2025-2026学年北师大版九年级（2012）数学上册 期中模拟练习试卷（一）

期中模拟练习试卷（一）2025-2026学年北师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题） 1．方程x2＝x的解为（　　） A．x＝1 B．x＝±1 C．x＝0或1 D．x＝0 2．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是2，1，0，﹣1，卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之和为正数的概率是（　　） A． B． C． D． 3．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 4．如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3． （1）以点A为圆心，任意长为 半径作弧，与∠A的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接DC，BC. 则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 7．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（　　） A．∠AED＝∠B B． C．AD•BC＝DE•AC D．∠ADE＝∠C 8．某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（　　） A．（30﹣x）（20﹣x）20×30 B．（30﹣2x）（20﹣x）20×30 C．30x+2×20x20×30 D．（30﹣2x）（20﹣x）20×30 9．如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为（　　）米． A．1.8 B．2 C． D． 10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP、EF．给出下列结论：①PDEC；②四边形PECF的周长为8；③AP＝EF；④EF的最小值为3，其中结论正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题） 11．已知，则的值为 　 　 ． 12．一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为 　 　 个． 13．如图，在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是 　 　 ． 14．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　 ． 15．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝72°，E为对角线BD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，∠F＝38°，则∠CEF＝ 　 　 °． 16．如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，使∠A3OA4＝60°……按此规律进行下去，点A2023的坐标是 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．用指定的方法解方程： （1）2x2﹣8x﹣1＝0（配方法）； （2）3x2﹣5x+1＝0（公式法）； （3）x2﹣6x﹣27＝0（因式分解法）； （4）2（3x﹣2）＝9x2﹣4（用适当的方法）． 18．关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围； （2）若方程两实根x1，x2满足，求m的值． 19．随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游，每次出游只能选一条路线． “跟着悟空游山西”二日游推荐路线 A．临汾线：小西天、广胜寺、铁佛寺 B．长治线：观音堂、紫庆寺 C．朔州线：尝福寺、应县木塔 D．晋中线：平遥镇国寺、平遥双林寺 （1）小米家选A路线的概率是　 　 ； （2）如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭从上面四条路线中各选一条路线去游玩，请用树状图或列表的方法求出两家恰好选同一条路线的概率． 20．已知：如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别过点A，B作AE∥BD，BE∥AC，连接CE交BD于点F． （1）求证：△BEF≌△OCF； （2）当∠ABC满足什么条件时，四边形OAEB为菱形？请说明理由． 21．“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的20万人增加到2024年的33.8万人． （1）求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率． （2）某网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为50元时，12月份售出了150组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加10组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利3060元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 22．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝4.6m，木板到墙的水平距离为CD＝4m．图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求反射点B到木板的距离（即BC的长）； （2）求灯泡到地面的高度AG． 23．（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．请直接写出BD和CE的数量关系． （2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．若，AB＝6，求BF的长． 期中模拟练习试卷（一）2025-2026学年北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C D D C B D C 一．选择题（共10小题） 1．方程x2＝x的解为（　　） A．x＝1 B．x＝±1 C．x＝0或1 D．x＝0 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：原方程变形为：x2﹣x＝0， ∴x（x﹣1）＝0， ∴x＝0或x＝1． 故选：C． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 2．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是2，1，0，﹣1，卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之和为正数的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上数字之和为正数的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图如下： 由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之和为正数的结果有8种， 所以抽取的两张卡片上数字之和为正数的概率为； 故选：C． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 3．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【分析】把a＝2，b＝﹣3，c＝1代入判别式Δ＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况． 【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．掌握当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根是解题关键． 4．如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴， ∵AC＝CG， ∴， 故A正确，不符合题意； ∵CD∥EF， ∴， ∵AC＝CG，AG＝FG， ∴FG＝2CG， ∴EG＝2DG， ∴， 故B正确，不符合题意； ∵AB∥CD∥EF， ∴， ∵AG＝FG， ∴BG＝EG， ∴BE＝2BG， ∵， ∴BG＝2DG， ∵BE＝4DG， ∴， 故C错误，符合题意； ∵CD∥EF， ∴ ∵BG＝2DG，BE＝4DG， ∴DE＝3DG， ∴， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐一分析四个结论的正误是解题的关键． 5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则（　　） A． B． C． D． 【分析】先证明△AOB是等边三角形，得出OB＝AB，再由矩形的性质得出AC＝2AB，最后利用勾股定理求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O， ∴AC＝BD，OA＝OBAC， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OB＝AB， ∴AC＝2AB， ∴BCAB， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用及勾股定理，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键． 6．如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3． （1）以点A为圆心，任意长为 半径作弧，与∠A的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接DC，BC. 则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 【分析】由作图得AB＝AD＝CB＝CD，即可根据“四条边相等的四边形是菱形”证明四边形ABCD是菱形，于是得到问题的答案． 【解答】解：由作图得AB＝AD，CB＝CD＝AD， ∴AB＝AD＝CB＝CD， ∵四条边相等的四边形是菱形， ∴四边形ABCD是菱形， 故选：D． 【点评】此题重点考查尺规作图、菱形的判定定理等知识，根据“四条边相等的四边形是菱形“证明四边形ABCD是菱形是解题的关键． 7．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（　　） A．∠AED＝∠B B． C．AD•BC＝DE•AC D．∠ADE＝∠C 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB， 故A正确，不符合题意； ∵，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB， 故B正确，不符合题意； ∵AD•BC＝DE•AC， ∴，无法判断△ADE∽△ACB， 故C符合题意， ∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 8．某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（　　） A．（30﹣x）（20﹣x）20×30 B．（30﹣2x）（20﹣x）20×30 C．30x+2×20x20×30 D．（30﹣2x）（20﹣x）20×30 【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得． 【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）20×30， 故选：B． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系． 9．如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为（　　）米． A．1.8 B．2 C． D． 【分析】过点P作PM⊥BE，垂足为M，交AF于点N，根据题意，设FA＝x米，由3FD＝2FA得，，证明△PAF∽△PBE，得出，根据PN+MN＝PM列出方程，解方程即可求解． 【解答】解：如图，过点P作PM⊥BE，垂足为M，交AF于点N， 则PM＝1.6，设FA＝x米， 由3FD＝2FA得，， ∵四边形ACDF是矩形， ∴AF∥CD， ∴△PAF∽△PBE， ∴， 即， ∴， ∵PN+MN＝PM， ∴， 解得，， 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，解题的关键是掌握相似、矩形的性质． 10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP、EF．给出下列结论：①PDEC；②四边形PECF的周长为8；③AP＝EF；④EF的最小值为3，其中结论正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①证明△PDF是等腰直角三角形，则PDPFCE，即可判断； ②根据①可知四边形PECF为矩形，则四边形PECF的周长＝2BC＝8，即可判断； ③证明△ADP≌△CDP，则AP＝PC，根据矩形对角线相等得PC＝EF，即可判断； ④当AP⊥BD时，即APBD＝2时，EF的最小值等于2，即可判断． 【解答】解：连接PC，如图， ∵BD是正方形的对角线，则∠PDF＝45°， 而PF⊥CD，则△PDF为等腰直角三角形， ∴PDPF， ∵PE⊥BC， ∴∠PEC＝∠PFC＝90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°， ∴四边形PECF是矩形， ∴CE＝PF， ∴PDCE； 故①正确； ∵四边形PECF为矩形， ∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8； 故②正确； ∵四边形PECF为矩形， ∴PC＝EF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDP， 在△ADP和△CDP中， ， ∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∴AP＝PC， ∴AP＝EF； 故③正确； 由EF＝PC＝AP， ∴当AP最小时，EF最小， 则当AP⊥BD时，即APBD＝2时，EF的最小值等于2； 故④不正确； 综上，①②③正确，结论正确的个数为3个， 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．已知，则的值为 　　 ． 【分析】利用比例的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵， ∴设a＝2k，b＝3k， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 12．一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为 　16　 个． 【分析】设白球有x个，利用概率公式列出关于x的分式方程，解分式方程即可求解． 【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，发现摸到白球的频率稳定于0.8， ∴发现摸到白球的频率稳定于0.8， 设白球的个数有x个， 根据题意，得：0.8， 解得x＝16， 经检验x＝16是分式方程的解， ∴估计箱子里白球的个数为16． 故答案为：16． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是 　（，2）　 ． 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【解答】解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，A（2，3）， ∴点A1的坐标是（2，3），即点A1的坐标是（，2）， 故答案为：（，2）． 【点评】本题考查的是位似图形的概念、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 14．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞1且k≠2　 ． 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出Δ＝22﹣4（k﹣2）×（﹣1）＞0且k﹣2≠0，求出k的取值范围即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝22﹣4（k﹣2）×（﹣1）＞0且k﹣2≠0， 解得：k＞1且k≠2， 故答案为：k＞1且k≠2． 【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于k的不等式是解此题的关键． 15．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝72°，E为对角线BD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，∠F＝38°，则∠CEF＝ 　32　 °． 【分析】根据菱形性质得AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，AD∥BC，进而得∠DAB＝108°，∠DAF＝∠F＝38°，则∠BAE＝70°，证明△ABE和△CBE全等得∠BAE＝∠BCE＝70°，然后根据三角形的外角性质即可得出∠CEF的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°，∠DAF＝∠F， ∵∠ABC＝72°，∠F＝38°， ∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝108°，∠DAF＝∠F＝38°， ∴∠BAE＝∠DAB﹣∠DAF＝70°， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴∠BAE＝∠BCE＝70°， ∵∠BCE是△CEF的外角， ∴∠BCE＝∠F+∠CEF， ∴∠CEF＝∠BCE﹣∠F＝70°﹣38°＝32°． 故答案为：32． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，使∠A3OA4＝60°……按此规律进行下去，点A2023的坐标是 　（22022，0）　 ． 【分析】先通过解直角三角形依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，然后运用规律即可解答． 【解答】解：如图：过A3作A3B⊥x轴， ∵A1的坐标为（1，0）， ∴OA1＝1， ∵∠A1OA2＝60°， ∴， ∴A2的坐标为， ∵∠A2OA3＝60°， ∴， ∵∠A3OA4＝60°，A3B⊥x， ∴， ∴A3的坐标为， 同理可得：A4的坐标为（﹣8，0），A5的坐标为，A6的坐标为，A7的坐标为（64，0）， … 由上可知，A点的方位是每6个循环， 与第一点方位相同的点在x轴正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0， 与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2， 与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2， 与第四点方位相同的点在x轴负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0， 与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2， 与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2， ∵2023÷6＝337…1， ∴点A2023的方位与点A1的方位相同，在x轴上，其横坐标为2n﹣1＝22022，纵坐标为0， ∴点A2023的坐标是（22022，0）． 故答案为：（22022，0）． 【点评】本题主要考查了点的坐标的规律探索、解直角三角形等知识点，求出前面7个点的坐标并发现规律是解答本题的关键． 三．解答题（共7小题） 17．用指定的方法解方程： （1）2x2﹣8x﹣1＝0（配方法）； （2）3x2﹣5x+1＝0（公式法）； （3）x2﹣6x﹣27＝0（因式分解法）； （4）2（3x﹣2）＝9x2﹣4（用适当的方法）． 【分析】（1）把﹣1移到等号的右边，方程两边同时除以2把二次项系数化为1，然后等号两边同时加上一次项一半的平方，再开方求解即可； （2）首先找出方程中a、b和c的值，求出Δ，进而代入求根公式求出方程的解即可； （3）利用十字相乘法，将原方程左边整理为两个一次因式的乘积，最后解一元一次方程即可； （4）利用平方差公式将方程右边分解因式，再移项，提取公因式，进而整理为两个一次因式的乘积，最后解一元一次方程即可． 【解答】解：（1）原方程移项得，2x2﹣8x＝1， ∴， ∴， 则， ∴或， 解得x1＝2，x2＝2； （2）3x2﹣5x+1＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （3）∵x2﹣6x﹣27＝0， ∴（x﹣9）（x+3）＝0， ∴x﹣9＝0或x+3＝0， ∴x1＝9，x2＝﹣3； （4）2（3x﹣2）＝9x2﹣4， 2（3x﹣2）＝（3x﹣2）（3x+2）， 2（3x﹣2）﹣（3x﹣2）（3x+2）＝0， （3x﹣2）（2﹣3x﹣2）＝0， 3x﹣2＝0或2﹣3x﹣2＝0， ∴，x2＝0． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 18．关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围； （2）若方程两实根x1，x2满足，求m的值． 【分析】（1）当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0，列式计算出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入，再根据Δ的取值确定m的值． 【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2m﹣3）2﹣4×1×（m2+1）＞0， ∴， 则当时，方程有两个不相等的实数根； （2）∵x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0 ∴x1+x2＝﹣2m+3，， ∵， ∴， ∴m2+4 m﹣5＝0， ∴m1＝1，m2＝﹣5， ∵方程两实根， ∴Δ＝（2m﹣3）2﹣4×1×（m2+1）≥0， ∴， ∴m＝﹣5． 【点评】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2． 19．随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游，每次出游只能选一条路线． “跟着悟空游山西”二日游推荐路线 A．临汾线：小西天、广胜寺、铁佛寺 B．长治线：观音堂、紫庆寺 C．朔州线：尝福寺、应县木塔 D．晋中线：平遥镇国寺、平遥双林寺 （1）小米家选A路线的概率是　　 ； （2）如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭从上面四条路线中各选一条路线去游玩，请用树状图或列表的方法求出两家恰好选同一条路线的概率． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中小米家选A路线的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两家恰好选同一条路线的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中小米家选A路线的结果有1种， ∴小米家选A路线的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中两家恰好选同一条路线的结果有4种， ∴两家恰好选同一条路线的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 20．已知：如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别过点A，B作AE∥BD，BE∥AC，连接CE交BD于点F． （1）求证：△BEF≌△OCF； （2）当∠ABC满足什么条件时，四边形OAEB为菱形？请说明理由． 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形得OA＝OC，证明四边形OAEB是平行四边形，则有OA＝BE＝OC，然后根据AAS证明△BEF≌△OCF即可； （2）证出四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得出OA＝OB，即可得出四边形OAEB为菱形； 【解答】（1）证明：▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE∥BD，BE∥AC， ∴OA＝OC，四边形OAEB是平行四边形，∠BEF＝∠OCF， ∴OA＝BE， ∴BE＝OC， 在△BEF和△OCF中， ， ∴△BEF≌△OCF（AAS）； （2）解：当∠ABC＝90°时，四边形OAEB为菱形；理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AO＝CO＝BO＝DO， ∵AE∥BD，BE∥AC， ∴四边形OAEB是平行四边形， ∴四边形OAEB为菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． 21．“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的20万人增加到2024年的33.8万人． （1）求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率． （2）某网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为50元时，12月份售出了150组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加10组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利3060元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 【分析】（1）设该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2022年的20万人增加到2024年的33.8万人，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设该哑铃组每组应降价m元，则1月份销售量为（150+10m）组，根据该网店计划1月份售卖哑铃组获利3060元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为x， 由题意得：20（1+x）2＝33.8， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）， 答：该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为30%； （2）设该哑铃组每组应降价m元，则1月份销售量为（150+10m）组， 由题意得：（50﹣m﹣30）（150+10m）＝3060， 整理得：m2﹣5m+6＝0， 解得：m1＝2（不符合题意，舍去），m2＝3， 答：该哑铃组每组应降价3元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝4.6m，木板到墙的水平距离为CD＝4m．图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求反射点B到木板的距离（即BC的长）； （2）求灯泡到地面的高度AG． 【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出BC的长； （2）证明△BGA∽△BFC，根据相似三角形的性质列方程进而求出AG的长． 【解答】解：（1）由题意可得：FC∥DE， ∴△BFC∽△BED， ∴， 即， 解得：BC＝3， 经检验，BC＝3是上述分式方程的解， ∴BC的长为3m； （2）∵AC＝4.6m， ∴AB＝4.6﹣3＝1.6（ m）， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴∠FBC＝∠GBA， 又∵∠FCB＝∠GAB， ∴△BGA∽△BFC， ∴， ∴， 解得：AG＝0.8（ m）， ∴灯泡到地面的高度AG为0.8m． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． 23．（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．请直接写出BD和CE的数量关系． （2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．若，AB＝6，求BF的长． 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论； （2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果； （3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果． 【解答】解：（1）BD＝CE，理由如下： ∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°，AD＝AE，AB＝AC， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠DAE＝∠BAC＝45°，， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△BAD∽△CAE， ∴； （3）①∵∠ABC＝∠ADE＝90°，，设AB＝3a， ∴△ABC∽△ADE，BC＝4a，AC＝5a． ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△CAE∽△BAD， ∴； ②由①得：△CAE∽△BAD，AB＝6，，则AC＝10 ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠AGC＝∠BGF， ∴△BGF∽△CGA， ∴． ∴BF． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/27 15:58:27；用户：张思雨；邮箱：18366661343；学号：24445058 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $