第6章 图形的相似（单元测试·提升卷）数学苏科版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第6章 图形的相似·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】B 【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项正确； C、，故C选项错误； D、，故D选项错误． 故选：B． 2．如果（其中，），那么下列式子中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是比例的基本性质，解题关键是熟练掌握比例的基本性质． 根据比例的基本性质对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：，如果，那么，选项式子正确，不符合题意； ，如果，那么，选项式子正确，不符合题意； ，对于，，即，，由，可得，则选项式子正确，不符合题意； ，例如，当，，，时，， 但是，，，所以选项式子不一定正确，符合题意． 故选：． 3．如图是某花架及其侧面示意图，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握定理，根据定理列出比例式； 根据，列出，求出的长即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中错误的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据得到，得到；根据得到，可以推出，由此得到继而得到可以判断①；根据，可以判断②；根据题意，得可以判断③；根据，得，得到，从而得，可判断④；根据，，得，结合，得，可判断⑤． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， ， ∴②正确； ， ， ∴③正确； ， ， ， ， ， ，故④错误． ∵，， ∴， ∵， ∴，故⑤错误； 综上，错误的有2个， 故选：A． 5．如图，中，两个顶点在轴上方，点的坐标是，以点为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍，设点的对应点的横坐标为2，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定与性质、点坐标与图形、熟练掌握位似图形的性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，先求出，，再根据位似图形的性质可得点在同一条直线上，且，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵点的坐标是，点的对应点的横坐标为2， ∴，， ∵以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍， ∴点在同一条直线上，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵点位于第二象限， ∴点的横坐标为， 故选：D． 6．如图，矩形的对角线与相交于点O，过点O作于点，连接交于点；过点作于点，连接交于点；按此方法继续作图．则与的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过证明，可得，证明，可得，找出规律即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ， ， … ， 即， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．若线段x是3和6的比例中项，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，根据题意，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵线段x是3和6的比例中项， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为： 8．如图，交于点，，，，，则的长等于 ． 【答案】// 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，推出可得结论，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图，测量小玻璃管口径的量具的长为，被分为60等份．如果小玻璃管口径正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意易证，根据相似比即可得出的长度． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴小玻璃管口径是， 故答案为：． 10．如图，已知在中，点D、E、F分别是边、、上的点，，，且，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练运用平行线分线段成比例定理得出线段比例关系，利用相似三角形面积比等于相似比的平方计算面积比． ①利用和，结合平行线分线段成比例定理，逐步推导得出的比值； ②通过得到，再设，则，求出的比值． 【详解】解：① 即， ， 设，则， ②， ， 设，则． 梯形的面积． 因此，． 11．如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的定义可得，，从而可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O， ∴，， ∵与的周长之比是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，是边的黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割点的运用．解题关键是利用黄金分割点找到线段之间的比例关系．利用黄金分割点可得，进而得解． 【详解】解：由题意知：是的黄金分割点， ， ， 故答案为：． 13．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验．小孔成像示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形对应边的比相等的性质是解题的关键． 先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴①②得， ∴，即， ∵，， ∴，解得：． 故答案为：． 14．如图，是的外接圆的直径，，垂足为．若，则直径长为 ． 【答案】 【分析】首先得到，，证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵是的外接圆的直径，， ∴ ∴ ∴，即 ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 15．一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积． 设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值． 【详解】解：设矩形中，（）．   ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．   最大值. 故答案为：． 16．定义：顶角为的等腰三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点M是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，黄金分割；可求出，当为的顶角时，取的中点D，连接，则，可证明是“黄金三角形”，再证明得到，进一步证明，可得；当点M与点D重合时，也是“黄金三角形”，此时． 【详解】解：∵在中，，， ∴； 如图所示，当为的顶角时，取的中点D，连接， ∴； ∵在中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴是“黄金三角形”； ∵， ∴点M是线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点M与点D重合时，也是“黄金三角形”， ∴此时； 综上所述，的长为1或， 故答案为：1或． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知， (1)求代数式的值； (2)如果，分别求出，，的值． 【答案】(1) (2)，，． 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，一元一次方程，熟练掌握设法是解题的关键． （1）设，得到，，，代入化简即可解答； （2）利用设法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：设， ，，， ； （2）设， ，，， ， ， 解得， ，，． 18．如图，已知，它们依次交直线，于点、、和点、、，，． (1)求、的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，结合即可得解； （2）过作平行线分别交，于，，推出四边形、四边形、四边形是平行四边形，可得，，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出，则． 【详解】（1）解：，， ， ， ，； （2）解：过作平行线分别交，于，， 即， 四边形、四边形、四边形是平行四边形， ，， ，， ，即， ， ， ． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理、比例的性质、平行四边形的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 19．如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理，证明三角形相似并掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）先由平行线分线段成比例定理得，再结合已知得，即可得出结论； （2）先根据已知结合（1）得，求出，再证明，根据相似三角形的性质得，进而可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． (1)画以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)内有一点在中的对应点的坐标为___________ (3)___________ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟知位似图形的性质是解题的关键． （1）把点A，点B，点C的横纵坐标分别乘以可得它们的对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）把点P的横纵坐标分别乘以即可得到的坐标； （3）根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由题意得，内有一点在中的对应点的坐标为； （3）解：∵以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到， ∴． 21．如图，在中，直径与弦相交于点，连接、． (1)求证：； (2)连接，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了相似三角形的判定，圆周角定理，含角的直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据同弧所对的圆周角相等可知，再结合对顶角相等，即可证明； （2）根据直径所对的圆周角是直角得到，再利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的半径． 【详解】（1）证明：，， ； （2）解：，， ， 是的直径， ， 在中，， 的半径为． 22．（1）夜晚，小明在路灯下散步．已知小明身高米，路灯的灯柱高米． ①如图1，若小明在相距10米的两路灯之间行走（不含两端），他前后的两个影子长分别为米，米，试求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围？ ②有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．但在灯光下，人的速度与影子的速度却不是一样的！如图2，若小明在灯柱前，朝着影子的方向（如图箭头），以米/秒的速度匀速行走，试求他影子的顶端R在地面上移动的速度． （2）我们知道，函数图象能直观地刻画因变量与自变量之间的变化关系．相信，大家都听说过龟兔赛跑的故事吧．现有一新版龟兔赛跑的故事：由于兔子上次比赛过后不服气，于是单挑乌龟再来另一场比赛，不过这次路线由乌龟确定…比赛开始，在同一起点出发，按照规定路线，兔子飞驰而出，极速奔跑，直至跑到一条小河边，遥望着河对岸的终点，兔子呆坐在那里，一时不知怎么办．过了许久，乌龟一路跚跚而来，跳入河中，以比在陆地上更快的速度游到对岸，抵达终点，再次获胜．根据新版龟兔赛跑的故事情节，请在同一坐标系内（如图3），画出乌龟、兔子离开终点的距离s与出发时间t的函数图象示意图．（实线表示乌龟，虚线表示兔子） 【答案】（1）①（）；②米/秒；（2）图见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，画函数图象，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键 （1）①根据题意利用相似三角形的判定和性质即可求解； ②设运动时间为t秒，点E运动到点，点R运动到点，过点作，根据相似三角形的判定得出，，再利用其性质求解即可； （2）结合题意，大致画出相应的函数图象即可 【详解】解：（1）根据题意得：， ∴． ∴． ①∴． ∴，． 同理，．      ∵ ∴ ∴ ∵当接近时，影长接近0； 当接近时，影长接近5 ∴； ②如图，设运动时间为t秒，点E运动到点，点R运动到点，过点作， 则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴米/秒 （2）如图3所示即为所求． 23．如图，在中，，动点P从点B出发，沿线段以每秒的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿线段以每秒的速度向点C运动．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t秒． (1) ； (2)若以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，求t的值； (3)当t为何值时，的面积为？ 【答案】(1) (2)当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似． (3)， 【分析】本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理直接求解； （2）根据题意列出代数式，分当和时两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解； （3）如图，过作于，证明，可得，，再利用面积公式建立方程即可求解． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理，得， ∴． （2）解：由题意，得，， ①当时，， ∴， ∴， 解得， ②当时，， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似． （3）解：如图，过作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 解得：，． 24．纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入（编号是），定义了 A、B、C三组纸张尺寸． (1)观察发现：如图1，将纸2次折叠，发现第1次的折痕与纸较长的边重合，由此可求出纸较短边与较长边的比为 ； (2)探究迁移：如图2，将一张纸沿对角线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点 E．求的值 ． (3)拓展应用：如图3，利用一张纸经过裁剪获得一张边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明：G是的黄金分割点．（即） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）设纸较长边的长为a，较短边长为b，易求得第一次折痕长为，根据第1次的折痕与纸较长的边重合得到，进而可求解； （2）设，，根据矩形和折叠性质得到，进而证得，由推导出即可； （3）延长、相交于点P，由正方形和折叠性质以及勾股定理可求得，再根据折叠性质和等角对等边得到，证明得到，进而可求得，即可证得结论． 【详解】（1）解：设纸较长边的长为a，较短边长为b， 由题意，第一次折痕长为， ∵第1次的折痕与纸较长的边重合， ∴， 即， 故答案为：； （2）解：由（1）得，设，， 由折叠得，则， ∵四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 即； （3）解：如图，延长、相交于点P， ∵四边形是正方形， ∴，，， 由折叠性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故G是的黄金分割点． 【点睛】本题考查矩形与折叠性质、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、黄金分割等知识，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键． 25．中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，中点定义，比例的基本性质，构造辅助线是解题的关键． （1）先证点，点分别是线段的中点即可求解； （2）如图2，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，进而可求得的值； （3）如图3，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，又为的中点，可得，最后根据可确定、之间的关系． 【详解】（1）证明：点是中点， ， 交于点， ， 又点是中点， ， ， ； （2）如图2，过点作交于， ， ， ， ， ，即， ， ，即； （3）如图3，过点作交于， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ， ． 26．如图1，在中，，点、分别是边BC、上的点，连接，且．将绕点逆时针方向旋转，旋转角为α． (1)问题发现 如图2，在旋转过程中，当时，证明； (2)拓展探究 若时，在旋转过程中，试求的值． (3)问题解决 在（2）的条件下，且，当绕点逆时针旋转至、、三点在同一条直线上时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是证明三角形相似． （1）平行线分线段成比例，推出，再根据角的和差关系推出，即可得证； （2）勾股定理求出的长，相似三角形的性质，求出的值即可； （3）分两种情况进行讨论，结合（2）中结论进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）∵，， ∴， 由（1）可知：， ∴； （3）如图，当点E在的延长线上时，则：， 由（1）知：， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由（2）知：， ∴； 当点在线段上时，同理，，则：， ∴； 综上：或． 27．【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，，点E为上的点，，连接，点O为线段上的点，过点O作交边于点M，交边于点N，则的长度为___________； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，连接，过的中点O作交于点M，交于点N，求的长度； 【拓展应用】 （3）如图3，李大爷家有一块四边形菜地，测得米，米，，菜地内有一条笔直的小路恰好经过四边形的对称中心（点E、F分别在边上），且米，为了管理方便，李大爷准备再开一条垂直于的小路（点G、H分别在边、上），两条小路交汇于点M，请你帮助李大爷求出新开出的小路的长．（小路的面积忽略不计） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点M作于G，交于H，证明，根据全等三角形的性质得，再利用勾股定理求解即可； （2）过点M作于K，交于L，证明，根据相似三角形的性质得，再利用勾股定理求解即可； （3）过点作E作于点I，过点G作于点J，解得四边形是矩形，再证明，根据相似三角形的性质得，可得四边形和四边形都是矩形，勾股定理求出，代入比例式计算即得． 【详解】（1）解：如图，过点M作于G，交于H，则， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵于点O， ∴， ∵ ，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 故答案为： （2）如图，过点M作于K，交于L，则， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）如图，过点E作于点I，过点G作于点J，则， ∵于点M， ∴, ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵恰好经过四边形的对称中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第6章图形的相似能力提升（参考答案) 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的) 题号 1 3 5 6 答案 B D C A D C 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7.32 9. 10. 5:8 9:55 11.4:7 12.12-45/-4V5+12 1.9 14. 20 15.16 16.1或5-1 2 三、解答题（本大题共11小题，17.18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小 题9分，共88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 10:设号号-后， .a=5k,b=3k,c=6k, 3a-b+c 2a+3b-c 15k-3k+6k 10k+9k-6k =18M 13k 18 134分 1/13 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 a设g98. ∴.a=5k,b=3k,C=6k, 3a-b+c=36, .15k-3k+6k=36, 解得k=2, a=10,b=6,c=12.7分 18. DE 2 【详解】(I)解：AD‖BE‖CF, AB DE 2 “BCEF=5' :AC=14, AB=4,BC=10;3分 (2)解：过D作AC平行线分别交BE,CF于M,N, 即DN II AC, :四边形ABMD、四边形BCNM、四边形ACND是平行四边形， :AD=7,CF=14, :AD =BM =CN =7,NF=7, F5,即DE2 DE 2 DF 7 ME DE 2 NF-DF=7 ME=2, BE=BM+ME=9.7分 19. 【详解】(1)证明：DE∥BC, 2/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AE AD ECBD AF AE FE EC AD AF ·BD-FE' AD AF ·ABAE ∠A=∠A, ∴.△ADF∽△ABE, .∠ADF=∠ABE, .DF∥BE;…4分 (2)解：AF=2,EF=4, AD AE AF 1 BD=EC=FE2 :S。4DF=3, .SADEF =6, S。ADE=S。ADF+SDEF=3+6=9, :DE∥BC, .△ADE∽△ABC, S。ABc=4S。ADE=4×9=36.8分 20. 【详解】(1)解：如图所示，△A,BC,即为所求； 3/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 VA .4分 (2)解：由题意得，ABC内有一点P(m,n)在△AB,C中的对应点的坐标为-2m,-2n);8分 (3)解：以点O为位似中心，在第一象限内将ABC放大到原来的2倍，得到△AB,C, S4G:S。8c=4:1.8分 21. 【详解】(I)证明：：∠C=∠B,∠AEC=∠DEB, △AECn△DEB;3分 (2)解：：∠C=∠B,∠C=30°， ∠B=30°， :AB是⊙O的直径， ·∠ADB=90°， ·在R1aABD中，AB=2AD=2×3=6, 00的半径为3.8分 22. 【详解】解：(1)根据题意得：EF∥AB, .∠MEF=∠A,∠MFE=∠B. △MEF∽△MAB.1分 ①：MF-EF-1.5_1 MB AB 4.5 3 ·、一，MB=3xBF=3xx=2x 同理，DF=2y. :BD=10 .2x+2y=10 4/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .y=-x+5 当EF接近AB时，影长FM接近O: 当EF接近CD时，影长FM接近5 0<x<5;3分 ②如图，设运动时间为t秒，点E运动到点E,点R运动到点R',过点E作E'F⊥QR, 则EE'=FE'=0.8t D FFR R 图2 :EF∥PQ .∠REF=∠RPQ,∠RFE=∠RQP .△REF∽△RPQ RE EF 1.5 1 RP-P04.53 .PE 2 =1 …RP3 EF∥RR' .∠PEE'=∠PRR',∠PE'E=∠PR'R, ∴△PEE'∽△PRR' EE'PE ∴RRRP .0.8t2 RR3 .RR'=1.2t 子=121=1.2米秒.6分 t (2)如图3所示即为所求 5/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 S 8分 图3 23. 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=BC2+AC, .AB=√62+82=10.2分 (2)解：由题意，得AP=10-2t,AQ=2t, ①当∠PQA=90°时，&APQn△ABC, AP AO AB AC' :10-2421 108 解特， ②当∠QPA=90°时，△AQP△ABC, :P-4g AC AB :10-2424 810' 解得1=25 当10或世，以点4、P、Q为顶点的三角形写A8C相似，一 (3)解：如图，过Q作QH⊥AB于H, B H .∠C=∠AHQ=90°， :∠A=∠A, .△AQH△ABC, .A0 OH AB BC 6/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 品以 :.QH=61, 5 △4P9的面积为cm 40-2= 24 .t2-5t+4=0, 解得：41=1,12=4.8分 24. 【详解】(1)解：设A4纸较长边的长为a,较短边长为b, 由题意，第一次折痕长为√b2+b2=√2b, 第1次的折痕与A4纸较长的边重合， a=v2b, 即b:a=1:√2， 故答案为：1：√2；2分 (2)解：由(1)得D=2,设AB=1,AD=21, AB 由折叠得AC⊥BE,则LAEB+∠OAE=90°， 四边形ABCD是矩形， .∠BAD=∠D=90°，CD=AB=1, LACD+∠0AE=90°， ∴.∠AEB=∠ACD, ∴.△ABE∽△DAC, 招答位 =E 2t 1, AE= 1 t二2 AD, 2 即E、1 AD2;5分 (3)解：如图，延长DA、CG相交于点P, 7113 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 P E D B :四边形ABCD是正方形， AB=CD=BC=21cm,∠D=90°，AD∥BC, 由折叠性颅得上8CP=∠ECP,DE=E=方D=e cm, :CE =CD:DE=21 5cm, 2 AD∥BC, ∴.LEPC=∠BCP=∠ECP, :EP CE :AD∥BC, △PAG∽aCBG, :4G AP BG BC' 即AG 5里5 BG 21 2 故G是AB的黄金分割点.8分 25. 【详解】(1)证明：：点D是BC中点， :BD=CD, :DG∥BE交AC于点G, :EG-CG-EC. 又：点F是AD中点， .AF FD DG∥BE, 8/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :.AE-EG--EC AE 1 EC2' 2分 (2)如图2，过点D作DG∥BE交AC于G, .BD 1 DC4' EG BD 1 GC DC4' EG 1 EC 5' FD,DG∥EF, AF 3 GD2,即EG=号4B, AE AF 3 3 2 AE 1, EC=EC-5 AE3 ECi0,即AE:EC=310: A G 5分 B D 图2 (3)如图3，过点D作DG∥BE交AC于G, BD =1m, BC EG BD EC-BC =m, “点F是AD中点， :AF FD, :DG∥BE, :AE EG, AE EG =m, ECEC AC m+1 9/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =n, AC =n. m+1 G 8分 B 图3 26. 【详解】(1)证明：：DE∥AB, CD CE ,∠CED=∠A,∠CDE=∠B, CB AC CD BC CE AC' :∠DCE=∠ACB,LACD=∠ACD, ∠BCD=∠ACE, 又：CDBC CE AC .△BCD∽△ACE;4分 (2)AB=2,BC=1,∠B=90°， .AC=AB2+BC2=5, 由(1)可知：△BCD∽△ACE, :能-1C-5,…8分 BD=BC (3)如图，当点E在AB的延长线上时，则：∠CBE=180°-∠ABC=90°， D 4 由(1)知：CP-CE CB AC CD=28C, 3 cE=240=25 3 3 10/13 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第6章 图形的相似·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 2．如果（其中，），那么下列式子中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．． 3．如图是某花架及其侧面示意图，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中错误的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，中，两个顶点在轴上方，点的坐标是，以点为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍，设点的对应点的横坐标为2，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 6．如图，矩形的对角线与相交于点O，过点O作于点，连接交于点；过点作于点，连接交于点；按此方法继续作图．则与的数量关系是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．若线段x是3和6的比例中项，则x的值为 ． 8．如图，交于点，，，，，则的长等于 ． 9．如图，测量小玻璃管口径的量具的长为，被分为60等份．如果小玻璃管口径正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是 ． 10．如图，已知在中，点D、E、F分别是边、、上的点，，，且，则 ， ． 11．如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为 ． 12．在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，是边的黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 13．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验．小孔成像示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 ． 14．如图，是的外接圆的直径，，垂足为．若，则直径长为 ． 15．一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 16．定义：顶角为的等腰三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点M是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知， (1)求代数式的值； (2)如果，分别求出，，的值． 18．如图，已知，它们依次交直线，于点、、和点、、，，． (1)求、的长； (2)如果，，求的长． 19．如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，，．求的面积． 20．如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． (1)画以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)内有一点在中的对应点的坐标为___________ (3)___________ 21．如图，在中，直径与弦相交于点，连接、． (1)求证：； (2)连接，若，，求的半径． 22．（1）夜晚，小明在路灯下散步．已知小明身高米，路灯的灯柱高米． ①如图1，若小明在相距10米的两路灯之间行走（不含两端），他前后的两个影子长分别为米，米，试求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围？ ②有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．但在灯光下，人的速度与影子的速度却不是一样的！如图2，若小明在灯柱前，朝着影子的方向（如图箭头），以米/秒的速度匀速行走，试求他影子的顶端R在地面上移动的速度． （2）我们知道，函数图象能直观地刻画因变量与自变量之间的变化关系．相信，大家都听说过龟兔赛跑的故事吧．现有一新版龟兔赛跑的故事：由于兔子上次比赛过后不服气，于是单挑乌龟再来另一场比赛，不过这次路线由乌龟确定…比赛开始，在同一起点出发，按照规定路线，兔子飞驰而出，极速奔跑，直至跑到一条小河边，遥望着河对岸的终点，兔子呆坐在那里，一时不知怎么办．过了许久，乌龟一路跚跚而来，跳入河中，以比在陆地上更快的速度游到对岸，抵达终点，再次获胜．根据新版龟兔赛跑的故事情节，请在同一坐标系内（如图3），画出乌龟、兔子离开终点的距离s与出发时间t的函数图象示意图．（实线表示乌龟，虚线表示兔子） 23．如图，在中，，动点P从点B出发，沿线段以每秒的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿线段以每秒的速度向点C运动．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t秒． (1) ； (2)若以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，求t的值； (3)当t为何值时，的面积为？ 24．纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入（编号是），定义了 A、B、C三组纸张尺寸． (1)观察发现：如图1，将纸2次折叠，发现第1次的折痕与纸较长的边重合，由此可求出纸较短边与较长边的比为 ； (2)探究迁移：如图2，将一张纸沿对角线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点 E．求的值 ． (3)拓展应用：如图3，利用一张纸经过裁剪获得一张边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明：G是的黄金分割点．（即） 25．中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 26．如图1，在中，，点、分别是边BC、上的点，连接，且．将绕点逆时针方向旋转，旋转角为α． (1)问题发现 如图2，在旋转过程中，当时，证明； (2)拓展探究 若时，在旋转过程中，试求的值． (3)问题解决 在（2）的条件下，且，当绕点逆时针旋转至、、三点在同一条直线上时，求线段的长． 27．【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，，点E为上的点，，连接，点O为线段上的点，过点O作交边于点M，交边于点N，则的长度为___________； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，连接，过的中点O作交于点M，交于点N，求的长度； 【拓展应用】 （3）如图3，李大爷家有一块四边形菜地，测得米，米，，菜地内有一条笔直的小路恰好经过四边形的对称中心（点E、F分别在边上），且米，为了管理方便，李大爷准备再开一条垂直于的小路（点G、H分别在边、上），两条小路交汇于点M，请你帮助李大爷求出新开出的小路的长．（小路的面积忽略不计） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第6章 图形的相似·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 2．如果（其中，），那么下列式子中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．． 3．如图是某花架及其侧面示意图，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中错误的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，中，两个顶点在轴上方，点的坐标是，以点为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍，设点的对应点的横坐标为2，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 6．如图，矩形的对角线与相交于点O，过点O作于点，连接交于点；过点作于点，连接交于点；按此方法继续作图．则与的数量关系是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．若线段x是3和6的比例中项，则x的值为 ． 8．如图，交于点，，，，，则的长等于 ． 9．如图，测量小玻璃管口径的量具的长为，被分为60等份．如果小玻璃管口径正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是 ． 10．如图，已知在中，点D、E、F分别是边、、上的点，，，且，则 ， ． 11．如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为 ． 12．在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，是边的黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 13．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验．小孔成像示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 ． 14．如图，是的外接圆的直径，，垂足为．若，则直径长为 ． 15．一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 16．定义：顶角为的等腰三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点M是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知， (1)求代数式的值； (2)如果，分别求出，，的值． 18．如图，已知，它们依次交直线，于点、、和点、、，，． (1)求、的长； (2)如果，，求的长． 19．如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，，．求的面积． 20．如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． (1)画以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)内有一点在中的对应点的坐标为___________ (3)___________ 21．如图，在中，直径与弦相交于点，连接、． (1)求证：； (2)连接，若，，求的半径． 22．（1）夜晚，小明在路灯下散步．已知小明身高米，路灯的灯柱高米． ①如图1，若小明在相距10米的两路灯之间行走（不含两端），他前后的两个影子长分别为米，米，试求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围？ ②有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．但在灯光下，人的速度与影子的速度却不是一样的！如图2，若小明在灯柱前，朝着影子的方向（如图箭头），以米/秒的速度匀速行走，试求他影子的顶端R在地面上移动的速度． （2）我们知道，函数图象能直观地刻画因变量与自变量之间的变化关系．相信，大家都听说过龟兔赛跑的故事吧．现有一新版龟兔赛跑的故事：由于兔子上次比赛过后不服气，于是单挑乌龟再来另一场比赛，不过这次路线由乌龟确定…比赛开始，在同一起点出发，按照规定路线，兔子飞驰而出，极速奔跑，直至跑到一条小河边，遥望着河对岸的终点，兔子呆坐在那里，一时不知怎么办．过了许久，乌龟一路跚跚而来，跳入河中，以比在陆地上更快的速度游到对岸，抵达终点，再次获胜．根据新版龟兔赛跑的故事情节，请在同一坐标系内（如图3），画出乌龟、兔子离开终点的距离s与出发时间t的函数图象示意图．（实线表示乌龟，虚线表示兔子） 23．如图，在中，，动点P从点B出发，沿线段以每秒的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿线段以每秒的速度向点C运动．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t秒． (1) ； (2)若以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，求t的值； (3)当t为何值时，的面积为？ 24．纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入（编号是），定义了 A、B、C三组纸张尺寸． (1)观察发现：如图1，将纸2次折叠，发现第1次的折痕与纸较长的边重合，由此可求出纸较短边与较长边的比为 ； (2)探究迁移：如图2，将一张纸沿对角线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点 E．求的值 ． (3)拓展应用：如图3，利用一张纸经过裁剪获得一张边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明：G是的黄金分割点．（即） 25．中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 26．如图1，在中，，点、分别是边BC、上的点，连接，且．将绕点逆时针方向旋转，旋转角为α． (1)问题发现 如图2，在旋转过程中，当时，证明； (2)拓展探究 若时，在旋转过程中，试求的值． (3)问题解决 在（2）的条件下，且，当绕点逆时针旋转至、、三点在同一条直线上时，求线段的长． 27．【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，，点E为上的点，，连接，点O为线段上的点，过点O作交边于点M，交边于点N，则的长度为___________； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，连接，过的中点O作交于点M，交于点N，求的长度； 【拓展应用】 （3）如图3，李大爷家有一块四边形菜地，测得米，米，，菜地内有一条笔直的小路恰好经过四边形的对称中心（点E、F分别在边上），且米，为了管理方便，李大爷准备再开一条垂直于的小路（点G、H分别在边、上），两条小路交汇于点M，请你帮助李大爷求出新开出的小路的长．（小路的面积忽略不计） 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $