专题02 圆问题中常见辅助线做法8大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制九年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02 圆问题中常见辅助线做法 目录 典例详解 类型一、有弦连半径构造等腰三角形 类型二、有弦加弦心距解决弦长问题 类型三、有直径可构造直角三角形 类型四、遇90°圆周角，构造直径 类型五、有切线连圆心和切点 类型六、连半径，证垂直，得切线 类型七、作垂直、证半径，得切线 类型八、有内切圆，连内心和顶点、切点nnnn 压轴专练 典例详解 类型一、有弦连半径构造等腰三角形 遇到弦时，连半径，作用：①连接圆心和弦的两个端点，利用半径相等构造等腰三角形；②连接圆周上 点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角。 【例1】如图，四边形ABCD的四个顶点都在OO上，其中AB=CD,DB平分∠ADC,连接OC,且 OC⊥BD.若CD=5,BD=8,求O0的半径. B 0 【答案】 25 6 1/55 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：连接OB,设OC与BD交于E, :OC⊥BD, :0C平分BD,即BE=DE=BD=4, 在Rt△CDE中，CE=VCD-DE2=3, 设⊙0的半径为r,在RtaB0E中，r2=42+(r-3)2, B 25 6 【例2】已知，如图AB,AD是O0的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连结CO并延长交⊙0于点D, ∠D=35°，则∠BAD的度数是 D C B 【答案】65°/65度 【详解】解：连接OA, 0A=0B, .∠0AB=∠0BA=30°， :0A=0D, ∠D=∠DA0=35°， .∠BAD=35°+30°=65°， 故答案为：65°， 2/55 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 0 C 【变式1-1】如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E,延长DE交⊙O于 点F,若AE=2,⊙0的直径为10，则AC长为() C D A E B 0 F A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【详解】解：连接OF,如图： D C A B E :DE⊥AB,AB过圆心O, :DE EF,AD=AF, D为弧AC的中点， AD=DC· :ADC DAF, ∴.AC=DF, 3/55 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :00的直径为10， OF OA 5, :AE=2, 0E=0A-AE=5-2=3, 在R1a0EF中，由勾股定理得：EF=VOF2-OE2=V5-3=4, .DE=EF=4, .AC=DF=DE+EF=4+4=8, 故选：D 【点晴】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理等知识点，解题的关键是学会利用 参数构建方程解决问题，是中考常见题日. 【变式1-2】如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB,弧CE的度数为40°，求∠A0C的度数. B 【答案】70° 【详解】解：连接OE,如图， :弧CE的度数为40°， ∠C0E=40°， :0C=0E, .∠OCE=∠OEC, .∠0CE=180°-40)÷2=70°， :弦CE∥AB, .∠A0C=∠0CE=70°. D B 【点晴】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握 4/55 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 圆的基本性质是解题的关键， 【变式1-3】如图，已知在⊙O中，直径MW=20,正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM,OP以及oO 上，并且∠POM=45°，则AB的长为() N B A.25 B.45 C.5 D.5√5 【答案】A 【详解】解：连接OA, 四边形ABCD是正方形， .∠DCO=90°，AB=BC=CD, :∠P0M=45°， :∠CD0=45°， .∠P0M=∠CD0, :CD =CO, ∴.BO=BC+CO=BC+CD, .BO=2AB 在RtAAB0中，AB2+BO2=AO2, :A0-3MN=10 AB2+2AB2=102, 解得：AB=2V5, 故选：A. 【点晴】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造与AB相 关的直角三角形. 5/55 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、有弦加弦心距解决弦长问题 解决有关弦的问题，常添加弦心距或作垂直于弦的半径（或直径），作用：①利用垂径定理；②利用圆心 角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系。 【例3】如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为() 0 A.2cm B.2√2cm C.2v3cm D.25cm 【答案】C 【详解】解：连接OA,过点O作OE⊥AB于点E,交⊙0于点D, 将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O, E D :.OE=DE =1, :OE⊥AB, AE=BE=4B. 在Rt△A0E中，A0=2cm,OE=1, :AE=VA02-0E2=V22-12=5cm, .AB 2AE =2v3cm, 故选：C 【例4】如图，AB为⊙0的直径，C为O0上一点，点D为CB的中点，过点D作DE⊥AC,交AC的延 长线于点E,延长ED交AB的延长线于点F. 6/55 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)求证：ED是O0的切线； (2)若CE=2cm,ED=4cm,求⊙0的半径. 【答案】()见解析 (2)半径为5cm. 【分析】 【详解】(1)证明：连接OD,AD, “点D为CB的中点， :CD=DB, ∴∠EAD=∠DAB, 0A=0D, .∠0AD=LAD0, .∠ODA=∠DAC, .AE∥OD, :DE⊥AC, ∴.OD⊥DE, ED是⊙O的切线. (2)解：过点O作0G⊥AC于G,连接0D,0C. 7/55 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 可得四边形OGED为矩形. .0D=EG,ED=0G=4. 设半径为，则OC=OD=EG=r, ∴.GC=EG-CE=r-2, 在Rt△0GC中，r2=(r-22+42, .r=5,即半径为5cm. 【点晴】本题考查切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理， 恰当作辅助线是解题的关键， 【变式2-1】如图，已知o0的半径为5cm,弦AB的长为8cm,P是AB的延长线上一点，BP=2cm,则 OP等于() B A.2√2cm B.3v2cm C.25cm D.3v5cm 【答案】D 【详解】解：如图，过点O作0C⊥AB于点C,则∠AC0=∠PC0=90°， B P :OC⊥AB,0C过圆心O, AC=BC=4B=4cm 8/55 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在RtaA0C中，0C=VOA2-AC2=V52-42=3cm), BP 2cm, :PC BC+BP=4+2=6(cm 在RtP0C中，0P=VOC2+PC2=V32+62=3V5(cm, 故选：D 【变式2-2】如图，R1aAB0,∠0=90°，A0=√2，B0=1,以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点P, 求的PB长. A 【答案】25 【详解】解：：RIAB0中，LA0B=90°，AO=√2，B0=1, AB=0A+80=2+1P=5, 过点O作OD⊥AB于点D,则PB=2BD, SAOB=ABOD=OBOA 2 解得OD=6, 3 在R1aB0D中，BD=VOB-OD= 3 ·PB=2BD= 2√5 3 D B 【点晴】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键】 9/55 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2-3】如图，在ABC中，∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E. B D C (1)若LA=35°，求DE的度数： (2)若BC=6,AC=8,求BD的长 【答案】(1)20°； 【分析】 【详解】(1)解：如图，连接CD, B D ∠BCA=90°，∠A=35°， ∠B=55°， :CB=CD, LB=LCDB=55°， .∠BCD=180°-∠B-∠CDB=70°， .LDCE=LBCE-LBCD=20°， .DE的度数为20°； (2)解：如图，作CH⊥BD,则BH=DH, B 10/55命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02 圆问题中常见辅助线做法 目录 典例详解 类型一、有弦连半径构造等腰三角形 类型二、有弦加弦心距解决弦长问题 类型三、有直径可构造直角三角形 类型四、遇90圆周角，构造直径 类型五、有切线连圆心和切点 类型六、连半径，证垂直，得切线 类型七、作垂直、证半径，得切线 类型八、有内切圆，连内心和顶点、切点nnnn 压轴专练 典例详解 类型一、有弦连半径构造等腰三角形 遇到弦时，连半径，作用：①连接圆心和弦的两个端点，利用半径相等构造等腰三角形；②连接圆周上 点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角。 【例1】如图，四边形ABCD的四个顶点都在OO上，其中AB=CD,DB平分∠ADC,连接OC,且 OC⊥BD.若CD=5,BD=8,求O0的半径. B 1/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【例2】已知，如图AB,AD是⊙0的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连结CO并延长交O0于点D, ∠D=35°，则∠BAD的度数是一· D B 【变式1-1】如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E,延长DE交⊙O于 点F,若AE=2,⊙O的直径为10，则AC长为() C D A E 0 B F A.5 B.6 C.7 D.8 【变式1-2】如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB,弧CE的度数为40°，求∠A0C的度数. B 2/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-3】如图，已知在⊙O中，直径MN=20,正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM,OP以及⊙O 上，并且∠POM=45°，则AB的长为() B A.25 B.4√5 C.5 D.5√5 类型二、有弦加弦心距解决弦长问题 解决有关弦的问题，常添加弦心距或作垂直于弦的半径（或直径），作用：①利用垂径定理；②利用圆心 角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系。 【例3】如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为() A.2cm B.2√2cm C.2√3cm D.2√5cm 【例4】如图，AB为OO的直径，C为O0上一点，点D为CB的中点，过点D作DE L AC,交AC的延 长线于点E,延长ED交AB的延长线于点F. C (I)求证：ED是O0的切线： (2)若CE=2cm,ED=4cm,求o0的半径 3/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-1】如图，己知O0的半径为5cm,弦AB的长为8cm,P是AB的延长线上一点，BP=2cm,则 OP等于() A A.2√2cm B.3√2cm C.25cm D.3v5cm 【变式2-2】如图，R1aAB0,∠0=90°，A0=√2，B0=1,以0为圆心，OB为半径的圆交AB于点P, 求的PB长. 【变式2-3】如图，在ABC中，∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E. 4/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D Q C (1)若∠A=35°，求DE的度数； (2)若BC=6,AC=8,求BD的长. 类型三、有直径可构造直角三角形 遇到直径时，常常添加（画）直径所对的圆周角，作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 【例5】如图，AB是O0的直径，C,D,E是O0上三点，连接AD,CD,CE,EB,若∠CEB=25°，则∠D 的度数是() D A.50° B.60° C.65 D.70° 【例6】如图，AD是⊙0的直径，ABC是O0的内接三角形.若LDAC=LABC,AC=4,求OO的直 径AD. C D B 5/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式31】如图，在00中，4C=B,直径BC=25,B0=CD,则D=一 D C 0 【变式3-2】如图，AB是O0的弦，点P为优弧AB上的一点，∠APB的平分线交⊙0于点 Q,AB=6,∠APB=60°，则在点P运动的过程中，PQ长的最大值为 。O O B 【变式3-3】如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的OO分别交AC、BC于点D、E,求证： BE=CE. D 6/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、遇90°圆周角，构造直径 【例7】如图，圆A与坐标系交于B(4,0),C(0,3),且经过原点，则圆A的半径等于 C 】 B注 【例8】如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A,B,C,格点A,D的连线 交圆弧于点E,则AE的长为 D 【变式4-1】如图，⊙C经过原点，并与两坐标轴分别交于A,D两点，己知OC的半径为1，∠0BA=30°， 则OD的长为 D 0 【变式4-2】如图，⊙M经过原点O,且与x轴、y轴分别交于点A8,0),B(0,6),C是A0的中点，则 ⊙M的半径为 ,△AOC的周长为 B M 【变式4-3】如图，点A,D,B,C在OO上，AB⊥BC,DE⊥AB于点E.若BC=6,AE=DE=1,求 ⊙0半径的长. 7/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A E 类型五、有切线连圆心和切点 遇到某一直线是圆的切线时：连接切点与圆心，利用圆的切线的性质求解问题。 【例9】如图，已知ABC内接于OO,⊙0的切线AD交BC的延长线于点D,若∠CAD=50°，则∠B的 度数为 0 D 【例10】如图，在Rt△ABC的斜边上取点E,以AE为直径作⊙O,⊙O切BC于点D,连接AD. 0 (I)求证：AD平分∠BAC; (2)如果AE=6,DC=4,求CE的长. 8/20 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式5-1】如图，BE是⊙0的直径，A,D是⊙0上的两点，过点A作O0的切线交BE的延长线于点C, 连接AD,DE,，若∠ADE=35°，则∠C的度数是· D B 【变式5-2】如图，AB是O0的弦，点C是⊙0上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点D.若 ∠A=38°，则∠BCD的度数为一 A B D C 【变式5-3】如图，直线AB、BC、CD分别与O0相切于E、F、G,且AB∥CD,OB=6cm, 0C=8cm.求： A E B D G (I)∠BOC的度数： (2)BE+CG的长： (3)00的半径. 9/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型六、连半径，证垂直，得切线 当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该点与圆心连接，再证明该半径与直线 垂直，即可证明为圆的切线 【例I1】如图，PA是⊙O的切线，A为切点，点B、C、D在⊙O上，且PA=PB. C B 0 (1)求证：PB是O0的切线； (2)若∠B+LD=230°，则∠P= 【例12】如图，AB为O0的直径，OC⊥AB交O0于点C,D为OB上一点，延长CD交⊙0于点E,延长 OB至F,使DF=FE,连接EF. E B (1)求证：EF为OO的切线： (②)若OD=1且BD=BF,求⊙0的半径. 10/20