第二十五章概率初步 第9讲 概率初步讲义2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

第9讲 概率初步 知识点1 随机事件与概率 随机事件的概念 在一定条件下，必然会发生的事件叫必然事件。 在一定条件下，一定不可能发生的事件叫不可能事件。 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件 概率的概念及意义 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。 ①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. ②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 【典例】 1.下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）太阳从西边落山； （2）a2+b2=﹣1（其中a、b都是实数）； （3）水往低处流； （4）三个人性别各不相同； （5）一元二次方程x2+2x+3=0无实数解； （6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯． 2.在一个不透明的口袋中装有大小、外形一模一样的5个红球、3个篮球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下是不确定、不可能事件、还是必然事件． （1）从口袋中一次任意取出一个球，是白球； （2）从口袋中一次任取5个球，全是篮球； （3）从口袋中一次任取5个球，只有篮球和白球，没有红球； （4）从口袋中一次任意取出6个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了． 3.掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率： （1）点数为偶数； （2）点数大于2且小于5． 4.已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球． （1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？ （2）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式． 【方法总结】 要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. ①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. ②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 【随堂练习】 1．如图，超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会，摇奖机是一个圆形转盘，被分成16等分，指针分别指向红、黄、蓝色区域，分获一、二、三获奖，奖金依次为60、50、40元． （1）分别计算获一、二、三等奖的概率． （2）老李一次性购物满了300元，摇奖一次，获奖的概率是多少？请你预测一下老李摇奖结果会有哪几种情况？ 2．布袋中放有x只白球、y只黄球、2只红球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是． （1）试写出y与x的函数关系式； （2）当x=6时，求随机地取出一只黄球的概率P． 3．一只不透明的袋子中装有a个白球，b个黄球和10个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是40%； （1）当a=8时，求摸到白球的概率； （2）若摸到黄球的概率是摸到白球的两倍，求a，b的值． 知识点2 用列举法求概率 用列表法和树状图法，求事件的概率 1. 列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，为了不重不漏地列举出所有可能的结果，我们采用列表法来求出某事件的概率． 2. 树状图法：当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法来求出某事件的概率．树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，像树的树丫形式，最末端的树丫个数就是总的可能的结果． 【典例】 1.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率． 2.如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3． （1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为　　； （2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）． 3.三个小球上分别标有-2，0，1三个数，这三个球除了标的数不同外，其余均相同、将小球放入一个不透明的布袋中搅匀. （1）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，再记下小球上所标之数，求两次记下之数的和大于0的概率.(请用“画树状图”或“列表”的方法给出分析过程，并求出结果) （2）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，将小球上所标之数再记下，…，这样一共摸了13次，若记下的13个数之和等于-4，平方和等于14，求：这13次摸球中，摸到球上所标之数是0的次数. 【方法总结】 求概率应掌握以下方法： 1. 直接公式法：，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数. 2. 求概率的一般步骤：①判断使用列表法或画树状图法：列表法一般适用于两步计算；画树状图法适用于两步及两步以上求概率；②不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果，并判断每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果数m；④用公式 求事件A发生的概率 3. 判断游戏的公平性：判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平. 4. 在重复实验计算概率的题中，第一次取出后放回，然后第二次再取出计算概率，做这类考题时要注意两次取得的结果总数是一致的，如果不放回，那么第二次取出的结果的总数比第一次少一种情况 【随堂练习】 1．为了提高学生书水平．我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分．根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图： 组别 成绩x分 频数（人数） 第1组 25≤x＜30 4 第2组 30≤x＜35 8 第3组 35≤x＜40 16 第4组 40≤x＜45 a 第5组 45≤x＜50 10 请结合图表完成下列各题： （1）求表中a的值，并把频数分布方图补充完整； （2）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率． 2．将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为x，再把剩下的两张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为y． （1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出（x，y）所有可能出现的结果． （2）求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P． 3．合肥合家福超市为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在三等分的转盘上依次标有“合”，“家”，“福”字样，购物每满200元可以转动转盘1次，转盘停下后，指针所指区域是“福”时，便可得到30元购物券（指针落在分界线上不计次数，可重新转动一次），一个顾客刚好消费400元，并参加促销活动，转了2次转盘． （1）求出该顾客可能获得购物券的最高金额和最低金额； （2）请用画树状图法或列表法求出该顾客获购物券金额不低于30元的概率． 知识点3用频率估计概率 用频率估计概率 实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个时间出现的频率，总在一个固定的数附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率 【典例】 1.在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　；（精确到0.1） （2）试估算口袋中白球有多少个？ （3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率．. 2.某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： （1）计算并完成表格： （2）请估计，当n很大时，频率将会接近　 　（精确到0.1） （3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是　 　，理由是：　 . 3.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　；（精确到0.1） （2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）=　 　； （3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？ 【方法总结】 1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率． 2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动．这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P． 3．利用频率估计出的概率是近似值. 【随堂练习】 1．盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据： 摸棋的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑棋的次数m 24 51 76 124 201 250 摸到黑棋的频率（精确到0.001） 0.240 0.255 0.253 0.248 0.251 0.250 （1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是____；（精确到0.01） （2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜色不同的概率，并说明理由 2．“东台西溪半程马拉松”的赛事共有两项：A、“半程马拉松”、B、“欢乐跑”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到两个项目组． （1）小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为____． （2）为估算本次赛事参加“半程马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 20 50 100 200 500 参加“半程马拉松”人数 15 33 72 139 356 参加“半程马拉松”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712 1 请估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为____．（精确到0.1） ②若本次参赛选手大约有3000人，请你估计参加“半程马拉松”的人数是多少？ 3．4件同型号的产品中，有l件不合格品和3件合格品． （1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测．请用列表法或画树状图的方法，求两次抽到的都是合格品的概率；（解答时可用A表示l件不合格品，用B、C、D分别表示3件合格品） （2）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检侧，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？ 综合运用：概率初步 1.有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，计算： （1）取到卡片号是7的倍数的情况有多少种？ （2）取到卡片号是7的倍数的概率是多少？ 2.在不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为． （1）试求袋中篮球的个数； （2）第一次任意摸出一个球（不放回），请画出树状图或列表的方法，求两次摸到都是白球的概率． 3.甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字． （1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果； （2）求出两个数字之积能被2整除的概率． 4.有4个完全一样的小球，上面分别标着数字，2，1，﹣3，﹣4．现随机摸出一个小球后不放回，将该小球上的数字记为m，再随机地摸出一个小球，将小球上的数字记为n． （1）请列表或画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果； （2）求 所选出的m，n能使一次函数y=mx+n 的图像经过第二、三、四象限的概率． 5.小明和小刚用如图所示的两个转盘各转一次做“配紫色”游戏，配成紫色（一红一蓝），小明得1分，否则小刚得1分． （1）这个游戏公平吗？为什么？ （2）如果不公平，如何修改规则才能使该游戏对双方公平？ 6.随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次统计共抽查了　名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为　　； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？ （4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率． 7.在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于6，那么小王去，否则就是小李去． （1）用树状图或列表法求出小王去的概率； （2）小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由． 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 概率初步 知识点1 随机事件与概率 随机事件的概念 在一定条件下，必然会发生的事件叫必然事件。 在一定条件下，一定不可能发生的事件叫不可能事件。 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件 概率的概念及意义 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。 ①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. ②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 【典例】 1.下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）太阳从西边落山； （2）a2+b2=﹣1（其中a、b都是实数）； （3）水往低处流； （4）三个人性别各不相同； （5）一元二次方程x2+2x+3=0无实数解； （6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯． 【解析】解：（1）太阳从西边落山、（3）水往低处流、（5）一元二次方程x2+2x+3=0无实数解是必然事件； （2）a2+b2=﹣1、（4）三个人性别各不相同是不可能事件， （6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯是随机事件． 2.在一个不透明的口袋中装有大小、外形一模一样的5个红球、3个篮球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下是不确定、不可能事件、还是必然事件． （1）从口袋中一次任意取出一个球，是白球； （2）从口袋中一次任取5个球，全是篮球； （3）从口袋中一次任取5个球，只有篮球和白球，没有红球； （4）从口袋中一次任意取出6个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了． 【解析】解：（1）可能发生，也可能不发生，是不确定事件； （2）一定不会发生，是不可能事件； （3）可能发生，也可能不发生，是不确定事件； （4）可能发生，也可能不发生，是不确定事件． 3.掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率： （1）点数为偶数； （2）点数大于2且小于5． 【解析】掷一个骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种．这些点数出现的可能性相等． （1）点数为偶数有3种可能，即点数为2，4，6， ∴P（点数为偶数）== （2）点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4， ∴P（点数大于2且小于5）= 4.已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球． （1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？ （2）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式． 【解析】解：（1）∵一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球， ∴从中随机抽取出一个黑球的概率是：； （2）∵往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是， ∴=， 则y=3x+5． 【方法总结】 要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. ①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. ②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 【随堂练习】 1．如图，超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会，摇奖机是一个圆形转盘，被分成16等分，指针分别指向红、黄、蓝色区域，分获一、二、三获奖，奖金依次为60、50、40元． （1）分别计算获一、二、三等奖的概率． （2）老李一次性购物满了300元，摇奖一次，获奖的概率是多少？请你预测一下老李摇奖结果会有哪几种情况？ 【解答】解：（1）整个圆周被分成了16份，红色为1份， ∴获得一等奖的概率为：； 整个圆周被分成了16份，黄色为2份， ∴获得二等奖的概率为：=； 整个圆周被分成了16份，蓝色为4份， ∴获得三等奖的概率为=； （2）∵共分成了16份，其中有奖的有1+2+4=7份， ∴P（获奖）=； 老李摇奖共有四种结果，一等奖、二等奖、三等奖、不中奖． 　 2．布袋中放有x只白球、y只黄球、2只红球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是． （1）试写出y与x的函数关系式； （2）当x=6时，求随机地取出一只黄球的概率P． 【解答】解：（1）因为布袋中放有x只白球、y只黄球、2只红球，且红球的概率是． 所以可得：y=14﹣x （2）把x=6，代入y=14﹣6=8， 所以随机地取出一只黄球的概率P== 　 3．一只不透明的袋子中装有a个白球，b个黄球和10个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是40%； （1）当a=8时，求摸到白球的概率； （2）若摸到黄球的概率是摸到白球的两倍，求a，b的值． 【解答】解：（1）根据题意得=40%，解得b=7， 所以摸到白球的概率==； （2）根据题意得=40%， 化简得a+b=15， 而b=2a， 所以a+2a=15，解得a=5， 所以b=10， 即a、b的值分别为5，10． 知识点2 用列举法求概率 用列表法和树状图法，求事件的概率 1. 列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，为了不重不漏地列举出所有可能的结果，我们采用列表法来求出某事件的概率． 2. 树状图法：当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法来求出某事件的概率．树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，像树的树丫形式，最末端的树丫个数就是总的可能的结果． 【典例】 1.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率． 【解析】解：列表得： 由列表可知可能出现的结果共9种，其中两次摸出的小球所标字母相同的情况数有3种， 所以该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率==． 2.如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3． （1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为　　； （2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）． 【解析】解：（1）∵在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个， ∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为， 故答案为：； （2）列表如下： 由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种， 所以这两个数字之和是3的倍数的概率为=． 3.三个小球上分别标有-2，0，1三个数，这三个球除了标的数不同外，其余均相同、将小球放入一个不透明的布袋中搅匀. （1）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，再记下小球上所标之数，求两次记下之数的和大于0的概率.(请用“画树状图”或“列表”的方法给出分析过程，并求出结果) （2）从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，将小球上所标之数再记下，…，这样一共摸了13次，若记下的13个数之和等于-4，平方和等于14，求：这13次摸球中，摸到球上所标之数是0的次数. 【解析】（1）解：根据题意画出树状图如解图： 所有等可能的情况数有9种，其中两次记下之数的和大于0的情况有3种， 则P= （2）解：设摸出-2、0、1的次数分别为x、y、z， 由题意得，， ③-②得，6x=18，解得x=3 把x=3代入②得，-2×3+z=-4，解得z=2， 把x=3，z=2代入①得，y=8， 所以，方程组的解是， 故摸到球上所标之数是0的次数为8. 【方法总结】 求概率应掌握以下方法： 1. 直接公式法：，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数. 2. 求概率的一般步骤：①判断使用列表法或画树状图法：列表法一般适用于两步计算；画树状图法适用于两步及两步以上求概率；②不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果，并判断每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果数m；④用公式 求事件A发生的概率 3. 判断游戏的公平性：判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平. 4. 在重复实验计算概率的题中，第一次取出后放回，然后第二次再取出计算概率，做这类考题时要注意两次取得的结果总数是一致的，如果不放回，那么第二次取出的结果的总数比第一次少一种情况 【随堂练习】 1．为了提高学生书水平．我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分．根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图： 组别 成绩x分 频数（人数） 第1组 25≤x＜30 4 第2组 30≤x＜35 8 第3组 35≤x＜40 16 第4组 40≤x＜45 a 第5组 45≤x＜50 10 请结合图表完成下列各题： （1）求表中a的值，并把频数分布方图补充完整； （2）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率． 【解答】解：（1）表中a的值是：a=50﹣4﹣8﹣16﹣10=12； 根据题意画图如下： （2）用A表示小宇、B表示小强，C、D表示其他两名同学， 根据题意画树状图如下： 从上图可知共有12种等可能情况，小宇与小强两名男同学分在同一组的情况有4种， 则小宇与小强两名男同学分在同一组的概率是P==． 2．将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为x，再把剩下的两张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为y． （1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出（x，y）所有可能出现的结果． （2）求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P． 【解答】解：（1）画树状图得： 由树状图知共有6种等可能的结果：（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，3）、（3，1）、（3，2）； （2）∵共有6种等可能结果，其中数字之和为偶数的有2种结果， ∴取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P==． 3．合肥合家福超市为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在三等分的转盘上依次标有“合”，“家”，“福”字样，购物每满200元可以转动转盘1次，转盘停下后，指针所指区域是“福”时，便可得到30元购物券（指针落在分界线上不计次数，可重新转动一次），一个顾客刚好消费400元，并参加促销活动，转了2次转盘． （1）求出该顾客可能获得购物券的最高金额和最低金额； （2）请用画树状图法或列表法求出该顾客获购物券金额不低于30元的概率． 【解答】解：（1）根据题意，该顾客可能获得购物券的最高金额为60元、最低金额为0元； （2）画树状图如下： 由树状图知，共有9种等可能结果，其中该顾客获购物券金额不低于30元的有5种结果， 所以该顾客获购物券金额不低于30元的概率为． 知识点3用频率估计概率 用频率估计概率 实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个时间出现的频率，总在一个固定的数附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率 【典例】 1.在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　；（精确到0.1） （2）试估算口袋中白球有多少个？ （3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率．. 【解析】解：（1）由题可得，当n很大时，摸到白球的频率接近0.5；故答案为：0.5； （2）由（1）摸到白球的概率为0.5， 所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=4×0.5=2（个）； （3）列表得： 由列表可得，共有16种等可能结果，其中两个球颜色相同的有4种可能． ∴P（颜色相同）==． 2.某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： （1）计算并完成表格： （2）请估计，当n很大时，频率将会接近　 　（精确到0.1） （3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是　 　，理由是：　 . 【解析】解：（1）填表如下： （2）当n很大时，频率将会接近（67+145+357+552+704+1396）÷ （100+200+500+800+1000+2000）≈0.7， 故答案为：0.7； （3）获得铅笔的概率约是0.7，理由是：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 3.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　；（精确到0.1） （2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）=　 　； （3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？ 【解析】解：（1）∵摸到白球的频率为0.6， ∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6． （2）∵摸到白球的频率为0.6， ∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）=0.6． （3）盒子里黑、白两种颜色的球各有40﹣24=16，40×0.6=24． 【方法总结】 1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率． 2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动．这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P． 3．利用频率估计出的概率是近似值. 【随堂练习】 1．盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据： 摸棋的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑棋的次数m 24 51 76 124 201 250 摸到黑棋的频率（精确到0.001） 0.240 0.255 0.253 0.248 0.251 0.250 （1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是____；（精确到0.01） （2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜色不同的概率，并说明理由 【解答】解：（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是0.25， 故答案为：0.25； （2）由（1）可知，黑棋的个数为4×0.25=1，则白棋子的个数为3， 画树状图如下： 由表可知，所有等可能结果共有12种情况， 其中这两枚棋颜色不同的有6种结果， 所以这两枚棋颜色不同的概率为． 2．“东台西溪半程马拉松”的赛事共有两项：A、“半程马拉松”、B、“欢乐跑”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到两个项目组． （1）小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为____． （2）为估算本次赛事参加“半程马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 20 50 100 200 500 参加“半程马拉松”人数 15 33 72 139 356 参加“半程马拉松”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712 1 请估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为____．（精确到0.1） ②若本次参赛选手大约有3000人，请你估计参加“半程马拉松”的人数是多少？ 【解答】解：（1）∵小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到两个项目组， ∴小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为：， 故答案为：； （2）①由表格中数据可得：本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为：0.7； 故答案为：0.7； 2 参加“迷你马拉松”的人数是：30000×0.7=2100（人）． 3．4件同型号的产品中，有l件不合格品和3件合格品． （1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测．请用列表法或画树状图的方法，求两次抽到的都是合格品的概率；（解答时可用A表示l件不合格品，用B、C、D分别表示3件合格品） （2）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检侧，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？ 【解答】解：（1） 共有12种情况，抽到的都是合格品的情况有6种， P（抽到的都是合格品）==； （2）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95， ∴抽到合格品的概率等于0.95， ∴=0.95， 解得：x=16． 综合运用：概率初步 1.有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，计算： （1）取到卡片号是7的倍数的情况有多少种？ （2）取到卡片号是7的倍数的概率是多少？ 【解析】解：从1到100的数字中，能被7整除的数为{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}共有14个数， （1）取到卡片号是7的倍数的情况有14种； （2）取到卡片号是7的倍数的概率是. 2.在不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为． （1）试求袋中篮球的个数； （2）第一次任意摸出一个球（不放回），请画出树状图或列表的方法，求两次摸到都是白球的概率． 【解析】解：（1）设篮球个数为x个，则由题意得： =， 解得 x=1， 即篮球有1个． （2）树状图如下： 所有可能结果共有12种，它们发生的可能性相等，其中两次摸到都是白球的有2种， ∴P（两个都是白球）=． 3.甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字． （1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果； （2）求出两个数字之积能被2整除的概率． 【解析】解：（1）画树状图为： （2）由树状图可知，共有6种等可能的结果数，其中两个数字之积能被2整除的结果数为4， 所以两个数字之积能被2整除的概率为=． 4.有4个完全一样的小球，上面分别标着数字，2，1，﹣3，﹣4．现随机摸出一个小球后不放回，将该小球上的数字记为m，再随机地摸出一个小球，将小球上的数字记为n． （1）请列表或画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果； （2）求 所选出的m，n能使一次函数y=mx+n 的图像经过第二、三、四象限的概率． 【解析】解：（1）画树状图得： 则（m，n）共有12种等可能的结果：（2，1），（2，﹣3），（2，﹣4），（1，2），（1，﹣3），（1，﹣4），（﹣3，2），（﹣3，1），（﹣3，﹣4），（﹣4，2），（﹣4，1），（﹣4，﹣3）； （2）∵所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图像经过第第二、三、四象限的有：（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3）， ∴所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图像经过第第二、三、四象限的概率==． 5.小明和小刚用如图所示的两个转盘各转一次做“配紫色”游戏，配成紫色（一红一蓝），小明得1分，否则小刚得1分． （1）这个游戏公平吗？为什么？ （2）如果不公平，如何修改规则才能使该游戏对双方公平？ 【解析】解：（1）列表如下： 共有40种等可能的结果数，其中配成紫色的占16种， 两个转盘各转一次小明得分=×1=， 小刚得分==×1=， 所以这个游戏不公平． （2）游戏规则为：两个转盘各转一次做“配紫色”游戏，配成紫色（一红一蓝），小明得3分，否则小刚得2分． 6.随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次统计共抽查了　名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为　　； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？ （4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率． 【解析】解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%， ∴此次共抽查了：20÷20%=100人 喜欢用QQ沟通所占比例为： =， ∴QQ”的扇形圆心角的度数为：360°×=108° （2）喜欢用短信的人数为：100×5%=5人 喜欢用微信的人数为：100﹣20﹣5﹣30﹣5=40 补充图形，如图所示： （3）喜欢用微信沟通所占百分比为：×100%=40% ∴该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：1500×40%=600人 （4）列出树状图，如图所示 所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况， 甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为： = 故答案为：（1）100；108° 7.在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于6，那么小王去，否则就是小李去． （1）用树状图或列表法求出小王去的概率； （2）小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由． 【解析】解：（1）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种， 所以P（小王）=； （2）不公平，理由如下： ∵P（小王）=，P（小李）=，≠， ∴规则不公平． 23 学科网（北京）股份有限公司 $