4.4 对数函数 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§4.4 对数函数 目录 题型1：求对数型函数的定义域 3 题型2：对数型函数图像的应用 5  对数型函数图像的识别 5  对数型函数的方程与不等式问题 10 题型3：对数型复合函数的值域与最值问题 16 题型4：对数型函数的单调性及应用 23  对数型复合函数的单调性的判断 23  对数式的大小比较 25  解对数不等式 29 题型5：对数型函数的奇偶性及应用 40 题型6：对数型复合函数性质的综合应用 42 【强化训练】 53 1. 对数函数的概念 一般地，函数(且)叫做对数函数，其中是自变量，定义域是。 (1) 以10为底的对数函数叫做常用对数函数,以e为底的对数函数叫做自然对数函数。 (2) 判断一个函数是对数函数的依据 ①形如;②底数a满足a>0,且a≠1:③真数是x,而不是x的函数;④定义域为。 2. 对数函数的图像与性质 图象 定义域 值域 定点 过定点 函数值的变化情况 当 时，； 当 时， 当时，； 当时， 单调性 在上是增函数 在上是减函数 对称性 函数与的图像关于轴对称 如图给出4个对数函数的图象 则 ，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3. 反函数 一般地，指数函数与对数函数互为反函数，它们的定义域与值域正好互换。互为反函数的两个图象关于直线对称，且具有相同的单调性。 4. 几类函数的增长差异比较 函数 性质 在上的单调性 单调递增，且越大，增长越快 单调递增，且越大，增长越快 单调递增，且越小，增长越快 增长速度 固定不变 越来越快(指数爆炸) 越来越慢 图象的变化 匀速上升 随的增大逐渐表现为与轴平行 随的增大逐渐表现为与轴平行 值的比较 存在一个，当时，有 题型1：求对数型函数的定义域 方法提炼 求与对数型函数有关的函数定义域时,除遵循前面求函数定义域的方法外,对数型函数还要注意如下要求:（1）真数大于0;（2）底数大于0且不等于1；（3）根据底数的取值确定单调性。 【例1.1.】 函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得， 由①得，由②得，故， 故所求函数定义域为. 故选：C 【例1.2.】 函数的定义域是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数的性质及分式不等式的解法求定义域. 【详解】由对数的性质知， 所以函数定义域为. 故答案为： 【例1.3.】 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】求出函数的定义域，根据函数解析式有意义，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，，则， 所以，函数的定义域， 对于函数，有，即，解得. 因此，函数的定义域为. 故选：D. 题型2：对数型函数图像的应用 常见的图像变换 (1) 一般地,函数(为正数)的图像可由函数的图像变换得到。 将的图像向左或向右平移a个单位长度可得到函数的图像,再向上或向下平移b个单位长度可得到函数的图像(记忆口诀:左加右减,上加下减)。 (2) 含有绝对值的函数的图像变换是一种对称变换,一般地,的图像是关于直线对称的轴对称图形;函数的图像与的图像在x轴上方相同,在x轴下方关于x轴对称。 (3) 的图像与的图像关于y轴对称,的图像与的图像关于x轴对称。 · 对数型函数图像的识别 方法提炼 对数型函数图像的识别方法:根据函数解析式确定函数图像的问题,主要是通过不同的角度来确定函数解析式与函数图像的对应关系,如函数的定义域(值域)单调性,图像是否过定点,图像的对称性等。 【例2.1.】 函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断对数型函数的图象形状、函数图像的识别 【分析】利用的奇偶性与特殊区间处的函数值正负排除错误选项. 【详解】方法一：易知函数定义域是，又， 故是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D， 当时，，排除B； 方法二：当时，，则，排除B，D， 当时，，则，排除C， 故选：A 【例2.2.】 函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、判断对数型函数的图象形状、函数图像的识别 【分析】根据题意，由函数的奇偶性排除两个选项，再利用时函数值为正即可判断. 【详解】因，由可得，显然关于原点对称， 且，所以是奇函数，故C，D错误； 又因为．故可排除B项，A项符合要求． 故选：A. 【例2.3.】 函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、判断对数型函数的图象形状 【分析】求出函数的定义域，分析该函数的奇偶性及在上的函数值符号，以及与的大小关系，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】易知函数的定义域为， 因为，所以，函数为奇函数，排除D. 又当时，，则，排除C. 又，排除B. 故选：A. 【例2.4.】 函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断、判断对数型函数的图象形状 【分析】根据奇函数排除D，根据排除C，根据当时，排除B即可求解. 【详解】由题意要使得函数有意义，则，且， 这表明函数定义域关于原点对称， 且，从而函数是奇函数，故排除D， 由，排除C， 当时，，排除B. 故选：A. 【例2.5.】 若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断指数型函数的图象形状、根据对数型函数图象判断参数的范围 【分析】先根据函数的图象确定的范围，再根据指数函数的图象即可得解. 【详解】由函数的图象知， 则， 所以函数为增函数， 且函数的图象是由函数向上平大于零小于个单位， 所以函数的大致图象是C选项. 故选：C. 【例2.6.】 已知函数过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数型函数图象过定点问题、函数图像的识别、求幂函数的解析式、幂函数图象的判断及应用 【分析】根据对数型函数恒过定点求出，代入幂函数解析式得，进而可得图象. 【详解】因为，当时，，所以过定点， 设幂函数，幂函数的图象经过点P，代入，即，解得， 所以幂函数为，定义域，结合定义域和图象，可知C正确， 故选：C. · 对数型函数的方程与不等式问题 方法提炼 对于有关对数型函数的方程或不等式问题常常结合对数型函数的图像来解决,即利用数形结合法求解。应用时要准确画出函数图像,把方程的根、不等式的解等问题化为函数图像之间的关系的问题。 【例2.7.】 设方程的两个根为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数与方程的综合应用、对数函数图象的应用 【分析】等价于，作出方程左右两边所对应的函数图象，结合图象可知答案． 【详解】等价于，作出函数与的图象，如图．    结合图象易知这两个函数的图象有两个交点， 交点的横坐标即为方程的两个根，可知，． 根据在上是减函数，可得，所以． 又，，所以，即， 则，所以． 而，所以． 故选：D． 【例2.8.】 已知分别是方程与的实数解，则的值为 ． 【答案】10 【难度】0.65 【知识点】对数函数图象的应用、反函数的性质应用、函数与方程的综合应用、指数函数图像应用 【分析】结合函数的图象，将看成与的交点的横坐标，看成与的交点的横坐标，因函数与的图象关于直线对称，直线也关于直线对称，则得点与点也关于直线对称，即可列式计算. 【详解】由可得，由可得， 不妨记， 依题意，为与的交点的横坐标， 为与的交点的横坐标，作出这些函数的图象如下： 因函数与是一对反函数，图象关于直线对称， 而直线与直线垂直，故也关于直线对称， 则点与点也关于直线对称， 故得，化简得：，即. 故答案为：10. 【例2.9.】 若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】指数函数图像应用、函数图像的识别、对数函数图象的应用 【分析】根据题意分别写出a，b，c的表达式，画出图象比较即可. 【详解】令，则． 函数的大致图象如图所示． 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即． 故选：C. 【例2.10.】 已知函数，若，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】函数图象的应用、根据对数函数的值域求参数值或范围、函数不等式恒成立问题 【分析】设，，根据当时，判断两个函数的符号关系得到必需过点点，建立，的关系，根据图象和一元二次函数根的关系，列出不等式求解即可． 【详解】设，，则在上为增函数，且， 若当时，则满足当时，，当时，， 即必需过点点，则，即， 此时函数与满足如图所示： 此时， 则满足函数，所以，即a的最小值为. 故选：A 【例2.11.】 若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、由对数函数的单调性解不等式、根据对数型函数图象判断参数的范围、函数不等式恒成立问题 【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案. 【详解】变形为：，即在上恒成立， 若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意； 当时，画出两个函数的图像，    要想满足在上恒成立，只需，即， 解得：，综上：实数a的取值范围是. 故选：C 【例2.12.】 已知函数，若恰有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、对数函数图象的应用 【分析】根据，可得只有两个正整数，对分类讨论应用数形结合列式计算求参即可. 【详解】由，可得， 即不等式的解集中只有两个正整数， 当，原不等式即为，不满足题意； 当时，二次函数在上单调递减，且恒成立，不满足题意； 当时，二次函数在上单调递增，且恒成立， 当时，， 所以只有和满足， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 题型3：对数型复合函数的值域与最值问题 方法提炼 (1) 求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域(最值)时,关键是根据单调性求解若需换元,要考虑新元的取值范围。 (2) 若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母),要考察其单调性,就必须对底数进行分类讨论。 (3) 对于形如(,且)的复合函数,其值域的求解步骤如下: ①分解成,两个函数; ②求的定义域; ③求的取值范围; ④利用的单调性求解。 【例3.1.】 函数的值域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求对数函数在区间上的值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】由及对数函数的性质，可得到的取值范围，进而得到的取值范围，从而得到的取值范围，即可求得函数的值域. 【详解】因为，所以，， 所以，即的值域为． 故答案为：. 【例3.2.】 函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、求对数函数在区间上的值域、求二次函数的值域或最值、求对数型复合函数的值域 【分析】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 【例3.3.】 已知函数，，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数函数的最值 【分析】先求函数的定义域，然后利用换元法将其化成二次函数，求其值域即可. 【详解】因，，对于函数， 由，解得，即函数的定义域为， ， 设，则由可得， 而在区间上单调递减， 故当时，取得最小值为. 故选：A. 【例3.4.】 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、求对数型复合函数的值域 【分析】利用基本不等式求的范围，结合对数的性质求复合函数定义域，判断端点值是否可取，进而确定值域. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 所以，故值域为. 故选：D 【例3.5.】 （1）求函数的值域； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【难度】0.4 【知识点】函数与方程的综合应用、对数的运算、求对数型复合函数的值域 【分析】（1）先利用换底公式化简，然后利用复合函数的单调性计算值域即可； （2）先构造函数， 然后利用函数的单调性以及得到的关系，然后消元，计算的最大值即可. 【详解】（1）. 设. 因为在上为增函数， 所以的值域为，即， 所以函数的值域为. （2）由，得. 设， 因为， 所以. 因为在上均为增函数，所以在上为增函数， 所以， 所以，则的最大值为，此时. 【例3.6.】 若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、求对数函数在区间上的值域 【分析】根据分段函数的单调性，分和时，结合对数函数的性质讨论即可. 【详解】因为函数的值域为， 可知在内单调递减，则，解得， 可得当时，，即在内值域为，符合题意； 且在内不单调递减， 若在内单调递增，则，解得， 此时，符合题意； 若在内为常函数，则，解得， 此时，符合题意； 综上所述：实数的取值范围是． 故选：A． 【例3.7.】 （多选）已知函数，若包含于的值域，则满足条件的实数m可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】分段函数的值域或最值、求指数型复合函数的值域、求对数函数在区间上的值域 【分析】分析分段函数两部分的值域，确保包含，分情况列不等式即可求解. 【详解】当时，单调递增，所以； 当时，单调递增， 所以， 因为包含于的值域， 所以或，解得或. 所以满足条件的实数m可以是或. 故选：AC 【例3.8.】 已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、根据对数型函数图象判断参数的范围 【分析】根据题意得，作出图像分析时，有，化简，从而得到答案. 【详解】由题可得：，作出的图像如下： 由，且，则，，即，解得：， 所以 由，则， 所以，故当，即时，取最小值为. 故选：B 【例3.9.】 已知函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、根据对数函数的最值求参数或范围 【分析】根据真数对应的函数有正的最小值可求实数的取值范围. 【详解】当时，，当且仅当时等号成立， 故，故有最小值， 当时，令，则， 故或， 故函数的定义域为， 在定义域的条件下，此时无最小值，故舍去； 综上，， 故选：D 【例3.10.】 已知函数，若，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、求指数型复合函数的值域、根据全称命题的真假求参数、求对数型复合函数的值域 【分析】利用单调函数来求值域，再利用等式恒成立来研究值域的包含关系，从而可求参数范围. 【详解】由在区间单调递增，可知此时函数值域为， 再由， 当时，可知在区间上单调递增，所以此时函数值域为， 因为，使得， 所以有， 即，解得， 由于此时，所以有， 当时，可知在区间上单调递减，所以此时函数值域为， 因为，使得， 所以有， 即，解得， 由于此时，所以有， 当时，可知， 因为，所以对，总能使得， 即，满足题意， 综上所述可得：的取值范围是. 故答案为：. 题型4：对数型函数的单调性及应用 · 对数型复合函数的单调性的判断 方法提炼 对数型复合函数一般分为两类:型和型。 ①研究型复合函数的单调性,一般用复合法判定,即令,则只需研究及的单调性即可。 ②对于复合函数(,且)的单调性,首先由确定函数的定义域,然后判断在定义域上的单调性,最后结合底数或来确定的单调性,其核心是同增异减。 【例4.1.】 函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】根据给定条件，求出函数的定义域，再利用二次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出递减区间. 【详解】由，即，解得，则函数的定义域为， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减，所以的单调递减区间为. 故选：B 【例4.2.】 若在区间上递减，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【分析】由对数函数是增函数，可得要使函数在上递减，则函数在上单调递减以及函数值总大于零，由此联立不等式组求解． 【详解】令，其对称轴方程为，对数函数是增函数， 要使函数在上递减，则， 解得，实数的取值范围是． 故选：B. 【例4.3.】 已知正实数满足：，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、对数函数单调性的应用 【分析】利用对数运算进行变形，然后构造函数，利用函数单调性求解即可. 【详解】因为，故，即， 故，， ，故 设，则， 因为是增函数，故， 所以. 故选：B. · 对数式的大小比较 方法提炼 常见的大小比较有以下几种类型和方法: (1) 单调性法:比较同底数(是具体的数值)的对数大小,构造对数函数,利用对数函数的单调性比较大小。 (2) 中间量法:比较不同底数对数的大小,常借助于中间值0进行比较。 利用口诀:“同大异小”判断对数的符号。对于对数和均与1比较大小,当和都同大于(小于)1 时,大于(小于)0。 (3) 分类讨论法:比较同底数(不是具体的数值)的对数大小,构造对数函数,利用对数函数的单调性比较大小。 (4) 比较多个对数式的大小,则应先根据每个对数式的结构特征,以及它们与中间量“0”和“1”的大小情况进行分组,再比较各组内的对数式的大小即可。 (5) 比较含参数的两个对数式的大小,要注意对底数是否大于1进行分类讨论,有时也要注意挖掘所给对数式的隐含条件。 【例4.4.】 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】研究对数函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】先分别求出的值，再根据对数函数与指数函数的单调性判断、的取值范围，最后比较、、的大小． 【详解】根据对数恒等式（），可得． 对于对数函数，因为底数，所以该函数在上单调递增． 又因为，，且，所以，即． 对于指数函数，因为底数，所以该函数在上单调递增． 又因为，所以． 由以上分析可知，即． 故选：B． 【例4.5.】 已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、对数函数单调性的应用、比较指数幂的大小 【分析】根据指数幂运算可得，又由对数函数单调性可得，得解. 【详解】因为，所以. 又，所以. 故选：B. 【例4.6.】 已知函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据函数的对称性与单调性可将函数值的比较转化为自变量的比较，结合指数函数与对数函数的性质可得解. 【详解】因为的图象关于直线对称，且在上单调递减． 而， 所以， 故选：D. 【例4.7.】 设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因函数是减函数，故，即A错误； 对于B，因函数在上为减函数，故，即B错误； 对于C，D，由上分析，可得，故有，即C正确，D错误. 故选：C. 【例4.8.】 设，，，则（　　） A．c<b<a B．b<c<a C．a<c<b D．a<b<c 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小 【分析】分别将与利用对数性质比较，得到答案， 【详解】因为，，所以b>c>a. 故选：C. 【例4.9.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数函数单调性的应用、由基本不等式比较大小、对数的运算、比较对数式的大小 【分析】根据的单调性，分别得出，，又，故可以得出大小关系. 【详解】由于， 所以，又， ，所以． 故选：C. · 解对数不等式 方法提炼 对数不等式的三种考查类型及求解方法 (1) 形如的不等式,借助的单调性求解,如果a的取值不确定,需分与两种情况进行讨论。 (2) 形如的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(),再借助的单调性求解。 (3) 形如(且不等于1,)的不等式,可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用函数图像进行求解。 【例4.10.】 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】方法一：利用，根据对数型函数的单调性和定义域要求，列不等式求解即可，方法二：特殊值法． 【详解】方法一：因为，所以不等式化为， 又在上是增函数， 所以，解得， 即不等式的解集为． 方法二：当时，无意义，排除C，D； 当时，无意义，排除B. 故选：A. 【例4.11.】 已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、求对数函数的解析式 【分析】根据已知函数值及对数的运算性质求得，不等式化为，利用对数函数的单调性解不等式求解. 【详解】由题意得，，解得， 所以， 所以， 所以，即， 从而，解得， 故不等式的解集为. 故选：A 【例4.12.】 已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、由对数函数的单调性解不等式、求二次函数的值域或最值 【分析】先讨论当时，不等式转化为，确定函数在时的单调性得最值即可得此时的取值范围，再根据此范围确定当时，函数的单调性，从而得最值得的取值范围，综合可得结论. 【详解】当时，不等式为，即， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； 由于，则当时，函数在上单调递减， 所以，解得，所以； 综上，的取值范围是. 【例4.13.】 已知函数的定义域为，，对任意的，，当时，有．若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】将变形为，令，可得函数在上单调递减，将化为，利用函数单调性即可求得答案. 【详解】当时，有， 则，即， 令，则， 即函数在上单调递减， 又，，即， 则，即，解得， 所以实数a的取值范围是． 故答案为：. 【例4.14.】 已知函数是偶函数． (1)求的值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【难度】0.65 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、由奇偶性求参数、对数型复合函数的单调性、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）根据偶函数的性质求出参数的值，即可得到函数解析式，再代入计算可得； （2）依题意关于的不等式在上有解，令，，利用作差法证明函数的单调性，即可得到在上的单调性，从而求出，即可得解. 【详解】（1）因为函数为偶函数，所以， 即， 所以，整理得恒成立， 所以，解得，所以，故． （2）由（1）可得，关于x的不等式在上有解， 令，，取， 则． 因为，所以，，，， 所以，，即， 所以在上单调递增， 又在定义域上单调递增，因此在上单调递增． 令，， 因为函数与函数在上均单调递增， 所以在上单调递增，且， 所以，故实数的取值范围为． 【例4.15.】 已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的值域、解不含参数的一元二次不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）令，，则，函数转化为，，求出二次函数在上的值域，即为函数在上的值域； （2）令，可将所求不等式变形为关于的取值范围，再结合对数函数的单调性可得出的取值范围，即为所求； （3）令，，则，可得出对于恒成立，由参变量分离法可得对于恒成立，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 令，，则， 函数转化为，， 则二次函数， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值，即， 由，可知当时，取到最大值，即， 故当时，函数的值域为． （2）由题得， 令，则，即，解得或， 即或，解得或. 故不等式的解集为. （3）由于对于恒成立， 令，，则，即对于恒成立， 即对于恒成立，所以对于恒成立． 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，则时，， 故当时，对于恒成立． 所以，的最小值为． 【例4.16.】 已知函数，函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，求实数x的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】含参指数函数的最值、由对数函数的单调性解不等式、判断指数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的值域 【分析】（1）通过换元，借助二次函数的单调性及指数函数单调性求解即可； （2）变形得到，结合，求出的值域； （3）转化为，求出，故，得到答案. 【详解】（1）， 令，得，在递减，递增， 又为增函数， 所以由复合函数的单调性可知： 的单调递减区间是，单调递增区间是 （2）由，可得： ， ∵，∴， 即的值域为. （3）不等式对任意实数恒成立 ∴. ， 令，∵，∴， 设，， 当时，取得最小值-3，即， ∴，即， ∴，即，解得， ∴实数x的取值范围为. 【例4.17.】 已知函数，其中，且． (1)求函数的定义域； (2)已知，若不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)当，定义域为；当时，定义域为 (2) 【难度】0.4 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数函数最值与不等式的综合问题 【分析】（1）根据指数函数的单调性，分情况求出函数定义域； （2）先求出，然后参变分离，问题转化成，求出不等式左边的最小值即可. 【详解】（1）设，由题知，即， 根据指数函数的单调性， 当时，由，解得； 当时，由，解得. 综上，当，定义域为；当时，定义域为 （2）时，即，即，解得， 由于，此时， ， 则， 即， 即， 即， 设， 令，则， 此时， 根据对勾函数的单调性，在上递减， 注意到，则在取得最大值，即， 则，此时，则 【例4.18.】 已知函数（且），若函数与函数互为反函数，且函数的图象经过点． (1)求函数与的解析式； (2)若，求x的取值范围； (3)若，，使成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】反函数的性质应用、根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由与函数（且）互为反函数，再代入点的坐标求解可得a值，则解析式可求； （2）将原不等式化为的形式，利用指数函数与对数函数的单调性求解即可； （3）将原问题转化为时，的最大值大于时的最大值，再分、、三种情况进行讨论即可求出k的取值范围. 【详解】（1）∵函数与函数（且）互为反函数 ∴． 又函数的图象经过点 ∴，即． ∴，； （2）由不等式得： ∴ ∴ ∴． 故解集为； （3）因为，， 使成立， 所以时的最大值大于时的最大值． 又时，的值域为，时，的值域为 ∴①当时，，，，， 则，解得：． ②当时，，，，， 则，此不等式组无解. ③当时，，， ，， 则，解得： 综上，k的取值范围为． 题型5：对数型函数的奇偶性及应用 方法提炼 为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数进行化简,或利用定义的等价形式进行判断: 。其中 多用于对数型函数奇偶性的判断,多用于指数型函数奇偶性的判断。 【例5.1.】 若函数为偶函数，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用对数函数的性质综合解题、由奇偶性求参数 【分析】根据函数是偶函数，则，解出后验证即可. 【详解】因为为偶函数， ， 则有， 解得， 经验证时，符合条件， 故选：B. 【例5.2.】 若函数是奇函数，则实数 . 【答案】1 【难度】0.4 【知识点】对数的运算、由奇偶性求参数 【分析】根据函数奇偶性的定义及对数运算性质即可求解. 【详解】， 所以， 因为为奇函数， 所以， 所以， 即，所以， 所以， 所以，解得， 此时定义域为，关于原点对称，满足奇函数要求，符合题意. 故答案为：1. 【例5.3.】 已知函数，若，则 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】利用对数函数的性质综合解题、奇偶函数对称性的应用 【分析】构造函数，判断出是奇函数，则，由此可计算． 【详解】设，，则，， ， 即为奇函数，所以，， 由得. 故答案为：. 【例5.4.】 已知非常数函数是奇函数，则 . 【答案】/2.5 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称得到，即可求出，再由奇函数的性质求出，进而求解即可. 【详解】由于函数是奇函数， 所以其定义域关于原点对称，， 由，则，所以，解得， 此时， 则， 所以， 则，故. 故答案为：. 题型6：对数型复合函数性质的综合应用 【例6.1.】 设函数，若存在，满足，则实数的最小值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的值域 【分析】先确定最大值与最小值，再将存在性问题转化为最值问题，最后解不等式得的取值范围，即得的最小值. 【详解】因为在上单调递减， 所以 因为存在，满足， 所以，即 ， ， 故选：D. 【例6.2.】 已知实数x，y满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】反函数的性质应用 【分析】利用指对函数互为反函数的性质，将原式子变为结构相似的形式，再利用对称性即可解题. 【详解】将题中式子变形得，， 令，则， 故，分别为和与的交点， 由函数的对称性可知，，关于对称， 故，即， 故选：B． 【例6.3.】 已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、对数型复合函数的单调性 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式. 【详解】由题知函数的定义域为，，所以为偶函数， 当时，和均为增函数，所以在上单调递增， 故由可得，解得. 故选：B. 【例6.4.】 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数的奇偶性结合给定区间上的函数解析式，确定函数的单调性，借助于特殊值替代，利用单调性即可求解抽象不等式. 【详解】因为当时，，则，且函数在上单调递增， 则由可得，利用函数的单调性可得； 又是定义在R上的奇函数，故； 当时，，则，因，则， 函数在上单调递增且， 则由可得，利用单调性可得. 综上可得，不等式的解集是. 故选：A. 【例6.5.】 已知函数 若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数函数单调性的应用、由对数函数的单调性解不等式 【分析】由令，判断奇偶性，然后由初等函数的单调性，判断单调性，进而解不等式. 【详解】由可知函数定义域为， 令， 则， 故为奇函数， 由则， 即, 由初等函数可以得到在定义域上单调递增， 故,即,解得或. 故的范围为. 故选：B. 【例6.6.】 已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】分段函数的值域或最值、求对数型复合函数的值域、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）根据奇偶性定义列式整理可得； （2）分和去掉绝对值符号，结合对数函数性质可解. 【详解】（1）因为函数为奇函数，为偶函数， 所以．                   即， 整理可得 即； （2）①当，即，即时， ， 由于，则； ②当，即，即时， ， 由于，则； 综合上述可知的值域为 【例6.7.】 已知（，且）． (1)判断的奇偶性； (2)若在区间内的最大值为2，求． 【答案】(1)是偶函数 (2) 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据对数函数的最值求参数或范围、对数型复合函数的单调性 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可； （2）根据复合函数的单调性，结合题设讨论求解即可. 【详解】（1）由题意得解得， 则的定义域为，关于原点对称， 且， 所以是偶函数． （2）， ①当时，函数在上单调递增， 则在区间内的最大值为2可转化为在区间内的最大值为， 因为在区间单调递减， 所以， 解得（负值舍会），与矛盾，舍去； ②时，函数在上单调递减， 则在区间内的最大值为2可转化为在区间内的最小值为， 因为在区间单调递减， 所以，解得（负值舍会），满足． 综上，． 【例6.8.】 已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数的运算、由对数函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； （3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可. 【详解】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． （3）由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 【例6.9.】 已知函数 (1)当时，求的最小值； (2)若为偶函数，求的值； (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)的最小值为 (2) (3)的取值范围是 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、求对数型复合函数的值域、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）根据复合函数单调性确定函数的单调性即可得最值； （2）根据函数的奇偶性求参数即可； （3）由题意可得恒成立，利用换元法可得，则在上恒成立，由对数函数的单调性及参变量分离法可得在上恒成立，利用基本不等式可得的最小值，从而可得的取值范围． 【详解】（1），由于恒成立， 所以函数的定义域为， 又函数在上单调递减，在上单调递增，函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为； （2）若为偶函数，则， 所以， 即恒成立，所以； 当时，函数定义域为，满足， 故若为偶函数，则； （3）若对于任意，存在，使得不等式成立， 则恒成立， 令，当时，， 所以，所以当时，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，则在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 【例6.10.】 已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)若，求实数x的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】由奇偶性求参数、根据函数的单调性解不等式、对数的运算、求对数型复合函数的值域 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）根据的单调性，分类讨论解不等式； （3）先求出的值域，利用换元法得到的值域，根据题意得到两个值域的包含关系从而得到结果. 【详解】（1）函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得，解得，此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意， 所以. （2）由（1）知，其定义域为， 显然在，上均单调递减， 且当时，，，，所以， 同理可得当时，， 若，可能满足以下几种情况： ①，解得， ②，解得， ③，解得，显然无解， 综上，实数x的取值范围是 （3）由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令，， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得. 所以实数m的取值范围是. 【强化训练】 1. 函数的图象可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断对数型函数的图象形状、函数图像的识别 【分析】先求函数的定义域，再取特殊值即可求解. 【详解】令，由或， 所以的定义域为，故可以排除AB选项， 令有，故C错误，D正确. 故选：D. 2. 已知函数，则函数的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】对数型复合函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】解法一：将函数解析式变形成，再求最小值； 解法二：令，通过换元将原函数解析式转化为，再求二次函数的最小值. 【详解】解法一：的定义域为， ， ∴当，即时，取得最小值，． 解法二：令，则， 的图象为开口向上的抛物线，与轴的交点为， 图象的对称轴为 ， 即的最小值为． 故选：D. 3. 已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据复合函数的单调性及对数函数的单调性和定义域求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以在上单调递减，且在上恒成立， 则，解得， 故选：B 4. 设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】通过中间值0和1，即可比较大小. 【详解】因为， 所以， 故选：B 5. 已知，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【详解】由题意，得解得，函数的定义域为．又，所以函数是定义在上的偶函数．，所以在上单调递减．又，所以解得． 6. 已知函数，若的值域为，则实数的范围是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、根据对数函数的最值求参数或范围 【分析】分析可知，函数在上的值域包含，可知函数在上单调递增，结合题意可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】当时，，即函数在上的值域为， 由题意可知，函数在上的值域包含， 即函数在上单调递增，所以，， 且，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 7. 已知函数的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据对数型函数图象判断参数的范围、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由题意转化为，关于原点的对称图象与时的函数有交点，利用数形结合，即可求解. 【详解】由函数定义域可知，， 当时，设，要题目条件成立，只需的图象与的图象有公共点，即方程在时有解， 所以，即在时有解， 作出函数的图象如图， 由图象可知，若和的图象有一个交点，则，得， 当时，与有一个交点， 综上所述，. 故选：D 8. （多选）已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、求对数函数的定义域、对数的运算性质的应用、比较指数幂的大小 【分析】根据对数的运算法则和真数大于0可得，即可判断ABC；利用的单调性即可判断D. 【详解】A选项，由题意可知，即，则， 因，，则， 因在单调递减，则，故A正确； B选项，易知，因在上单调递减，则，故B错误； C选项，由，得，，则，故C正确； D选项，因在单调递增，在单调递减， 则在单调递增， 则，即，故D正确． 故选：ACD 9. 函数的定义域是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】由分式，对数式可得函数定义域. 【详解】由题，或. 则函数的定义域是. 故答案为： 10. 如图，矩形的三个顶点分别在矩形的边分别平行于两坐标轴．若点的纵坐标为2，则点的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用对数函数的性质综合解题、幂函数图象的判断及应用、指数函数图像应用 【分析】根据点在函数的图象上求出、、，由可得答案. 【详解】由题中图象可知，点在函数的图象上， 所以，即． 因为点在函数的图象上， 所以． 因为点在函数的图象上，所以． 又因为，所以点的坐标为． 故答案为：． 11. 已知函数（，）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，，则的最小值是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由对数函数性质确定定点坐标，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由函数（，）可知定点， 又因为点A在一次函数上，所以， 所以， 当且仅当，时等号成立. 故答案为： 12. 已知函数，则函数的值域为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求对数函数的最值 【分析】根据对数函数单调性可得函数的值域，利用换元法整理函数，根据新函数的单调性可得答案. 【详解】易得是减函数，所以． 令，则，因为函数在上单调递增， 所以，即的值域为． 故答案为：. 13. 当时，不等式恒成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数函数单调性的应用、对数函数图象的应用 【详解】设，要使当时，不等式恒成立，只需在上的图象在在上的图象的下方即可，所以．当时，如图所示，要使在区间上，的图象在的图象下方，只需，即，即，解得． 14. 设函数，若，则实数k的最大值为 . 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】求对数函数在区间上的值域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、函数不等式恒成立问题 【分析】分和两种情况，根据对数函数符号可得的符号，结合恒成立问题分析求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为， 若，则有： 当时，则，可得， 即，且在内的值域为，则； 当时，则，可得， 即，且在内的值域为，则； 综上所述：，所以实数k的最大值为1. 故答案为：1. 15. 已知函数，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、研究对数函数的单调性 【分析】构造函数，判断的奇偶性和单调性，将不等式转化为，进而求解不等式． 【详解】设， 由于，所以的定义域为R， 又 ， 所以是奇函数． 当时，为增函数，为增函数， 所以是增函数，由是奇函数可知，在R上单调递增． 由得，即， 则，解得， 所以不等式的解集是． 故答案为：. 16. 已知函数，则函数的单调递增区间为 ；若，则实数的取值范围为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、对数型复合函数的单调性 【分析】构造函数，并确定函数的单调性和奇偶性，进而求解不等式. 【详解】函数， 令，由，得的定义域为， 又， 则函数是奇函数，函数在上单调递增， 又在上单调递增，因此函数在上单调递增， 在上单调递增，函数的单调递增区间为； 不等式， 于是，解得，所以实数的取值范围为. 故答案为：； 17. 已知函数且. (1)若，函数，，求的值域； (2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、求对数型复合函数的值域、由对数（型）的单调性求参数 【分析】（1）利用可求得；结合对数运算法则和换元法可将化为二次函数，根据二次函数值域求法可求得结果； （2）分别讨论和的情况，根据复合函数单调性和对数函数定义域的要求可构造不等式组求得结果. 【详解】（1），，， 设，由得：， ，， 当时，；当时，，， 即的值域为. （2）当时，在上单调递增； 令，则当时，且单调递减， ，不等式组无解； 当时，在上单调递减； 则当时，且单调递增， ，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 18. 已知函数． (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求实数x的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、研究对数函数的单调性、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）由单调性的定义说明即可； （2）首先说明是奇函数，再结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）在上单调递增． 证明如下：令，解得，所以的定义域为．设， 得． 因为，所以， 得，所以在上单调递增． （2），定义域为，，所以是奇函数． 所以原不等式可化为，即， 又在上单调递增，所以，解得， 所以x的取值范围为． 19. 已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值与函数的定义域． (2)若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围． 【答案】(1)；函数的定义域为； (2) 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、由奇偶性求参数、求对数型复合函数的值域、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据函数的奇偶性定义，求得，再通过函数解析式舍去，求解一元二次不等式即得函数的定义域； （2）先根据对数型复合函数的单调性求出函数在上的值域，再利用不等式恒成立即可求出参数m的取值范围. 【详解】（1）因是奇函数，故， 即得，则有，因不恒为0，故， 当时，，由，可得， 即函数的定义域为：， 又，故是奇函数； 当时，因，函数没有意义. 综上，且函数的定义域为. （2）由（1）得， 因，函数在上为减函数，故得， 又因在上为增函数，故有，即， 依题意对任意的恒成立，故，解得， 故实数m的取值范围为. 20. 已知函数． (1)证明函数为奇函数； (2)设函数，若，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、函数奇偶性的定义与判断、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）先求得函数的定义域，然后根据函数奇偶性的定义来证得结论成立. （2）根据的单调性求得在区间上的最小值，利用换元法求得在区间上的最小值，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）由，得，解得， 即的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. （2）由题意得，， ， 由为上恒为正且为增函数，在上为增函数， 可得在上单调递增，故， 对于，， 令，则，故， 其对称轴为，所以当，即时，， 由题意得， 解得，即实数的取值范围为. 21. 已知函数（且）的图象过点. (1)求的值及的定义域； (2)求在上的最大值； (3)若，比较与的大小. 【答案】(1)，； (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】比较函数值的大小关系、求对数型复合函数的定义域、求对数函数的最值、比较对数式的大小 【分析】（1）代入，求出，并得到不等式，求出定义域； （2）化简得到，根据，配方得到，，得到答案； （3）变形得到，，，所以，变形得到，，在上是增函数，又在时是减函数，故在上是减函数，. 【详解】（1）由已知，， ，定义域为； （2）， ， 当时，，则， 所以， 故最大值为，时取等号； （3），，， 其中，， 因为，所以，所以， 因为，则，， 因为，所以，，即， ，， 结合，可得，， 在上是增函数，又在时是减函数， 在上是减函数， . 22. 已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； (3)函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】由奇偶性求参数、根据函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的值域、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 【分析】（1）由题意可得，再结合对数的运算性质即可得解； （2）先判断函数的奇偶性，进而结合题设得到，再根据对数函数的单调性解不等式即可； （3）由题意可得函数和在上的值域的交集不为空集，进而结合指数函数的单调性分，讨论求解即可. 【详解】（1）因为函数为奇函数， 所以，即， 即，所以，解得， 经检验不符题意， 所以； （2）由（1）得， 由，解得， 所以函数的定义域为， 令，函数在上单调递减， 而函数是增函数， 所以函数上单调递减， 由，得， 则，即， 所以，解得， 即不等式的解集为； （3）由题意，函数和在上的值域的交集不为空集， 由（2）可知：时，为减函数， 又，所以的值域为， 若，则在上单调递减，则的值域为， 此时只需，即，所以； 若，则在上单调递增，则的值域为， 此时与的交集显然为空集，不满足题意；   综上所述，实数的范围是. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §4.4 对数函数 目录 题型1：求对数型函数的定义域 3 题型2：对数型函数图像的应用 4  对数型函数图像的识别 4  对数型函数的方程与不等式问题 7 题型3：对数型复合函数的值域与最值问题 7 题型4：对数型函数的单调性及应用 9  对数型复合函数的单调性的判断 9  对数式的大小比较 10  解对数不等式 11 题型5：对数型函数的奇偶性及应用 13 题型6：对数型复合函数性质的综合应用 13 【强化训练】 15 1. 对数函数的概念 一般地，函数(且)叫做对数函数，其中是自变量，定义域是。 (1) 以10为底的对数函数叫做常用对数函数,以e为底的对数函数叫做自然对数函数。 (2) 判断一个函数是对数函数的依据 ①形如;②底数a满足a>0,且a≠1:③真数是x,而不是x的函数;④定义域为。 2. 对数函数的图像与性质 图象 定义域 值域 定点 过定点 函数值的变化情况 当 时，； 当 时， 当时，； 当时， 单调性 在上是增函数 在上是减函数 对称性 函数与的图像关于轴对称 如图给出4个对数函数的图象 则 ，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3. 反函数 一般地，指数函数与对数函数互为反函数，它们的定义域与值域正好互换。互为反函数的两个图象关于直线对称，且具有相同的单调性。 4. 几类函数的增长差异比较 函数 性质 在上的单调性 单调递增，且越大，增长越快 单调递增，且越大，增长越快 单调递增，且越小，增长越快 增长速度 固定不变 越来越快(指数爆炸) 越来越慢 图象的变化 匀速上升 随的增大逐渐表现为与轴平行 随的增大逐渐表现为与轴平行 值的比较 存在一个，当时，有 题型1：求对数型函数的定义域 方法提炼 求与对数型函数有关的函数定义域时,除遵循前面求函数定义域的方法外,对数型函数还要注意如下要求:（1）真数大于0;（2）底数大于0且不等于1；（3）根据底数的取值确定单调性。 【例1.1.】 函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【例1.2.】 函数的定义域是 ． 【例1.3.】 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型2：对数型函数图像的应用 常见的图像变换 (1) 一般地,函数(为正数)的图像可由函数的图像变换得到。 将的图像向左或向右平移a个单位长度可得到函数的图像,再向上或向下平移b个单位长度可得到函数的图像(记忆口诀:左加右减,上加下减)。 (2) 含有绝对值的函数的图像变换是一种对称变换,一般地,的图像是关于直线对称的轴对称图形;函数的图像与的图像在x轴上方相同,在x轴下方关于x轴对称。 (3) 的图像与的图像关于y轴对称,的图像与的图像关于x轴对称。 · 对数型函数图像的识别 方法提炼 对数型函数图像的识别方法:根据函数解析式确定函数图像的问题,主要是通过不同的角度来确定函数解析式与函数图像的对应关系,如函数的定义域(值域)单调性,图像是否过定点,图像的对称性等。 【例2.1.】 函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【例2.2.】 函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【例2.6.】 已知函数过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． · 对数型函数的方程与不等式问题 方法提炼 对于有关对数型函数的方程或不等式问题常常结合对数型函数的图像来解决,即利用数形结合法求解。应用时要准确画出函数图像,把方程的根、不等式的解等问题化为函数图像之间的关系的问题。 【例2.7.】 设方程的两个根为，则（    ）． A． B． C． D． 【例2.8.】 已知分别是方程与的实数解，则的值为 ． 【例2.9.】 若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【例2.10.】 已知函数，若，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【例2.11.】 若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2.12.】 已知函数，若恰有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 题型3：对数型复合函数的值域与最值问题 方法提炼 (1) 求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域(最值)时,关键是根据单调性求解若需换元,要考虑新元的取值范围。 (2) 若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母),要考察其单调性,就必须对底数进行分类讨论。 (3) 对于形如(,且)的复合函数,其值域的求解步骤如下: ①分解成,两个函数; ②求的定义域; ③求的取值范围; ④利用的单调性求解。 【例3.1.】 函数的值域为 ． 【例3.2.】 函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知函数，，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例3.4.】 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 （1）求函数的值域； （2）已知，求的最大值. 【例3.6.】 若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3.7.】 （多选）已知函数，若包含于的值域，则满足条件的实数m可以是（    ） A． B． C． D． 【例3.8.】 已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例3.9.】 已知函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.10.】 已知函数，若，使得，则实数的取值范围是 . 题型4：对数型函数的单调性及应用 · 对数型复合函数的单调性的判断 方法提炼 对数型复合函数一般分为两类:型和型。 ①研究型复合函数的单调性,一般用复合法判定,即令,则只需研究及的单调性即可。 ②对于复合函数(,且)的单调性,首先由确定函数的定义域,然后判断在定义域上的单调性,最后结合底数或来确定的单调性,其核心是同增异减。 【例4.1.】 函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【例4.2.】 若在区间上递减，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知正实数满足：，则的值是（    ） A． B． C． D． · 对数式的大小比较 方法提炼 常见的大小比较有以下几种类型和方法: (1) 单调性法:比较同底数(是具体的数值)的对数大小,构造对数函数,利用对数函数的单调性比较大小。 (2) 中间量法:比较不同底数对数的大小,常借助于中间值0进行比较。 利用口诀:“同大异小”判断对数的符号。对于对数和均与1比较大小,当和都同大于(小于)1 时,大于(小于)0。 (3) 分类讨论法:比较同底数(不是具体的数值)的对数大小,构造对数函数,利用对数函数的单调性比较大小。 (4) 比较多个对数式的大小,则应先根据每个对数式的结构特征,以及它们与中间量“0”和“1”的大小情况进行分组,再比较各组内的对数式的大小即可。 (5) 比较含参数的两个对数式的大小,要注意对底数是否大于1进行分类讨论,有时也要注意挖掘所给对数式的隐含条件。 【例4.4.】 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【例4.5.】 已知，则（   ） A． B． C． D． 【例4.6.】 已知函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【例4.7.】 设，则（   ） A． B． C． D． 【例4.8.】 设，，，则（　　） A．c<b<a B．b<c<a C．a<c<b D．a<b<c 【例4.9.】 已知，则（    ） A． B． C． D． · 解对数不等式 方法提炼 对数不等式的三种考查类型及求解方法 (1) 形如的不等式,借助的单调性求解,如果a的取值不确定,需分与两种情况进行讨论。 (2) 形如的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(),再借助的单调性求解。 (3) 形如(且不等于1,)的不等式,可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用函数图像进行求解。 【例4.10.】 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例4.11.】 已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例4.12.】 已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例4.13.】 已知函数的定义域为，，对任意的，，当时，有．若，则实数a的取值范围是 ． 【例4.14.】 已知函数是偶函数． (1)求的值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数m的取值范围． 【例4.15.】 已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的最小值． 【例4.16.】 已知函数，函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，求实数x的取值范围. 【例4.17.】 已知函数，其中，且． (1)求函数的定义域； (2)已知，若不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围． 【例4.18.】 已知函数（且），若函数与函数互为反函数，且函数的图象经过点． (1)求函数与的解析式； (2)若，求x的取值范围； (3)若，，使成立，求实数k的取值范围． 题型5：对数型函数的奇偶性及应用 方法提炼 为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数进行化简,或利用定义的等价形式进行判断: 。其中 多用于对数型函数奇偶性的判断,多用于指数型函数奇偶性的判断。 【例5.1.】 若函数为偶函数，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【例5.2.】 若函数是奇函数，则实数 . 【例5.3.】 已知函数，若，则 . 【例5.4.】 已知非常数函数是奇函数，则 . 题型6：对数型复合函数性质的综合应用 【例6.1.】 设函数，若存在，满足，则实数的最小值为（    ） A． B．0 C． D． 【例6.2.】 已知实数x，y满足，，则（    ） A． B． C． D． 【例6.3.】 已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例6.4.】 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例6.5.】 已知函数 若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例6.6.】 已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域. 【例6.7.】 已知（，且）． (1)判断的奇偶性； (2)若在区间内的最大值为2，求． 【例6.8.】 已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【例6.9.】 已知函数 (1)当时，求的最小值； (2)若为偶函数，求的值； (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【例6.10.】 已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)若，求实数x的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【强化训练】 1. 函数的图象可以是（    ） A． B． C． D． 2. 已知函数，则函数的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 3. 已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. 设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5. 已知，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6. 已知函数，若的值域为，则实数的范围是（   ） A．2 B． C． D． 7. 已知函数的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8. （多选）已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 9. 函数的定义域是 . 10. 如图，矩形的三个顶点分别在矩形的边分别平行于两坐标轴．若点的纵坐标为2，则点的坐标为 ． 11. 已知函数（，）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，，则的最小值是 . 12. 已知函数，则函数的值域为 13. 当时，不等式恒成立，则a的取值范围是 ． 14. 设函数，若，则实数k的最大值为 . 15. 已知函数，则关于x的不等式的解集为 ． 16. 已知函数，则函数的单调递增区间为 ；若，则实数的取值范围为 17. 已知函数且. (1)若，函数，，求的值域； (2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围. 18. 已知函数． (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求实数x的取值范围． 19. 已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值与函数的定义域． (2)若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围． 20. 已知函数． (1)证明函数为奇函数； (2)设函数，若，使得，求实数的取值范围． 21. 已知函数（且）的图象过点. (1)求的值及的定义域； (2)求在上的最大值； (3)若，比较与的大小. 22. 已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； (3)函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $