之也成立，D正确． 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知集合恰有两个子集，则的值为___________． 【答案】4或 【解析】 【分析】由集合恰有两个子集，分析出集合中只有一个元素，即方程只有一个解，即方程只有一个解，再分方程有两个相等的实数根和方程有两个不相等的实数根，但是其中一根是增根，两种情况讨论，即可求出的值. 【详解】因为集合恰有两个子集，所以集合中只有一个元素， 即方程只有一个解. 因为方程可化为， 要使原方程只有一个解，有以下两种情况， 第一种情况：方程有两个相等的实数根， 需满足判别式，解得， 此时原方程为，解得，且， 满足集合中只有一个元素，故符合题意； 第二种情况：方程有两个不相等的实数根， 但是其中一个根是使分母的增根. 当时，解得， 将其代入，解得，此时. 将代入，可得， 即，解得或. 因为当时，原方程分母为0，是增根，此时， 满足集合中只有一个元素，故符合题意. 综上，的值为或． 故答案为：或 12. 若对任意，不等式恒成立，则实数的取值集合为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数与轴交点得的正负性，再分的范围讨论正负，进而找不等式恒成立的条件即可. 【详解】的图象开口向上，又因为，图象恒过， 所以函数的图象与轴有一正一负的2个交点， 设方程的两个根分别为， 所以在上，，在，上， 当时，在上，， 于是上，， 不等式不恒成立； 当时，由可解得， 则在上，，在上，， 要使不等式恒成立，则，如图所示： 把代入方程中，即， 整理得，解得， 又因为，则． 综上所述，实数的取值集合为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 已知集合． （1）若，求； （2）若对，有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集、并集以及补集的运算，即可求得答案； （2）由题意推出，讨论A是否为空集，列出相应不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 当时，， 或 ． 【小问2详解】 由题意得， 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围为或． 14. 请选择“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填入下面空格处．并完成第（2）问的证明． （1）是的___________条件： （2）已知，证明：成立的___________条件是． 提示： 【答案】（1）必要不充分 （2） 成立的充要条件是． 先证必要性： ； 再证充分性： ， 即： ，即． 综上所述：成立的充要条件是． 【解析】 【分析】（1）利用充分条件和必要条件的定义判断即可； （2）利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】（1）当时，令，此时不成立， 当时，可得且， 所以， 所以是的必要不充分条件． （2）略 15. 已知函数． （1）若不等式恒成立，求实数的取值范围： （2）当时，求不等式的解集． 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或. 【解析】 【分析】（1）根据恒成立要求，分，讨论即可； （2）化简为，分，，，讨论即可. 【小问1详解】 不等式， 当时，恒成立，则符合题意； 当时，，解得； 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 当时，， 当时，，解集为； 当时，，解集为； 当时，，解集为或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 16. 某体育场可容纳名观众．体育场按要求建造了隔热层，隔热层使用年限为年．已知隔热层的建造成本是万元/厘米，设每年的能源消耗费用为（万元），隔热层厚度为（厘米），两者满足关系式：（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为万元．年的总维修费用为万元．记为年的总费用．（总费用=隔热层的建造成本费用+使用年的能源消耗费用+年的总维修费用） （1）求年的总费用关于的函数表达式； （2）请问当隔热层的厚度为多少厘米时，年的总费用最小，并求出最小值． 【答案】（1）且； （2）厚度为9厘米，最小总费用为87万元. 【解析】 【分析】（1）根据题意可知当无隔热层时，每年能源消耗费用万元，得出，从而得出，再根据题给的总费用公式得出关于的函数表达式； （2）根据关于的函数表达式，利用基本不等式求其最小值． 【小问1详解】 依题意，当无隔热层时，每年能源消耗费用万元，即，得，故， 所以，即的表达式为； 【小问2详解】 ，则， 当且仅当，即当时取得最小值， 所以隔热层修建厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为万元． 17. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一、通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题． 例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为___________． 其解法如下：， 当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3． 根据上述材料解决以下问题： （1）已知为正实数，且，求证：； （2）已知，且，则的最小值是多少？ （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为． 原式 当且仅当，即，即时，等号成立． 所以，的最小值是． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少？ 【答案】（1） 已知为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立，得证． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将化为，再应用基本不等式即可证结论； （2）将化为则，再应用基本不等式求最小值； （3）将化为则，再应用换元法及基本不等式求最大值. 【详解】（1）略 （2）已知，且， 则， 当且仅当时，等号成立，则的最小值是． （3）已知， 则， 令，原式， 令， 原式， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥六中2025-2026学年上学期高一第一次教学质量检测数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则与大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知a，b为正实数，且，若恒成立，则m的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 9. 设正实数满足，则（ ） A. 有最大值为1 B. 有最小值为5 C. 有最小值为 D. 有最大值为 10. 对任意集合，记，且，并称为集合的相异集，则（ ） A. B. 若，则 C. 命题“若，则”为假命题 D. 若，则是成立的充要条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知集合恰有两个子集，则的值为___________． 12. 若对任意，不等式恒成立，则实数的取值集合为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 已知集合． （1）若，求； （2）若对，有，求实数的取值范围． 14. 请选择“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填入下面空格处．并完成第（2）问的证明． （1）是的___________条件： （2）已知，证明：成立的___________条件是． 提示： 15. 已知函数． （1）若不等式恒成立，求实数的取值范围： （2）当时，求不等式的解集． 16. 某体育场可容纳名观众．体育场按要求建造了隔热层，隔热层使用年限为年．已知隔热层的建造成本是万元/厘米，设每年的能源消耗费用为（万元），隔热层厚度为（厘米），两者满足关系式：（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为万元．年的总维修费用为万元．记为年的总费用．（总费用=隔热层的建造成本费用+使用年的能源消耗费用+年的总维修费用） （1）求年的总费用关于的函数表达式； （2）请问当隔热层的厚度为多少厘米时，年的总费用最小，并求出最小值． 17. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一、通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题． 例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为___________． 其解法如下：， 当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3． 根据上述材料解决以下问题： （1）已知为正实数，且，求证：； （2）已知，且，则的最小值是多少？ （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为． 原式 当且仅当，即，即时，等号成立． 所以，的最小值是． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $