2025-2026学年北师大版九年级数学上册 期中模拟练习试卷（二）

期中模拟练习试卷（二）2025-2026学年北师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题） 1．用配方法解方程x2﹣2x＝1时，配方后所得的方程（　　） A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2 2．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等 3．榫卯结构是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（　　） A． B． C． D． 4．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（　　） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410 5．如图，D是△ABC的边BC的中点，F是AD上一点，且AF：FD＝1：2，连接BF并延长，交AC于点E，则AE：CE的值为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．3：4 6．如图，矩形ABCD∽矩形EFGH，已知AB＝3，BC＝5，EF＝6，则FG的长为（　　） A． B．10 C．11 D．12 7．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（　　） A．①对角相等 B．②对角线互相垂直 C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等 8．为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A．（n+1）2＝1641 B．（n﹣1）2＝1641 C．n（n+1）＝1641 D．1+n+n2＝1641 9．如图，Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，AD平分∠BAC，EF∥AC，S△ADC＝2，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．数学实践课上老师用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线AC＝20，则图（1）中菱形的对角线BD的长为（　　） A． B．20 C． D． 二．填空题（共6小题） 11．若关于x的一元二次方程4x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为 　 　 ． 12．如图所示，线段BC，EF分别表示标杆AB，DE在地面上的影子，则这种投影应该是 　 　 （选填“中心投影”或“平行投影”）． 13．如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点B的坐标为（4，m），点D的坐标为（n，2），则m+n的值为 　 　 ． 14．一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两根为x1，x2，则的值为 　 　 ． 15．符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是　 　 ． 16．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝3，矩形外一点E满足∠EAD＝∠ECD，点O为对角线BD的中点，则OE的长度为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．解下列方程： （1）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法解）； （2）（2﹣3x）+（3x﹣2）2＝0（用因式法解）； （3）x2﹣18＝7x（用公式法解）． 18．如图，在△ABC和△ADE中，已知，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABC∽△ADE． 19．如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，求转出的数字是1的概率； （2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之和为正数的概率． 20．如图，数学活动课上；为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小菲的眼睛离地面高度AB为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离BC为2m，镜子与旗杆的水平距离CD为10m，则旗杆DE高度为多少米？ 21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（1，3）． （1）将△ABC向左平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△A1B1C1放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到△A2B2C2，在所给的网格中画出△A2B2C2； （3）若点D（a，b）是△ABC内的一点，经过（1）、（2）两次变换，点D的对应点D2的坐标是 　 　 ．（用含a，b的代数式表示） 22．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，BD＝2，求OE和CE的长． 23．如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 24．问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE． 问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG． 问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值． 期中模拟练习试卷（二）2025-2026学年北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B D C B A D A C 一．选择题（共10小题） 1．用配方法解方程x2﹣2x＝1时，配方后所得的方程（　　） A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2 【分析】根据配方法即可求出答案． 【解答】解：∵x2﹣2x＝1， ∴（x﹣1）2＝2， 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 2．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等 【分析】根据矩形的平行四边形的性质判断即可． 【解答】解：A、平行四边形与矩形都具有两组对边分别相等的性质，故A不符合题意； B、平行四边形与矩形都具有两条对角线互相平分的性质，故B不符合题意； C、平行四边形与矩形都不具有两条对角线互相垂直的性质，故C不符合题意； D、平行四边形的两条对角线不相等，矩形具有两条对角线相等的性质，故D符合题意． 故选：D． 【点评】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和平行四边形的性质解答． 3．榫卯结构是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：榫从正面看，是选项B的图形． 故选：B． 【点评】此题主要考查了简单组合体三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型． 4．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（　　） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410 【分析】利用大量重复实验时的频率可估计概率求解即可． 【解答】解：随着累计抽测学生数的增大，近视的学生数与n的比值逐渐稳定于0.410， 所以对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是0.410， 故选：D． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 5．如图，D是△ABC的边BC的中点，F是AD上一点，且AF：FD＝1：2，连接BF并延长，交AC于点E，则AE：CE的值为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．3：4 【分析】过点D作DH∥BE，交AC于H，根据平行线分线段成比例定理得到CH＝HE，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案． 【解答】解：如图，过点D作DH∥BE，交AC于H， 则， ∵D是△ABC的边BC的中点， ∴CD＝DB， ∴CH＝HE， ∵DH∥BE， ∴AE：EH＝AF：FD＝1：2， ∴AE：CE＝1：4， 故选：C． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理，找准对应关系是解题的关键． 6．如图，矩形ABCD∽矩形EFGH，已知AB＝3，BC＝5，EF＝6，则FG的长为（　　） A． B．10 C．11 D．12 【分析】根据相似多边形的性质得，进行计算即可得． 【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形EFGH， ∴， ∴， ∵AB＝3，BC＝5，EF＝6， ∴， ∴FG10， 故选：B． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟知相似多边形对应边的比相等是解题的关键． 7．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（　　） A．①对角相等 B．②对角线互相垂直 C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等 【分析】依据矩形、菱形、正方形的判定定理，即可判断． 【解答】解：A、对角相等的平行四边形不一定是矩形， ∴此选项填写错误， 故A符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴此选项填写正确， 故B不符合题意； C、有一组邻边相等的矩形是正方形， ∴此选项填写正确， 故C不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形， ∴此选项填写正确， 故D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，解答本题的关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法． 8．为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A．（n+1）2＝1641 B．（n﹣1）2＝1641 C．n（n+1）＝1641 D．1+n+n2＝1641 【分析】根据两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，列出方程即可． 【解答】解：第一轮传播人数为：1+n，第二轮又增加n2， 由题意，得：1+n+n2＝1641； 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 9．如图，Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，AD平分∠BAC，EF∥AC，S△ADC＝2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，过点D作DM⊥AC交AC于点M，作DG⊥AB交AB于点G，作DH⊥BC交BC于点H，连接BD，勾股定理求出AC，根据S△ADC＝2，求出DM，角平分线的性质得出，根据等面积法求出DH，证明四边形BHDG是矩形，得出∠GDH＝90°，BG＝DH，结合EF∥AC，证出AE＝DE，在Rt△DEG中，勾股定理列方程求出x，证明△EDG∽△DFH，即可解答． 【解答】解：过点D作DM⊥AC交AC于点M，作DG⊥AB交AB于点G，作DH⊥BC交BC于点H，连接BD， ∵AB＝3，BC＝4，∠B＝90°， ∴， ∵S△ADC＝2， ∴， 解得：， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∵S△ABC＝S△ADC+S△ADB+S△BDC， ∴， 解得：， ∵∠ABC＝∠BGD＝∠DHB＝90°， ∴四边形BHDG是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）， ∴， ∵EF∥AC， ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）， ∴∠2＝∠3， ∴AE＝DE， 设AE＝DE＝x， 则， ∴， 解得：x＝1， ∵∠EGD＝∠DHF＝90°，∠EDG＝∠DCH＝90°﹣∠CDH， ∴△EDG∽△DFH， ∴， 故选：A． 【点评】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，矩形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，掌握以上知识点． 10．数学实践课上老师用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线AC＝20，则图（1）中菱形的对角线BD的长为（　　） A． B．20 C． D． 【分析】利用正方形性质和等腰直角三角形，得到，连接菱形中的AC，BD相交于点O，证明△ABC为等边三角形，进而得到∠ACB＝60°，利用菱形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD，利用直角三角形的性质和勾股定理得到OB，进而可得BD，即可解题． 【解答】解：∵正方形中对角线AC＝20，∠ACB＝45°，CD2+AD2＝AB2， ∴， 连接菱形中的AC，BD相交于点O． ∴AC⊥BD． ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形，OB＝OD， ∴∠ACB＝60°，∠OBC＝30°， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查正方形性质，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．若关于x的一元二次方程4x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为 　　 ． 【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣5）2﹣4×4×c＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣5）2﹣4×4×c＝0， 解得c． 故答案为：． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 12．如图所示，线段BC，EF分别表示标杆AB，DE在地面上的影子，则这种投影应该是 　中心投影　 （选填“中心投影”或“平行投影”）． 【分析】根据在同一时刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子为BC与EF，连接AC、DF并延长交于点O，据此判断即可； 【解答】解：如图所示，光线AC、DF相交于点O，所以此光源下形成的投影是中心投影． 故答案为：中心投影． 【点评】本题考查了中心投影，正确的作出图形是解题的关键． 13．如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点B的坐标为（4，m），点D的坐标为（n，2），则m+n的值为 　﹣6　 ． 【分析】根据菱形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（横坐标与纵坐标互为相反数）可得结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且对角线交于原点O， ∴点D与点B关于原点成中心对称， ∴n＝﹣4，m＝﹣2， ∴m+n＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了菱形的性质、中心对称的性质，熟知菱形是中心对称图形是解题的关键． 14．一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两根为x1，x2，则的值为 　﹣7　 ． 【分析】先把x＝x1代入x2﹣5x+3＝0得出，结合，，代入进行计算，即可作答． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两根为x1，x2， ∴把x＝x1代入x2﹣5x+3＝0得出， ∵x2﹣5x+3＝0， 则，， ∴ ＝﹣3+5﹣3×3 ＝﹣7， 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查了一元二次方程的解以及一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是关键． 15．符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是　2　 ． 【分析】利用黄金分割的定义得到ACAB，BDAB，则AC+BD＝（1）AB，即可解决问题． 【解答】解：∵C、D两点都是AB的黄金分割点， ∴ACAB，BDAB， ∴AC+BD＝（1）AB， 即AB+CD＝（1）AB， ∴AB2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． 16．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝3，矩形外一点E满足∠EAD＝∠ECD，点O为对角线BD的中点，则OE的长度为 　　 ． 【分析】连接AC，根据矩形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质即可得到结论． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是矩形，点O为对角线BD的中点， ∴AC过点O，∠ADC＝90°， 设AD，CE交于G， ∵∠AGE＝∠CGD，∠EAD＝∠ECD， ∴∠AEG＝∠CDG＝90°， ∵AO＝CO， ∴OE， ∵BC＝6，AB＝3， ∴AC3， ∴OEAC， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，正确得作出辅助线是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．解下列方程： （1）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法解）； （2）（2﹣3x）+（3x﹣2）2＝0（用因式法解）； （3）x2﹣18＝7x（用公式法解）． 【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2，再计算即可求解； （2）提取公因式（3x﹣2），利用因式分解法求解即可； （3）求得根的判别式，再利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）整理得x2﹣2x， 配方得x2﹣2x+11，即（x﹣1）2， 则x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1； （2）整理得（3x﹣2）2﹣（3x﹣2）＝0， 因式分解得（3x﹣2）[（3x﹣2）﹣1]＝0， 即3x﹣3＝0，3x﹣2＝0， ∴x1＝1，； （3）整理得x2﹣7x﹣18＝0， a＝1，b＝﹣7，c＝﹣18， Δ＝（﹣7）2﹣4×1×（﹣18）＝121＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴x1＝9，x2＝﹣2． 【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 18．如图，在△ABC和△ADE中，已知，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABC∽△ADE． 【分析】由得，再由∠BAD＝∠CAE得∠DAE＝∠BAC，进而可得结论． 【解答】证明：∵， ∴， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC， ∴△ABC∽△ADE． 【点评】本题主要考查了三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 19．如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，求转出的数字是1的概率； （2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之和为正数的概率． 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）根据题意列出图表得出所有等情况数，找出两次分别转出的数字之和为正数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）∵标有数字“1”的扇形的圆心角为120°， ∴转出的数字是1的概率是； （2）∵数字“1”的扇形的圆心角为120°， ∴数字“3”的扇形的圆心角为120°， ∴两个“﹣2”总的扇形的圆心角也为120°， 根据题意列表如下： 1 ﹣2 3 1 2 ﹣1 4 ﹣2 ﹣1 ﹣4 1 3 4 1 6 共有9种等可能的情况数，其中两次分别转出的数字之和为正数的有6种， 则两次分别转出的数字之和为正数的概率是． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20．如图，数学活动课上；为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小菲的眼睛离地面高度AB为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离BC为2m，镜子与旗杆的水平距离CD为10m，则旗杆DE高度为多少米？ 【分析】根据镜面反射性质，可求出∠ACB＝∠DCE，再利用垂直证△ABO∽△CDO；然后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【解答】解：如图：∵AB⊥BD，DE⊥BD， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， 根据镜面的反射性质得∠ACB＝∠DCE， ∴△ABC∽△EDC， ∴， ∵AB＝1.6m，BC＝2m，CD＝10m， 即， ∴DE＝8（m）， 答：旗杆高度为8米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例是解题关键． 21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（1，3）． （1）将△ABC向左平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△A1B1C1放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到△A2B2C2，在所给的网格中画出△A2B2C2； （3）若点D（a，b）是△ABC内的一点，经过（1）、（2）两次变换，点D的对应点D2的坐标是 　（﹣2a+10，﹣2b）　 ．（用含a，b的代数式表示） 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）根据位似的性质作图即可． （3）根据平移和位似的性质作图可得答案． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）经过（1）变换，点D（a，b）的对应点D1的坐标是（a﹣5，b）， 经过（2）变换，点D1（a﹣5，b）的对应点D2的坐标是（﹣2a+10，﹣2b）． 故答案为：（﹣2a+10，﹣2b）． 【点评】本题考查作图﹣位似变换、作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质、位似的性质是解答本题的关键． 22．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，BD＝2，求OE和CE的长． 【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DCA＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论； （2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB∥DC， ∴∠OAB＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD， ∵AB＝AD， ∴CD＝AD＝AB， ∵AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，BD⊥AC， ∵CE⊥AB， ∴OE＝OA＝OC， ∵BD＝2， ∴， 在Rt△AOB中，，OB＝1， ∴， ∴OE＝OA＝2． ∵， ∴． 【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键． 23．如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设边AB的长为x米，则AD＝（80﹣4x）米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可获得答案； （2）由（1）可得x（80﹣4x）＝440，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案． 【解答】解：（1）设边AB的长为x米，则AD＝77﹣4x+3＝（80﹣4x）米， 根据题意可得x（80﹣4x）＝300， 解得x1＝5，x2＝15， ∵墙的最大可用长度为30米，且当x＝5时，AD＝80﹣4×5＝60（米），不合题意， ∴x＝15米． 答：边AB的长为15米； （2）若羊圈的总面积能为440平方米， 则结合（1）可得 x（80﹣4x）＝440， 整理，得 x2﹣20x+110＝0， ∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×110＝﹣40＜0， ∴羊圈的总面积不能为440平方米． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键． 24．问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE． 问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG． 问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值． 【分析】（1）根据中点可得出两边对应成比例且夹角相等得两个三角形相似； （2）由中点和平行线可以联想作倍长中线全等，即延长FE交DA延长线于点M，作FH⊥AD于点H，证△AME≌△BFE（AAS），再证△MFH≌△BDC（SAS）即可得证； （3）这一问是建立在第二问的基础上，所以很容易想到构造相似通过线段关系转化求解，过F作FM⊥AD于点M，取BD中点H，连接AF，设CF＝a，则AM＝DM＝CF＝a，AD＝CD＝2a＝MF，AFa，证FE垂直平分AB得到AF＝BFa，再证△EGH∽△FGB即可求解． 【解答】（1）证明：∵E、F分别是AB和BC中点， ∴，， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD， ∴， ∵∠EBF＝∠C＝90°， ∴△BCD∽△FBE； （2）方法一：如图延长FE交DA延长线于点M，作FH⊥AD于点H，则四边形CDHF是矩形． ∵E是AB中点， ∴AE＝BE， ∵AM∥BC， ∴∠AME＝∠BFE，∠MAE＝∠FBE， ∴△AME≌△BFE（AAS）， ∴AM＝BF， ∵AD＝2CF，CF＝DH， ∴AH＝DH＝CF， ∴AM+AH＝BF+CF，即MH＝BC， ∵FH＝CD，∠MHF＝∠BCD＝90°， ∴△MFH≌△BDC（SAS）， ∴∠AMF＝∠CBD， 又∵∠AMF＝∠BFG， ∴∠CBD＝∠BFG， ∴BG＝FG； 方法二：如图，取BD中点H，连接EH、CH， ∵E是AB中点，H是BD中点， ∴EHAD，EH∥AD， ∵AD＝2CF， ∴EH＝CF， ∵AD∥BC， ∴EH∥CF， ∴四边形EHCF是平行四边形， ∴EF∥CH， ∴∠HCB＝∠GFB， ∵∠BCD＝90°，H是BD中点， ∴CHBD＝BH， ∴∠HCB＝∠HBC， ∴∠GFB＝∠HBC， ∴BG＝FG； （3）如图，过F作FM⊥AD于点M，取BD中点H，连接AF，则四边形CDMF是矩形， ∴CF＝DM， ∵AD＝2CF， ∴AM＝DM＝CF， 设CF＝a，则AM＝DM＝CF＝a，AD＝CD＝2a＝MF， ∴AFa， ∵AG＝FG，BG＝FG， ∴AG＝BG， ∵E是AB中点， ∴FE垂直平分AB， ∴BF＝AFa， ∵H是BD中点， ∴EH是△ABD中位线， ∴EHAD＝a，EH∥AD∥BC， ∴△EGH∽△FGB， ∴． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半以及中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识和添加辅助线是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/27 16:23:59；用户：张思雨；邮箱：18366661343；学号：24445058 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $