精品解析：重庆市大足中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

大足中学2025-2026学年度第一学期高2027届第一次月考 数 学 试 题 总分150分 考试时间：120分钟 命题人： 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率，倾斜角范围为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 2. 已知空间两点，向量满足，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标关系即可求解． 【详解】已知，，则， 因为，所以， 解得． 故选：A． 3. 如果，，那么直线不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】结合直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系即可求解． 【详解】因为，所以，直线可化为，因为，，所以，也即，，所以直线不过第三象限． 故选：C． 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 5. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况. 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 6. 以点为圆心且经过点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的标准方程，根据题意求出即可. 【详解】依题意得圆的半径， 则圆的标准方程为. 故选：D. 7. 已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中点关系，即可将代入圆的方程求解. 【详解】设，则，由于在上运动， 故，化简得， 故选：A 8. 如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为.求与夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 以为空间向量的基底，表示出和，由空间向量的数量积求出向量的夹角的余弦值即得． 【详解】由题意． 以为空间向量的基底，，， ， ， ， ∴．∴与夹角的余弦值为． 故选：B． 【点睛】本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，解题时选取空间基底，把其他向量用基底表示，然后由数量积的定义求得向量的夹角，即得异面直线所成的角． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 已知向量，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的模的计算公式A正确，根据向量垂直的条件B错误，以及共线向量的相关判断C正确，条件根据向量计算基本法则得出D错误，即可得出答案. 【详解】对于A 中,由可得解得,故A 选项正确； 对于B 中,由,可得，解得,故B 选项错误; 对于C中，若存在实数λ，使得则显然λ无解，即不存在实数λ，使得故C 选项正确； 对于D中，则，解得，故D错误. 故选：AC 10. 下列说法正确的是（　　） A. 直线的一个方向向量为，则直线的斜率等于 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】CD 【解析】 【分析】由方向向量定义与斜率关系可判断A错误，根据两直线垂直关系可知时也符合题意，因此B错误，利用直线过定点以及垂直关系可判断C正确，由两点间的斜率公式以及斜率的取值范围可得D正确. 【详解】对于A，当方向向量为时直线的斜率等于，因此A错误， 对于B，当时，两直线为和，此时两直线互相垂直，即充分性成立； 若两直线垂直，当时，两直线分别为和，满足互相垂直，因此必要性不成立，即B错误； 对于C，将直线整理可得， 显然直线恒过定点，当与直线垂直时距离最大， 此时满足，即可得，解得，因此C正确； 对于D，如下图所示： 易知，直线与轴平行， 显然直线必须在至之间，以及至之间才满足题意， 所以可知直线的斜率的取值范围是. 故选：CD 11. 直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆上，过直线上的一点作圆的切线，则（ ） A. 面积的最小值为6 B. 面积的最大值为12 C. 切线长的最小值是4 D. 切线长的最小值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得坐标，由直线与圆的位置关系即可得到点到距离的最小值，从而判断AB，再由勾股定理代入计算，即可判断CD. 【详解】根据题意，直线分别与轴、轴交于，两点，则，，故， 圆的圆心到直线的距离， 圆的半径为，则点到距离的最小值为，最大值为， 故面积的最小值，所以A项正确； 面积的最大值，所以选项B正确； 圆心到直线的距离，所以切线长的最小值，所以C项正确. 故选：ABC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，则与同向的单位向量为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及坐标公式即可求解. 【详解】由单位向量的定义可知，与同向的单位向量为. 故答案为： 13. 曲线与曲线关于直线对称，则曲线的一般式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】在曲线上任取一点，求出点关于直线的对称点的坐标，将点的坐标代入曲线的方程，化简可得出曲线的方程. 【详解】在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为， 因为点在曲线上，则有， 即为. 故曲线的方程为. 故答案为：. 14. 若直线与曲线有一个交点，则实数的取值范围是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】转化为直线与曲线有一个交点，数形结合求解即可. 【详解】由可得，得， 所以曲线表示圆的上半圆， 直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示： 当直线与半圆相切且切点位于第二象限时， 则，解得； 当直线过点时，则，解得. 又与圆相切， 由图可知，直线与曲线有一个交点， 则实数的取值范围是 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知的三个顶点坐标分别是. （1）求边所在的直线的一般式方程； （2）求边上的中线所在直线的一般式方程； （3）求边上的高所在直线的一般式方程. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先求出所在的直线的斜率，写出点斜式方程，再化成一般式方程； （2）先求出的中点坐标，再求出所在直线的斜率，写出点斜式方程，再化成一般式方程； （3）根据已知条件，结合直线垂直的性质，求出边上的高所在直线的斜率，写出点斜式方程，再化成一般式方程. 【小问1详解】 由， 得所在的直线的斜率， 所以所在的直线的方程：，即， 所以边所在的直线的一般式方程：； 【小问2详解】 由， 得的中点坐标为，所在的直线的斜率， 所以中线所在直线的方程：，即， 所以中线所在直线的一般式方程为； 【小问3详解】 由得，边的斜率， 所以边上的高所在直线的斜率， 所以上的高所在直线的方程为：， 即， 所以边上的高所在直线的一般式方程为. 16. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点． （1）求证：平面PBF； （2）若，求直线PC与平面PBF所成角的正弦值． 【答案】（1） 取PB的中点G，连接EG，GF，如图． 因为E，G是PA，PB的中点，所以，且. 因为，且， 所以，所以四边形EGFD为平行四边形， 所以， 又平面PBF，平面PBF， 所以平面PBF. （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则． 所以，，． 设平面PBF的法向量为， 则， 则| ， 所以直线PC与平面PBF所成角的正弦值为. 17. 已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上. （1）求定点的坐标与圆的方程； （2）过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）直线变形为，列出方程组，求出定点的坐标，设出圆心坐标，根据半径相等列出方程，求出，从而确定圆心和半径，写出圆的方程； （2）分直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合垂径定理，求出直线方程. 【小问1详解】 变形为， 令，解得：， 故定点的坐标为， 由圆心在直线上可设圆心坐标为，则， 即，解得：， 故圆心坐标为，半径为， 故圆的方程为； 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线为， 此时圆心到的距离为， 由垂径定理得：弦长为，满足要求， 当直线斜率存在时，设直线为， 圆心到直线即距离为， 由垂径定理得：，解得：， 故直线方程为：即 综上：直线方程为或 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． （1）求点到平面的距离； （2）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点是中点 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得点到平面的距离； （2）利用坐标法设点，根据线面平行列方程，解方程即可. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面， 且平面，故平面． 以为原点，所在直线为轴，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为； 【小问2详解】 由（1）知，平面的一个法向量为， “线段上存在点，使得平面”等价于“”． 因为，设，， 则，， 所以，解得， 所以线段上存在点，即中点，使得平面. 19. 在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点． （1）判断点A是否为失败点（不用说明理由）； （2）求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S； （3）若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求的取值范围． 【答案】（1）A是失败点 （2）（米2）； （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据失败点的概念即可判断； （2）建立直角坐标系，求出点的轨迹为圆，进而得面积； （3）根据临界位置为当线段FP与（2）中圆相切时，即可得结果. 【小问1详解】 由于，，即机器人和电子狗同时到达点A， 故A是失败点 【小问2详解】 建立以A点为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴的直角坐标系，如图，， 设机器人的速度为v，则电子狗的速度为2v，电子狗失败的区域内任意点， 可得，即，， 即失败点组成的区域为以为圆心，2为半径的半圆及其内部， 所以电子狗失败的区域面积（米2） 【小问3详解】 当线段FP与（2）中圆相切时，即，所以， 因为电子狗在线段FP上都能逃脱时，所以 又因为，所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大足中学2025-2026学年度第一学期高2027届第一次月考 数 学 试 题 总分150分 考试时间：120分钟 命题人： 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间两点，向量满足，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不存在 3. 如果，，那么直线不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 5. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 6. 以点为圆心且经过点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为.求与夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 已知向量，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（　　） A. 直线的一个方向向量为，则直线的斜率等于 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 11. 直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆上，过直线上的一点作圆的切线，则（ ） A. 面积的最小值为6 B. 面积的最大值为12 C. 切线长的最小值是4 D. 切线长的最小值是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，则与同向的单位向量为_________. 13. 曲线与曲线关于直线对称，则曲线的一般式方程为______． 14. 若直线与曲线有一个交点，则实数的取值范围是 _______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知的三个顶点坐标分别是. （1）求边所在的直线的一般式方程； （2）求边上的中线所在直线的一般式方程； （3）求边上的高所在直线的一般式方程. 16. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点． （1）求证：平面PBF； （2）若，求直线PC与平面PBF所成角的正弦值． 17. 已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上. （1）求定点的坐标与圆的方程； （2）过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． （1）求点到平面的距离； （2）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 19. 在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点． （1）判断点A是否为失败点（不用说明理由）； （2）求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S； （3）若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $