培优03 数列求和的8种考法（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第二册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 培优03数列求和的8种考法 划重点·冲 高分 8.错位相减法 1.倒序相加法 7.裂项相消法（指数型）》 2.分组求和法（相加型） 数列求和 6.裂项相消法（等差型及无理型） 3.分组求和法（分段型） 5.并项求和法 4.分组求和法（绝对值型） 题型1倒序相勖加法 解题大超 :如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列· i的前n项和即可用倒序相加法求解. 1.己知正数数列an}是公比不等于1的等比数列，且a,42o25=1，,试用推导等差数列前n项和的方法探求： 1+x,则f(a,)+f(a,++fa= 4 若f(x)= 【答案】4050 【详解】正数数列{an}是公比不等于1的等比数列，a,a2o2s=1, 则a,a2026-m=l,n∈N,n≤2025， 4 4 4 4x2 由当0时， + 1)2 1+1+=4 于是a+fa小=a+f日4， 令T02s=fa1)+f(a2+…+f(a2025), 则T025=f(a2025+f(a2024)+…+f(a1), 因此2T2s=[f(a)+f(aos)]+[f(a,)+f(aoa4)川小+…+f(a2as)+f(a)]=4×2025, 所以T025=4050 1/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故答案为：4050 2.德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对1+2+3++100的求和运算中，提出了倒序 相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法.现 2x 有函数f(x)= ,(k>0),则f(1+f(2+f(3+…+f(k+2025等于() 3k+6078 A. k+2025 B. 2k+6078 C.2k+6078 D.k+2025 3 3 6 6 【答案】A 2x 【详解】由题意得/)3欢+6078·设m=k+2026, e小9-六n =3 设S=f(1)+f2)+f(3)+…+f(k+2025, 倒序得S=f(k+2025+∫(k+2024)+…+∫(2)+f(1, 两式相加得到2S=(k+2025)×2=2k+20251,解得5=k+2025,故只有A正确 3 3 3 故选：A 1 1 1 3.若等差数列{an}满足ao3=0,则 十… 4+1+2+1 2+1（) A.2025 B.2025 C.2025 D.2025 2 4 8 【答案】B 【详解】由等差数列an}满足a1o3=0，则对于P,q∈N,，当p+q=2×1013时，an+a,=2a1o3=0, 则1 +1 2+2+22°，+2°，+2 =1, 2+12+12,+4,+2+24+11+2“,+2。+1 11 设S205=24+1十20+12+1 1 1 1 则S2+十20+++20十 两式相加可得25=2025x1,解得3-2025 2 故选：B 2n-51 4.已知某数列的通项an= 2n-52n*26 则a1+a2+…+a1=() 1,n=26 A.48 B.49 C.50 D.51 2/32 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【样招】令通数1小沿0 则fx=2-52+1-1+ 1 2x-52 2(x-26) x≠26)， 所以f(x刘+f(52-=1+2x-26 1 +1+ 2(52-x-26 =2x≠26) 所以an+a2-n=2，,令S=a1+a2+…+a51,则S=a51+a50+…+a1, 则有2S=(a1+a51+a2+aso)+…+(a1+a1)=2×51,所以S=51. 故选：D. 5.已知函数f(x=sinx-l+2,数列{an}为等比数列，an>0,且a1oo9=e,利用课本中推导等差数列前 n项和的公式的方法，则f(lna,)+f(lna2)+…+∫(lna2o1)=一 【答案】4034 【详解】令flna,)+f(lna2)+…+f(lna2o17)=S① 则也有f(lna2o3)+f(lna2o16)+…+f(lna,)+f(lna,）=S② f(x)+f (2-x)=sin(x-1)+2+sin(1-x)+2=4, a,a2o17=ao9=e2，即有lna1+lna2o17=lne2=2, 可得：f(lna2o1）+f(lna)=f(lnao16+f(lna2）=…=4, 于是由①②两式相加得2S=2017×4, 所以S=4034 题型2分组求和法（相助加型） 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. 若数列{cn}的通项公式为c,=an±b,且{an},{bn}为等差或等比数列，可采用分组分别求和法求数列 i{c}的前n项和。 6.1+(1+5)+1+5+52）+…+(1+5+52++5-）= 3/32 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】5-5n 164 【详解】令a,=1+5+52+…+5=1-5”_5”-1_5”1 1-5444 则1+(1+5)+1+5+52)+…+1+5+52+…+5m-=a,+a2+a3+…+an -51-g52 故答案为： 5m1-5n 164 7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an-4. (I)求证：{an}是等比数列； (2)求数列Sn的前n项和Tn 【答案】（①）证明见解析： (2)Tn=3"1-2n-3 【分析】 【详解】(1)由2Sn=3an-4,① 得n≥2时，2Sm-1=3an-1-4,②， ①-②得2an=3an-3a-1，即an=3am-1, 又2S1=2a1=3a1-4,所以a=4, 所以n≥2时，马=3， an- 所以{an}是以a,=4为首项，公比q=4的等比数列： (2)由(1)可得3，-40-39-2×3”-2， 1-3 所以7.=2X8+32+…+3)-2m=2×30-3）-2m=31-2n-3 1-3 8.己知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,S6=S,+7 (1)求{an}的通项公式： (2)若bn=2,求数列an+bn}的前n项和Tn 4/32 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)an=n+1 12 3 ②7.=2n+2n+22-4 2 【分析】 【详解】(1)因为S6=S,+7, 所以a6=S6-S,=7, 故{a,的公差d=-4=7-2=1. 6-16-1 所以{an}的通项公式为an=2+(n-1×1=n+1 (2)由(1)及题设得b。=2=21, 所以4=22=4,6-22 6,2m2, 所以{bn}是首项为4，公比为2的等比数列 T,=(a,+b,)+a,+b)+…+a,+bn =a1+a,+…+an+(b,+b2+…+bn) =(2+n+n41-2") 2 1-2 3 1m2+n+22-4. 2 9已知数列a的前n顶和为5，且a=1,S=0aeN)】 (I)求数列{a}的通项公式； (2)在数列{bn}中，bn=an+log3Sn,求数列{bn}的前n项和T, 1, (n=1, 【答案】(I)an= 23-2,(n22 2T,=3+”,neN 2 【分析】 【详解】(1)当n=1时，可得：a2=2S,=2a,=2; 5/32 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 当n22时，5=201，S-20 10 两式相减，得a,=2aa小，即a=3a, 所以当n≥2时，{an}是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以an=23-2, 因为a=1不满足上式， (n=1, 所以an= 23-2,(n≥2 (2)当n=1时，b=1； 当2时.8-号23，所以6=2,3r4A, Tn=1+2(3°+3+32+…+3-2）+[1+2+3+…+(n-1)] -1+2.1-3+a-2-3+- 1-32 2 n=1时，3+1，=1，上式也成立 2 ·T2=3”1+h二n,n∈N n-1 10.已知数列{a,}的前n项积G,=3?（n∈N)，等差数列b,}中，么=2，b,+b=16 (I)求数列{an}、{bn}的通项公式： (②)令cn=l0g,an+2,求数列{cn}的前n项和Sn 【答案】(1)a,=3；bn=2n; ②5n=m-1+41-4 2 3 【分析】 州n- 【详解】(1)因为数列{a,}的前n项积G,=32, 川-) (n-2m-1 所以aa,…0,=32，aa,…a1=32 川n- 所以当n22,a=a…a= 32 川-1-n-川n-22n-) -2m-=3 2 =32=3”1, Γa,a2…a-l32 6/32 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当n=1,a1=G1=3°=1， 所以an=3-1: 因为等差数列{bn}中，b=2,b+b=16,设公差为d,所以b+b=2b+6d=16,d=2,所以 bn=2+n-1×2=2n; (2)因为cm=l0g,an+2=l0g33-+22n=n-1+4", 所以数列cn}的前n项和 Sn=0+4+1+42)+2+4）+…+(n-1+4"） =(0+1+2+…+n-1+4+42+…+4"】 n(0+n-1,4-4m1n(n-1）,4m*1-4 2 1-4 2 3 题型3分组求和法（分段性） 解题大招 !若数列{cn}的通项公式为分段数列型，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和，注意对n进行分类讨 论 2n-1,n为奇数 11.已知数列{an}的通项公式为an= 2”,n为偶数 ，则数列a,}的前n项和S。=（) A.107 B.1409 C.1414 D.112 【答案】B [2n-l,n为奇数 【详解】因为an= 2",n为偶数 则S。=(a+a,+a,+a,+a,)+(a,+a,+a,+a,+ao)=50+1☑+40-4=1409. 2 1-4 故选：B 12.已知数列{a,}的前n项和为Sn,满足a=1,且a·a1=3”,则S9的值为(）· A. 3109+2 B 32019-1 C.3109+3 D.3010-2 2 【答案】D 【详解】因为a=1，且an·an1=3”，所以a2=3,an+14m+2=3m，所以a+2=3an, 7/32 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以a1,a,…,a2019成首项为1公比为3的等比数列，a2,a4,·,ao18成首项为3公比为3的等比数列， f所以S2019=a+a,+…+a09+(a2+a4+…+a018)= 1-310031-310） =31010-2 1-3 1-3 故选：D 1 13.已知数列a,的前n项和是S,且满足a=3,ak=8a,4=20,keN,则Ss=（） A.42025-1 B.3×22025-3 C.3×41013-9 D.5×4012-2 【答案】C 1 【详解】因为as=8ak,41=20,所以a1=4a" 又a1=3,所以数列a2-}是首项为3，公比为4的等比数列 因为a,=8a,=24,a22=02.41=4, a2k azk1 azk 所以数列(a2}是首项为24，公比为4的等比数列 1-41013）241-402） f所以S20s=(a,+43+…+a02s)+(a,+a4+…+a224)= =3×41013-9, 1-4 1-4 故选：C 14.己知等差数列{an}中，a2+a1o=22,ag=15,等比数列{bn}中，b=a2,b=a40+2 (I)求数列{b}的通项公式： an,n为奇数 (2)记cn= b,n为偶数，求数列c,}的前n项的和S 【答案】(1)bn=3” (n+1n,3m-9 ,n为奇数， 2 8 (2)Sn= (n-1n,9(3”-1 2 P n为偶数， 【分析】 【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q, 由a2+a1o=22,ag=15, 8/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 得 a+d+a+9d=22.a=1 d=2'所以a.=2n-1, → a,+7d=15 从而b=a2=3,b4=a40+2=81, 所以b,=bg3→81=3q3→q=3,所以b,=3” an,n为奇数 2n-1,n为奇数 (2)Cn= b,n为偶数’故c,= 3",n为偶数 当n为偶数时，Sn=a1+b2+a3+b,+…+am-1+bn =(a1+a3…+an-i+(b2+b+…+bn】 () 321-329 （n-1)n,93-1, 1-32 2 8 2 8 当为奇数时，S=3-=a+n,93-》3a+n,3-9, 2 8 2 8 n+1n,3m1-9 2 ,n为奇数， 8 综上可得Sn= n-1n,93”-1 ,n为偶数， 2 8 15.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a4=7,S=25 (I)求{an}的通项公式： (2)若bn= -1°a,n>10 求数列bn}的前100项和To 22,n≤10 【答案】(1)an=2n-1 (2)2136 【分析】 【详解】(1)设数列{an}的公差为d,由=25，得5a,+10d=25,即a,+2d=5, 由a4=7,得a+3d=7,解得a=1,d=2, 所以{an}的通项公式是an=1+2(n-l)=2n-1 (2)由(1)知an=2n-1, 9/32 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (-1)(2n-1),n>10 b= 2",n≤10 则T10=b+b2+b+…+b0=2+22+23+…+2°+210+(-21)+23+(-25)+27+…(-197)+199 所以m= 21-210 +2×45=21-2+90=2136 1-2 nn题型4分组求和法（绝对值型） 解题大招 |若数列{cn}的通项公式为绝对值分段数列型，可采用分组求和法求数列{Cn}的前n项和，注意对n进行 I分类讨论 16.在数列an}中，a1=-60,am+1=an+3,则a,+a2+…+a0等于() A.445 B.765 C.1080 D.3105 【答案】B 【详解】依题意由an+1=an+3可得a+1-an=3为定值， 因此可知数列{an}是以a,=-60为首项，公差为d=3的等差数列， 即可得an=a,+(n-1d=3n-63,所以当n≤21时，an≤0，当n>21时，an>0, 所以a+la++a=-a+a++a)+a+…+ao=-2 9 2a+a)+2a2+a =-60+0+83+2=765 故选：B 17.已知数列an}的通项公式为a。=n-13,若满足a:+ak+1+…+ak+19=m的整数k恰有2个，则m可取到 的值有() A.有3个 B.有2个 C.有1个 D.不存在 【答案】A 【详解】当k≥13时， ag+a1+…+a+1g=(k-13)+(k-12)+…+(k+6)=20k-70=m, 解得k=m+70 20 此时保证等式成立的每个m值，只有一个k值，不符合题意； 10/32品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 培优03数列求和的8种考法 划重点·冲 高分 8.错位相减法 1.倒序相加法 7.裂项相消法（指数型）》 2.分组求和法（相加型） 数列求和 6.裂项相消法（等差型及无理型） 3.分组求和法（分段型） 5.并项求和法 4.分组求和法（绝对值型） 题型1倒序相勖加法 !如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列· i的前n项和即可用倒序相加法求解. 1.己知正数数列an}是公比不等于1的等比数列，且a,422s=1,试用推导等差数列前n项和的方法探求： 4 若f1+,则fa+fa,)+…+f(as= 2.德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对1+2+3++100的求和运算中，提出了倒序 相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法.现 2x 有函数f(x)= (k>0),则f1+∫(2+f(3)+…+f(k+2025)等于() 3k+6078 A. k+2025 B. 2k+6078 C.2k+6078 D. k+2025 3 6 6 3.若等差数列a,满足a=0,则，1 1 1 24+12+1 十 2@+1（) A.2025 B. 2025 C.2025 D.2025 2 4 8 2n-51 4.已知某数列的通项an= 2n-52,n*26 则a,+a2+…+a51=() 1,n=26 A.48 B.49 C.50 D.51 5.已知函数f(x)=sin(x-1+2,数列{an}为等比数列，an>0,且a1oo9=e,利用课本中推导等差数列前 n项和的公式的方法，则f(lna,)+∫(lna2)+…+f(lna17)= 1/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型2分组求和法（相助加型） 题大 ·把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. 若数列{Cn}的通项公式为c,a.±bn,且{an},bn}为等差或等比数列，可采用分组分别求和法求数列 {c,}的前n项和 6.1+1+5)+1+5+52）+…+1+5+52++5-）=一 7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an-4. (1)求证：{an}是等比数列； (2)求数列Sn的前n项和Tn 8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a,=2,S6=S,+7. (I)求{an}的通项公式： (2)若b,=2,求数列{an+bn}的前n项和T, .已知数列a,的前n顶和为8，且4=-1,3，=4aeN) (1)求数列{an}的通项公式： (2)在数列{bn}中，bn=an+log3Sn,求数列{bn}的前n项和T 2/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 n(n-1) 10.已知数列{a}的前n项积G,=32(n∈N)，等差数列{b.}中，b=2,b+b,=16. (I)求数列{an}、{bn}的通项公式： (2)令cn=log:a+2,求数列{cn}的前n项和Sn 题型3分组求和法（分段性） ·若数列{Cn}的通项公式为分段数列型，可采用分组求和法求数列Cn}的前n项和，注意对n进行分类讨1 1论 2n-1,n为奇数 11.已知数列{an}的通项公式为an= 2”,n为偶数 ,则数列{an}的前n项和S。=（) A.107 B.1409 C.1414 D.112 12.已知数列{a}的前n项和为S,满足a=1,且a,·a1=3”,则Sg的值为(）· A.30+2 B. 32019-1 C.3109+3 D.31o10-2 2 2 1 13.已知数列a,的前n项和是S,且满足a=3,a:=8a,,as1=2keN,则S,s=（） A.42025-1 B.3×22025-3 C.3×4013-9 D.5×41o12-2 14.已知等差数列{an}中，a2+a1o=22,ag=15,等比数列{bn}中，b=a2,b=an+2. 3/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求数列{b}的通项公式： an,n为奇数 (2)记cn= b,n为偶数’ 求数列{cn}的前n项的和Sn 15.已知Sn为等差数列(an}的前n项和，a=7,S,=25 (I)求{an}的通项公式： （-1)”an,n>10 (2)若bn= ,求数列{b,}的前100项和T0 22,n≤10 题型4分组求和法（绝对值型） 解题大 :若数列{Cn}的通项公式为绝对值分段数列型，可采用分组求和法求数列{Cn}的前n项和，注意对n进行 分类讨论 16.在数列an}中，a1=-60,a+1=an+3,则a,+a2+…+a0等于() A.445 B.765 C.1080 D.3105 17.已知数列an}的通项公式为a,=n-13到，若满足a+a41+…+ak+19=m的整数k恰有2个，则m可取到 的值有() A.有3个 B.有2个 C.有1个 D.不存在 18.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a=18,Sm1=Sn+an-2 4/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (①I)求证：数列{an}是等差数列； (2)记bn=an,求数列{bn}的前22项和 19.设{an}是公差不为零的等差数列，Sn是{an}的前n项和，a+a=a,+a,S,=-18. (I)求{an}的通项公式： (2)求{an}的前n项和工n. 20.已知Sn是数列{an}的前n项和，且2Sn=38-an (I)求证：数列{an}是等比数列； (2)设b.=log,an,求数列bn}的前n项和Tn. 21.已知数列{an}满足a1=5,an+1=an+2n (1)求数列an}的通项公式 (2)若数列{b}满足b。=a。-n,求数列b}的前n项和T, 5/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型5并项求和法 解题大 ·一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和，形如 “0,=(-1刂“f(m类型，可采用两项合 1并求解. 22.数列an}的前n项和为Sn,a1=-1,nan=Sn+n(n-1)(neN),设b,=(-l)”an,则数列bn}的前51项之 和为() A.-149 B.-49 C.49 D.149 23.设数列{a,}的通项公式为a,=(2n-1)cos预，其前项和为S。,则S0= 2 24.已知数列{a,中a.=(n+12cos匹+n:cosn+五，则3= 2 2 25.公差不为0的等差数列{an}满足：a,=1,且a1,42,a成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式： 的前n项和. 26.已知数列{an}的前n项和为Sn.且a,=-1,S,+n2=nan+1. (1)证明数列{an}为等差数列，并求其通项公式： (2)若bn=(-1)a,求数列{b}的前100项和T0 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一。一一一一一。一。一。一一一。。一。一。一。一-一。一。一 题型6裂相消法（等差型及无理型） 解题大 ！常见的裂项公式： 1 1 (1) +分+72》2n-2n+可 1(1-1 22n-12n+1 1「1 1 1 (3) (4) (a-b); n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2) Ja+b a-b 1 27.己知数列an}满足a1=1,a1-an=n+1,则数列 的前n项和为」 a. 1 28.已知数列{a满足2-a,+2-2a,+…+2a1+a=3-2”-n-3,若c,= ,则数列{cn}的前n Van +an 项和Tn=」 29.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,若d=2,S,=99 (I)求数列an}的通项公式： a+石(neN),求数列6，的前项和Z 1 (2)若b= 30.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2(n∈N (I)求数列{an}的通项公式： 7/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 (②若b,=og:a1,G6h,求c,}前项和. 31.已知数列{an}的前n项和为Sn,且2,2n,Sn成等比数列. (1)求{an}的通项公式： (2)若b,=1 aan ，求数列{bn}的前n项和T,. 32.已知正项数列an}的前n项的和为Sn,且a+2an=4Sn-1,neN广. (1)求数列{an}的通项公式： （2》记，=，求数列b,的前项和Z a an+2 题型7裂项相消法（指数型） 33.已知数列a,的前n项和为S,a,=5,S,=a,+2到n 2 (1)求an; 若数列b清足b=2,对伍意5,1EN,恒有0=b0,c。6求数列c附前项 8/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 34.设正项数列a,的前n项和S,满足VS-a+. (I)求数列{an}的通项公式： ②设血=2c,么+6+川，求数列c的前n项和Z 35.设S,是正项等比数列{an}的前n项和，且S2=6,S4=30. (I)求数列{an}的通项公式： 2设b.=nn+1)an n+2 ，求数列{bn}的前n项和工. 36.已知数列an}的前n项和为Sn,a1=2,且a1=2Sn+2(n∈N)· (I)求{an}的通项公式： ②设6,3，求数列他，}的前项和，· 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 37.已知数列{an}的前n项和为Sn,an=2-Sn,n∈N (1)求数列{an}的通项公式： ②已阳数列6，么口+a+可其前项和为，求俊得"。<工<学对所有nGN都戏立的白 2-m 4 然数m的值。 题型8错位相减法 !解题大超 「如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错「 」位相减法求解。 错位相减法求和时，应注意：①在写出“S”与“qS,”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下 1 一步淮确地写出“Sn-qSn”的表达式。 ②应用等比数列求和公式必须注意公比9是否等于1，如果q=1,应用公式Sn=na 38.已知数列a,的前项和为S,当n≥2时，S+a,-a,5=0,且a=2 1 (1)求Sn; 3” (2)设b.= ,求数列6，}的前项和7. 10/12