2025-2026学年北师大版九年级（2012）数学上册 期中模拟练习试卷（三）

期中模拟练习试卷（三）2025-2026学年北师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题） 1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．OA⊥OB B．∠BAC＝∠ACB C．OA＝OB D．AD＝AB 2．小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（　　） A．64° B．66° C．68° D．70° 3．如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（　　） A．（4，3） B．（5，3） C．（5，4） D． 4．若x＝1是一元二次方程（m+3）x2﹣mx+m2﹣12＝0的其中一个解，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．2 5．用配方法解一元二次方程2x2+8x﹣3＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x+4）2＝11 B．（x﹣4）2＝11 C．2（x+2）2＝11 D．2（x﹣2）2＝11 6．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A．25（1﹣x）2＝20.25 B．20.25（1+x）2＝25 C．20.25（1﹣x）2＝25 D．25（1﹣2x）＝20.25 7．“七巧板”是我国古代的一种拼图玩具，由5块等腰直角三角形，1块正方形和1块平行四边形薄板组成．如图①是小明用正方形纸板制作的七巧板，图②是用该七巧板拼出的狐狸图案的飞镖盘，若小明每次扔飞镖时，飞镖都能掷在狐狸上，则随机投掷一次，掷在狐狸头部的概率是（　　） A． B． C． D． 8．如图，这是一把折叠椅子及其侧面的示意图，线段AE和BD相交于点C，点F在AE的延长线上，测得AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，若∠BAC＝60°，则∠DEF的度数为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 9．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接BE，AC相交于点F，过F作AD的平行线交AB于点G，若FG＝2，则BC的值是（　　） A．6 B．5 C．8 D．4 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（　　） A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（，3） D．（﹣3，2） 二．填空题（共6小题） 11．正方形ABCD的周长为8cm，顺次连接正方形各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的面积等于 　 　 cm2． 12．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是 　 　 ． 13．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是 　 　 ． 14．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝18cm，A′B′＝12cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为　 　 cm． 15．如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD，若，AC＝3，则BD＝ 　 　 ． 16．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，沿EF翻折后，点B落在边CD上的G处，若EG⊥CD，BE＝4，DG＝3，则AE的长为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．解方程． （1）x2﹣4x＝7； （2）3x（2x+1）＝4x+2． 18．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值． 19．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF． 20．如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，且，连接DE，CE． （1）求证AB＝DE； （2）若AB＝AC，试判断四边形AECD的形状，并写出理由． 21．电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破148.87亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人，D申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率： （1）第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为 　 　 ； （2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率． 22．如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 23．如图△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒． （1）若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值； （2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形，若，求PQ的长． 24．如图，矩形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H． （1）求证：△EDP∽△PCH． （2）若P为CD中点，且AB＝6，BC＝9，求GH长． 期中模拟练习试卷（三）2025-2026学年北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A C A A A A A 一．选择题（共10小题） 1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．OA⊥OB B．∠BAC＝∠ACB C．OA＝OB D．AD＝AB 【分析】由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，∠ADC＝90°，AD＝BC，AD∥BC，OA，OB， ∴OA⊥OB，∠BAC＝∠ACB不一定成立，OA＝OB，一定成立，AB＝AD一定不成立， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（　　） A．64° B．66° C．68° D．70° 【分析】根据作图可得四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【解答】解：作图可得AB＝AD＝BC＝DC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，∠ABD＝∠CBD 由条件可得∠MBC＝∠A＝44°， ∴∠CBD68°， 故选：C． 【点评】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，随时来找我以上知识点是关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（　　） A．（4，3） B．（5，3） C．（5，4） D． 【分析】首先根据菱形的性质求出AB的长度，再利用勾股定理求出DO的长度，进而得到点C的坐标． 【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点D在y轴上， ∴AB＝AO+OB＝5， ∴AD＝AB＝CD＝5， ∴DO， ∴点C的坐标是：（5，）． 故选：D． 【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出DO的长度． 4．若x＝1是一元二次方程（m+3）x2﹣mx+m2﹣12＝0的其中一个解，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．2 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝1代入方程得m2﹣9＝0，然后解关于m的一元二 次方程即可． 【解答】解：把x＝1代入方程（m+3）x2﹣mx+m2﹣12＝0得： m+3﹣m+m2﹣12＝0， 解得m＝±3， 由m+3≠0得m≠﹣3， ∴m＝3， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 5．用配方法解一元二次方程2x2+8x﹣3＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x+4）2＝11 B．（x﹣4）2＝11 C．2（x+2）2＝11 D．2（x﹣2）2＝11 【分析】利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答． 【解答】解：2x2+8x﹣3＝0， x2+4x0， x2+4x， x2+4x+44， （x+2）2， 即2（x+2）2＝11， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键． 6．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A．25（1﹣x）2＝20.25 B．20.25（1+x）2＝25 C．20.25（1﹣x）2＝25 D．25（1﹣2x）＝20.25 【分析】利用该款燃油汽车今年4月份的售价＝该款燃油汽车今年2月份的售价×（1﹣该款汽车这两月售价的月平均降价率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：25（1﹣x）2＝20.25． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．“七巧板”是我国古代的一种拼图玩具，由5块等腰直角三角形，1块正方形和1块平行四边形薄板组成．如图①是小明用正方形纸板制作的七巧板，图②是用该七巧板拼出的狐狸图案的飞镖盘，若小明每次扔飞镖时，飞镖都能掷在狐狸上，则随机投掷一次，掷在狐狸头部的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据几何概率的求法：飞镖掷在狐狸头部的概率是就是狐狸头部的面积与总面积的比值． 【解答】解：∵七巧板的面积是8个空白正方形的面积，而狐狸头部是2个空白正方形的面积， ∴随机投掷一次，掷在狐狸头部的概率是． 故选：A． 【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 8．如图，这是一把折叠椅子及其侧面的示意图，线段AE和BD相交于点C，点F在AE的延长线上，测得AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，若∠BAC＝60°，则∠DEF的度数为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 【分析】根据已知易得：，从而可得△ACB∽△ECD，然后利用相似三角形的性质可得∠BAC＝∠DEC＝60°，从而利用平角定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm， ∴，， ∴， ∵∠ACB＝∠DCE， ∴△ACB∽△ECD， ∴∠BAC＝∠DEC＝60°， ∴∠DEF＝180°﹣∠DEC＝120°， 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 9．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接BE，AC相交于点F，过F作AD的平行线交AB于点G，若FG＝2，则BC的值是（　　） A．6 B．5 C．8 D．4 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得AD＝BC＝2AE，AD∥BC，在证明△AFG∽△ACB，△BFG∽△BEA，利用相似三角形的性质即可得解． 【解答】解：∵E是AD的中点， ∴AD＝2AE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝2AE，AD∥BC， ∵AD∥FG， ∴AD∥FG∥BC， ∴△AFG∽△ACB，△BFG∽△BEA， ∴，， ∴， 解得BC＝6， 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质即可得解． 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（　　） A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（，3） D．（﹣3，2） 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【解答】解：∵①号“E”与②号“E”是位似图形，位似比为2：1，点P（﹣6，9）， ∴点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（﹣6，9），即（﹣3，）， 故选：A． 【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 二．填空题（共6小题） 11．正方形ABCD的周长为8cm，顺次连接正方形各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的面积等于 　2　 cm2． 【分析】由条件可求得正方形ABCD的边长，在Rt△AEH中可求得EH，则可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝90°， ∵正方形ABCD的周长为8cm， ∴AB＝AD＝2cm， 又∵E、H为AB、AD的中点， ∴AE＝EHAB＝1cm， 在Rt△AEH中，由勾股定理可求得EHcm， ∴正方形EFGH的面积为EH2＝（）2＝2cm2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查中点四边形，正方形的性质，掌握正方形的四边相等且每个角都为直角是解题的关键． 12．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是 　13　 ． 【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，再根据三角形三边的关系确定第三边长的长，然后计算三角形的周长． 【解答】解：x2﹣6x+8＝0， （x﹣2）（x﹣4）＝0， x﹣2＝0或x﹣4＝0， 解得x1＝2，x2＝4， 当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去， 当x＝4时，三角形三边分别为3、6、4，三角形的周长是3+6+4＝13， 故答案为：13． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系． 13．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是 m≥﹣1且m≠0　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式并计算即可． 【解答】解：∵一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4m•（﹣1）≥0，且m≠0， 解得：m≥﹣1且m≠0． 故答案为：m≥﹣1且m≠0． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，一元二次方程有实数根”是解题的关键． 14．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝18cm，A′B′＝12cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为　20　 cm． 【分析】过点O作OC⊥AB，垂足为C，过点O作OD⊥A′B′，垂足为D，根据题意可得：AB∥A′B′，从而可得∠OAB＝∠OA′B′，∠OBA＝∠OB′A′，进而可得△OAB∽△OA′B′，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，过点O作OD⊥A′B′，垂足为D， 由题意得：AB∥A′B′， ∴∠OAB＝∠OA′B′，∠OBA＝∠OB′A′， ∴△OAB∽△OA′B′， ∴， ∴， 解得：OD＝20， ∴小孔O到A′B′的距离为20cm， 故答案为：20． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15．如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD，若，AC＝3，则BD＝ 　9　 ． 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可． 【解答】解：∵AC∥BD， ∴△AOC∽△BOD， ∵， ∴△AOC与△BOD的周长比为1：3， 即△AOC与△BOD的相似比为1：3， ∴， ∴BD＝3AC＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 16．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，沿EF翻折后，点B落在边CD上的G处，若EG⊥CD，BE＝4，DG＝3，则AE的长为 　　 ． 【分析】作BH⊥CD交DC的延长线于点H，因为EG⊥CD，所以BH∥EG，由四边形ABCD是菱形，得AB＝BC＝CD，BE∥GH，则四边形BEGH是平行四边形，所以GH＝BE＝4，由折叠得GE＝BE＝4，则BH＝GE＝4，所以DH＝DG+GH＝7，由勾股定理得42+（7﹣AB）2＝AB2，求得AB，所以AE＝AB﹣BE，于是得到问题的答案． 【解答】解：作BH⊥CD交DC的延长线于点H，则∠H＝90°， ∵EG⊥CD， ∴BH∥EG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AB＝BC＝CD， ∴BE∥GH， ∴四边形BEGH是平行四边形， ∴GH＝BE＝4， 由折叠得GE＝BE＝4， ∴BH＝GE＝4， ∵DG＝3， ∴DH＝DG+GH＝3+4＝7， ∵BH2+CH2＝BC2，CH＝7﹣CD＝7﹣AB， ∴42+（7﹣AB）2＝AB2， 解得AB， ∴AE＝AB﹣BE4， 故答案为：． 【点评】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．解方程． （1）x2﹣4x＝7； （2）3x（2x+1）＝4x+2． 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【解答】解：（1）x2﹣4x＝7， ∴x2﹣4x+4＝11， ∴（x﹣2）2＝11， ∴， 解得：，． （2）3x（2x+1）＝4x+2， ∴3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0， ∴（2x+1）（3x﹣2）＝0， ∴2x+1＝0或3x﹣2＝0， 解得：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是关键． 18．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值． 【分析】（1）求出Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（2k+4）＝k2，可知Δ≥0，故x2﹣（k+4）x+2k+4＝0总有两个实数根； （2）先求出x1+x2与x1•x2的值，代入代数式进行计算即可． 【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（2k+4） ＝k2+8k+16﹣8k﹣16 ＝k2， ∵k2≥0， ∴Δ≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝k+4，x1•x2＝2k+4， ∴（x1﹣2）（x2﹣2） ＝x1•x2﹣2x1﹣2x2+4 ＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4 ＝2k+4﹣2（k+4）+4 ＝2k+4﹣2k﹣8+4 ＝0． 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2是解题的关键． 19．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF． 【分析】先根据BE＝3，EC＝6得出BC的长，进而可得出AB的长，由相似三角形的判定定理即可得出结论． 【解答】证明：∵BE＝3，EC＝6，CF＝2， ∴BC＝3+6＝9， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°， ∵，， ∴， ∴△ABE∽△ECF． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 20．如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，且，连接DE，CE． （1）求证AB＝DE； （2）若AB＝AC，试判断四边形AECD的形状，并写出理由． 【分析】（1）证明四边形ABDE是平行四边形，即可得出结论； （2）先证四边形ADCE是平行四边形，再证AC＝DE，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CDBC， ∵AEBC， ∴AE＝BD， ∵AE∥BC， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AB＝DE； （2）解：四边形ADCE是矩形， ∵AEBC，BD＝CDBC， ∴AE＝CD， ∵AE∥BC， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵AB＝DE，AB＝AC， ∴AC＝DE， ∴四边形ADCE是矩形． 【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 21．电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破148.87亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人，D申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率： （1）第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为 　　 ； （2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的结果有1种， ∴第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果有：（A，C），（C，A），共2种， ∴取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 22．如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设边AB的长为x米，则AD＝（80﹣4x）米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可获得答案； （2）由（1）可得x（80﹣4x）＝440，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案． 【解答】解：（1）设边AB的长为x米，则AD＝77﹣4x+3＝（80﹣4x）米， 根据题意可得x（80﹣4x）＝300， 解得x1＝5，x2＝15， ∵墙的最大可用长度为30米，且当x＝5时，AD＝80﹣4×5＝60（米），不合题意， ∴x＝15米． 答：边AB的长为15米； （2）若羊圈的总面积能为440平方米， 则结合（1）可得 x（80﹣4x）＝440， 整理，得 x2﹣20x+110＝0， ∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×110＝﹣40＜0， ∴羊圈的总面积不能为440平方米． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键． 23．如图△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒． （1）若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值； （2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形，若，求PQ的长． 【分析】（1）由△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求得BD与CD的长，又由a＝2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值； （2）过点P作PE⊥BC于E，由四边形PQCM为平行四边形，易证得PB＝PQ，又由平行线分线段成比例定理，即可得方程，解此方程即可求得答案； 【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，D是BC的中点，∴， ∵a＝2， ∴BP＝2tcm，DQ＝tcm， ∴BQ＝BD﹣QD＝6﹣t（cm）， ∵△BPQ∽△BDA， ∴， 即， 解得：； （2）过点P作PE⊥BC于E， ∵四边形PQCM为平行四边形， ∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ＝CM， ∴PB：AB＝CM：AC， ∵AB＝AC， ∴PB＝CM， ∴PB＝PQ， ∴， ∵， ∴， ∵AD⊥BC， ∴PE∥AD， ∴PB：AB＝BE：BD， 即， 解得：，∴； 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及等腰三角形的性质等知识．注意数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键． 24．如图，矩形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H． （1）求证：△EDP∽△PCH． （2）若P为CD中点，且AB＝6，BC＝9，求GH长． 【分析】（1）由矩形的性质得∠D＝∠C＝90°，由折叠得∠EPG＝∠A＝90°，则∠DEP＝∠CPH＝90°﹣∠DPE，所以△EDP∽△PCH； （2）由CD＝AB＝6，AD＝BC＝9，得PD＝PC＝3，PE＝AE＝9﹣ED，则32+ED2＝（9﹣ED）2，求得ED＝4，则PE＝5，由相似三角形的性质得，则HPPE，而PG＝AB＝6，所以GH＝PG﹣HP． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠C＝90°， ∵将四边形ABFE沿EF翻折，点A的对称点P落在CD上， ∴∠EPG＝∠A＝90°， ∴∠DEP＝∠CPH＝90°﹣∠DPE， ∴△EDP∽△PCH． （2）解：∵CD＝AB＝6，AD＝BC＝9，P为CD中点， ∴PD＝PCCD＝3，PE＝AE＝9﹣ED， ∵PD2+ED2＝PE2， ∴32+ED2＝（9﹣ED）2， ∴解得ED＝4， ∴PE＝9﹣4＝5， ∵△EDP∽△PCH， ∴， ∴HPPE5， ∵PG＝AB＝6， ∴GH＝PG﹣HP＝6， ∴GH长为． 【点评】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出∠DEP＝∠CPH，进而证明△EDP∽△PCH是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/27 16:40:20；用户：张思雨；邮箱：18366661343；学号：24445058 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $