7.3 定义、命题、定理 导学案2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学导学案聚焦定义、命题、定理核心概念，通过课前预习中语句分类、旧知回顾（如相反数、平行线等定义）建立前后知识联系，以学习支架形式引导学生逐步理解概念内涵。 资料通过小组探究、命题改写与真假判断、定理推理应用等环节，引导学生抽象数学概念，培养推理意识和应用意识，习题设计注重联系旧知与实践，助力学生形成数学思维和自主学习能力。

7.3 定义、命题、定理导学案 一、学习目标 1.能准确说出 “定义”“命题”“定理” 的概念，明确命题的组成（题设和结论），并能区分一个语句是否为命题。 2.能将初一年级已学的定义（如相反数、绝对值、平行线、等式性质、单项式等）准确表述出来，能把已学的命题（如 “对顶角相等”“内错角相等，两直线平行” 等）改写成 “如果…… 那么……” 的形式，并判断真假。 3.理解定理与真命题的关系，知道定理是经过推理证实的真命题，能运用已学定理（如平行线的性质定理、判定定理）进行简单推理。 二、课前预习 1.探究：以下6个语句，有什么不同，你能对它们进行分类吗?如果你能分类，分类的依据是什么? ①有公共端点的两条射线组成的图形叫作角； ②正数的绝对值是它本身； ③几个单项式的和叫作多项式； ④对顶角相等； ⑤只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫作一元一次方程. ⑥两直线平行，同位角相等. 2.回顾初一年级已学知识，填写下列定义： （1）相反数：________________________________； （2）绝对值：________________________________； （3）单项式：________________________________； （4）平行线：________________________________； （5）同位角：_____________________________； 3.判断下列语句是否为 “对一件事情的做出判断的语句”？ （1）今天天气好吗？（ ） （2）对顶角相等。（ ） （3）画一条直线 AB。（ ） （4）内错角相等，两直线平行。（ ） （5）最小的非负整数是1（ ） （6）同旁内角互补。（ ） 4.预习课本，填空： （1）_________叫做定义； （2）_________叫做命题，命题由_________和_________两部分组成，_________的命题叫做真命题，_________的命题叫做假命题； （3）_________叫做定理。 三、课堂学习 （一）探究新知 探究 1：认识 “定义” 我们在学习新的数学对象时，对新的事物含义或特征进行了清晰、明确的描述，这种描述称为数学对象的“定义”. 小组活动：小组内互相举例初一年级已学的定义（至少 5 个）： 示例 1：一元一次方程：_____________________________________ 示例 2：余角：_____________________________________________ 示例 3：对顶角：_____________________________________________ 示例 4：有理数：_____________________________________________ 探究 2：认识 “命题” 命题必须是 “可以判断一件事情为正确或错误的陈述语句”。疑问句、祈使句（画图、指令类）都不是命题。 小组讨论下列语句是不是命题： （1） 正数都大于 0； （2） 正数的绝对值是它的本身； （3） 绝对值是它本身的数是正数； （4） 画∠AOB=60°； （5） 同位角相等吗？ （6） 若 a∥b，b∥c，则 a∥c吗？ （7） 2 不是单项式。 探究 3：“命题的结构” 将下列命题改成“如果……那么……”的形式，并指出题设（条件）和结论 示例1：“内错角相等，两直线平行”—— 改写成 “如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线平行”； 题设（条件）：两条直线被第三条直线所截，内错角相等； 结论：这两条直线平行。 1.“等式两边都乘同一个数，结果仍是等式” 如果_________________________________那么_____________________； 题设：_________________________________ 结论：___________________ 2.“内错角相等，两直线平行” 如果_________________________________那么_____________________； 题设：_________________________________ 结论：___________________ 3.“两直线平行，同旁内角互补” 如果_________________________________那么_____________________； 题设：_________________________________ 结论：___________________ 4.“绝对值等于它本身的数是非负数” 如果_________________________________那么_____________________； 题设：_________________________________ 结论：___________________ 5.“对顶角相等” 如果_________________________________那么_____________________； 题设：_________________________________ 结论：___________________ 6.“同角的余角相等” 如果_________________________________那么_____________________； 题设：_________________________________ 结论：___________________ 探究4：“命题的真假” 真命题——题设成立时，结论一定成立的命题； 假命题——题设成立时，结论不一定成立的命题。假命题只要举个反例即可。 判断下列命题的真假： （1）“两直线平行，同位角相等”（ ）； （2）“若 a=b，则ac=bc”（ ）; （3）“相等的角是对顶角”（ ）； （4）“若 | a|=|b|，则 a=b”（ ）。 探究5：“定理”与证明 定理是 “经过推理证实的真命题”，是数学中被广泛认可、可作为推理依据。 （1）对顶角_______ （2）平行的性质1：经过直线外一点____________________________ （3）平行的性质2：如果两条直线都____________________________ （4）垂线的性质：过一点_________________________________________ （5）余角的性质：_______________________________________________ （6）平行的判定定理：___________________________________________； ____________________________________________; _____________________________________________ （7）平行线的性质定理：___________________________________________； ____________________________________________; _____________________________________________ （三）例题讲解 例 1 选择： （1）下列语句中，属于定义的是（ ） A. 对顶角相等 B. 画一条直线 C. 含有未知数的等式叫做方程 D. 同位角相等吗？ （2）下列命题中，属于假命题的是（ ） A. 若 a∥b，b∥c，则 a∥c B. 单项式 -πx²y 的次数是 3 C. 若 x=2，则 x²=4 D. 所有的质数都是奇数 例2 将命题 “同角的补角相等” 改写成 “如果…… 那么……” 的形式，并指出题设和结论。 “如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”； 题设：两个角是同一个角的补角； 结论：这两个角相等。 例 3 已知下列命题：①若 a>0，b>0，则 a+b>0；②若 a≠b，则 a²≠b²；③两直线平行，同旁内角互补；④直角都相等。 （1）其中真命题有_________（填序号）； （2）其中假命题有_________（填序号）； 例4 判断下列命题是否正确 （1）在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行。 如图，已知直线a⊥c，b⊥c ，求证：a//b. （2）如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角的角平分线互相垂直. 如图，已知直线AB//CD，直线EF 交AB,CD于点E，F，EM平分∠BEF，FM平分∠DFE，求证：EM⊥FM. 四、课堂练习 1.下列语句中，属于定义的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 两点之间，线段最短 C. 连接两点的线段的长度叫做两点间的距离 D. 请爱护公物 2.判断下列语句是否为命题，若是命题，改写成 “如果…… 那么……” 的形式，并判断真假： （1）互为倒数的两个数乘积为 1； （2）画线段 AB=5cm； （3）垂线段最短； （4）平方等于9的数是3； （5）同旁内角互补，两直线平行。 （6）两点确定一条直线。 3.判断真假命题，并说明理由 （1）若 x>y，则 x²>y²； （2）若 ab=0，则 a=0； （3）有公共顶点的两个角是对顶角。 （4）若 AB∥CD，EF⊥AB，则 EF⊥CD。 （5）定义新运算：定义 “a⊕b = a² - b”。“若 a⊕b = c⊕b，则 a = c” 4.求证：“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角的角平分线互相平行.” 如图，已知直线AB//CD，直线EF分别交AB,CD于点E，F，EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，求证：EM//FN. 五、课后练习 1.下列语句中，不属于定义的是（ ） A. 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程 B. 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值 2.下列命题中，真命题是（ ） A. 若 a+b>0，则 a>0，b>0 B. 若 a≠b，则 | a|≠|b| C. 等角的补角相等 D. 若 x²=4，则 x=2 3.将下列命题改写成 “如果…… 那么……” 的形式，并指明题设和结论. (1) 直角都相等 (2) 同角的余角相等 (3) 两直线平行，同位角相等 (4) 对顶角相等 （5） 互为相反数的两个数的绝对值相等； 4. 判断“邻补角的角平分线互相垂直” 如图：已知O为直线AB上的一点，OE平分∠AOD,OF平分∠BOD，求证：OE⊥OF 学科网（北京）股份有限公司 $