第12章 概率初步（单元复习课件）高二数学沪教版2020必修第三册

单元复习课件 第12章 概率初步 沪教版2020必修第三册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.能清晰阐述随机事件、必然事件、不可能事件的定义，准确区分三类事件并举例说明；熟练掌握频率与概率的关系，理解概率的统计定义，明确频率的稳定性是概率的现实基础，能通过频率估计简单随机事件的概率；​ 3.掌握互斥事件、对立事件的定义及区别与联系，能结合实例辨别互斥事件与对立事件。 2. 精准记忆古典概型的两大特征（有限性、等可能性），能准确判断具体问题是否属于古典概型；​ 单元学习目标 单元知识图谱 每个可能的基 本结果 样本点 考点一、样本点和样本空间 考点串讲 子集 一个 总有一 个样本点 每次试验中 考点二、三种事件的定义 考点串讲 1．事件的概率： 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示． 2．古典概型的定义： (1)有限性：样本空间的样本点只有_____个． (2)等可能性：每个样本点发生的可能性_____．我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 有限 相等 考点三、古典概型 考点串讲 考点三、古典概型 考点串讲 P(A)≥0 P(A)＋P(B) 1－P(A) 1－P(B) P(A)＋P(B) －P(A∩B) 考点四、概率的基本性质 考点串讲 稳定于 考点五、频率 考点串讲 考点五、频率 考点串讲 P(A)P(B) 考点六、事件的相互独立性 考点串讲 1.下面四个选项中，是随机现象的是( ) A A.守株待兔 B.水中捞月 C.流水不腐 D.户枢不蠹 题型一、随机现象的判断 解析 A为随机现象，B为不可能现象，C,D为必然现象.故选A. 2.以下说法正确的是____.（请填写对应序号） ①随机现象是不可重复的； ②随机现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的； ③概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小. ③ 解析 对于①，随机现象是可以重复的，比如抛掷一枚硬币多次，可以重复出现正面朝上，故① 错误；对于②，比如抛掷一枚骰子，出现1点朝上的可能性显然小于偶数点朝上的可能性，故② 错误；对于③，概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小，故③正确. 题型剖析 13 3.已知集合,,,,,0,2,4,6,,从集合中选取不相同的两个数,构成平面直角坐标系 中的点的坐标,观察点的位置,则事件“点落在轴上”包含的样本点共有( ) C A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 解析 “点落在轴上”所包含的样本点的基本特征是.依题意,且A中有9个非零常数, 故包含9个样本点. 题型二、样本点和样本空间 4.先后抛掷2枚质地均匀的一角、五角的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则下列事件中包含3 个样本点的是( ) A A.“至少一枚硬币正面向上” B.“只有一枚硬币正面向上” C.“两枚硬币都是正面向上” D.“两枚硬币中一枚正面向上,另一枚反面向上” 解析 “至少一枚硬币正面向上”包括“一角硬币正面向上,五角硬币正面向上”“一角硬币正面 向上,五角硬币正面向下”“一角硬币正面向下,五角硬币正面向上”，共3个样本点. 题型剖析 14 题型三、事件类型的判断 5.对满足的非空集合,，有下列四个命题： ①“若，则”是必然事件； ②“若，则”是不可能事件； ③“若，则”是随机事件； ④“若，则”是必然事件. 其中真命题的个数为( ) C A.4 B.3 C.2 D.1 解析 对于①②，当集合A是集合B的真子集时，显然至少存在一个元素在集合B中，不在集合A 中，因此“若，则”是随机事件，故①②错误； 对于③，任取，当集合A是集合B的真子集时，有可能成立，也有可能不成立，故③正 确；对于④，“若，则”一定成立，是必然事件，故④正确. 故真命题的个数为2.故选C. 题型剖析 15 题型四、随机事件的概率 6.下列结论正确的是( ) C A.事件的概率的值满足 B.若，则为必然事件 C.灯泡的合格率是，从一批灯泡中任取一个，是合格品的可能性为 D.若，则为不可能事件 解析 由概率的基本性质，可知事件A的概率的值满足，故A错误；必然事件的 概率为1，故B错误；不可能事件的概率为0，故D错误.由概率的定义可知，C正确.故选C. 7.“某彩票的中奖概率为”意味着( ) D A.买100张彩票就一定能中奖 B.买100张彩票能中一次奖 C.买100张彩票一次奖也不中 D.购买彩票中奖的可能性为 解析 概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率，“某彩票的中奖概率为” 意味着购买彩票中奖的可能性为.故选D. 题型剖析 8. 若一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则点数之和不小于8的概率是( ) C A. B. C. D. 题型五、古典概型 解析 一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，抛掷两次的点数共有36种情况， 其中点数之和为8的情况如下：,,,,， 点数之和为9的情况如下：, ,,，点数之和为10的情况如下：,, ， 点数之和为11的情况如下：,，点数之和为12的情况如下： ， 故点数之和不小于8的情况共有种，则点数之和不小于8的概率为. 故选C. 古典概型的概率计算的难点不在公式的应用，而是样本空间中样本点个数的确定以及事件包含的 样本点个数的确定，在刚开始学习时可以一一列举，然后根据古典概型的概率计算公式 计算所求事件的概率. 题型剖析 17 9.小林观看了冬奥会后，打算从冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项这四个项目中任意选两项 进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为( ) C A. B. C. D. 解析 记冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项分别为A,B,C,D，则在这四个项目中任意选两项的 情况有,,,,,，6种情况，其中没有选择冰壶的有,,，3种情况，所以所求 概率为.故选C. 题型五、古典概型 10.从长度为2,3,5,7,11的5条线段中任取3条，这3条线段不能构成一个三角形的概率为( ) D A. B. C. D. 解析 取出3条线段的情况有,,,,,，, ,, ，共10种，不能构成三角形的有,,,, ,,，,共8种，故所求概率.故选D. 题型剖析 18 11.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更， 最多相差一两天.”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶， 如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从五月、六月、七月这六个节气 中任选两个节气，则这两个节气恰在同一个月的概率为( ) C A. B. C. D. 解析 由题意，样本空间中的样本点为（立夏，小满），（立夏，芒种），（立夏，夏至）， （立夏，小暑），（立夏，大暑），（小满，芒种），（小满，夏至），（小满，小暑）， （小满，大暑），（芒种，夏至），（芒种，小暑），（芒种，大暑），（夏至，小暑）， （夏至，大暑），（小暑，大暑），共15个，其中任选两个节气在同一个月的样本点有3个，所 以所求概率,故选C. 题型五、古典概型 题型剖析 19 12. 小梁计划外出旅游，翻出自己曾经买的一个带数字密码锁的密码箱，但因时间太久，小梁已经 忘记了密码，只记得这个密码是一个三位数，并且每个数位上的数字都是7，8，9中的一个. （1）若小梁尝试输入一次密码，求输入的这个密码中恰有两位数字正确的概率； 【解】由题可知，所有的密码情况包括，，，， ， ，，，，，，，， ， ，，，，，，，， ， ，，， ，共27个样本点. 不妨设正确的密码为，则恰有两位数字正确的密码包括，， ， ，， ，共6个样本点， 故小梁尝试输入一次密码，输入的这个密码中恰有两位数字正确的概率为. 题型剖析 20 （2）若在小梁通过技术获得了这个密码的首位数字后，小梁尝试输入一次密码，求输入的这个 密码正确的概率. [解] 不妨设正确的密码为 ，小梁通过技术获得了这个密码的首位数字为9， 则小梁尝试输入一次密码，输入的这个密码可能为，，， ， ，，，， ，共9个样本点， 故小梁尝试输入一次密码，输入的这个密码正确的概率为. 解决古典概型的问题的关键是分清样本点总个数与事件中所包含的样本点个数. 要注意以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的样本点有多少个； （3）事件是什么. 题型剖析 21 13.根据统计，某篮球运动员在1 000次投篮中，命中的次数为560次，则该运动员( ) A A.投篮命中的频率为0.56 B.投篮10次至少有5次命中 C.投篮命中的概率为0.56 D.投篮100次有56次命中 题型六、频率的稳定性 解析 由题意可知投篮命中的频率为，得到的频率可能比概率大，也可能小于概率， 也可能等于概率，故A正确，C错误; 投篮10次或100次相当于做10次或100次试验，每一次的结果都是随机的，其结果可能一次命中， 或者多次命中，概率只反映事件发生的可能性的大小，不能说明事件是否一定发生，故B,D错误. 故选A. 题型剖析 22 14.对于掷硬币试验，设事件 “正面朝上”，则下列论述正确的是( ) D A.掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为 B.掷8次硬币，事件发生的次数一定是4 C.重复掷硬币，事件发生的频率等于事件发生的概率 D.当掷的次数足够多时，事件发生的频率接近0.5 解析 掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率，A错误；掷8 次硬币，事件A发生的次数是随机的，B错误；大量重复掷硬币，事件A发生的频率接近于事件A 发生的概率，不一定等于概率，C错误；当掷的次数足够多时，事件A发生的频率接近，D正 确.故选D. 题型六、频率的稳定性 题型剖析 23 15.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第998次抛掷恰好出现“正面向上” 的概率为__. 解析 概率与抛掷次数无关，所以“第998次抛掷恰好出现‘正面向上’”的概率,即为“1次抛 掷恰好出现‘正面向上’”的概率.故答案为. 16.为了调查秦岭野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到这种动物400只，做 好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物500只，其中做过标记的有25只，按概率的方法 估算，保护区内约有________只该种动物. 8 000 解析 根据题意，设保护区内约有只这种动物，则有，解得，则保护区内约 有8 000只这种动物. 题型六、频率的稳定性 题型剖析 24 题型七、互斥事件与对立事件 17. 2022年某省新高考实行“”模式，即语文、数学、外语必 选，物理、历史二选一， 政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件“他选择政 治和地理”，事件“他选择化学和地理”，则事件与事件 ( ) A A.是互斥事件，不是对立事件 B.既是互斥事件，也是对立事件 C.既不是对立事件，也不是互斥事件 D.无法判断 解析 事件A和事件B不能同时发生， 事件A和事件B是互斥事件. 该同学还有政治和化学，政治和生物等不同选择， 事件A和事件B不是对立事件. 综上所述，事件A和事件B是互斥事件，不是对立事件.故选A. 互斥事件是指不可能同时发生的两个事件，两事件互斥不一定对立，但是两事件对立， 则一定互斥. 题型剖析 18.一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两 个事件是( ) C A.“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球” B.“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球” C.“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球” D.“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球” 解析 A选项，“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”是对立事件，故A错误； B选项，“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”可以同时发生，不是互斥事件，故B错误； C选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”是互斥且不对立事件，故 C正确； D选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”可以同时发生， 不是互斥事件，故D错误.故选C. 规律方法 互斥事件与对立事件的关系 （1）如果与互为对立事件,则与互斥,但反之不成立,即“与互为对立事件”是“与互 斥”的充分不必要条件. （2）对立事件是特殊的互斥事件,若事件,是对立事件,则是必然事件. 题型七、互斥事件与对立事件 题型剖析 26 19.如果事件，互斥，记，分别为事件，的对立事件，那么是必然事件； 是必然事件；与一定互斥；与一定不互斥.其中正确的是____. ② 解析 用图解决此类问题较为直观，如图所示，是必然事件，则②正确，①③错误.若 与互斥且对立，则，，则④错误. 对于抽象事件之间的关系，可以借助图求解. 题型七、互斥事件与对立事件 题型剖析 27 20.一个射击手进行一次射击，设事件表示“命中的环数大于7环”，事件表示“命中的环数为1 0环”，事件表示“命中的环数小于6环”，事件表示“命中的环数为6，7，8，9，10环”.判 断下列各对事件是不是互斥事件，是不是对立事件，并说明理由. （1）事件与; 【解】不是互斥事件，也不是对立事件. 理由：事件“命中的环数大于7环”包含事件 “命中的环数为10环”，当一次射击命中10环时， 二者能够同时发生. （2）事件与; [解] 是互斥事件，但不是对立事件. 理由:事件“命中的环数大于7环”与事件 “命中的环数小于6环”不可能同时发生，但 ，2，3，4，5，8，9，为全集. （3）事件与. [解] 既是互斥事件，也是对立事件. 理由:事件“命中的环数小于6环”与事件 “命中的环数为6，7，8，9，10环”不可能同时发 生，且,2，3，4，5，6，7，8，9，为全集. 题型七、互斥事件与对立事件 题型剖析 28 题型八、概率的基本性质 21.下列说法错误的个数为( ) ①对立事件一定是互斥事件； ②若，为两个事件，则 ； ③若事件，，两两互斥，则. ④若事件,满足，则,为对立事件. C A.1 B.2 C.3 D.4 解析 互斥不一定对立，但对立必互斥，①正确；只有A与B是互斥事件时，才有 ，②错误；若事件A，B，C两两互斥，则 ，但不一定是必然事件，例如，设样本点空间 是由两两互斥的事件A，B，C，D组成且事件D与为对立事件，当时， ,③错误;,B为对立事件，还要满足 ,④错误． 规律方法 互斥事件的概率加法公式 （1）将一个事件的概率问题拆分为若干个互斥事件，分别求出各个事件的概率，然后利用互斥 事件的概率加法公式求出结果. （2）运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个 事件拆分为几个互斥事件，做到不重不漏. 题型剖析 22. 已知事件，是互斥事件，，，则 ( ) C A. B. C. D. 题型八、概率的基本性质 解析 ，，. 事件A，B是互斥事件， .故选C. 23. 抛掷一枚质地均匀的六面骰子，记事件 “向上的点数为1或4”，事件 “向上的点数为 奇数”，则下列说法正确的是( ) C A.与互斥 B.与对立 C. D. 解析 当向上的点数为1时，A,B同时发生，则A与B不互斥，也不对立. ,,,．故选C． 题型剖析 30 24.已知事件，，两两互斥，且，，，则_____. 0.9 解析 由题意得，则． 题型八、概率的基本性质 25. 已知,. （1）如果，那么_____，_____； 0.5 0.3 解析 如果,那么,,所以,. （2）如果，互斥，那么_____，___. 0.8 0 解析 如果,互斥,那么 ,所以,. 题型剖析 31 26.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记数字不同外其他完全 相同.现随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为,,. （1）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率； 【解】由题意，得所有可能的结果为，，，， ， ，，，，，，，， ， ，，，，，，，， ， ，，， ，共27种. 设“抽取的卡片上的数字满足”为事件，则事件包括，， ， 共3种，所以.因此，“抽取的卡片上的数字满足”的概率为. （2）求“抽取的卡片上的数字,,不完全相同”的概率. [解] 设“抽取的卡片上的数字,,不完全相同”为事件，则事件包括， ， ，共3种，所以. 因此，“抽取的卡片上的数字,,不完全相同”的概率为. 题型八、概率的基本性质 题型剖析 32 27. 抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件 “第一枚出现偶数点”， “第二枚出现奇数点”， 则下列说法正确的是( ) D A.与互斥 B.与互为对立 C.与相等 D.与相互独立 题型九、判断事件的相互独立性 解析 事件A与事件B能同时发生，如第一枚的点数为2，第二枚的点数为1， 故事件A与事件B既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误； ，，，，因为 ，所以A 与B相互独立，故选项D正确； 易知事件A与事件B不相等，故选项C错误. 判断两事件是否互斥与对立，主要是利用定义，而判断两事件是否相互独立，可以看一个事件的 发生对另一个事件的发生是否有影响，若无影响，则两事件相互独立，也可以利用公式 ，若公式成立，则两事件相互独立. 题型剖析 33 题型十、相互独立事件概率公式 28.甲、乙两人独立破译一份密码文件，已知甲、乙能破译的概率分别是，，则甲、乙恰有一人 成功破译这份文件的概率是( ) C A. B. C. D. 解析 由题意可知，甲、乙恰有一人成功破译的概率是. 甲、乙恰有一人成功破译这份文件有两种情况，包括甲成功破译而乙没有成功破译，甲没有成功 破译而乙成功破译. 29. 甲、乙、丙3人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为，，，则甲、 乙、丙中有人完成挑战的概率为( ) D A. B. C. D. 解析 由题意，甲、乙、丙三人都没完成挑战的概率， 则甲、乙、丙三人中有人完成挑战的概率，故选D. 题型剖析 30.如图，用，，三类不同的元件连接成一个系统.当正常工作且，至少有一个正常工 作时，系统正常工作.已知，，正常工作的概率依次是，，，且互不影响，则系统 正常工作的概率为( ) B A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576 解析 根据题意，记，，正常工作分别为事件A，B，C，则，， ，，中至少有一个正常工作的概率为 ，则系统正常工作的概率为. 故选B. 本题中由于涉及三个元件，因此要使系统正常工作，则需要元件正常工作，且元件 ,中至少有一个正常工作，因此将问题转化为求 的值. 题型十、相互独立事件概率公式 题型剖析 35 31.为了丰富员工的业余生活，某企业举办了有奖答题活动，参加活动的 员工依次回答三个问题， 不管答对或者答错，三题答完活动结束.规定每位员工只能参加一次活动，且至少答对两道题才能 获奖.已知员工甲第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，假设员工 甲是否答对每一题相互独立，则员工甲获奖的概率为___. 题型十、相互独立事件概率公式 解析 员工甲答对两题的概率为. 员工甲答对三题的概率为. 所以员工甲获奖的概率. 分别利用相互独立事件的乘法公式与互斥事件的概率加法公式求出员工甲答对两题和 答对三题的概率，从而可得员工甲获奖的概率. 题型剖析 36 1.为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将8瓶该种饮料装一箱，其中有2瓶 能够中奖.现从一箱该饮料中随机抽取2瓶，则下列两个事件互斥但不对立的是( ) C A.“至少有1瓶中奖”与“2瓶都中奖” B.“至多有1瓶中奖”与“2瓶都中奖” C.“恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖” D.“恰有1瓶中奖”与“至多有1瓶中奖” 解析 对于A，“至少有1瓶中奖”与“2瓶都中奖”可以同时发生，则“至少有1瓶中奖”与“2 瓶都中奖”不是互斥事件，所以A错误； 对于B，“至多有1瓶中奖”与“2瓶都中奖”是对立事件，所以B错误； 对于C，“恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖”是互斥但不对立事件，所以C正确； 对于D，“恰有1瓶中奖”与“至多有1瓶中奖”可以同时发生，则“恰有1瓶中奖”与“至多有1 瓶中奖”不是互斥事件，所以D错误.故选C. 针对训练 37 2.掷一枚质地均匀的骰子3次，三次朝上的点数之和大于14的概率为( ) B A. B. C. D. 解析 由题意知三次朝上的点数之和大于14可能为15，16，17，18四种情况： ，包含的样本点有,,,, ,,，,, ，共10个； ，包含的样本点有,,,,, ， 共6个； ，包含的样本点有,, ，共3个； ，包含的样本点有 ，1个. 又样本空间包含的样本点个数为,所以所求概率.故选B. 针对训练 38 3.某保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自 己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能打开保 险柜的概率是__. 解析 密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有,,,, ，共5个. 设最多输入2次就能打开保险柜为事件，输入1次能打开保险柜为事件，第2次输入才能打开 保险柜为事件，则且,互斥， 由题意知，，则， 所以最多输入2次就能打开保险柜的概率是. 针对训练 39 4.某班统计出某天学生向老师咨询物理、化学、生物问题的数量，其中咨询的物理问题有30道， 化学问题有20道，生物问题有10道.现从当天咨询的所有问题中用按比例分配的分层随机抽样的 方法抽取样本容量为6的样本，再从样本中一次性任取2题. （1）从样本中任取2题的样本点用 的形式表示，写出所有的样本点； 【解】用按比例分配的分层随机抽样抽到物理、化学、生物问题的数量分别为, ,. 设物理问题为,,，化学问题为,，生物问题为. 若从样本中任取2题，有,,,,,,,, ,,,,,, ，共15种. （2）求任取的2题中恰好有物理和化学问题各一道的概率. [解] 由（1）知，恰好抽到物理和化学问题各一题的情况共有6种，所以恰好抽到物理和化学 问题各一题的概率为. 针对训练 40 5.某中学调查了某班全部45名同学参加书法小组和科创小组的情况，数据如下表所示. 参加书法小组 未参加书法小组 参加科创小组 8 4 未参加科创小组 3 30 （1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个小组的概率； 【解】由表格数据知，未参加书法、科创小组的人数为30， 所以从班级中任选1名同学，该同学至少参加其中一个小组的概率为. （2）在既参加书法小组又参加科创小组的8名同学中，有5名男同学，，，，和3名女 同学，，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求被选中且未被选中的概率. [解] 从5名男同学和3名女同学中各随机选1人，所有可能的结果有 ,,,,,,,,,,,,,,，共 15个， 其中被选中且未被选中的情况有,，共2个，所以被选中且未被选中的概率为 . 针对训练 41 6. 是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图像处理与计算机视觉、信号 处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的 发展，某中学举行了科普讲座后进行了问答比赛，已知甲、乙两位同学互不影响地参加比赛， 且每一道题答对与否互不影响，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2题答错的概率为. （1）求乙答对一道题的概率； 【解】设“甲答对每一道题”为事件，“乙答对每一道题”为事件，由已知得, ，则乙连续2次答错的概率为.由题意得，解得或（舍去）， 所以乙答对一道题的概率为. （2）若甲、乙两人各回答2道题，求两人共答对3道题的概率. [解] 若甲、乙两人各回答2道题，两人共答对3道题，则甲只答对一道题、乙2道题全部答对或 乙只答对一道题、甲2道题全部答对. 甲只答对一道题、乙2道题全部答对的概率为， 乙只答对一道题、甲2道题全部答对的概率为， 故两人共答对3道题的概率为.所以甲、乙两人各回答2道题，两人共答对3道题的概率 为. 针对训练 42 7. 甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，并约定规则如下: 在每个回合中，若发球方赢球，则得 1 分， 并且下一回合继续由其发球; 若发球方输球，则双方均不得分，且下一回合交换发球权; 比赛持续三 回合后结束，若最终甲、乙得分相同，则为平局.已知在每回合中，甲获胜的概率均为，各回合比赛 结果相互独立，第一回合由甲发球. （1）求甲至少赢 1 个回合的概率; 【解】设事件“第回合甲胜”，,2,3,为对立事件，则，.设事 件“甲至少赢1个回合”，故 “甲每回合都输”. ， 故甲至少赢1个回合的概率为. 针对训练 43 （2）求第二回合中有选手得分的概率; [解] 设事件“第二回合有选手得分”，由题可知，且和互斥， 则， 故第二回合有人得分的概率为. （3）求甲、乙两人在比赛结束后平局的概率. [解] 设事件“甲、乙两人平局”，由题可知，只有与两种情况， 因此， 故 ， 故甲、乙两人平局的概率为. 针对训练 44 1．知识清单： (1)利用古典概型求解事件的概率． (2)运用概率的性质求解事件的概率． 2．方法归纳：列举法、间接法． 3．常见误区：互斥事件的判断、对立事件的判断． 课堂总结 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的______________ _______称为样本点 用____表示样本点 样本 空间 全体_______的集合称为试验E的样本空间 用____表示样本空间 有限样 本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn} 随机 事件 我们将样本空间Ω的_____称为随机事件，简称事件，并把只包含_____样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 必然 事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中________ _________发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 不可能 事件 空集∅不包含任何样本点，在_____________都不会发生，我们称∅为不可能事件 3．古典概型的概率计算公式： 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 性质1　对任意的事件A，都有_________. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝__，P(∅)＝__. 性质3　如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝_______________． 推广：如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)． 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝_______，P(A)＝_______． 性质5　如果A⊆B，那么P(A)P(B)． 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝___________ ___________． 　 频率的稳定性： 　一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐______事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．可以用频率fn(A)估计概率P(A)． [微提醒]　频率与概率的区别和联系 区别：(1)在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． (2)概率是度量随机事件发生的可能性大小的量． (3)频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化；概率是一个定值，是某事件的固有属性． 联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)． 1．相互独立事件的定义： 对任意两个事件A与B，如果 P(AB)＝____________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2．相互独立事件的性质： 当事件A，B相互独立时，事件___与事件___相互独立，事件___与事件___相互独立，事件___与事件___相互独立． $