江苏省南通市崇川区启秀中学2025-2026学年九年级上学期期中数学模拟试卷

江苏省南通市崇川区启秀中学2025-2026学年九年级上学期 期中数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共0分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1.抛物线y=(x-2)2+1的顶点坐标是() A.(0,5) B.(1,2) C.(-2,1) D.(2,1) 2.已知⊙0的半径为5，若P0=6,则点P与⊙0的位置关系是() A.点P在⊙O内 B.点P在⊙0上C.点P在⊙O外D.无法判断 3.关于反比例函数y=-下列说法正确的是(） A.当x>0时，函数值y<0B.y随x的增大而增大C.点(1,5)在该函数的图象上D.图象在第一、三象限 4.如图，AB是⊙0的直径，∠CAB=40°，则∠D=() A.60° B.30° C.40° D.50° I/A 5.已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时的电流I(单位A)、电阻R(单位2)与 电压U(单位：V)的关系式：U=IR,它的图象如图所示.下列说法正确的是() 9 A函数解折式为-丹 B.蓄电池的电压是18V C.当I≤10A时，R≥3.62 D.当R=62时，I=4A 0 4 R/2 6.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙0上一点，过点C的切线与过点A且垂直于该 D 切线的直线AD相交于点D,连接OC、AC,若LAOC=80°，则∠DAC的度数为) A.49° B.80 C.62° D.50° 0 7.己知二次函数y=ax2-4ax+c中部分x和y的值如下表所示： B 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 -5.6 -3.1 -1.5 0.9 1.8 则方程ax2- 4ax+c=0的一个较大的根的范围是() A.0.11<x<0.12 B.0.12<x<0.13C.3.87<x<3.88D.3.88<x<3.89 8.如图，△ABC是一张周长为24cm的三角形的纸片，BC=7cm,⊙0是它的内 切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下 0 △AMW,则剪下的三角形的周长为() N A.12cm B.11cm C.10cm D.随直线MN的变化而变化 第1页，共7页 9.函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示有以下结论①b>0;②b=-3；③c =-3b:④当0<x<1时，x2+(b-1)x+c>0.其中正确的结论有()个 A.4 B.3 C.2 D 1 10.已知x2=3y+t,y2=3x+t,且x≠y(t是常数)，则称点M(x)是“关联点”若反比例函数y=m- x的 图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是 Bm>名 3 c.1<m<4 13 A.m<1 D.1<m<4或m<1 二、填空题：本题共6小题，共22分。 1.若点A(-5和点(-3以在反比例函数y=-5图象上，则1与y,的大小关系是1yz(慎“>”、 “<”或“=”) 12.若用一个半径为12cm,圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽 略不计)，则该圆锥的底面圆的半径为cm. 2m 13.抛物线y=一3(x-4)向右平移3个单位长度得到的抛物线的关系式为一. 14.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2时，水面宽4.若水面再下降0.5，水面 4m 宽度为m. 15.我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个 大正方形（如图所示）若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的 面积为一 16.已知：抛物线y=x2-2ax与x轴交于点A、B(点B在x轴正半轴)，且AB=4, (1)此抛物线的顶点坐标为： (2)若点P(m,n)为抛物线上一动点，作PQ1x轴，交一次函数y=kx-4(k>0)的图象于点Q,当1<m<4 时，PQ的长度随m的增大而增大，则k的取值范围是 三、解答题：本题共9小题，共92分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题8分)历史上，对于圆周率π的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘 徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密！ (1)如图，请在⊙O中，作一个圆内接正六边形ABCDEF.(要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给 分)（②）若正六边形边长为3，求该正六边形的边心距. 第2页，共7页 18.(本小题11分) 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，顶点坐标为(1,2) (1)该抛物线的对称轴为直线，当x=。时，函数有最值： (2)求抛物线的解析式： (3)当0≤x≤2时，写出y的取值范围 (1.2) 19.(本小题10分) 某中学为预防秋季呼吸道疾病的传播，对教室进行“熏药消毒”.已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中 每立方米含药量y(mg)与时间x(min)之间的关系如图所示（即图中线段OA和双曲线在A点右侧的部分）.根据 图象所示信息，解答下列问题： (1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数表达式及自变量的取值范围： (2)据测定，只有当空气中每立方米的含药量不低于5mg时，且至少持续作用20min以上对预防才有作用， 请问这次消毒是否有作用？ ↑八mg) 10 6 0 25 x (min) 第3页，共7页 20.(本小题10分) 在圆周角定理的证明过程中，某小组归纳了三种不同的情况，并完成了情况一的证明，请你选择情况二或 者情况三，并补全该情况的证明过程。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.已知：⊙0中，BC所对的圆周角为上 BAC,圆心角为LB0C.求证：∠BAC=B0C. 证明： 情况一（如图1）：点O在LBAC的 边上.OA=OC,.∠A=∠C. 情况二（如图2）：点O在∠BAC的内情况三（如图3）：点O在LBAC的外 :∠B0C=∠A+∠C,.∠BOC 部. 部 =2LA.即∠BAC=2B0C. B B 图1 图2 图 21.(本小题12分) 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分LCAB,AD交边BC于点D.O为边AB上一点，⊙O经过点A、D并且交 AB于另一点E (1)作出⊙O并标出点E(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)： (2)在(1)的条件下， ①证明：直线BC是⊙O的切线： ②若⊙0与AC交于点F,且AE=26,CD=12,求AF的长. 第4页，共7页 22.(本小题13分) 在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时， 点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时， 两点停止运动.设运动时间为t秒. (1)当t为何值时，PQ的长度等于5cm? (2)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm?若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明 理由. (3)是否存在t的值，使△BPQ的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由. D B Q C 23.(本小题13分) 小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可 以使问题变得非常容易. B 图1 图2 第5页，共7页 (1)【学习心得】如图1，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=AC=AD,求LBDC的度数，若以点A为圆心，AB 为半径作辅助圆⊙A,则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而LBDC是圆周角，可得LBDC= (2)【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，AB=AC=AD.求证：∠1+∠2=90°； (3)【问题拓展】在平面直角坐标系中，A为y轴上一点.若点B(1,0),B(7,0)当∠BAC最大时，求点A的坐标. 24.(本小题13分)如图1，一块矩形电子屏ABCD中，G为BC上一感应点，GC=22,动点P为一光点，当光 点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以GP为边的正方形区域GPEF因发生故障，只有光带CM和 MB正常工作，CM=4,光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿C→M→B匀速运动，到达点B时停止.设 光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域GPEF的面积为S图2为P点在运动过程中S与t的函数图象，其中 点Q表示P点运动到B点时情形. S 72 Q D D M M a 04 G C 图1 图2 备用图 (1)图2中a= 一_：当t=1时，照亮的区域面积S= (2)当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，己知此时S是t的二次函数.求出点P在整个运 动过程中S关于t的函数解析式： (3)若存在三个时刻t1、t2、t(t1<t2<t)对应的正方形的面积均相等. ①t1+t2=_; ②当t3=4t1时，则正方形GPEF的面积为一一一· 25.(本小题13分)在平面直角坐标系x0y中，点(0,3)，(6，y1)在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上。 (1)当y1=3时，求抛物线的对称轴： (2)若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1，一1)，当自变量x的值满足-1≤x≤2时，y随x的增大而 增大，求a的取值范围； 第6页，共7页 (3)当a>0时，点(m-2,y2),(m,y2)在抛物线y=ax2+bx+c上.若y2<y1<c,请直接写出m的取值范围. 第7页，共7页 江苏省南通市崇川区启秀中学2025-2026学年九年级上学期 期中数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 对于二次函数，其顶点坐标为，据此及可求解． 本题考查了的图象和性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 2.已知的半径为，若，则点与的位置关系是(    ) A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 【答案】C  【解析】解：，故点与的位置关系是点在圆外． 故选：． 点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径． 本题考查了点与圆的位置关系，解题关键是掌握圆和点的位置关系：以点与圆的为例设是一点，则是点到圆心的距离，在外，；在上，；在内，． 3.关于反比例函数，下列说法正确的是(    ) A. 当时，函数值 B. 随的增大而增大 C. 点在该函数的图象上 D. 图象在第一、三象限 【答案】A  【解析】解：、关于反比例函数，当时，函数值，故A正确； B、关于反比例函数，在或，随的增大而增大，故B错误； C、关于反比例函数，点不在该函数图象上，故C错误； D、关于反比例函数，图象在第二、四象限，故D错误； 故选：． 直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案． 此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键． 4.如图，是的直径，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：是的直径， ， ， ， ， ， 故选：． 根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求解即可． 此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 5.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时的电流单位：、电阻单位：与电压单位：的关系式：，它的图象如图所示下列说法正确的是(    ) A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是 C. 当时， D. 当时， 【答案】C  【解析】解：设， 图象过， ， ，故选项A不正确，不符合题意； 当时，，选项C正确，符合题意； 当时，，选项D不正确，不符合题意； 蓄电池的电压不一定是，故选项B不正确，不符合题意； 故选：． 根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，从而解决问题． 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．求出解析式是关键． 6.如图，是的直径，为上一点，过点的切线与过点且垂直于该切线的直线相交于点，连接、，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：， ， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， 故选：． 由，求得，因为，所以，由切线的性质得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的性质、平行线的判定与性质等知识，求得，并且证明是解题的关键． 7.已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：二次函数的对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为，关于对称轴的对称点为， 由表可以看出，当取与之间的某个数时，， 当取与之间的某个数时，． 方程的一个较大的根的范围是． 故选：． 由表格可发现的值和最接近，再看对应的的最大值即可． 本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的． 8.如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为(    ) A. B. C. D. 随直线的变化而变化 【答案】C  【解析】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， 的周长为，， ， ，， ， ， ，， ， 剪下的三角形的周长为， 故选：． 设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出是解题的关键． 9.函数与的图象如图所示，有以下结论：；；；当时，其中正确的结论有个． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：将点和点代入二次函数解析式得， ， 解得， 所以二次函数的解析式为． 则， 故错误，正确． ， 故错误． 当时， 二次函数的图象在一次函数图象的上方， 所以， 即． 故正确． 故选：． 根据所给二次函数的图象，用待定系数法求出二次函数的解析式再结合数形结合的数学思想即可解决问题． 本题考查二次函数的图象和性质，用待定系数法求出二次函数的解析式及巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 10.已知，，且是常数，则称点是“关联点”若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是 A. B. C. D. 或 【答案】D  【解析】解：联立，消去得， ， ， 把代入，得， 整理得， 比例函数的图象上总存在两个关联点， 总有两个不相等的实数根， ， 解得， ， ， 或， 故选D． 二、填空题：本题共6小题，共20分。 11.若点和点在反比例函数图象上，则与的大小关系是：      填“”、“”或“”． 【答案】  【解析】解：点和点在反比例函数图象上， ，， ， 故答案为：． 直接把各点坐标反比例函数即可求解． 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 12.若用一个半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面接缝忽略不计，则该圆锥的底面圆的半径为      ． 【答案】  【解析】解：扇形弧长为：， 则圆锥的底面圆的半径为：， 故答案为：． 根据弧长公式求出扇形弧长，根据圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径． 本题考查的是圆锥的计算，熟记圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 13.抛物线向右平移个单位长度得到的抛物线的关系式为      ． 【答案】  【解析】解：抛物线向右平移个单位长度得到的抛物线的关系式为：，即， 故答案为：． 根据函数图象平移的法则解答即可． 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的法则是解题的关键． 14.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽若水面再下降，水面宽度为       【答案】  【解析】解：如图，建立平面直角坐标系， ， 则由题意可知，，， 设该抛物线的解析式为，将代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为， 若水面再下降，则有， 解得：， ， 水面宽度为， 故答案为：． 以所在直线为轴，以过拱顶且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得二次函数的解析式，然后由题意得关于的一元二次方程，解得的值，用较大的值减去较小的值即可得出答案． 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的性质是解题的关键． 15.我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形如图所示若直角三角形的内切圆半径为，小正方形的面积为，则大正方形的面积为          ． 【答案】  【解析】点拨：如答图，设内切圆的圆心为，连接，， 则四边形为正方形， ， ， ， ， ， 而， ． 小正方形的面积为， ， ． 把代入中，得， ， 负值已舍去， 大正方形的面积为． 16.已知：抛物线与轴交于点、点在轴正半轴，且， 此抛物线的顶点坐标为          ； 若点为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图象于点，当时，的长度随的增大而增大，则的取值范围是          ． 【答案】   【解析】【分析】 本题主要考查了二次函数图象的性质，抛物线与轴的交点，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 利用抛物线的解析式求出点，的坐标进而得到的长度，列出方程求得值，再利用配方法求得结论； 利用函数的解析式用表示出点，的坐标，进而求得线段，利用配方法结合函数的图象即可列出关于的不等式，解不等式则结论可得． 【解答】 解：令，则， 解得：或， 点在轴正半轴， ，， ， ， 抛物线的解析式为， ， 抛物线的顶点坐标为 故答案为：； 点为抛物线上一动点， ， 轴，交一次函数的图象于点， ， 当时，的长度随的增大而增大， ， ， 当时，的值随的增大而增大， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共87分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密 如图，请在中，作一个圆内接正六边形要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分 若正六边形边长为，求该正六边形的边心距． 【答案】如图，六边形即为所求；   正六边形的边心距为  【解析】如图，六边形即为所求； 连接，，过点作于点． ，， ， ． 正六边形的边心距为． 在上任意取一点，以为圆心，为半径把六等分可得正六边形； 连接，，过点作于点解直角三角形求出即可． 本题考查作图复杂作图正多边形与圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18.本小题分 如图，抛物线经过原点，顶点坐标为 该抛物线的对称轴为直线______，当______时，函数有最______值； 求抛物线的解析式； 当时，写出的取值范围______． 【答案】，，大；   ；     【解析】由题知， 因为抛物线的顶点坐标为，且开口向下， 所以抛物线的对称轴为直线，且当时，函数有最大值． 故答案为：，，大； 因为抛物线的顶点坐标为， 则设抛物线的解析式为， 又因为抛物线经过点， 则， 解得， 所以抛物线的解析式为； 解：由函数图象可知， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 当时，， 所以当时，． 故答案为：． 根据抛物线的顶点坐标为，结合抛物线的开口方向即可解决问题； 结合顶点坐标及抛物线经过点进行计算即可； 结合二次函数的性质进行计算即可． 本题主要考查了二次函数的图象及二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 19.本小题分 某中学为预防秋季呼吸道疾病的传播，对教室进行“熏药消毒”已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与时间之间的关系如图所示即图中线段和双曲线在点右侧的部分根据图象所示信息，解答下列问题： 写出从药物释放开始，与之间的函数表达式及自变量的取值范围； 据测定，只有当空气中每立方米的含药量不低于时，且至少持续作用以上对预防才有作用，请问这次消毒是否有作用？ 【答案】；   这次消毒有作用  【解析】由题意，设反比例函数解析式为， 将代入解析式得，， 函数解析式为， 将代入解析式得，， ，故A， 设正比例函数解析式为， 将代入上式即可求出的值， ． 正比例函数解析式为． 综上：． 由题意，将代入得，将代入得到， 又， 这次消毒有作用． 首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量毫克与时间分钟成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； 将分别代入求得的正比例函数和反比例函数求得的值作差与比较即可得出此次消毒是否有效． 本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 20.本小题分 在圆周角定理的证明过程中，某小组归纳了三种不同的情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三，并补全该情况的证明过程． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：中，所对的圆周角为，圆心角为求证：． 证明： 情况一如图：点在的一边上．，，即． 情况二如图：点在的内部． 情况三如图：点在的外部． 【答案】证明：情况二：当点在的内部， 如图：连接并延长交于点， ， ． ， ． 同理可得：， ， ； 情况三：当点在的外部， 如图：连接并延长交于点． ， ， ， ， 同理可得：， ， ．   【解析】情况二：当点在的内部，如图：连接并延长交于点，利用等腰三角形的性质可得，，从而利用三角形的外角性质可得，同理可得：，然后利用角的和差关系进行计算即可解答； 情况三：当点在的外部，如图：连接并延长交于点，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，同理可得，然后利用角的和差关系进行计算即可解答． 21.本小题分 如图，在中，，平分，交边于点为边上一点，经过点、并且交于另一点． 作出并标出点尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； 在的条件下， 证明：直线是的切线； 若与交于点，且，，求的长． 【答案】解：如图所示，与点即为所求． 如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ，即， 是上一点， 直线是的切线； 过点作于点， 则， 四边形是矩形， ， ， ， 则， ．  【解析】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握圆的确定与中垂线的性质及切线的判定、垂径定理等知识点． 作的中垂线，交于点，以点为圆心、为半径作圆即可得，交于点； 连接，证，由得于点，据此即可得证； 作于点，可得四边形是矩形，据此知，由知，再根据垂径定理可得答案． 22.本小题分 在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动设运动时间为秒． 当为何值时，的长度等于？ 是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 是否存在的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】或时，；   存在秒，能够使得五边形的面积等于． 五边形的面积， 当五边形的面积等于时，， 或， 由题意可得：当点到达点时，， ， 当时，五边形的面积等于；    【解析】矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动， ，， ， 矩形， ， ， 当时，， 解得：或； 存在， 五边形的面积， 当五边形的面积等于时，， 或， 由题意可得：当点到达点时，， ， 当时，五边形的面积等于； 存在， ， ， 当时，的面积最大为． 表示出，的长，根据勾股定理，列出方程进行求解即可； 分割法求五边形的面积，列出方程进行求解即可； 将的面积转化为二次函数求最值即可． 本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确的列出方程和二次函数的解析式是解题的关键． 23.本小题分 小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 【学习心得】如图，在中，，，求的度数，若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，可得______； 【问题解决】如图，在四边形中，求证：； 【问题拓展】在平面直角坐标系中，为轴上一点若点，当最大时，求点的坐标． 【答案】；   证明见解答；   点的坐标为或．  【解析】解：如图：若以点为圆心，为半径作辅助圆， 则点、必在上，是的圆心角， 而是圆周角，可得， 故答案为：； 证明：如图，， 点、、是在以圆心， 以为半径的圆上，构建如图所示的图形， 延长交圆于点，连接， 则， ， ； 解：如图，当最大时， 过、两点的与轴相切，切点为点． 过点作，垂足为点． 线段的中点坐标为，圆心在的垂直平分线上， 点横坐标为， ，，， ， 点的坐标为或． 如图：若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，即可求解； 以为半径的圆上，构建如图所示的图形，延长交圆于点，连接，则，即可求解； 如图，当最大时，线段的中点坐标为，圆心在的垂直平分线上，即可求解． 本题主要考查了圆的综合题，需要掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，判断四点共圆是解本题的关键． 24.本小题分 如图，一块矩形电子屏中，为上一感应点，，动点为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以为边的正方形区域因发生故障，只有光带和正常工作，，光点以每秒个单位的速度从点出发，沿匀速运动，到达点时停止设光点的运动时间为秒，照亮的正方形区域的面积为图为点在运动过程中与的函数图象，其中点表示点运动到点时情形． 图中______；当时，照亮的区域面积______． 当点经过点又运动秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时是的二次函数求出点在整个运动过程中关于的函数解析式； 若存在三个时刻、、对应的正方形的面积均相等． ______； 当时，则正方形的面积为______． 【答案】；；   ；   ； ．  【解析】解：，点的速度为每秒个单位， ， 四边形为矩形，，， ， ， 由图可知，时， ， 时，点运动到点， ， ． 故答案为：；； 当时，； 当时，如图，连接， 点经过点又运动秒时，照亮区域的面积达到了最小， 此时，， 在和中， ， ≌， ， ， 时，， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为设， 由知图象经过，代入得：， 解得：， ， 综上，； 根据图象可知，内的图象与内的图象关于直线对称， ， 故答案为：； 由题意可知，函数的图象向右平移个单位与函数的图象重合， 当和时，的值相等， ， 又， ， 解得， 此时正方形的面积， 故答案为：． 先得出，利用勾股定理求出的长即可得出；根据及图象得出点运动到点时，由勾股定理求出即可得值； 分两种情况：当时，时，分别计算与的解析式即可； 根据图象内的图象与内的图象关于直线对称，即可得解； 由题意可知，函数的图象向右平移个单位与函数的图象重合，推导出，结合，解得，代入即可得解． 本题考查动点问题的函数图象、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及待定系数法求二次函数解析式，正确提取函数图象中的信息并分类讨论是解题关键． 25.本小题分 在平面直角坐标系中，点在抛物线上． 当时，求抛物线的对称轴； 若抛物线经过点，当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围； 当时，点在抛物线上．若，请直接写出的取值范围． 【答案】解：已知点在抛物线上，且， 又点也在抛物线上，所以抛物线经过点和， 这两个点的纵坐标相同，所以它们关于抛物线的对称轴对称． 根据对称轴公式，抛物线的对称轴为直线， 抛物线的对称轴为直线； 解：过，， ， ， 对称轴为直线， 当时， 时，随的增大而增大， 解得， 当时， 时，随的增大而增大， 解得， 综上：的取值范围是或； 解：点在抛物线上， 点在抛物线上， 对称轴为直线， 如图所示： 且， ； 如图所示： ， ， ， 综上所述，的取值范围为或．   【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴、单调性以及点与函数的关系． 先代入点求出抛物线的相关系数关系，再利用对称轴公式求解； 过，得到，结合对称轴和单调性确定的取值范围； 根据时的函数性质，结合点的坐标关系求解的取值范围． 第2页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市崇川区启秀中学2025-2026学年九年级上学期 期中数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 2.已知的半径为，若，则点与的位置关系是(    ) A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 3.关于反比例函数，下列说法正确的是(    ) A. 当时，函数值 B. 随的增大而增大 C. 点在该函数的图象上 D. 图象在第一、三象限 4.如图，是的直径，，则(    ) A. B. C. D. 5.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时的电流单位：、电阻单位：与电压单位：的关系式：，它的图象如图所示下列说法正确的是(    ) A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是 C. 当时， D. 当时， 6.如图，是的直径，为上一点，过点的切线与过点且垂直于该切线的直线相交于点，连接、，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是(    ) A. B. C. D. 8.如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为(    ) A. B. C. D. 随直线的变化而变化 9.函数与的图象如图所示，有以下结论：；；；当时，其中正确的结论有个． A. B. C. D. 10.已知，，且是常数，则称点是“关联点”若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是 A. B. C. D. 或 二、填空题：本题共6小题，共22分。 11.若点和点在反比例函数图象上，则与的大小关系是：      填“”、“”或“”． 12.若用一个半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面接缝忽略不计，则该圆锥的底面圆的半径为      ． 13.抛物线向右平移个单位长度得到的抛物线的关系式为      ． 14.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽若水面再下降，水面宽度为       15.我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形如图所示若直角三角形的内切圆半径为，小正方形的面积为，则大正方形的面积为          ． 16.已知：抛物线与轴交于点、点在轴正半轴，且， 此抛物线的顶点坐标为          ； 若点为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图象于点，当时，的长度随的增大而增大，则的取值范围是          ． 三、解答题：本题共9小题，共92分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密 如图，请在中，作一个圆内接正六边形要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分若正六边形边长为，求该正六边形的边心距． 18.本小题分 如图，抛物线经过原点，顶点坐标为 该抛物线的对称轴为直线______，当______时，函数有最______值； 求抛物线的解析式； 当时，写出的取值范围______． 19.本小题分 某中学为预防秋季呼吸道疾病的传播，对教室进行“熏药消毒”已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与时间之间的关系如图所示即图中线段和双曲线在点右侧的部分根据图象所示信息，解答下列问题： 写出从药物释放开始，与之间的函数表达式及自变量的取值范围； 据测定，只有当空气中每立方米的含药量不低于时，且至少持续作用以上对预防才有作用，请问这次消毒是否有作用？ 20.本小题分 在圆周角定理的证明过程中，某小组归纳了三种不同的情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三，并补全该情况的证明过程． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：中，所对的圆周角为，圆心角为求证：． 证明： 情况一如图：点在的一边上．，，即． 情况二如图：点在的内部． 情况三如图：点在的外部． 21.本小题分 如图，在中，，平分，交边于点为边上一点，经过点、并且交于另一点． 作出并标出点尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； 在的条件下， 证明：直线是的切线； 若与交于点，且，，求的长． 22.本小题分 在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动设运动时间为秒． 当为何值时，的长度等于？ 是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 是否存在的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 23.本小题分 小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 【学习心得】如图，在中，，，求的度数，若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，可得______； 【问题解决】如图，在四边形中，求证：； 【问题拓展】在平面直角坐标系中，为轴上一点若点，当最大时，求点的坐标． 24.本小题分如图，一块矩形电子屏中，为上一感应点，，动点为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以为边的正方形区域因发生故障，只有光带和正常工作，，光点以每秒个单位的速度从点出发，沿匀速运动，到达点时停止设光点的运动时间为秒，照亮的正方形区域的面积为图为点在运动过程中与的函数图象，其中点表示点运动到点时情形． 图中______；当时，照亮的区域面积______． 当点经过点又运动秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时是的二次函数求出点在整个运动过程中关于的函数解析式； 若存在三个时刻、、对应的正方形的面积均相等． ______； 当时，则正方形的面积为______． 25.本小题分在平面直角坐标系中，点在抛物线上． 当时，求抛物线的对称轴； 若抛物线经过点，当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围； 当时，点在抛物线上．若，请直接写出的取值范围． 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $