3.1.2椭圆的简单几何性质 对点训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2椭圆的简单几何性质 精准对点训练（教师版） 精准对点：①椭圆的方程，焦点，长轴，短轴，离心率，对称性，取值范围；②点与椭圆的位置关系；③弦长问题. 必备知识： 1.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：(0，0) 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝，e∈(0，1) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 2.点与椭圆的位置关系 已知点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则 (1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1. (2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1. (3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1. 解题通法： (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系． ②利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系． (2)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．　 精准对点训练题目： 一、单选题 1．中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据长短轴的比值可得，再由以及，可求得椭圆方程. 【详解】由题意可得，即， 又，即， 联立并代入可得， 解得 所以椭圆方程为. 故选：B 2．当时，曲线与曲线（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【知识点】求共焦点的椭圆方程、求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题得曲线表示焦点在轴上的椭圆，曲线，表示焦点在轴上的椭圆，再依次讨论各选项即可. 【详解】因为，故曲线表示焦点在轴上的椭圆，且， 所以，其长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为. 因为曲线，表示焦点在轴上的椭圆，所以其长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为. 故当时，曲线与曲线焦距相等. 故选：D. 3．已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值、求椭圆中的最值问题 【分析】根据点点距离公式即可结合二次函数的性质求解. 【详解】设是椭圆上的一个动点，则，， 由于，故当时，取最大值， 故选：C 4．已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、点和椭圆的位置关系 【分析】由直线与圆没有公共点得，再利用放缩法得，可判断点与椭圆的位置关系. 【详解】直线与圆没有公共点， 圆心到直线的距离，即， ， 又， 点在椭圆内部. 故选：A. 5．过椭圆的中心作直线交椭圆于两点，是的一个焦点，则周长的最小值为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】B 【知识点】椭圆的对称性、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】利用椭圆的定义和对称性，转化的周长，即可求解. 【详解】设的另一个焦点为，根据椭圆的对称性知， 所以的周长为， 当线段为椭圆短轴时，有最小值6，所以的周长的最小值为14. 故选：B 6．若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则该椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的定义结合条件先表示出到两焦点的距离，再结合到焦点的距离与的关系可求解出的范围. 【详解】由题可设点到椭圆两个焦点的距离分别为，所以，得到， 又，所以，得到，所以，又，故， 故选：C. 7．椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的取值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】求得圆与坐标轴的交点坐标，进而逐个讨论计算即可. 【详解】，圆与轴的交点坐标为或，与轴的交点坐标为， 而椭圆的焦点在轴. 当焦点坐标为，右顶点的坐标为时，，，离心率. 当焦点坐标为，上顶点的坐标为时，，，那么，离心率. 当焦点坐标为，上顶点的坐标为时，，，那么，离心率. 故选：B 8．已知分别为椭圆C：的两个焦点，C的离心率为，若P为C上一点，则的周长为（    ） A．6 B．9 C．9或 D．12或 【答案】C 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】应用椭圆的定义及标准方程的特征计算即可求出周长． 【详解】当时，可得，解得， 此时的周长为， 当时，可得，解得， 此时的周长为， 所以的周长为9或 故选：C. 二、多选题 9．椭圆上一点和圆上一点，则的值可能是（    ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】BC 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】先转化为椭圆上一点到圆心的距离，利用二次函数单调性求出范围，再由圆上点的几何性质，求出的取值范围. 【详解】设圆心为，， 则，其中， 由对称轴为知，时，函数单调递减， 则，所以， 则有，． 故选：BC 10．动点P在椭圆C上，为C的左､右焦点，直线和直线分别交C于点，若的周长为20，且C的左顶点和上顶点距离为，则（    ） A．椭圆焦距为3 B．离心率 C．长轴长为5 D．面积最大值为12 【答案】BD 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】由焦点弦三角形的周长为得，由左顶点和上顶点距离为得，从而，判断ABC选项，由焦点弦三角形的面积判断D选项. 【详解】对于AC，因为点P，A在椭圆上，所以，， 故的周长为， 解得，因为左顶点和上顶点的距离为， 解得，则，焦距为，长轴长为，故AC错误； 对于B,，故B正确； 对于D，， 当点P位于轴上时，面积取得最大值12，故D正确. 故选：BD. 11．（多选题）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆和椭圆一定没有公共点 B． C． D． 【答案】AB 【知识点】相同离心率的椭圆的方程 【分析】根据椭圆的离心率相等可得所以，可判断B；再由可判断A；设，可判断C；根据可判断D. 【详解】依题意，，即， 所以，所以，因此B正确； 又，所以椭圆和椭圆一定没有公共点，因此A正确； 设，其中，则有， 即有，则，因此C错误； ， 即有，则，因此D错误． 故选：AB． 三、填空题 12．椭圆的左､右焦点分别为是椭圆上一点，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，由垂直可得，即可得答案. 【详解】设,则，因， 由勾股定理得，故， 则，，则. 故答案为： 13．已知椭圆的离心率为，则实数 ． 【答案】10 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】判断椭圆为焦点在x轴上的椭圆，从而确定，再结合离心率公式及a、b、c的关系即可列式解答． 【详解】． ∵， ∴椭圆的焦点在x轴上， ∴， 解得． 故答案为：10． 14．已知椭圆的短轴的两个端点分别为为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是 ． 【答案】 【知识点】轨迹问题——椭圆、求椭圆的顶点坐标 【分析】设，，找到两点坐标之间的关系，代入椭圆方程化简即得，注意点C不能在轴上. 【详解】椭圆的焦点在轴上，则短轴在轴上，所以，． 设，，由为的重心，得则 又为椭圆上一动点，所以，即，所以． 当点在轴上时，不能构成三角形，所以，则， 即点的轨迹方程为． 故答案为：． 四、解答题 15．已知椭圆C：（）的中心为原点O，左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F. (1)若，，求椭圆的标准方程； (2)若，求椭圆的离心率. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的顶点坐标、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）由顶点坐标与已知长，建立方程，可得答案； （2）由方程表示出顶点与焦点坐标，由垂直直线，建立齐次方程，可得答案. 【详解】（1）由，则， 由，则，可得， 解得，所以方程为. （2）由，则， 所以直线的斜率，直线的斜率， 由，则，即，由，则， 由，则，解得. 【点睛】 16．已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆上一点． (1)当为椭圆的上顶点时，求的大小； (2)直线与椭圆交于，，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的顶点坐标、根据弦长求参数 【分析】（1）根据条件得，从而可得，即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，消得，再利用弦长公式，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆方程为，则，，所以， 又，则，所以. （2）设， 由，消得，则， 由韦达定理知，由求根公式可得， 则，化简得到，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2椭圆的简单几何性质 精准对点训练（学生版） 精准对点：①椭圆的方程，焦点，长轴，短轴，离心率，对称性，取值范围；②点与椭圆的位置关系；③弦长问题. 必备知识： 1.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：(0，0) 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝，e∈(0，1) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 2.点与椭圆的位置关系 已知点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则 (1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1. (2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1. (3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1. 解题通法： (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系． ②利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系． (2)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．　 精准对点训练题目： 一、单选题 1．中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 2．当时，曲线与曲线（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 3．已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 5．过椭圆的中心作直线交椭圆于两点，是的一个焦点，则周长的最小值为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 6．若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则该椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的取值不可能是（   ） A． B． C． D． 8．已知分别为椭圆C：的两个焦点，C的离心率为，若P为C上一点，则的周长为（    ） A．6 B．9 C．9或 D．12或 二、多选题 9．椭圆上一点和圆上一点，则的值可能是（    ） A． B．1 C．3 D．4 10．动点P在椭圆C上，为C的左､右焦点，直线和直线分别交C于点，若的周长为20，且C的左顶点和上顶点距离为，则（    ） A．椭圆焦距为3 B．离心率 C．长轴长为5 D．面积最大值为12 11．（多选题）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆和椭圆一定没有公共点 B． C． D． 三、填空题 12．椭圆的左､右焦点分别为是椭圆上一点，且，则椭圆的离心率为 . 13．已知椭圆的离心率为，则实数 ． 14．已知椭圆的短轴的两个端点分别为为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是 ． 四、解答题 15．已知椭圆C：（）的中心为原点O，左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F. (1)若，，求椭圆的标准方程； (2)若，求椭圆的离心率. 16．已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆上一点． (1)当为椭圆的上顶点时，求的大小； (2)直线与椭圆交于，，若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $