第2章 特殊三角形（复习课件）数学浙教版2024八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了特殊三角形的核心知识，通过单元知识图谱将图形的轴对称、等腰三角形、等边三角形、直角三角形（含勾股定理、HL全等判定）等内容串联，明确各知识点的概念、性质与判定逻辑，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲+题型剖析+针对训练”模式，如“将军饮马”问题培养几何直观与抽象能力，勾股定理多种证明方法发展推理意识，分层训练（基础题如等腰三角形周长计算、综合题如直角三角形全等判定）满足不同学生需求，助力学生巩固知识，教师精准开展复习教学。

单元复习课件 第二章 特殊三角形 浙教版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.能准确识别轴对称现象，明确 “轴对称图形” 与 “两个图形成轴对称” 的区别与联系；掌握轴对称的核心性质. 3. 在解决实际问题时，能将实际需求转化为特殊三角形的几何模型，通过建立模型、运用定理求解，培养数学建模与应用能力。 2. 熟练掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定.理解直角三角形的性质，会用勾股定理计算直角三角形边长，用逆定理判断三角形是否为直角三角形，掌握直角三角形全等的 “HL” 判定并完成证明. 单元学习目标 单元知识图谱 知识点一：图形的轴对称 对称轴 轴对称 一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫作图形的轴对称，这条直线也叫作对称轴。 考点串讲 知识点一：图形的轴对称 常见的几何图形中哪些是轴对称图形？ 图形 对称轴 条数 图形 对称轴 条数 长方形 正方形 平行 四边形 等腰 三角形 圆 等边 三角形 线段 角 2 4 0 1 无数 2 1 3 考点串讲 知识点一：图形的轴对称 轴对称图形 两个图形成轴对称 图形 区别 联系 两个有特殊位置关系的全等图形 1.都是沿着某条直线折叠后能重合； 2.可以通过分割或整合互相转化. 一个图形具有的特殊形状 考点串讲 知识点一：图形的轴对称 轴对称的性质 A B A′ B′ M N 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对称轴垂直平分连结两个对称点的线段，对应线段相等，对应角相等。 考点串讲 知识点二：将军饮马 如图所示，直线l表示草原上的一条河流。一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于 B 地的家中。他沿怎样的路线骑行路程最短？ 解：作点 A 关于直线 l 的对称点 A'，连结 A'B，交直线 l 于点C，连结AC。 骑马少年沿折线A—C—B的路线骑行时路程最短。 A' C 考点串讲 知识点三：等腰三角形 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形. 腰 腰 底边 底角 底角 顶角 等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。 两腰的夹角叫做顶角， 腰和底边的夹角叫做底角。 考点串讲 知识点三：等腰三角形的性质 归纳总结 ① 等腰三角形是轴对称图形。 ② 等腰三角形的两个底角相等。这个定理也可以说成在同一个三角形中，等边对等角。 ③ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一。 A B C D ( ( 1 2 考点串讲 知识点三：等腰三角形的判定 名称 图形 概念 性质 判定 等腰 三角形 有两边相等的三角形是等腰三角形 两腰相等 两边相等 等边对等角 等角对等边 三线合一 A B C 考点串讲 知识点四：等边三角形 三条边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形 特性 等腰三角形 等边三角形 边 两边相等 三边相等 角 两底角相等 三个角均为60° 对称轴 1条对称轴 3条对称轴 三边相等，AB=AC=BC 60° 60° 60° 考点串讲 知识点四：等边三角形 名称 图形 概念 性质 判定 等边 三角形 三边相等的三角形是等边三角形 两边相等 三条边都相等 三个角是60° 三个角都相等 三组三线合一 有一个角是60°的等腰三角形 A B C 考点串讲 知识点五：逆命题和逆定理 每个命题都有它的逆命题，但真命题的逆命题不一定是真命题。 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理互为逆定理。 对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题。 如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题就叫作它的逆命题。 考点串讲 知识点六：直角三角形 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如图为Rt△ABC 斜边 直角边 直角边 直角三角形性质定理： 直角三角形的两个锐角互余。 考点串讲 知识点六：直角三角形 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， D是AB边上的中点， ∴CD=AB. 考点串讲 知识点七：勾股定理 几何语言： ∵在Rt△ABC中,∠C=90°, ∴a2+b2=c2（勾股定理）. a A B C b c ∟ 定理变式 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，则a2 =c2 -b2，b2=c2-a2. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 如果a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2． 勾股定理 只适用于直角三角形 考点串讲 知识点七：勾股定理 a c b a c b a c b S大正方形＝4×S△＋S小正方形 c2 = 4×ab + (b-a)2 c2 = a2 + b2 S大正方形＝4×S△＋S小正方形 (b+a)2 = 4×ab + c2 a2 + b2 = c2 S梯形＝2×S△＋SRt△ (b+a) (b+a)= 2×ab + c2 a2 + b2 = c2 考点串讲 知识点七：勾股定理逆定理 如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形。 a A B C b c 常见勾股数 ①3，4，5； ②5，12，13； ③6，8，10； ④7，24，25. 30°直角三角形三边关系： 1：：2； 45°直角三角形三边关系： 1：1：. 考点串讲 知识点八：直角三角形全等的判定 　　判定方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）。 用数学符号语言表述： 在Rt△ABC 和 Rt△A’B’C’中 ∴ Rt△ABC ≌ Rt△A’B’C’（HL） AB =A’B’ BC =B’C’ 符号语言 图形语言 C B A A ＇ B ＇ C ＇ 文字语言 考点串讲 题型一、图形的轴对称 如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，∠PAN=PBN． 下列判断错误的是（        ） A . AM=BM B . AP=BN C . ∠MAP=∠MBP D . ∠ANM=∠BNM 可得到点A、点B是对称点 所以AM=MB,AP=PB ∠MAP=∠MBP,∠ANM=∠BNM B 例1 题型剖析 题型一、图形的轴对称 如图，在△ABC中，∠B=∠C，∠C=75°，△AB'C'与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，则∠CAB的度数是 . 解：∵∠B=∠C=75° ∴∠BAC=180°-∠B-∠C==30° ∵△AB'C'与△ABC关于直线EF对称 ∴∠B'AC'=∠BAC=30°，∠C'AF=∠CAF=10° ∴∠CAB'=∠CAF+∠C'AF+∠C'AB'=10°+10°+30°=50° 解题思路：根据三角形的内角和定理求出∠BAC=30°,由轴对称的性质可得∠B'AC'=∠BAC=30°,∠C'AF=∠CAF=10°,再由角的和差即可求解。 50° 例2 题型剖析 题型一、图形的轴对称 例3 如图， OB 是一条河流， OC 是一片菜田，张大伯每天从家( A 点处)去河边挑水，然后把水挑到菜田，最后回到家中.请你帮张大伯设计一条路线，使他每天行走的路线最短.下列四个方案中你认为符合要求的是(　 　) D A B C D 题型剖析 题型二、等腰三角形 例4 在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为15cm和30cm的两部分，求BC的长． 解：∵BD为AC边上的中线，所以AD=DC=AC 又∵AB=AC，∴AB=2AD 分两种情况讨论： ①当AB+AD=15cm，2AD+AD=15cm 解得AD=5cm，CD=5cm，∴AB=10cm ∵BC+CD=30cm∴BC=30-CD=25cm ∵10+10=20＜25 ∴此时不能构成三角形. 因为不知道哪部分是24cm，哪部分是30cm，所以需要分情况讨论 ②当AB+AD=30cm时，2AD+AD=30cm 解得AD=10cm，∴CD=10cm ∵BC+CD=15cm，∴BC=15-CD=5cm ∵AB=20cm, 20+5=25＞20 ∴综上所述，BC的长为5cm. 题型剖析 题型二、等腰三角形 例5 将一台带有保护套的平板电脑按图1所示的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示，经测量，得到AB=10cm，BC=12cm．若移动支点C的位置，使△ABC是一个等腰三角形，则△ABC的周长为（        ） A .32cm B .34cm C . 32cm或36cm D . 32cm或34cm D 当AB=AC=10, 周长为10+10+12=32 当BC=AC=10, 周长为10+12+12=34 题型剖析 题型三、等腰三角形的性质 例6 如图，在△ABC中，AB=AC ，AB的垂直平分线交AC于点D． （1）若∠A=32°，求∠BDC的度数 (2)若AB=5cm，BC=3cm，求△BCD的周长 根据垂直平分线的性质可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，再根据三角形的外角性质即可求解。 解：∵AB的垂直平分线交AC于点D ∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=32° ∴∠BDC=∠A+∠ABD=32°+32°=64° 求出△DBC的周长=AB+BC，代入数据计算即可求得解 解：△BCD的周长=BD+DC+BC =AD+DC+BC =AC+BC =AB+BC ∵AB=5cm,BC=3cm ∴△BCD的周长=5+3=8cm 题型剖析 题型三、等腰三角形的性质 例7 如图：在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC． （1）试说明：AD⊥BC 解：连接AE ∵AB的垂直平分线EF交BC于点E ∴AE=BE， ∵BE=AC ∴AE=AC， ∵D为线段CE的中点， ∴AD⊥BC （2）若∠B=35°，求∠C的度数 解：∵AE=BE ∴∠BAE=∠B=35° ∴∠AEC=2∠B=70° ∵AE=AC ∴∠C=∠AEC=2∠B=70° 题型剖析 题型三、等腰三角形的性质 如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3，则BF= 　 　 ． 解：∵△ABC中，AB=AC,AD⊥BC， ∴AD是△ABC的中线， ∴S△ABC=2S△ADB=2×BA×DE=3AB， ∵S△ABC=AC×BF，∴AC×BF=3AB， ∵AB=AC， ∴BF=3，∴BF=6． 6 例8 题型剖析 题型三、等腰三角形的性质 如图，在△ ABC 中，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AB ， AC 于点 D ， E . 分别以点 D ， E 为圆心，大于 DE 的长为半径画弧，交于∠ BAC 内一点 F . 连结 AF 并延长，交 BC 于点 G . 连结 DG ， EG . 添加下列条件，不能使 BG ＝ CG 成立的是(　D　) A. AB ＝ AC B. AG ⊥ BC C. ∠ DGB ＝∠ EGC D. AG ＝ AC D 角平分线 中线 等腰三角形三线合一 例9 题型剖析 题型四、等边三角形的性质 如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且AD=CE，求∠BOD的度数． 根据等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识，先根据SAS证明△BCE≌△CAD，再根据三角形外角的性质求解. 解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE=∠CAD=60°，BC=CA 在△BCE和△CAD中，, ∴△BCE≌△CAD（SAS） ∴∠CBE=∠ACD ∴∠BOD=∠OCB+∠CBE=∠OCB+∠ACD=∠ABC=60° 例10 题型剖析 题型五、等腰三角形的判定 例11 如图，已知AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，求证：△ADF是等腰三角形. 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角） ∵DE⊥BC，∴∠FEB=∠FEC=90° ∴∠B+∠EDB=∠C+∠EFC=90° ∴∠EFC=∠EDB（等角的余角相等） ∵∠EDB=∠ADF（对顶角相等） ∴∠EFC=∠ADF ∴△ADF是等腰三角形 根据等腰三角形的形状得到∠B=∠C，再根据等角的余角相等得到∠EFC=∠EDB，再由∠EDB=∠ADF，根据等角对等边判断△ADF是等腰三角形 题型剖析 题型五、等腰三角形的判定 例12 如图，点 P ， M ， N 分别在等边三角形 ABC 的各边上，且 MP ⊥ AB 于点 P ， NM ⊥ BC 于点 M ， PN ⊥ AC 于点 N . 求证：△ PMN 是等边三角形. 【证明】∵△ ABC 是等边三角形， ∴∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝60°. ∵ MP ⊥ AB ， NM ⊥ BC ， PN ⊥ AC ， ∴∠ MPB ＝∠ NMC ＝∠ PNA ＝90°， ∴∠ PMB ＝∠ MNC ＝∠ APN ＝30°， ∴∠ NPM ＝∠ PMN ＝∠ MNP ＝180°－90°－30°＝60°， ∴△ PMN 是等边三角形. 题型剖析 题型五、等腰三角形的判定 例13 如图， O 为等边三角形 ABC 内一点，∠ AOB ＝110°，∠ BOC ＝α.以 OC 为一边在 OC 上方作等边三角形 OCD ，连结 AD . （1）当α＝150°时，试求∠ ADO 的度数. 【解】∵△ ABC 是等边三角形， ∴ BC ＝ AC ，∠ BCA ＝60°. ∵△ OCD 是等边三角形， ∴ OC ＝ DC ，∠ ODC ＝∠ OCD ＝60°. ∴∠ BCO ＋∠ OCA ＝∠ ACD ＋∠ OCA ， ∴∠ BCO ＝∠ ACD . 题型剖析 题型五、等腰三角形的判定 例13 如图， O 为等边三角形 ABC 内一点，∠ AOB ＝110°，∠ BOC ＝α.以 OC 为一边在 OC 上方作等边三角形 OCD ，连结 AD . （1）当α＝150°时，试求∠ ADO 的度数. 在△ BOC 和△ ADC 中， ∴△ BOC ≌△ ADC ( SAS )， ∴∠ ADC ＝∠ BOC ＝150°， ∴∠ ADO ＝∠ ADC －∠ ODC ＝90°. 题型剖析 题型五、等腰三角形的判定 例13 如图， O 为等边三角形 ABC 内一点，∠ AOB ＝110°，∠ BOC ＝α.以 OC 为一边在 OC 上方作等边三角形 OCD ，连结 AD . （2）探究：当α为多少度时，△ AOD 是等腰三角形？ 【解】∵△ BOC ≌△ ADC ，∴∠ CBO ＝∠ CAD . ∵△ ABC ，△ OCD 为等边三角形， ∴∠ ABC ＝∠ BAC ＝∠ COD ＝60°. 设∠ CBO ＝∠ CAD ＝θ，∠ ABO ＝β，∠ BAO ＝γ， ∠ CAO ＝δ， 则θ＋β＝60°，β＋γ＝180°－110°＝70°，γ＋δ＝60°， ∴θ＋δ＝50°，∴∠ DAO ＝50°. 题型剖析 题型五、等腰三角形的判定 例13 如图， O 为等边三角形 ABC 内一点，∠ AOB ＝110°，∠ BOC ＝α.以 OC 为一边在 OC 上方作等边三角形 OCD ，连结 AD . （2）探究：当α为多少度时，△ AOD 是等腰三角形？ ①若 AO ＝ AD ，则∠ AOD ＝∠ ADO ， ∴360°－110°－α－60°＝α－60°，∴α＝125°； ②若 OA ＝ OD ，则∠ OAD ＝∠ ADO ， ∴α－60°＝50°，∴α＝110°； ③若 OD ＝ AD ，则∠ OAD ＝∠ AOD ， ∴360°－110°－α－60°＝50°，∴α＝140°. 综上，当α为110°或125°或140°时，△ AOD 是等腰三角形. 题型剖析 题型六、逆命题和逆定理 例14 下列各命题的逆命题成立的是（     ） D A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．直角三角形中有两个锐角 C．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 D．两直线平行，同位角相等 逆命题：如果两个角相等，那么它们是直角 假 逆命题：有两个锐角的三角形是直角三角形 假 逆命题：如果两个实数的平方相等，那么它们相等 假 逆命题：同位角相等，两直线平行 真 题型剖析 题型六、逆命题和逆定理 例15 求证：不等边三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等． （要求：根据命题，画出图形，再写出已知、求证，完成证明） 证明：分别过B点和C点作BE⊥AD于E，CE⊥AD于F, ∵∠BED=∠CFD=90° ∵AD是不等边△ABC的中线 ∴BD=CD，又∵∠BDE=∠CDF ∴△BDE≌△CDF（AAS） ∴BE=CF ∴B点和C点到AD的距离相等. D E F 已知：如图，AD是不等边三角形ABC的中线 求证：点B和点E到AD的距离相等 题型剖析 题型七、直角三角形 如图，一根木杆斜靠在竖直的墙AC上，∠BAC=32°，木杆的顶端A沿墙面下滑至A'位置，此时∠A'B'C=32°，CD，CD'分别是斜边AB，A'B'上的中线，则∠DCD'的度数为______． 26° 根据直角三角形斜边中线的性质，可得CD'=B'D'，CD=AD,从而得到∠B'CD'=∠A'B'C=32°，∠ACD=∠BAC=32°，即可求解. 解：∵CD，CD'分别是斜边AB，A'B'上的中线 ∴CD'=B'D'，CD=AD， ∴∠B'CD'=∠A'B'C=32°，∠ACD=∠BAC=32° ∵∠ACB=90° ∴∠DCD'=∠ACB-∠B'CD'-∠ACD=26° 例16 题型剖析 题型七、直角三角形 例17 如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2=（       ） A .60° B . 75° C . 90° D . 120° 熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键，由题意得三角形全等，根据全等三角形的性质可进行求解. C 解：如图所示 △ABC和△DEF为直角三角形，且AC=EF，AB=FD，∠A=∠DFE=90° ∴△ABC≌△FDE(SAS) ∴∠1=∠EDF ∴∠2+∠EDF=90° ∴∠1+∠2=90°. 题型剖析 题型七、直角三角形 例18 已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BD=AD，DF=DC．猜想BF与AC的关系，并说明理由 解：∵BF=AC，BF⊥AC，理由如下： ∵AD⊥BC， ∴∠BDF=∠ADC=90° 又∵在△ADC和△BDF中，, ∴△ADC≌△BDE（SAS）， ∴∠BFD=∠C，BF=AC ∵∠BDF=90°， ∴∠CBE+∠BFD=∠CBE+∠C=90° ∴∠BEC=90°，∴BF⊥AC 题型剖析 题型八、勾股定理 例19 如图，已知矩形OABC的边OA在数轴的正半轴上，O为原点，BC=3，AB=1，连接OB，以O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D对应的数为 . 根据矩形的性质，可以得到∠OAB=90°，OA=BC=3，然后根据勾股定理可以得到OB的长，从而可以得到OD的长 解：∵四边形OABC是矩形，BC=3， ∴∠OAB=90°，OA=BC=3 ∵AB=1， ∴OB=， ∴OD=OB= 题型剖析 题型八、勾股定理 例20 如图，某会展中心在会展期间准备将高7m，长25m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要________元钱． 本题考查了勾股定理的应用，解题关键是明确所铺地毯的长是直角三角形两边直角边的和，利用勾股定理求出长度，再求出面积并计算费用 解：由勾股定理得，楼道的水平宽度为m 因为所铺地毯的长是直角三角形两条直角边的和 ，即24+7=31m 地毯的面积为31×2=62m2 总费用62×20=1240（元） 1240 题型剖析 题型八、勾股定理 例21 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长． 解：当高AD在△ABC内部时，如图①. 在Rt△ABD中，由勾股定理， 得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162， ∴BD＝16 . 在Rt△ACD中，由勾股定理， 得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81， ∴CD＝9. ∴BC＝BD＋CD＝25， ∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60. 注意分类讨论 三角形分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形. 题型剖析 题型八、勾股定理 例21 当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60. 解题的关键： 题中未给出图形，作高构造直角三角形时，不要漏掉钝角三角形的情况． 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长． 题型剖析 题型九、勾股定理逆定理 例22 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积. A D B C 3 4 13 12 解：连接AC. 在Rt△ABC中， 在△ACD中， AC2+CD2=52+122=169=AD2 ∴△ACD是直角三角形， 即∠ACD=90° ∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36 题型剖析 题型九、勾股定理逆定理 例23 已知△ABC的三边分别长为a,b,c，且满足，则△ABC是（   ）. A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 【解析】等式＋+＝0 可化为＋+＝0， 根据非负数的性质可得a-17=0，b-15=0，c-8=0， 所以a=17，b=15，c=8； 又因， 所以△ABC是 以a为斜边的直角三角形，故选A. 题型剖析 题型十、直角三角形全等的判定 例24 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的跨度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B与∠F的大小有什么关系？说说你的想法和理由. E F D A B C ┐ ┐ 解：∠B和∠F关系为互余 证：∵已知两滑梯长度相等，即BC=EF 又∵AC=DF，∠BAC=∠EDF=90° ∴在Rt△ABC和Rt△DEF中 AC=DF BC=EF ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL) ∴∠B=∠DEF ∵∠DEF+∠F=90° ∴∠B+∠F=90°，即∠B和∠F互余. 题型剖析 题型十、直角三角形全等的判定 例25 如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ 若AP＝BC 则Rt △APQ ≌ Rt △CBA P A B C ┐ ┐ Q 解：(1)当P运动到AP＝BC时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵ PQ＝AB， AP＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm； 题型剖析 题型十、直角三角形全等的判定 例25 (2) 若AP＝AC 则Rt △QAP ≌ Rt △BCA （2）当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， PQ＝AB， AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时， △ABC才能和△APQ全等． ∵ 如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ (P) A B C ┐ ┐ Q 方法总结 判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解． 题型剖析 题型十、直角三角形全等的判定 例26 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE. E D A C B F 证明：∵ AD，AF分别是△ABC和△ABE的高， ∴∠ADB＝∠AFB＝90°． 在Rt△ADC和Rt△AFE中， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）. ∴CD＝EF. 在Rt△ADB和Rt△AFB中， ∴Rt△ADB≌Rt△AFB（HL）. ∴BD＝BF． ∴BD－CD＝BF－EF．即BC＝BE． 题型剖析 1.若一个等腰三角形的两边长分别为4和6，则该等腰三角形的周长为（　　）． A．14 B．15 C．16 D．14或16 【解析】当4为底时，其它两边都为6，4、6、6可以构成三角形，周长为16； 当4为腰时，其它两边为4和6，因为4、4、6可以构成三角形，周长为14． D 2.一个等腰三角形，周长为9，其余各边均为整数，则腰长为（　　） A．4或3或2 B．4或3 C．4 D．3 【解析】设腰长为x，那么底边长为9-2x，∴2x＞9-2x；9-2x＞0；解得：2.25＜x＜4.5，∵x为整数，∴x为3，4．∴腰长为4或3． B 针对训练 3.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点，则△ABC周长的最小值是_______． 解题思路：连接PC，求出PA+PB的最小值可得结论 解：如图，连接PC ∵EF垂直平分线段BC，∴PB=PC ∴PA+PB=PA+PC≥AC=4 ∴PA+PB的最小值为4， ∴△ABP的周长最小值为3+4=7 7 针对训练 4 .把一张对边互相平行的纸条折成如图那样，EF是折痕，若∠EFB=23°，则∠D'FD=_______°． 解题思路：本题主要考查的是平行线的性质和折叠的性质，直接利用平行线的性质和折叠的性质得出∠C'EG=64°，进而得出答案。 解：∵EF是折痕，∠EFB=23°，AC'∥BD' ∴∠C'EF=∠GEF=∠GEF=23°， ∴∠C'EG=46°， ∵CE∥FD， ∴∠D'FD=∠FGC=∠C'EG=46°. 46 针对训练 5.一个等腰三角形一条腰上的中线把这个三角形的周长分成了6和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 解题思路：设等腰三角形的腰长为x,底边长为y，分两种情况：当腰和腰的一半的和为6与当腰和腰的一半的和为12时，分别列出方程组结合三角的三边关系即可。 2 解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y ①当腰和腰的一半为6时，则 解得x=4，y=10, 此时三角形的三边为4、4、10， 不能构成三角形（舍） ②当腰和腰的一半为12时，则 解得x=8，y=2 此时三角形的三边为8、8、2，能构成三角形 所以三角形的底边长为2. 针对训练 6.如图：在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD （1）∠B=25°，则∠BAD的度数 （2）若AC=10，BC=14，求△ABD的周长 根据垂直平分线的性质得线段相等，再根据“等边对等角”和三角形内角和180°，即可求解 根据垂直平分线的性质得到线段相等，再等量代换可得△ABD为AB+BC即可 解：∵AB=AC，∠B=25° ∴∠C=∠B=25°，∠BAC=180°-∠B-∠C=130° ∵AC的垂直平分线交BC于点D， ∴AD=CD，∴∠DAC=∠C=25° ∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=130°-25°=105° 解：∵AB=AC，AC=10，∴AB=10， ∵AC的垂直平分线交BC于点D，∴AD=CD 又∵BC=14， ∴△ABD的周长为：AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=10+14=24. 垂直平分线上的点到两端点的距离相等 针对训练 7 .图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若AB∥CD，AC∥OD，OD=OC，∠BAC=51°，则∠DOC的度数为_______． 解：∵AB∥CD∴∠BAC=∠ACD=51° 又∵AC∥OD∴∠ODC=∠ACD=51° ∵OD=OC ∴∠ODC=∠OCD=51° ∴∠DOC=180°-51°-51°=78° 78° 先利用平行线的性质可得∠BAC=∠ACD=51°，∠ODC=∠ACD=51°，然后根据等边对等角求得∠ODC=∠OCD=51°，利用三角形内角和定理即可 针对训练 8.如图，△ABC是等边三角形，D是BC上的点，点E在△ABC外，且CE∥AB，CE=BD．求证：△ABD≌△ACE． 解：∵△ABC为等边三角形 ∴∠B=∠CAB=60°，AB=AC ∵CE∥AB,∴∠ACE=∠CAB=60° ∴∠B=∠ACE=60° 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS） 由等边三角形得到∠B=∠CAB=60°，AB=AC，然后证明出∠B=∠ACE=60°，进而证明△ABD≌△ACE（SAS）． 针对训练 9.如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 为△ ABC 的高线.以点 A 为圆心， AD 长为半径画弧，与 AB ， AC 分别交于点 E ， F ，连结 DE ， DF . (1)求证：△ ADE ≌△ ADF ； 【证明】∵ AB ＝ AC ， AD 为△ ABC 的高线， ∴ AD 平分∠ BAC ， ∴∠ BAD ＝∠ CAD . 由作图可得 AE ＝ AF ＝ AD . 在△ ADE 和△ ADF 中， ∴△ ADE ≌△ ADF ( SAS ). 针对训练 (2)若∠ BAC ＝80°，求∠ BDE 的度数. 【解】∵∠ BAC ＝80°， ∴∠ BAD ＝∠ CAD ＝40°， ∵ AE ＝ AD ， ∴∠ ADE ＝ ×(180°－40°)＝70°. ∵ AD ⊥ BC ， ∴∠ ADB ＝90°， ∴∠ BDE ＝∠ ADB －∠ ADE ＝20°. 针对训练 10.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AB上的一点，且DE=AE. 求证：DE//AC. 1 2 3 证明：∵AB=AC， AD是BC边上的中线， ∴∠B=∠C（等边对等角）， AD⊥BC（等腰三角形三线合一）， ∴∠1+∠B=90°，∠2+∠3=90°， ∵DE=AE， ∴∠1=∠2（等边对等角）， ∴∠3=∠B=∠C， ∴DE∥AC（同位角相等，两直线平行）. 针对训练 11.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，点E、M、F分别是AB、BC、AC上的点，ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是________． 由等腰三角形的性质推出∠B=∠C，由平行线的性质可得∠BME=∠C，因此∠BME=∠B，判定BE=EM，同理CF=MF，得到四边形MEAF的周长等于AB+AC即可 解：∵AB=AC=5，∴∠B=∠C ∵ME∥AC，∴∠BME=∠C ∴∠BME=∠B，∴BE=EM 同理CF=MF，∵AB=AC=5 ∴四边形MEAF的周长为 AE+EM+AF+MF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=5+5=10. 10 针对训练 12.如图，在中，点，分别是边， 上的点，，， 与相交于点.求证： 是等腰三角形. 证明： ， . 在和 中， . . ,即 . 是等腰三角形. 针对训练 13.将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知α=60°． 点B，C对应的刻度分别为1cm，3cm，则线段AC的长为______cm 解：∵直尺的两边平行，∴∠ACB=∠α=60°， ∵含30°角的直角三角尺，∴∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵点B、C表示的刻度分别为1cm、3cm ∴BC=2cm，∴AC=BC=2cm ∴线段AC的长为2cm 根据平行线的性质得出∠ACB=60°，进而可得△ABC是等边三角形，根据等边三角形性质即可求解 2 针对训练 14.如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ B ＝∠ D ，点 E 在 BA 的延长线上，连结 CE . (1)求证：∠ E ＝∠ ECD ； 【证明】∵ AD ∥ BC ， ∴∠ EAD ＝∠ B . ∵∠ B ＝∠ D ， ∴∠ EAD ＝∠ D ， ∴ BE ∥ CD ， ∴∠ E ＝∠ ECD . 针对训练 （2）若∠ E ＝60°， CE 平分∠ BCD ，判断△ BCE 的形状. 【解】∵∠ E ＝60°，∠ E ＝∠ ECD ， ∴∠ ECD ＝60°. ∵ CE 平分∠ BCD ， ∴∠ BCE ＝∠ ECD ＝60°， ∴∠ B ＝180°－∠ BCE －∠ E ＝60°， ∴∠ BCE ＝∠ E ＝∠ B ， ∴△ BCE 是等边三角形. 针对训练 15.下列 4 个命题中，它们的逆命题是真命题的个数有（    ） A .1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 D ①两直线平行，同位角相等 ②三个角都是60°的三角形是等边三角形 ③线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ④在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 逆命题：同位角相等，两直线平行 真 逆命题：如果三角形是等边 三角形，那么三个角都是60° 真 逆命题：到两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上 真 逆命题：角平分线上的点到角两边的距离相等 真 针对训练 16.如图，△ABC 中，点D，F在边AB上，点G，E分别在边AC，BC上，连接DG，DC，EF．①EF⊥AB，CD⊥AB；②∠DGA=∠BCA；③DG平分∠ADC；④∠B=∠BEF，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 证明：∵∠DGA=∠BCA，∴DG∥BC ∴∠ADG=∠B，∠GDC=∠BCD, ∵DG平方∠ADC，∴∠ADG=∠GDC ∴∠B=∠DCB，∵EF⊥AB，CD⊥AB ∴EF∥CD，∴∠BCD=∠BEF ∴∠B=∠BEF ①②③ ④ 针对训练 17.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，交BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点Q，作射线AQ交BC于点D．若∠C=2∠DAC，则∠B的度数是（      ） A .20° B . 25° C . 30° D . 35° C 解：由题知，由作图过程可得AQ⊥BC ∴∠ADC=90°∴∠C+∠DAC=90° ∵∠C=2∠DAC, ∴2∠DAC+∠DAC=90°，解得∠DAC=30° 故∠C=60°，∵在△ABC中，∠BAC=90° ∴∠B=90°-∠C=90°-60°=30° 此过程在AQ⊥BC 针对训练 18.已知：如图，∠BAC=∠BDC=90°，点E在BC上，点F在AD上，BE=EC，AF=FD．求证：EF⊥AD． 连接AE、DE,先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得2AE=2DE=BC，再根据等腰三角形的三线合一可证。 证明：如图，连接AE、DE ∵BE=EC，∴点E是BC的中点， ∵∠BAC=∠BDC=90° ∴AE=BC，DE=BC ∴AE=DE，又∵AF=FD ∴EF⊥AD 针对训练 19.如图，在△ABC纸片中，∠ACB=30°，将该三角形纸片折叠，使得点A落在边BC上的点D处，折痕为CE，若2∠A-∠B=78°，则∠BDE的度数为___________． 解：∵2∠A—∠B=78°，∠A+∠B=90° ∴∠A=56°，∠B=34° ∵将Rt△ABC折叠后，点A落在边BC上的点D处，折痕为CE ∴∠CDE=∠A=56° ∴∠EDB=180°-56°=124° 先根据2∠A—∠B=78°，∠A+∠B=90°求出∠A，∠B的值，再由折叠的性质求出∠CDE=∠A=56°，然后根据邻补角即可求解。 124° 针对训练 20.如图，点E、F分别在CD、AB上，连BE，CF，DF，BE⊥DF于点G，∠C=∠1． 解：∵BE⊥DF，∴∠EGD=90°， ∴∠1+∠D=90° ∵∠C=∠1，∴∠C+∠D=90°， ∴∠CFD=90° （1）求∠CFD的度数； （2）若∠2+∠D=90°，求证：AB∥CD 证明：∵BE⊥FD，， ∴∠DGE=90° ∴∠1+∠D=90°， ∵∠2+∠D=90° ∴∠1=∠2， ∵∠C=∠1 ∴∠2=∠C ∴AB∥CD 针对训练 21.如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于M，N两点，则N点所表示的数为 __________ ． 解：由图知，∠AOD=90°， ∴△AOD是直角三角形， ∵OA=1，OD=3， ∴AD==， ∴N点所表示的数为： 针对训练 22. 如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形. 若图中阴影正方形的边长分别是 8,4,4,2,则图中最大的正方形的面积为（ ） A. 18 B. 36 C. 50 D. 100 S1 S2 S3 S4 D 解：如图,阴影正方形的面积分别记为S1、S2、S3、S4， ∵阴影正方形的边长分别是8,4,4,2, ∴S1=64,S2=16,S3= 16,S4= 4 ∵所有的三角形都是直角三角形， ∴S1+S2+S3+S4= S最大正方形， ∴S最大正方形=64+16+16+4=100 针对训练 23. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAD,AC=6cm，BC=8cm，求线段CD的长. x x 8-x 6 6 4 D C B A E 8 10 解：作 AD⊥AB,设线段CD长度为x, ∵AC=6cm，BC=8cm，∠C=90° ∴AB=10cm ∴△ACD≌△AED(AAS) ∴AE=AC=6cm ∵AD平分∠BAC ∴CD=DE=x 则BD=8-x,BE=4cm 在Rt△BDE中,DE2+BE2=BD2 即：x2+42=(8-x)2 ∴x=3 ∴CD=3 针对训练 24.满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ） A．BC＝1，AC＝2，AB＝B．BC＝1，AC＝2，AB＝ C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【答案】D 【详解】A．∵12+（）2=22，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵12+22=（）2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； C．设BC=3x，则AC=4x，AB=5x． ∵（3x）2+（4x）2=（5x）2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C=3：4：5， ∴∠A=45°，∠5=60°，∠C=75°， ∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意．故选D． 针对训练 25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 求证：DE＝DF. D A B C E F 证明：∵AD是高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在Rt△ADB和Rt△ADC中 ∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）. ∴∠BAD＝∠CAD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°. 在Rt△ADE和Rt△ADF中 ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（AAS）. ∴DE＝DF. 针对训练 26.如图，点D，E分别在 AB，AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE，CD相交于点O，OB=OC.求证:∠1=∠2. 小虎同学的证明过程如下: (1)小虎同学的证明过程中， 第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程. 二 针对训练 (2)证明:∠ADC=∠AEB=90°， ∴∠BDC=∠CEB=90°， 在△DOB和△EOC中， ∴△DOB≌△EOC(AAS) ∴OD=OE， 在Rt△ADO和Rt△AEO中，， ∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)， ∴∠1=∠2. 针对训练 感谢聆听! $