2025-2026学年北师大版九年级（2012）数学上册 期中模拟练习试卷（四）

期中模拟练习试卷（四）2025-2026学年北师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题） 1．下列各组数中，成比例的是（　　） A．1，﹣2，﹣3，﹣6 B．1，4，2，﹣8 C．5，6，2，3 D．，，1， 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，下列结论正确的是（　　） A．当平行四边形ABCD是矩形时，AO＝BO B．当平行四边形ABCD是正方形时，AC＝BC C．当平行四边形ABCD是菱形时，∠ABC＝90° D．当平行四边形ABCD是矩形时，AC⊥BD 3．有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是（　　） A． B． C． D． 4．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的上部设计高度约是（　　）（结果精确到0.01m．参考数据：1.414，1.732，2.236） A．0.73m B．0.76m C．1.24m D．1.27m 5．如图，已知l1∥l2∥l3，l4与l1，l2，l3分别交于A，B，C三点，l5与l1，l2，l3分别交于D，E，F三点．若AB＝1，BC＝2，，则图中长度为3的线段是（　　） A．EF B．DF C．BE D．FC 6．如图，矩形OABC在平面直角坐标系内，点B的坐标为（1，3），则对角线AC的长为（　　） A．4 B． C． D． 7．某公司今年4月的营业额为2500万，按计划第2季度的总营业额要达到9000万元，设该公司5，6月的营业额平均增长率为x，根据题意列方程（　　） A．2500（1+x）2＝9000 B．2500（1+x%）2＝9000 C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9000 D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9000 8．关于x的一元二次方程x2＝（a+1）x的根的情况是（　　） A．一定有两个实数根 B．一定有两个不相等的实数根 C．—定没有实数根 D．不能确定 9．如图，△ABC∽△DEF．若AB+BC+AC＝18cm，DE+EF+DF＝27cm，则（　　） A． B． C． D． 10．如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点．动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为（　　） A．2 B．2.5 C． D．4 二．填空题（共6小题） 11．若，且x+2y+3z＝40，则3x+4y+5z的值为 　 　 ． 12．如果m、n是一元二次方程x2﹣x＝5的两个实数根，则3n2﹣mn+3m＝ 　 　 ． 13．为估计鱼塘中鲢鱼的数量，渔业养殖户王大爷先从鱼塘中捞上200条鲢鱼，并在鲢鱼身上做上红色的记号，然后立即将这200条鲢鱼放回鱼塘中，一周后，王大爷又捕捞上400条鲢鱼，发现其中带有红色记号的鲢鱼有8条，据此可估计该鱼塘中鲢鱼约有　 　 条． 14．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝3m，树影BC＝4m，树与路灯的水平距离BP＝5m．则路灯的高度OP为　 　 ． 15．如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝4：1，BC＝10，则CE的长为　 　 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．用适当的方法解方程： （1）4（x+1）2＝36； （2）x2﹣2x+8＝0； （3）（y+3）（y﹣1）＝2； （4）． 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值． 19．百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（简称乙款），在DeepSeek（简称丙款）推出后更引发了广泛关注．现有甲、乙、丙三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是　 　 ； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评．求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接OE，若BD＝10，AD＝13，求线段OE的长． 21．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（2，1）、O（0，0）、B（1，﹣2）． （1）画出将△AOB向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的△A1O1B1； （2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出将△A1O1B1放大后的△A2O2B2； （3）判断△AOB与△A2O2B2，能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标． 22．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，有两动点P、Q分别在边AB、BC上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段AB按A→B方向向终点B运动，点Q沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥AC； （2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 23．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 24．【操作思考】 如图1，将正方形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形ABCD的内部，点A的对应点为点G，折痕为BE，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使BC与BG重合，折痕为BF． （1）求∠EBF的度数． 【探究应用】 将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结EF，作BF的中垂线分别交BE，BC于点P，H，连结PF，PA． （2）求证：2PE2+BF2＝2EF2． （3）若AE•BH＝10，求△EPF的面积． 期中模拟练习试卷（四）2025-2026学年北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B B A B D A A A 一．选择题（共10小题） 1．下列各组数中，成比例的是（　　） A．1，﹣2，﹣3，﹣6 B．1，4，2，﹣8 C．5，6，2，3 D．，，1， 【分析】根据比例的性质解决此题． 【解答】解：A．由﹣2×（﹣3）≠1×（﹣6），得1，﹣2，﹣3，﹣6不成比例，故A不符合题意． B．由4×2≠1×（﹣8），得1，4，2，﹣8不成比例，故B不符合题意． C．由6×2≠5×3，得5，6，2，3不成比例，故C不符合题意． D．由，得，，1，成比例，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键． 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，下列结论正确的是（　　） A．当平行四边形ABCD是矩形时，AO＝BO B．当平行四边形ABCD是正方形时，AC＝BC C．当平行四边形ABCD是菱形时，∠ABC＝90° D．当平行四边形ABCD是矩形时，AC⊥BD 【分析】根据矩形，菱形，正方形的性质逐项判断即可． 【解答】解：A、当平行四边形ABCD是矩形时，AO＝BO，结论正确，符合题意； B、当平行四边形ABCD是正方形时，AB＝BC，而，原结论错误，不符合题意； C、当平行四边形ABCD是正方形时，∠ABC＝90°，原结论错误，不符合题意； D、当平行四边形ABCD是矩形时，对角线不垂直，原结论错误，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了矩形，菱形，正方形的性质，掌握矩形，菱形，正方形的性质是关键． 3．有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况数，即可求出所求的概率． 【解答】解：根据题意列表得： 锁1 锁2 钥匙1 （锁1，钥匙1） （锁2，钥匙1） 钥匙2 （锁1，钥匙2） （锁2，钥匙2） 钥匙3 （锁1，钥匙3） （锁2，钥匙3） 所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种， 则随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是； 故选：B． 【点评】此题考查了树状图法或列表法求概率以及利用类比法解决问题，解题的关键是根据题意画出树状图或表格，再由概率＝所求情况数与总情况数之比求解． 4．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的上部设计高度约是（　　）（结果精确到0.01m．参考数据：1.414，1.732，2.236） A．0.73m B．0.76m C．1.24m D．1.27m 【分析】设雕像的下部高为xm，由黄金分割的定义得，求解即可． 【解答】解：设雕像的下部高为xm，则上部长为（2﹣x）m， 由题意可得：， ∴， ∴2﹣1.24＝0.76． ∴该雕像的上部设计高度约是0.76m． 故选：B． 【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键． 5．如图，已知l1∥l2∥l3，l4与l1，l2，l3分别交于A，B，C三点，l5与l1，l2，l3分别交于D，E，F三点．若AB＝1，BC＝2，，则图中长度为3的线段是（　　） A．EF B．DF C．BE D．FC 【分析】由l1∥l2∥l3，利用平行线分线段成比例，可求出EF＝3，此题得解． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴，即， ∴EF＝3， ∴图中长度为3的线段是EF． 故选：A． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 6．如图，矩形OABC在平面直角坐标系内，点B的坐标为（1，3），则对角线AC的长为（　　） A．4 B． C． D． 【分析】连接BO，由矩形的性质得到AC＝OB，再由坐标系中点到原点的距离计算公式求出OB的长即可得到答案． 【解答】解；连接OB，如图所示， ∵四边形OABC是矩形， ∴OB＝AC， ∵B（1，3）， ∴， 故选：B． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 7．某公司今年4月的营业额为2500万，按计划第2季度的总营业额要达到9000万元，设该公司5，6月的营业额平均增长率为x，根据题意列方程（　　） A．2500（1+x）2＝9000 B．2500（1+x%）2＝9000 C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9000 D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9000 【分析】设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x，根据计划第二季度的总营业额达到9100万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意，得：2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．关于x的一元二次方程x2＝（a+1）x的根的情况是（　　） A．一定有两个实数根 B．一定有两个不相等的实数根 C．—定没有实数根 D．不能确定 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可判断． 【解答】解：∵方程可变形为x2﹣（a+1）x＝0，Δ＝[﹣（a+1）]2≥0， ∴方程一定有两个实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 9．如图，△ABC∽△DEF．若AB+BC+AC＝18cm，DE+EF+DF＝27cm，则（　　） A． B． C． D． 【分析】先由相似三角形的对应边的比等于周长比，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB+BC+AC＝18cm，DE+EF+DF＝27cm， ∴（相似三角形的对应边的比等于周长比）， 则， 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键． 10．如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点．动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为（　　） A．2 B．2.5 C． D．4 【分析】根据运动轨迹可得△APD的面积先增大，再减小，当点P运动到点C时，△APD的面积最大，此时△APD的面积为4，即可求得AC，再利用三角形中位线定理即可解答． 【解答】解：根据题意动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动过程中，△APD的面积先增大，再减小， 当点P运动到点C时，△APD的面积最大， 根据函数图象可得此时△APD的面积为4， 如图， ∵点D为边AB的中点，等腰直角三角形ABC， ∴， 可得 AC＝4， 当点P运动到CB的中点时，如图， ∵点D为边AB的中点， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形，得到当点P运动到点C时，△APD的面积最大是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．若，且x+2y+3z＝40，则3x+4y+5z的值为 　76　 ． 【分析】利用设k法，进行计算即可解答． 【解答】解：设k， ∴x＝2k，y＝3k，z＝4k， ∵x+2y+3z＝40， ∴2k+6k+12k＝40， 20k＝40， k＝2， ∴x＝4，y＝6，z＝8， ∴3x+4y+5z＝3×4+4×6+5×8 ＝12+24+40 ＝36+40 ＝76， 故答案为：76． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键． 12．如果m、n是一元二次方程x2﹣x＝5的两个实数根，则3n2﹣mn+3m＝ 　23　 ． 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到n2＝n+5，则3n2﹣mn+3m可化为3（m+n）﹣mn+15，再根据根与系数的关系得到m+n＝1，mn＝﹣5，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵n是一元二次方程x2﹣x＝5的实数根， ∴n2﹣n＝5， ∴n2＝n+5， ∴3n2﹣mn+3m＝3（n+5）﹣mn+3m＝3（m+n）﹣mn+15， ∵m、n是一元二次方程x2﹣x＝5的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣5， ∴3n2﹣mn+3m＝3×1﹣（﹣5）+15＝23． 故答案为：23． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了一元二次方程的解． 13．为估计鱼塘中鲢鱼的数量，渔业养殖户王大爷先从鱼塘中捞上200条鲢鱼，并在鲢鱼身上做上红色的记号，然后立即将这200条鲢鱼放回鱼塘中，一周后，王大爷又捕捞上400条鲢鱼，发现其中带有红色记号的鲢鱼有8条，据此可估计该鱼塘中鲢鱼约有　10000　 条． 【分析】根据“通过样本去估计总体”的统计思想，捕捞上400条鲢鱼，发现其中带有红色记号的鲢鱼有8条，说明带有红色记号的占到，而带有红色记号的共有200条，从而可求得总数． 【解答】解：根据“通过样本去估计总体”的统计思想，捕捞上400条鲢鱼，发现其中带有红色记号的鲢鱼有8条，说明带有红色记号的占到， ∵捕捞上400条鲢鱼，发现其中带有红色记号的鲢鱼有8条， ∴带有红色记号的鲢鱼的比例为， ∴据此可估计该鱼塘中鲢鱼约有（条）， 故答案为：10000． 【点评】本题考查了用样本估计总体，深刻理解统计的思想——“用样本的信息来估计总体的信息”是解题的关键． 14．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝3m，树影BC＝4m，树与路灯的水平距离BP＝5m．则路灯的高度OP为　　 ． 【分析】根据AB∥OP，得到△ABC∽△OPC，得到，代入相关数据即可求解． 【解答】解：∵OP⊥PC，AB⊥PC， ∴AB∥OP， ∴△ABC∽△OPC， ∴， ∵AB＝3，BC＝4，BP＝5， ∴PC＝BP+BC＝9， ∴： ∴， ∴路灯的高度OP为． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键． 15．如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝4：1，BC＝10，则CE的长为　　 ． 【分析】过点D作DH∥AE交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可． 【解答】解：过点D作DH∥AE交BC于H， ∴，， ∵D是AC的中点，BF：FD＝4：1，BC＝10， ∴CD＝DA，BF＝4FD， ∴1，4， ∴CH＝HE，BE＝4EH， ∴BE＝2CE， ∴10＝BC＝BE+CE＝2CE+CE， ∴CE， 即CE的长为． 故选：． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为　（3，2）　 ． 【分析】根据位似图形的概念得到BC∥EF，，根据相似三角形的性质计算，分别求出OB、BC，得到答案． 【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3， ∴BC∥EF，， ∴△OBC∽△OEF，BC＝2， ∴，即， ∴OB＝3， ∴点C的坐标为（3，2）， 故答案为：（3，2）． 【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的对应边平行是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．用适当的方法解方程： （1）4（x+1）2＝36； （2）x2﹣2x+8＝0； （3）（y+3）（y﹣1）＝2； （4）． 【分析】（1）利用直接开平方法求出方程的解即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）整理后，利用配方法求出方程的解即可； （4）利用因式分解法求出方程的解即可． 【解答】解：（1）4（x+1）2＝36， （x+1）2＝9， ∴x+1＝±3， ∴x1＝2，x2＝﹣4； （2）x2﹣2x+8＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×1×8＝﹣28＜0， ∴原方程无解； （3）（y+3）（y﹣1）＝2， y2+2y﹣5＝0， y2+2y+1＝6，即（y+1）2＝6， ∴y+1， ∴y1＝﹣1，y2＝﹣1； （4）， （x﹣1）2＝0， ∴x﹣1＝0， ∴x1＝x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能性质适当的方法解方程是解此题的关键． 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根为x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值． 【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+9＞0，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2，代入x1+x2+3x1x2＝1得出关于m的方程，解之可得答案． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣2） ＝4m2+4m+1﹣4m+8 ＝4m2+9＞0， ∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系，得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m﹣2， 由x1+x2+3x1x2＝1，得2m+1+3（m﹣2）＝1， 解得m． 【点评】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q． 19．百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（简称乙款），在DeepSeek（简称丙款）推出后更引发了广泛关注．现有甲、乙、丙三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是　　 ； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评．求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到丙款的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人选择的聊天机器人互不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到丙款的结果有1种， ∴抽到丙款的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： 乙 丙 甲 （甲，乙） （甲，丙） 乙 （乙，乙） （乙，丙） 丙 （丙，乙） （丙，丙） 共有6种等可能的结果，其中两人选择的聊天机器人互不相同的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙），（丙，乙），共4种， ∴两人选择的聊天机器人互不相同的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接OE，若BD＝10，AD＝13，求线段OE的长． 【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再证∠AEC＝90°，即可得出结论； （2）由菱形的性质得OB＝OD＝5，OA＝OC，AC⊥BD，再由勾股定理得OA＝12，则AC＝24，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC． ∵CF∥AE， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形； （2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝ODBD＝5，OA＝OC，AC⊥BD， ∴OA12， ∴AC＝2OA＝24， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴OEAC＝12． 【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键． 21．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（2，1）、O（0，0）、B（1，﹣2）． （1）画出将△AOB向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的△A1O1B1； （2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出将△A1O1B1放大后的△A2O2B2； （3）判断△AOB与△A2O2B2，能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标． 【分析】（1）根据点平移的坐标变换特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）根据关于以原点为位似中心的对应点的特征得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可； （3）延长A2A、B2B、O2O，它们的交点为位似中心点Q，从而得到点Q的坐标． 【解答】解：（1）如图，△A1O1B1为所作； （2）如图，△A2O2B2为所作； （3）△AOB与△A2O2B2关于点Q为位似中心的位似图形， 如图，点Q为所作，Q点的坐标为（6，﹣2）． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了平移变换． 22．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，有两动点P、Q分别在边AB、BC上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段AB按A→B方向向终点B运动，点Q沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥AC； （2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【分析】（1）根据平行线的性质判定△BPQ∽△BAC，得到，表示出BP＝10﹣t，BQ＝2t，代入比例式，解方程即可； （2）分△PBQ∽△ABC和△QBP∽△ABC分别讨论即可． 【解答】解：（1）当PQ∥AC时，△BPQ∽△BAC， ∴， ∵AB＝AC＝10，BC＝12， ∴BP＝10﹣t，BQ＝2t， ∴， ∴， 当时，PQ∥AC； （2）∵BP＝10﹣t，BQ＝2t，∠ABC＝∠PBQ， 当△QBP∽△ABC时，， 即， ∴； ∴当△PBQ∽△ABC时， 同（1）可得：； ∴当或时，以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键． 23．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【分析】（1）依据题意，列出每天销售T恤衫的利润计算即可得解； （2）依据题意，设此时每件T恤衫降价x元，从而每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050，进而计算后再由优惠最大，即可判断得解； （3）依据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200，求出x的值，再由每件T恤衫的利润率不低于55%，可得100﹣x﹣60≥60×55%，得出x的范围后即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，每天销售T恤衫的利润为：（100﹣8﹣60）（20+2×8）＝1152（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）由题意，设此时每件T恤衫降价x元， ∴每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050． ∴x＝5或x＝25． 又∵优惠最大， ∴x＝25． ∴此时售价为100﹣25＝75（元）． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元． （3）小明每天不能获得1200元的利润，理由如下： 根据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200， ∴x2﹣30x+200＝0． ∴x1＝10，x2＝20． ∵每件T恤衫的利润率不低于55%， ∴100﹣x﹣60≥60×55%． ∴x≤7． ∴x无解． ∴小明每天不能获得1200元的利润． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题时要能读懂题意，列出方程是关键． 24．【操作思考】 如图1，将正方形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形ABCD的内部，点A的对应点为点G，折痕为BE，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使BC与BG重合，折痕为BF． （1）求∠EBF的度数． 【探究应用】 将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结EF，作BF的中垂线分别交BE，BC于点P，H，连结PF，PA． （2）求证：2PE2+BF2＝2EF2． （3）若AE•BH＝10，求△EPF的面积． 【分析】（1）由正方形的性质得∠BAD＝90°，再由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，即可求解； （2）由线段垂直平分线性质可得PF＝PB，再由等腰三角形性质可得∠PFB＝∠PBF＝45°，推出PF⊥BE，即△BFP是等腰直角三角形，得出BF2＝2PF2，利用勾股定理可得PE2+PF2＝EF2，即可证得结论； （3）过点P作BC的平行线分别交AB、CD于点M、N，可证得△BPM≌△PFN（AAS），得BM＝PN，再证得△EAP∽△BPH，得出AE•BH＝PE•PB＝10，即PE•PF＝10，即可求得答案． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°， 由折叠得：∠ABE＝∠EBG∠ABG，∠CBF＝∠FBG∠CBG， ∴∠EBF＝∠EBG+∠FBG （∠ABG+∠CBG） ∠ABC＝×90° ＝45°， 故∠EBF的度数为45°． （2）证明：如图，由（1）知∠EBF＝45°， ∵PH垂直平分BF， ∴PF＝PB， ∴∠PFB＝∠PBF＝45°， ∴∠BPF＝∠EPF＝90°， ∴△BFP是等腰直角三角形， ∴BF2＝2PF2， 在Rt△EFP中，PE2+PF2＝EF2， ∴2PE2+2PF2＝2EF2， ∴2PE2+BF2＝2EF2． （3）解：如图3，过点P作BC的平行线分别交AB、CD于点M、N， 则MN⊥AB，MN⊥CD， ∴∠PMB＝∠FNP＝90°， ∴∠MBP+∠MPB＝90°， ∵∠BPF＝90°， ∴∠NPF+∠MPB＝90°， ∴∠MBP＝∠NPF， ∵PB＝PF， ∴△BPM≌△PFN（AAS）， ∴BM＝PN， 在正方形ABCD中，AB∥CD，BC＝AB， ∴四边形MBCN是平行四边形，∠AEP＝∠PBH， ∴MN＝BC＝AB， ∴MN﹣NP＝AB﹣MB， 即MP＝AM， ∵∠AMP＝90°， ∴△APM是等腰直角三角形， ∴∠APM＝∠PAM＝45°， ∴∠EAP＝∠BAD﹣∠PAM＝90°﹣45°＝45°， ∵PH⊥BF，∠PBF＝45°， ∴∠BPH＝45°， ∴∠EAP＝∠BPH， ∴△EAP∽△BPH， ∴， ∴AE•BH＝PE•PB， ∵AE•BH＝10， ∴PE•PB＝10， ∵PB＝PF， ∴PE•PF＝10， ∴S△EPFPE•PF10＝5． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、平行四边形的判定和性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积、相似三角形的判定和性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出∠EBF＝45°是解题的关键，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/27 16:59:37；用户：张思雨；邮箱：18366661343；学号：24445058 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $