2025年全国高考新课标I卷数学第18题解析几何试题研究

2025年高考数学解析几何试题研究 一．试题 （2025年全国Ⅰ卷第18题）设椭圆：的离心率为，下顶点为，右顶点为，． 1）求椭圆的标准方程； 2）已知动点不在轴上，点在射线上，且满足． ⅰ)设，求点的坐标（用表示）； ⅱ)设为坐标原点，是椭圆上的动点，直线的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【试题分析】2025年全国Ⅰ卷的解析几何大题是一道常规题，体现了全国卷“反套路，反刷题”的命题思路．其中，第1）问求椭圆的标准方程，考查了标准方程、离心率及椭圆的简单几何性质的基础知识，入口宽、起点低、运算量小，属于基础题；第ⅰ)问求点的坐标，考查了直线方程、两点间的距离、向量等知识，不同的求解方法可以很好地考查不同层次学生的运算能力、思维过程和思维品质，属于中档题；第ⅱ)问是求的最大值，考查了动点的轨迹方程，圆上的动点和椭圆上的动点间距离的最值，消元法等知识，考查了数形结合思想和转化化归思想、综合性分析问题的能力和解决问题的能力，属于较难题．该题注重考查解析几何是用坐标法解决几何问题的基本思想方法，以及数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养． 2． 母题 第ⅰ)问的背景是根据圆锥曲线的弦长求点的坐标，而人教版在推导两点间距离公式中就用了向量法优化运算；第ⅱ)问的背景是动点的轨迹与两动点间的距离，而该题中两动点的距离问题本质就是转化为圆心到另一动点的距离，此命题背景在各版本教材的课后习题中多次出现． 1.（人教版选择性必修一第109页）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，点的轨迹是什么？为什么？ 2.（人教版选择性必修一第139页）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2，求点的轨迹方程． 3.（人教版选择性必修一第145页）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之和是2，求点的轨迹方程． 4.（湘教版选择性必修一第97页）点在圆上，点在圆上，求的最大值． 5.（湘教版选择性必修一第101页）已知点在圆上运动，求的最大值与最小值． 6.（湘教版选择性必修一第106页）已知点为圆上的动点，求点到直线的距离的最小值． 三．改编 （一）变条件 1.已知是椭圆的上一点，点是上顶点，则的最小值为______. 【解析】设，， 则， 当时，. 【难度】容易题. 2.已知抛物线：上一动点，过点作轴的垂线交抛物线第一象限于点，且，点是圆：上的动点，是的中点． （1） 求抛物线的标准方程； （2） 求的最小值． 【解析】（1）由已知可知：，所以，即抛物线方程为． （2）设，则代入圆， 于是点的轨迹方程为， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 于是， 所以，． 【难度】稍难题. 3.设椭圆：的离心率为，下顶点为，，,点在椭圆上，过点作直线的垂线，垂足为． （1）求椭圆的标准方程； （2）求的最大值． 【解析】（1）因为，所以， 又因为， 所以，则，即椭圆的标准方程为． （2）令，，则，， 于是， 当时，，当时，， 所以，最大值为． 【难度】难题. 【改编意图】新课标1卷的解析几何题的第二问中借助向量可以优化运算，第三问中需要先求动点的轨迹方程，再利用圆心转化法求曲线上两动点间距离的最值，在此基础上，运用联想思维，改变或增加条件求动点间距离的最值，充分体现题目的基础性和综合性. 其中，变式1是直接求椭圆上的动点到定点的距离的最值，体现了基础性；变式2是将原来条件中的椭圆改为抛物线，并利用相关点法先求动点的轨迹方程，再利用圆心转化求圆上的动点与抛物线上的动点的距离的最值，题目的本质与新课标1卷一致，体现了综合性；变式3若直接用弦长公式表示和的长度，运算量会很大，该题的难点在于需要结合图形的几何性质，利用向量将距离的乘积转化为向量的数量积优化运算，体现了解析几何的本质. 以上三道变式很好地考查了学生的基础知识、基本技能、基本思想方法，并以此为载体考查了数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养. （二）变结论 1.已知，动点不在轴上，点在射线上，且满足，直线的斜率为直线的斜率的3倍，求点的轨迹方程． 【解析】设，因为三点共线， 所以存在实数，使得，则， 所以，即， 于是， 所以， 因为，所以，则点的轨迹方程为：． 【难度】稍难题. 2.设为坐标原点，过点的动直线交圆于，点在射线上，且，直线的斜率与直线斜率之比是多少？ 【解析】因为三点共线，所以存在实数，使得，则， 令，则， 所以，即， 于是， 所以， 所以． 【难度】稍难题. 3.设为原点，为给定的正数，，圆，是圆上的动点，点在射线上，且，问直线的斜率与直线斜率之比是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由． 【解析】因为三点共线，所以存在实数，使得，则， 令，则， 所以，即， 于是， 所以， 所以． 【难度】难题. 【改编意图】新课标1卷的解析几何题是已知两线段长的乘积为定值，以及两直线的斜率之间的关系，先得到动点的轨迹方程，再求曲线上两动点的距离的最值，在此基础上，互换条件和结论，也就是已知动点的轨迹方程，求两直线的斜率之间的关系，此类问题有较强的综合性和灵活性．其中，变式1是已知两直线的斜率的关系，求点的坐标，与新课标1卷中的问题较类似；变式2增加了直线和圆相交的条件，求两直线斜率之比，学生需要通过运算先求出点的坐标，再求直线的斜率，结合向量优化运算，有一定的综合性；变式3是在变式2的基础上证明更一般的情况，综合性和灵活性更强，并且通过变式3可以得到如下数学结论：设为原点，为给定的正数，，圆，是圆上的动点，点在射线上，且，则．以上三道变式很好地考查了学生的基础知识、基本技能、基本思想方法，并以此为载体考查了数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养. 四．跟踪训练 1.已知圆，直线的方程为，若为圆上的动点，则点到直线距离的最大值为___________. 【解析】因为，， 所以圆心到直线的距离， 所以圆心上的动点到直线的距离的最大值为. 【难度】容易题. 2.设，分别为圆和椭圆上的点，则，两点间的最大距离是（ ） . . . . 【解析】设圆心，，故， 设，则， ， 当时，， 所以，故选. 【难度】稍难题. 3.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是．求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点的距离等于的点的坐标． 【解析】设椭圆方程，则，即， 所以椭圆上的点到点的距离 当时，，即（舍）， 当时，，即，， 故所求椭圆方程为，此时椭圆上的点和到点的距离都为. 【难度】稍难题. 4.如图，已知抛物线，点，，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为. （1）求直线斜率的取值范围； （2）求的最大值. 【解析】（1）由题意得：，则， 所以直线斜率的取值范围为. （3） 因为和共线，所以 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，因此，当时，的最大值为. 【难度】难题. 5.如图，已知椭圆，设,是椭圆上异于的两点，且点在线 段上，直线，分别交直线于，两点. （1） 求点到椭圆上点的距离的最大值； （2） 求的最小值. （1） 设椭圆上任意一点，则 ， 当时，的最大值为. （2） 设直线方程为，，， 联立椭圆得：，则，， 因为直线：与直线交于点，则 ，同理：，则 当且仅当时，的最小值为. 【难度】难题. 学科网（北京）股份有限公司 $