专题8 分数四则混合运算（解决问题讲义）数学青岛版（五四制）五年级上册

该小学数学讲义通过分类型梳理构建分数四则混合运算解决问题的知识体系，以“定义+方法步骤+典型例题”框架呈现稍复杂的求一个数的几分之几、比一个数多/少几分之几等四类问题，用思路分析图明确单位“1”判断、量率对应等重难点，体现知识内在逻辑。 讲义亮点在于分层练习设计与精准方法指导，如典型例题“三天读页数”通过分步思路培养推理意识，列方程解决问题强化模型意识。夯实基础、培优拔高、思维拓展三级训练满足不同学生需求，答案解析详细支持自主复习，助力教师实施精准教学。

专题8 分数四则混合运算（解决问题讲义） 1.稍复杂的求一个数的几分之几是多少： –解决“已知整体及其中一部分占整体的几分之几，求剩余的另一部分”的问题 时，可以先求出其中的一部分是多少，再用整体量减去这一部分；也可以先求出剩 余的另一部分占整体的几分之几，然后根据“求一个数的几分之几是多少”的方法求 解。 2.求比一个数多/少几分之几的数是多少： –找单位“1”：题目中“比”字后面的那个量就是单位“1”。 –判断用乘法：因为单位“1”是已知的。 –判断用加还是用减： •求比一个数多几分之几的数：用 单位“1” × (1 + 分率)​​ •求比一个数少几分之几的数：用 单位“1” × (1 - 分率)​​ 3.已知比一个数多/少几分之几的数是多少，求这个数： –找单位“1”：题目中“比”字后面的那个量就是单位“1”。 –判断乘除法：单位“1”是未知的，求单位“1”，用除法计算。 –量率对应：找到已知量所对应的分率，用公式：单位“1” = 已知量 ÷ 对应的分率。 4.列方程解决分数问题： –设未知数：通常将题目中要求的量设为 x。 –找等量关系：这是最关键的一步。仔细读题，找出一个描述数量之间相等关系的 句子。 –列方程：用含有 x的代数式将等量关系表示出来。 –解方程：利用等式的性质和分数的四则运算法则求解方程。 –检验作答：将解得的 x代入原题检验，最后写出答案。 类型1稍复杂的求一个数的几分之几是多少 典型例题1： 一本故事书共120页，小东第一天读了全书的，第二天读了余下的，第三天应该从第几页读起？ 思路分析：将全书页数看作单位“1”，小东第一天读了全书的，余下全书页数的（1－），全书页数×余下的对应分率＝余下的页数；再将余下的页数看作单位“1”，第二天读了余下的，还剩余下的（1－），余下的页数×还剩的对应分率＋1＝第三天开始读的页数。 答题区： 变式训练： 村委会计划植树造林320公顷，其中松树占总面积的，柏树占总面积的，其余的是杨树，种植杨树多少公顷？ 类型2 求比一个数多/少几分之几的数是多少 典型例题2： 在“数说中国”作品大赛中，五年级上交作品120件，四年级比五年级少，四年级上交作品多少件？ 思路分析：以五年级为单位“1”，且单位“1”是已知量，四年级是五年级的（1－），求一个数的几分之几用乘法。即四年级的作品数＝五年级×（1－）。 答题区： 变式训练： 光明村要铺一条路，第一天铺了800米，第二天比第一天多铺，两天一共铺了多少米？ 类型3 已知比一个数多/少几分之几的数是多少，求这个数 典型例题3： 净瓶山新桥建成后，新桥的日均车流量约为36000辆，比旧桥时期的日均车流量多了，旧桥时期的日均车流量约为多少辆？（先画图，再计算） 思路分析：根据题意可知，把旧桥时期的日均车流量看作单位“1”，用一条线段表示旧桥时期的日均车流量，新桥的日均车流量比旧桥时期的日均车流量多了，则把旧桥时期的日均车流平均分成8份，比旧桥时期的日均车流量多1份，据此可知，新桥的日均车流量是旧桥时期的日均车流量的（1＋），根据分数除法的意义，用新桥的日均车流量除以（1＋）即可求出旧桥时期的日均车流量。 答题区： 变式训练： 两件衣服的售价均为120元，售出后，一件赚，另一件亏。两件衣服合起来算，是赚还是亏？赚或亏多少元？ 类型4 列方程解决分数问题 典型例题4： 学校合唱社团共有100人，女生人数的加上男生人数的共20人。则学校合唱社团中女生有多少人？ 思路分析： 设学校社团中女生有人，由题意知：学校合唱社团共有100人，则男生有人，再根据“女生人数的加上男生人数的共20人”知：女生人数×＋男生人数×＝20人，根据等量关系列方程求解即可。 答题区： 变式训练： 体育老师买了1个篮球和4个排球，正好用去245元。已知排球的单价是篮球的，篮球和排球的单价各是多少？（先画图表示出题意再解答） A夯实基础 1．一根绳子长3米，用去米后，还剩多少米？列式正确的是（    ）。 A． B． C． 2．从A地到B地，甲车2小时行了全程的，乙车5小时行了全程的，则甲的速度比乙快（    ）。 A． B． C． D． 3．五（2）班男生比女生多，女生比男生少6人，那么全班有学生（    ）人。 A．42 B．24 C．30 D．54 4．如果甲数占甲、乙、丙三数之和的，则甲数占乙、丙两数之和的（    ）。 A． B． C． D． 5．育英小学机器人社团有20人，编程社团的人数是机器人社团的，无人机社团的人数是编程社团的。无人机社团有多少人？要解决这个问题。下面算式正确的是（    ）。 A．20× B．20÷ C．20× D．20÷ 6．学校舞蹈队有男生16人，男生人数是女生的。女生和男生一共有（ ）人，男生比女生少（ ）人。 7．工地运来17吨沙子，计划平均每天使用吨，8天后这批沙子还剩下（ ）吨。 8．由于二维码支付使用的简便，在生活中迅速推广开来。卖水果的李伯伯月初贴上二维码进行收款，本月收入3600元，比上个月多，李伯伯上个月收入（ ）元。 9．小明看一本故事书，已经看了全书的，还有50页没有看，已经看了（ ）页。 10．昙花开花的时间是很短的，人们常用“昙花一现”来比喻某种现象出现不久就迅速消失。其实小麦开花的时间更短，大约只有小时，仅仅是昙花开花时间的。昙花开花时间是（ ）小时。 11．月星小学去年有64台计算机，今年比去年增加。今年有多少台计算机？ 12．丰盛果园今年计划培育450棵果树苗，受今年气候影响，实际培育的棵数比计划少了，实际培育了多少棵？（先把线段图补充完整，再列式解答。） 13．某校合唱队有120人，比去年增加了，去年合唱队有多少人？ B培优拔高 14．疫情管控期间，涧西区某社区一共要将800千克蔬菜分给三个小区的居民，其中的蔬菜给A小区的居民，剩下的按2∶1的质量比分给B小区和C小区的居民，B和C两个小区的居民各分到多少千克的蔬菜？ 15．我国北斗系统第55颗卫星的成功发射，标志着我国自主卫星导航系统全面建成。欧洲伽利略导航系统卫星颗数是我国北斗的，美国的GPS导航系统卫星颗数比欧洲伽利略少。美国GPS导航系统有多少颗卫星？ 16．在北京举办的第24届冬奥会上，中国体育代表团展现出新时代中国运动员的精神风貌和竞技水平，金牌数和奖牌数均创历史新高：共获15枚奖牌，比上一届多了，以9枚金牌位列奖牌旁第三，铜牌数是银牌数的。 （1）中国体育代表团在本届冬奥会获得银牌多少枚？ （2）中国体育代表队在上一届冬奥会获得奖牌多少枚？ C思维拓展 17．一件衣服的原件是480元，先提价，后来举行促销活动，降价出售。现价多少元？ 18．某服装店老板将两件不同品牌的衣服都以240元的价格出售，结果与进价比较，第一件衣服赚了，第二件衣服亏了。卖这两件衣服，服装店老板是赚了还是亏了？赚（或亏）多少钱？ 19．果品公司运进一批橘子，第一天卖出全部的，第二天卖出剩下的，第三天比第一天少卖，这时还剩50千克，果品公司共运进了多少千克的橘子？ 答案解析 类型1 答案解析 典型例题1： 答题区：【解答】120×（1－） ＝120× ＝90（页） 90×（1－）＋1 ＝90×＋1 ＝60＋1 ＝61（页） 答：第三天应该从第61页读起。 变式训练答案： 【解答】320×（1－－） ＝320×（1－－） ＝320× ＝112（公顷） 答：种植杨树112公顷。 类型2 答案解析 典型例题2： 答题区：【解答】 （件） 答：四年级上交作品96件。 变式训练答案： 【解答】800＋800×（1＋） ＝800＋800× ＝800＋1000 ＝1800（米） 答：两天一共铺了1800米。 类型3 答案解析 典型例题3： 答题区：【解答】 36000÷（1＋） ＝36000÷ ＝36000× ＝32000（辆） 答：旧桥时期的日均车流量约为32000辆。 变式训练答案： 【解答】120÷（1＋）＋120÷（1－） ＝120÷＋120÷ ＝120×＋120× ＝100＋150 ＝250（元） 120×2＝240（元） 240＜250 250－240＝10（元） 答：两件衣服合起来算，亏了，亏10元。 类型4 答案解析 典型例题4： 答题区：【解答】解：设学校社团中女生有人，则男生有人 答：校社团中女生有40人。 变式训练答案： 【解答】解：设学校社团中女生有人，则男生有人 答：校社团中女生有40人。 A夯实基础 1．A 【分析】根据题意，一根长3米的绳子用去米，用绳子的全长减去用去的长度，即是还剩的长度，据此列式。 【解答】（米） 还剩米。 列式正确的是：。 故答案为：A 2．A 【分析】根据速度＝路程÷时间，分别计算出甲车的速度和乙车的速度，比较速度的大小，用甲乙两车的速度差除以乙车的速度，据此解答。 【解答】甲车速度： 乙车的速度： 因此甲车的速度比乙车快。 故答案为：A 【点评】解答本题的关键是掌握速度、时间和路程的关系，即速度＝路程÷时间。 3．D 【分析】设女生是x人，把女生人数看作单位“1”，男生人数是女生人数的（1＋），用女生人数×（1＋），求出男生人数，即（1＋）x人，女生比男生少6人，即男生人数－女生人数＝6人，列方程：（1＋）x－x＝6，解方程，求出女生人数，再求出男生人数，进而求出全班人数。 【解答】解：设女生人数有x人，则男生人数有（1＋）x人。 （1＋）x－x＝6 x－x＝6 x＝6 x＝6÷ x＝6×4 x＝24 男生：24×（1＋） ＝24× ＝30（人） 24＋30＝54（人） 五（2）班男生比女生多，女生比男生少6人，那么全班有学生54人。 故答案为：D 4．D 【分析】设甲、乙、丙三数之和是1；甲数占甲、乙、丙三数之和的，用甲、乙、丙三数和×，求出甲；再用甲、乙、丙三数和－甲，求出乙、丙两数和；再用甲÷乙、丙两数和，即可解答。 【解答】设甲、乙、丙三数之和是1。 1×＝ ÷（1－） ＝÷ ＝× ＝ 如果甲数占甲、乙、丙三数之和的，则甲数占乙、丙两数之和的。 故答案为：D 5．A 【分析】先把机器人社团人数看作单位“1”，用机器人社团人数乘编程社团的人数占机器人社团人数的分率，求出编程社团的人数；再把编程社团的人数看作单位“1”，用编程社团的人数乘无人机社团的人数占编程社团人数的分率即可。 【解答】人机社团人数为： 20×× ＝14× ＝8（人） 故答案为：A 6．96 64 【分析】把女生人数看作单位“1”，男生人数是女生的，对应的是男生人数，求单位“1”，用男生人数÷，求出女生人数，再用男生人数＋女生人数，求出女生和男生一共有多少人；再用女生人数－男生人数，即可求出男生比女生少的人数，据此解答。 【解答】16÷＋16 ＝16×5＋16 ＝80＋16 ＝96（人） 80－16＝64（人） 学校舞蹈队有男生16人，男生人数是女生的。女生和男生一共有96人，男生比女生少64人。 7． 【分析】根据题意，先用计划平均每天使用沙子的吨数乘8，求出8天用沙子的吨数；再用沙子的总吨数减去已用的沙子吨数，就是8天后这批沙子还剩下的吨数。 【解答】17－×8 ＝17－ ＝（吨） 【点评】用分数乘法求出8天用沙子的吨数是解题的关键。 8．2880 【分析】把上个月的收入看作单位“1”，则本月的收入相当于上个月的（1＋）。根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，用本月的收入（3600元）除以（1＋）就是上个月的收入。 【解答】3600÷（1＋） ＝3600÷ ＝3600× ＝2880（元） 所以李伯伯上个月收入2880元。 9．30 【分析】把这本书的页数看作单位“1”，已经看了全书的，还有（1－）没有看，已知还有50页没有看，根据分数除法的意义，用没有看的页数除以（1－）就是这本书的页数；根据分数乘法的意义，用这本书的页数乘，就是小明已经看的页数。 【解答】50÷（1－）× ＝50÷× ＝50×× ＝80× ＝30（页） 已经看了30页。 10．4 【分析】把昙花开花时间看作单位“1”，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用小时除以即可。 【解答】÷＝×16＝4（小时） 所以，昙花开花时间是4小时。 11．88台 【分析】从“今年比去年增加”可知，以去年为单位“1”，今年是去年的（1＋）。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。用去年的台数×（1＋），即可求出今年的台数。据此解答。 【解答】64×（1＋） ＝64× ＝88（台） 答：今年有88台计算机。 12．图见详解；360棵 【分析】把计划培育的数量看作单位“1”，实际培育的棵数是计划的（1－），据此先把线段图补充完整，再根据分数乘法的意义可知，求一个数的几分之几是多少，用乘法，据此列式求出实际培育的棵数。 【解答】如图： 450×（1－） ＝450× ＝360（棵） 答：实际培育了360棵。 【点评】此题主要考查分数乘法的应用，掌握求比一个数少几分之几的数是多少的计算方法。 13．96人 【分析】把去年合唱队的人数看作单位“1”，今年合唱队的人数相当于去年合唱队人数的（1＋），已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法，用今年合唱队的人数除以（1＋），即可求出去年合唱队有多少人。 【解答】120÷（1＋） ＝120÷ ＝120× ＝96（人） 答：去年合唱队有96人。 【点评】此题主要考查分数除法的应用，掌握已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数的计算方法。 B培优拔高 14．B小区：320千克；C小区：160千克 【分析】把蔬菜的总质量看作单位“1”，已知其中的蔬菜给A小区的居民，则（1－）的蔬菜给B小区和C小区的居民，用单位“1”乘给B小区和C小区的居民蔬菜占总质量的百分率，求出剩下的蔬菜质量，又知剩下的按2∶1的质量比分给B小区和C小区的居民，把B小区得到的蔬菜看作2份，C小区得到的蔬菜看作1份，用剩下的蔬菜质量除以总份数，再用一份数分别乘B、C小区的份数即可解答。 【解答】800×（1－） ＝800× ＝480（千克） 480÷（2＋1） ＝480÷3 ＝160（千克） 160×1＝160（千克） 160×2＝320（千克） 答：B小区的居民分得320千克，C小区的居民分到160千克的蔬菜。 15．24颗 【分析】由题意可知，是把国北斗卫星的颗数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算，可求得欧洲伽利略导航系统卫星颗数；是把欧洲伽利略导航系统卫星颗数看作单位“1”，根据求一个数比另一个数少几分之几，先计算少的分率，再用欧洲伽利略导航系统卫星颗数乘美国的GPS导航系统卫星颗数对应的分率，即可得解。 【解答】 （颗） 答：美国GPS导航系统有24颗卫星。 16．（1）4枚 （2）9枚 【分析】（1）用共获奖牌的枚数－金牌的枚数，即15－9＝6枚；求出银牌和铜牌的枚数；设中国体育代表团在本届冬奥会获得银牌x枚；铜牌数银牌数的，则铜牌数是x枚，列方程：x＋x＝15－9，解方程，即可解答。 （2）把上一届冬奥会获得奖牌的数量看作单位“1”，本届比上届多了，即本届获得奖牌数是上届的（1＋），对应的是本届获得奖牌数，求单位“1”，用本届获得奖牌数÷（1＋），即可解答。 【解答】（1）解：设中国体育代表团在本届冬奥会获得银牌x枚，则铜牌数是x枚。 x＋x＝15－9 x＝6 x＝6÷ x＝6× x＝4 答：中国体育代表团在本届冬奥会获得银牌4枚。 （2）15÷（1＋） ＝15÷ ＝15× ＝9（枚） 答：中国体育代表队在上一届冬奥会获得奖牌9枚。 C思维拓展 17．500元 【分析】先把原价看作单位“1”，提价，是原价的（1＋），又降价出售，则现价是（1＋）的（1－），则现价＝原价×（1＋）×（1－），据此解答。 【解答】480×（1＋）×（1－） ＝480× ＝500（元） 答：现价是500元。 【点评】此题考查了分数的四则混合运算，明确求一个数的几分之几用乘法，注意单位“1”的变化。 18．亏了20元 【分析】已知比一个数多或少几分之几，求这个数的问题可以用乘法解决，将衣服的进价看作单位“1”，则第一件衣服赚了，即可用衣服的售价240元除以占比即可求出其进价； 第二件衣服亏了，即可用衣服的售价240元除以占比即可求出其进价； 用两件衣服的售价和与原价和作比较即可知道是赚了还是赔了，二者作差即可知道具体金额。 【解答】 （元） （元） 进价和：（元） 240×2＝480（元），480＜500 500－240×2＝500－480＝20（元） 答：服装店老板是亏了，亏了20元。 【点评】求比一个数多或少几分之几的问题，求这个数可以用除法解决，关键找到单位“1”。 19．1500千克 【分析】根据题意，把运进的一批橘子看作单位“1”，第一天卖出这批橘子的，还剩下这批橘子的（1－）；第二天把第一天卖出后剩下的橘子看作单位“1”，卖出剩下的，所以第二天相当于卖出这批橘子的（1－）×；第三天是把第一天卖出的橘子看作单位“1”，第三天比第一天少卖，第三天卖的橘子是第一天卖的（1－），所以第三天卖的相当于这批橘子的×（1－）；用1减去三天卖出这批橘子的几分之几等于三天后还剩下这批橘子的几分之几，也就50千克所对应的这批橘子的分率，根据已知一个数的几分之几，求这个数用除法，用50除以它所对应的这批橘子的几分之几即等于公司共运进橘子的千克数，据此即可解答。 【解答】（1－）× ＝× ＝ ×（1－） ＝× ＝ 50÷（1－－－） ＝50÷ ＝1500（千克） 答：果品公司共运进了1500千克的橘子。 【点评】分析清楚每天是把哪个量作为单位“1”是解答本题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $