5.3.3&5.3.4 古典概型&频率与概率（题型专练）数学人教B版2019必修第二册

5.3.3&5.3.4 古典概型&频率与概率 题型一 基本事件的判断 1．（16-17高二·河北邢台·课后作业）袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸2个小球,不是基本事件的为　(　　) A．{正好2个红球} B．{正好2个黑球} C．{正好2个白球} D．{至少1个红球} 2．（20-21高一·全国·课后作业）在抽查作业的试验中，下列各组事件都是基本事件的是（    ） A．抽到第一组与抽到第二组 B．抽到第一组与抽到男学生 C．抽到女学生与抽到班干部 D．抽到班干部与抽到学习标兵 3．（20-21高一·全国·课后作业）基本事件的特点：一是任何两个基本事件是 的；二是任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的 ． 题型二 写出样本空间、基本事件 1．（24-25高二下·广东梅州·阶段练习）若为正整数，且，则有序自然数对有 个． 2．（2025·山西·一模）投掷两枚质地均匀的骰子，正面朝上的点数分别记为m、n，则能使成立的数对共有 对. 3．（2025高一·全国·专题练习）同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为，转盘②得到的数为，结果记为. (1)写出这个试验的样本空间． (2)“”这一事件包含哪几个基本事件？“且”呢？ (3)“”这一事件包含哪几个基本事件？“”呢？ 4．（24-25高一下·全国·课后作业）将一枚质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y．用表示一个样本点． (1)请写出试验的样本空间； (2)满足条件“为整数”这一事件包含哪几个基本事件？ 题型三 古典概型的判断 1．（24-25高二上·安徽·阶段练习）下列试验中符合古典概型研究的试验是（   ） A．抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子，正面向上的点数 B．抽奖箱里有4个白球和6个黑球，这10个球除颜色外完全相同，从中任取一个球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击选手进行射击训练，结果为命中10环、命中9环、……、命中0环 2．（多选）（2025高一·全国·专题练习）下列是古典概型的为（    ） A．从6名同学中随机选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小 B．在区间上任取一数，求这个数大于2的概率 C．近三天中有一天降雨的概率 D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 3．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）下列试验不是古典概型的是（   ） A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率 C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率 D．老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率 题型四 古典概型概率的计算 1．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）一个电路中有，，三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出试验的样本空间； (2)用集合表示下列事件：“电路是通路”，并求出． 2．（24-25高一上·陕西·期末）连续抛掷一枚质地均匀的正方体形骰子2次，试求下列事件的概率： (1)两次掷出的点数相等； (2)两次掷出的点数之和为偶数． 3．（25-26高二上·山东淄博·阶段练习）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”． (1)写出该试验的基本事件，并求事件B发生的概率； (2)事件与事件至少有一个发生的概率． 题型五 根据古典概型的概率求参数 1．（24-25高一下·山西·期末）一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 2．（22-23高一下·重庆·期末）在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 题型六 计算频率 1．（2025高三·全国·专题练习）从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：；；，则样本在内的频率是（    ） A．0.69 B．0.46 C．1 D．0.92 2．（24-25高二上·安徽·阶段练习）工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 频数 4 6 10 4 已知样本数据在范围内的频率为，则样本数据在范围内的频率为（   ） A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20 3．（25-26高二上·贵州·阶段练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ） A． B． C． D． 题型七 概率与频率关系的辨析 1．（24-25高一下·甘肃·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性 C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 D．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 2．（24-25高一下·广东潮州·期末）某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（    ） 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A．0.61 B．0.63 C．0.625 D．0.66 3．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为860次，则该运动员（    ） A．投篮10次至少有8次命中 B．投篮命中的频率为0.86 C．投篮命中的概率为0.86 D．投篮100次有86次命中 题型八 用频率估计概率 1．（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 2．（25-26高二上·海南·阶段练习）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东佛山·期中）某人从湖里打了一网鱼，共60条，做上记号再放入湖中，数日后又打了一网共100条，其中做记号的15条，根据频率的稳定性，估计湖中有鱼（    ）条 A．150 B．300 C．400 D．600 4．（24-25高一下·江西景德镇·期中）《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1805石（古代容量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约为（   ） A．361石 B．341石 C．314石 D．360石 题型一 有放回与无放回问题的概率 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签并求标签上的数字之和．记不放回地选取且和为6的概率为，有放回地选取且和为6的概率为，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（24-25高一下·山东泰安·期末）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 3．（24-25高一下·广东广州·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率． 4．（24-25高一下·江苏南京·期末）一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球. (1)写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率； (2)分别求第二次，第三次摸到红球的概率； (3)从求解的结果可以得出一个什么基本事实. 题型二 利用概率的加法公式计算古典概型的概率 1．（24-25高一下·河北邯郸·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·河北邢台·阶段练习）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为0.19． (1)求x的值； (2)已知，，求九年级中女生比男生少的概率； (3)已知，在全校学生中随机抽取一名学生，则该学生是女生或是九年级学生的概率是多少？ 题型三 统计与概率的综合问题 1．（22-23高二上·上海静安·期末）某高中高一、高二、高三年级共有学生800名，各年级男、女生人数如下表： 高一 高二 高三 男生（人数） 149 女生（人数） 143 130 已知在三个年级的学生中随机抽取1名，抽到高二年级男生的概率是0.16 (1)求的值； (2)现用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生，应从高三年级抽取多少名? 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为． (1)求x的值； (2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？ (3)已知，求九年级中女生比男生少的概率． 3．（24-25高二上·广东茂名·阶段练习）从高三年级所有女生中，随机抽取个，其体重（单位：公斤）的频率分布表如下： 分组（重量） 频数（个） 10 50 x 15 已知从个女生中随机抽取一个，抽到体重在的女生的概率为. (1)求出的值； (2)用分层抽样的方法从体重在和的女生中共抽取5个，再从这5个女生中任取2个，求体重在和的的女生中各有1个的概率. 1．（多选）（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小； B．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀； C．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖； D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水． 2．（多选）（24-25高一下·安徽·期末）在一个不透明的袋子中，装有大小､材质相同的2个红球和3个绿球，从袋中依次抽取2个球，记“第次取到红球”，“第次取到绿球”，其中，则下列说法正确的是（    ） A．若有放回地抽取，则 B．若有放回地抽取，则 C．若不放回地抽取，则 D．若不放回地抽取，则 3．（25-26高一上·湖南长沙·开学考试）在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为 . 4．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）在一个不透明的袋子里装有4张数字卡片，数字分别是1，，0，2，它们除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1张不放回，再摸出1张．如果把第一次摸出的数字作为横坐标，第二次摸出的数字作为纵坐标，那么组成的点在坐标轴上的概率是 ． 5．（24-25高二下·福建泉州·期末）一项抛掷骰子的过关游戏规定：在第关要拋掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数和不小于，则算过关.游戏者可以随意挑战某一关，若直接挑战第三关，则通关的概率为 ． 6．（23-24高二·上海·课堂例题）两个男生、两个女生随机站一排， (1)写出样本空间； (2)写出每个人的相邻之人总是异性这个事件所对应的子集； (3)写出每个人的相邻之人至少有一个异性这个事件所对应的子集． 7．（25-26高二上·江苏常州·开学考试）一个袋子中存大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球，设事件A=“第一次摸到红球”，事件B=“第二次摸到黑球”，C=“摸到的两个球恰为一个红球一个白球”． (1)分别求事件、、发生的概率； (2)求事件A、B、C中至多有一个发生的概率． 8．（24-25高一下·河北·期末）象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛.初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，并整理得到如图频率分布直方图： (1)根据直方图，求的值，并估计这次知识能力竞赛的平均数； (2)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率. 9．（22-23高一下·广西·期末）袋子中放有大小质地完全相同的球若干个，其中红色球1个，黑色球1个，白色球个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到白色球为事件，且事件发生的概率是． (1)求的值； (2)若从袋子中有放回地取球，每次随机取一个，若取到红色球得2分，取到白色球得1分，取到黑色球得0分，求连续两次取球所得分数之和大于2分的概率． 10．（25-26高一上·全国·单元测试）随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高．某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查．现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得到下表（单位：人）． 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满意 50 30 30 50 50 80 (1)从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率； (2)试估计该地区青年人对酸奶满意的概率； (3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果即可） 注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.3&5.3.4 古典概型&频率与概率 题型一 基本事件的判断 1．（16-17高二·河北邢台·课后作业）袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸2个小球,不是基本事件的为　(　　) A．{正好2个红球} B．{正好2个黑球} C．{正好2个白球} D．{至少1个红球} 【答案】D 【详解】袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从中任意摸2个，其基本事件可能是2个红球，2个白球，2个黑球，1红1白，1红1黑，1白1黑而至少1个红球中包含1红1白，1红1黑，2个红球三个基本事件，故不是基本事件，故选D 2．（20-21高一·全国·课后作业）在抽查作业的试验中，下列各组事件都是基本事件的是（    ） A．抽到第一组与抽到第二组 B．抽到第一组与抽到男学生 C．抽到女学生与抽到班干部 D．抽到班干部与抽到学习标兵 【答案】A 【分析】利用基本事件是不可能同时发生的定义，即可得到答案； 【详解】在A中，抽到第一组与抽到第二组不能同时发生，都是基本事件，故A正确; 在B中，抽到第一组与抽到男学生有可能同时发生，不都是基本事件，故B错误; 在C中，抽到女学生与抽到班干部有可能同时发生，不都是基本事件，故C错误; 在D中，抽到班干部与抽到学习标兵有可能同时发生，不都是基本事件，故D错误． 故选：A 3．（20-21高一·全国·课后作业）基本事件的特点：一是任何两个基本事件是 的；二是任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的 ． 【答案】 互斥 和 【分析】根据基本事件的特点即可得到答案． 【详解】基本事件的特点：一是任何两个基本事件是互斥的；二是任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和． 故答案为：互斥；和． 题型二 写出样本空间、基本事件 1．（24-25高二下·广东梅州·阶段练习）若为正整数，且，则有序自然数对有 个． 【答案】5 【分析】根据题意，逐一列举，即可得到结果. 【详解】因为为正整数，且， 所以或或或或， 所以有序自然数对有5个. 故答案为：5 2．（2025·山西·一模）投掷两枚质地均匀的骰子，正面朝上的点数分别记为m、n，则能使成立的数对共有 对. 【答案】12 【分析】用列表法把所有的基本事件一一列举，即可得到答案. 【详解】由题意知m，n的取值依次为1，2，3，4，5，6，因此可得的取值如下表.经检验，符合题中不等式的在下表中用下划线标注，相应的数对共有12对. 故答案为：12． 3．（2025高一·全国·专题练习）同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为，转盘②得到的数为，结果记为. (1)写出这个试验的样本空间． (2)“”这一事件包含哪几个基本事件？“且”呢？ (3)“”这一事件包含哪几个基本事件？“”呢？ 【答案】(1)答案见解析 (2)； (3)； 【分析】（1）根据样本空间的定义求解即可； （2）根据基本事件的定义求解即可； （3）根据基本事件的定义求解即可. 【详解】（1）第一个转盘有4个数字，第二个转盘有4个数字， 因此样本空间为． （2）事件“”包含以下4个基本事件：. 事件“且”包含以下6个基本事件：． （3）事件“”包含以下3个基本事件：． 事件“”包含以下4个基本事件：． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）将一枚质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y．用表示一个样本点． (1)请写出试验的样本空间； (2)满足条件“为整数”这一事件包含哪几个基本事件？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）逐个列举即可； （2）逐个列举即可求解； 【详解】（1）试验的样本空间为 共16个样本点． （2）用A表示满足条件“为整数”的事件， 则A包含的样本点有，，，，，，，， 共8个样本点． 题型三 古典概型的判断 1．（24-25高二上·安徽·阶段练习）下列试验中符合古典概型研究的试验是（   ） A．抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子，正面向上的点数 B．抽奖箱里有4个白球和6个黑球，这10个球除颜色外完全相同，从中任取一个球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击选手进行射击训练，结果为命中10环、命中9环、……、命中0环 【答案】B 【分析】根据古典概型的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】在选项A中，因为骰子各个面材质不一样，所以每一面出现的可能性是不均等的，故不是古典概型； 在选项B中，球的数量有限，且每次试验中，每个球被抽中的可能性相同，故B项是古典概型； 在选项C中，试验的结果是无穷的，故不是古典概型； 在选项D中，因为各环的大小不均等，不满足各个样本点出现的可能性相等，故不是古典概型. 故选：B 2．（多选）（2025高一·全国·专题练习）下列是古典概型的为（    ） A．从6名同学中随机选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小 B．在区间上任取一数，求这个数大于2的概率 C．近三天中有一天降雨的概率 D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 【答案】AD 【分析】根据古典概型的特征判断各项描述的概率是否为古典概型. 【详解】古典概型具有有限性、等可能性的特征，显然A、D满足， B中基本事件的个数是无限个，不是古典概型， C中每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型. 故选：AD 3．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）下列试验不是古典概型的是（   ） A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率 C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率 D．老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率 【答案】AC 【分析】根据古典概型的定义逐个分析判断即可. 【详解】由于点数的和出现的可能性不相等，故A不正确； 从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的，故B正确； 向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率，不符合有限性，故C不正确； 老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的，故D正确． 故选：AC． 题型四 古典概型概率的计算 1．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）一个电路中有，，三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出试验的样本空间； (2)用集合表示下列事件：“电路是通路”，并求出． 【答案】(1)答案见解析 (2)， 【分析】（1）分别用，和表示元件，和的可能状态，这个电路的工作状态可用表示，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，列出所有情况得解； （2）“电路是通路”即，且，至少有一个是1，由古典概率的公式计算. 【详解】（1）分别用，和表示元件，和的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示． 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态， 则样本空间. （2）“电路是通路”等价于，，且，至少有一个是1， 所以. 所以. 2．（24-25高一上·陕西·期末）连续抛掷一枚质地均匀的正方体形骰子2次，试求下列事件的概率： (1)两次掷出的点数相等； (2)两次掷出的点数之和为偶数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列举试验的全部结果，根据古典概型的概率公式计算可得； （2）根据试验的全部结果，利用古典概型的概率公式计算可得. 【详解】（1）根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，其结果有 （1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）， （5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）， （6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）， 共36种情况． 设事件“两次掷出的点数相等”，其情况有 （1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），共6种． ． （2）设事件“两次掷出的点数之和为偶数”，则其情况有 （1，1），（1，3），（1，5）， （2，2），（2，4），（2，6）， （3，1），（3，3），（3，5）， （4，2），（4，4），（4，6）， （5，1），（5，3），（5，5）， （6，2），（6，4），（6，6），共18种． ． 3．（25-26高二上·山东淄博·阶段练习）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”． (1)写出该试验的基本事件，并求事件B发生的概率； (2)事件与事件至少有一个发生的概率． 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）用列举法列举出所有的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件B发生的概率. （2）根据（1）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件与事件至少有一个发生的概率. 【详解】（1）所有可能的基本事件为： , 其中“两数之和是3的倍数”的有共12种， 故. （2）“两数之和为”的有共种 “两个数均为偶数”的有共9种， 其中重复的有共3种， 则事件与事件至少有一个发生共有种，概率为. 题型五 根据古典概型的概率求参数 1．（24-25高一下·山西·期末）一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【分析】设黑球的个数为n，根据古典概型概率公式列式求解即可. 【详解】设黑球的个数为n，由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：A. 2．（22-23高一下·重庆·期末）在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，据此可得答案. 【详解】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，则. 故选：B． 3．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 【答案】(1)； (2)3. 【分析】（1）写出所有样本点，根据古典概型的计算公式即可得到答案； （2）根据古典概型公式得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题可知袋中共有5个球，记作， 从中依次不放回取出2个球，样本点有 ， ， ， 共20个样本点， 记＂第次取到红球＂为事件，则＂第次取到绿球＂为事件， 不妨设为红球，为绿球．两次都取到红球，则． 先取到绿球再取到红球，则， 于是， 即第二次取到红球的概率为. （2）两次都取到红球为事件. 所以两次取出红球的概率为， 即，解得． 题型六 计算频率 1．（2025高三·全国·专题练习）从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：；；，则样本在内的频率是（    ） A．0.69 B．0.46 C．1 D．0.92 【答案】B 【分析】根据题意结合频率公式计算可得. 【详解】由题可知，样本在内的频率应为. 故选：B. 2．（24-25高二上·安徽·阶段练习）工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 频数 4 6 10 4 已知样本数据在范围内的频率为，则样本数据在范围内的频率为（   ） A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20 【答案】D 【分析】本题根据频数与频率的概念计算，即可求解. 【详解】由题意得，解得， 所以， 所以样本数据在范围内的频率为. 故选：D. 3．（25-26高二上·贵州·阶段练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用独立重复实验可求出试验出现正面朝上的频率，再根据每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上机会相等求出正面朝上的概率． 【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次， 出现正面朝上的频率为：， 又每次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是， 出现正面朝上的概率为：， 出现正面朝上的频率为，概率为． 故选：B． 题型七 概率与频率关系的辨析 1．（24-25高一下·甘肃·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性 C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 D．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可逐一判断. 【详解】对于A，一般而言，频率是试验值，而概率是估计值，故不是同一个概念，故A错误； 对于B，在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，故B错误； 对于C，在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故C错误； 对于D，根据随机事件发生的概率定义，随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，故D正确. 故选:D. 2．（24-25高一下·广东潮州·期末）某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（    ） 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A．0.61 B．0.63 C．0.625 D．0.66 【答案】C 【分析】根据频率和概率的关系即可判断. 【详解】由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大， 所以合计列对应的频率最为合适. 故选：C. 3．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为860次，则该运动员（    ） A．投篮10次至少有8次命中 B．投篮命中的频率为0.86 C．投篮命中的概率为0.86 D．投篮100次有86次命中 【答案】B 【分析】根据频率、概率的含义以及与事件的关系判断，即得答案. 【详解】由题意可知投篮命中的频率为， 而频率可能比概率大也可能小，概率是频率的稳定值，二者不一定相等，故B正确，C错误； 投篮10次或100次相当于做10次或100次试验，每一次的结果都是随机的， 其结果可能是一次都没中，也可能是多次投中等，频率和概率只反映事件发生的可能性的大小， 不代表事件一定会发生，故AD错误， 故选：B． 题型八 用频率估计概率 1．（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 【答案】D 【分析】根据抽样调查的概念判断，再根据频率与概率关系，抽样的概念的，再根据概率的定义求解. 【详解】抽样调查适用于调查对象数量庞大，耗时耗力，我国中学生的数量庞大，全面调查不适用，故A正确； 根据频率与概率的关系，频率随试验次数增加趋于稳定，这个稳定值即为概率，故B正确； 抽签法和随机数法是简单随机抽样的两种基础方法，符合定义，故C正确； 独立事件的概率互不影响，治愈率为10%意味每次治疗结果独立，前人未治愈不影响第人的概率，治愈率仍为10%，故D错误. 故选：D. 2．（25-26高二上·海南·阶段练习）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出三天中恰有两天下雨的所有情况，利用频率估计概率即可. 【详解】满足条件的随机数有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9种情况， 则这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：A 3．（25-26高二上·广东佛山·期中）某人从湖里打了一网鱼，共60条，做上记号再放入湖中，数日后又打了一网共100条，其中做记号的15条，根据频率的稳定性，估计湖中有鱼（    ）条 A．150 B．300 C．400 D．600 【答案】C 【分析】借助频率定义计算即可得. 【详解】设湖中有条鱼，则有，解得. 故选：C. 4．（24-25高一下·江西景德镇·期中）《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1805石（古代容量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约为（   ） A．361石 B．341石 C．314石 D．360石 【答案】A 【分析】根据抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，可计算出夹谷的频率，从而可解． 【详解】根据题意，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒， 则样本中夹谷的频率为， 则这批米内夹谷约为（石. 故选：A 题型一 有放回与无放回问题的概率 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签并求标签上的数字之和．记不放回地选取且和为6的概率为，有放回地选取且和为6的概率为，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型概率公式，求出事件概率，计算结果. 【详解】由题意知， 不放回地选取共有20个样本点，标签上的数字之和为6有4个样本点，分别为，所以， 有放回地选取共有25个样本点，标签上的数字之和为6有5个样本点，分别为，所以， 则． 故选：B. 2．（24-25高一下·山东泰安·期末）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； （2）根据有放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； 【详解】（1）不放回连续取两次的样本空间，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，， 记“两数之和为3的倍数”为事件，则事件，，，，， ，， （2）设5个球记为，，，，，则有放回地取出两个的样本空间 ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， 记“两球颜色恰好不同的概率”为事件，则，，， ，，，，，，，， ， 3．（24-25高一下·广东广州·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）通过不放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率； （2）通过有放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率. 【详解】（1）若标签的选取是不放回的，则样本空间为： ， 共种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率为； （2）若标签的选取是有放回的，则样本空间为： ， 共16种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率. 4．（24-25高一下·江苏南京·期末）一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球. (1)写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率； (2)分别求第二次，第三次摸到红球的概率； (3)从求解的结果可以得出一个什么基本事实. 【答案】(1)样本空间见解析；； (2)第二次，第三次摸到红球的概率均为； (3)抽签中签的概率与抽签顺序无关 【分析】（1）依据古典概型写出基本事件空间，再写出“第一次摸到红球”中包含的基本事件，从而求出概率； （2）由古典概型求得概率； （3）依据概率相同得到结论. 【详解】（1）将三个红球记为，一个黄球记为， 从中不放回地依次随机摸出个球，该实验的基本事件空间为： 共有个基本事件， 设“第一次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第一次摸到红球的概率为. （2）设“第二次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第二次摸到红球的概率为. 设“第三次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第三次摸到红球的概率为. （3）因为，即第一、二、三次抽到红球的概率相同， 所以，抽签中签的概率与抽签顺序无关. 题型二 利用概率的加法公式计算古典概型的概率 1．（24-25高一下·河北邯郸·期末）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型的概率公式，结合概率的加法公式求解. 【详解】基本事件空间为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36个基本事件. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.共27个， 所以. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，.共11个基本事件. 所以. 事件包含的基本事件有： ，， ， ， ，.共6个基本事件. 所以. 根据概率的加法公式可得：. 故选：D 2．（22-23高一下·河北邢台·阶段练习）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，计算，判断AD；分析事件,以及，并求对应的概率，即可判断BC. 【详解】设红球为，白球为，黄球为， 其中任取两个球的所有样本点包含，共15个， 事件所包含的样本点为，共4个， 所以， 故A错误； 表示取到的2个球，一个黄球一个白球，包含的样本点有，共6个，所以，故B错误； 事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球 或没有白球的两个互斥事件和， 事件是必然事件，因此，故C正确； 事件与是对立事件，所以，故D错误. 故选：C 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为0.19． (1)求x的值； (2)已知，，求九年级中女生比男生少的概率； (3)已知，在全校学生中随机抽取一名学生，则该学生是女生或是九年级学生的概率是多少？ 【答案】(1)380 (2) (3)． 【分析】（1）运用等可能事件概率公式可解； （2）设九年级女生比男生少为事件，九年级女生数、男生数记为,列举样本空间样本点和满足题意的样本点，然后运用古典概型计算； （3）运用并事件概率公式计算即可. 【详解】（1），． （2）设九年级女生比男生少为事件，九年级女生数、男生数记为， 由（1）知，，，． 满足题意得所有样本点是，共11个， 事件A包含的样本点是，共5个． 因此． （3）设“抽到女生”，“抽到九年级学生”，由（2）知， 又，， 全校女生共有（名）， 则有，，． 该学生是女生或九年级学生的概率为． 题型三 统计与概率的综合问题 1．（22-23高二上·上海静安·期末）某高中高一、高二、高三年级共有学生800名，各年级男、女生人数如下表： 高一 高二 高三 男生（人数） 149 女生（人数） 143 130 已知在三个年级的学生中随机抽取1名，抽到高二年级男生的概率是0.16 (1)求的值； (2)现用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生，应从高三年级抽取多少名? 【答案】(1)128. (2)10名. 【分析】（1）根据抽到高二年级男生的概率是0.16，列式计算，可得答案. （2）求出高三年级的总人数，根据分层抽样的比例，列式计算，求得答案. 【详解】（1）由题意可知. （2）高三年级人数为， 故用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生， 应从高三年级抽取人数为（名）. 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为． (1)求x的值； (2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？ (3)已知，求九年级中女生比男生少的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抽到八年级女生的概率列式求解即可. （2）先求出九年级人数，然后根据分层抽样定义求出所抽取人数即可. （3）结合列举法，利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意，． （2）九年级人数为， 现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，应在九年级抽取的人数为（名）． （3）设九年级女生比男生少为事件，九年级女生数，男生数记为， 由（2）知，，． 满足题意的所有样本点是 ，共11个， 其中事件包含的样本点是共5个， ． 3．（24-25高二上·广东茂名·阶段练习）从高三年级所有女生中，随机抽取个，其体重（单位：公斤）的频率分布表如下： 分组（重量） 频数（个） 10 50 x 15 已知从个女生中随机抽取一个，抽到体重在的女生的概率为. (1)求出的值； (2)用分层抽样的方法从体重在和的女生中共抽取5个，再从这5个女生中任取2个，求体重在和的的女生中各有1个的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意列方程组求解即可； （2）确定两组里抽取的人数，利用列举法求解古典概型的概率，即可得答案. 【详解】（1）依题意可得，， 解得； （2）若采用分层抽样的方法从体重在和的女生中共抽取5个， 则体重在的个数为，记为， 在的个数为，记为， 从抽出的5个女生中，任取2个共有： 共10种情况. 其中符合体重在和的女生中各有1个的情况共有： 种. 设事件表示“从这5个女生中任取2个，体重在和的女生中各有1个”， 则. 从这5个女生中任取2个，体重在和的女生中各有1个的概率为. 1．（多选）（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小； B．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀； C．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖； D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水． 【答案】AB 【分析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项． 【详解】对于A，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故A正确； 对于B，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以根据结果都是出现1点可以认定这枚骰子质地不均匀，故B正确． 对于C，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故C错误． 对于D，“明天本市降水概率为70%”，指下雨的可能性为0.7，故D错误． 故选：AB． 2．（多选）（24-25高一下·安徽·期末）在一个不透明的袋子中，装有大小､材质相同的2个红球和3个绿球，从袋中依次抽取2个球，记“第次取到红球”，“第次取到绿球”，其中，则下列说法正确的是（    ） A．若有放回地抽取，则 B．若有放回地抽取，则 C．若不放回地抽取，则 D．若不放回地抽取，则 【答案】BCD 【分析】列举出所有可能性结合古典概型概率公式计算依次判断即可. 【详解】给大小、材质相同的2个红球编号为，3个绿球编号为， 若有放回抽取，则样本空间为：，共包含25个样本点， 其中第一次摸到红球，有，其中包含10个样本点， 第二次摸到红球，有，其中包含10个样本点， 第一次摸到绿球，有，其中包含15个样本点， 第二次摸到绿球，有，其中包含15个样本点， 所以，，故A错误； 因为事件有，其中包含6个样本点， 所以，故B正确； 若不放回抽取，则样本空间为 ，共含有20个样本点， 因为事件有，其中包含6个样本点， 所以，故C正确； 因为事件有，其中包含14个样本点， 所以，故D正确. 故选：BCD 3．（25-26高一上·湖南长沙·开学考试）在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为 . 【答案】 【分析】先列出m、n的所有可能的值，进而得到不经过第四象限的概率． 【详解】二次函数的图象不经过第四象限， 则对称轴且或顶点纵坐标， 即或， 由题意，两次摸球的数字组合可能有： ，共9种， 其中符合条件的组合有，共5种， 所以二次函数的图象不经过第四象限的概率为. 故答案为：. 4．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）在一个不透明的袋子里装有4张数字卡片，数字分别是1，，0，2，它们除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1张不放回，再摸出1张．如果把第一次摸出的数字作为横坐标，第二次摸出的数字作为纵坐标，那么组成的点在坐标轴上的概率是 ． 【答案】/0.5 【分析】先计算所有可能的结果数，找出在坐标轴上的结果，计算概率即可 【详解】根据题意，不放回的抽取两次总共的结果为种； 点在横轴上时，有这3种， 当点在纵轴上时，有这3种， 所以点在坐标轴上的结果数一共有种； 则组成的点在坐标轴上的概率是. 故答案为：. 5．（24-25高二下·福建泉州·期末）一项抛掷骰子的过关游戏规定：在第关要拋掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数和不小于，则算过关.游戏者可以随意挑战某一关，若直接挑战第三关，则通关的概率为 ． 【答案】 【分析】求出所出现的点数共有种可能，再分类求出出现的点数和小于9，即小于等于8的情况的种数，即可得点数和不小于9的情况，利用古典概型公式，即可求得答案. 【详解】由题意直接挑战第三关，则， 则第3关要拋掷一颗骰子3次，所出现的点数共有种可能， 先求这3次抛掷所出现的点数和小于，即小于等于8的情况的种数； 点数和为3时，即三次抛掷的点数为，共1种可能； 点数和为4时，即三次抛掷的点数为，共3种可能； 点数和为5时，即三次抛掷的点数为，共6种可能； 点数和为6时，即三次抛掷的点数为， 共10种可能； 点数和为7时，即三次抛掷的点数为， ，共15种可能； 点数和为8时，即三次抛掷的点数为， ，，， 共21种可能； 则点数和小于9的情况共有（种）， 则点数和不小于9的情况共有（种）， 则通关的概率为， 故答案为： 6．（23-24高二·上海·课堂例题）两个男生、两个女生随机站一排， (1)写出样本空间； (2)写出每个人的相邻之人总是异性这个事件所对应的子集； (3)写出每个人的相邻之人至少有一个异性这个事件所对应的子集． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）对给定的男生、女生编号，再写出样本空间. （2）（3）由（1）的信息写出相应的子集. 【详解】（1）记两个男生为，两个女生为， 样本空间， . （2）每个人的相邻之人总是异性这个事件所对应的子集为：. （3）每个人的相邻之人至少有一个异性这个事件所对应的子集为： . 7．（25-26高二上·江苏常州·开学考试）一个袋子中存大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球，设事件A=“第一次摸到红球”，事件B=“第二次摸到黑球”，C=“摸到的两个球恰为一个红球一个白球”． (1)分别求事件、、发生的概率； (2)求事件A、B、C中至多有一个发生的概率． 【答案】(1)， ， ； (2). 【分析】（1）列出样本空间和所有满足事件的情况，根据古典概型概率计算公式计算即可； （2）列出满足题意的所有情况，根据古典概型概率计算公式计算即可. 【详解】（1）样本空间，共有12个基本事件； 事件，共有6个样本点， 所以， 事件，共有3个样本点，所以， 事件，共有4个样本点，所以． （2）事件中至多有一个发生的情况有，共有8种， 所以． 8．（24-25高一下·河北·期末）象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛.初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，并整理得到如图频率分布直方图： (1)根据直方图，求的值，并估计这次知识能力竞赛的平均数； (2)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率. 【答案】(1)，78 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图各组频率之和等于1求出，由频率分布直方图估算平均数计算得解； （2）由题，甲最终获胜，比分可能是，，分别求出概率，再根据互斥事件的概率公式求解. 【详解】（1）由频率分布直方图，的频率为的频率为的频率为0.42，的频率为0.08， 所以的频率为， 所以， 根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数： 分. （2）因为甲最终获胜，比分可能是，， 设甲获胜为事件A，获胜为事件， 若甲获胜，则概率为， 若甲获胜，则概率为， 又A，B两个事件互斥，则甲最终获胜的概率为. 9．（22-23高一下·广西·期末）袋子中放有大小质地完全相同的球若干个，其中红色球1个，黑色球1个，白色球个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到白色球为事件，且事件发生的概率是． (1)求的值； (2)若从袋子中有放回地取球，每次随机取一个，若取到红色球得2分，取到白色球得1分，取到黑色球得0分，求连续两次取球所得分数之和大于2分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型公式求解即可； （2）将所有基本事件列出，再分析满足各条件的事件个数，进而根据古典概型公式求解即可. 【详解】（1）由题意，从袋子中随机抽取1个小球，共有个结果，每个结果可能性相同， 其中事件发生有种结果，所以，解得． （2）由（1）可知连续取球两次所包含的基本事件有：（红，红），（红，白1），（红，白2），（红，黑），（白1，红），（白1，白1），（白1，白2），（白1，黑），（白2，红），（白2，白1），（白2，白2），（白2，黑），（黑，红），（黑，白1），（黑，白2），（黑，黑），所以基本事件的总数为16． 设事件：连续取两次分数之和为3分， 设事件：连续取两次分数之和为4分， 设事件：连续取两次分数之和大于2分，则，且事件与事件互斥， 因为事件所包含的基本事件有：（红，白1），（红，白2），（白1，红），（白2，红），所以， 因为事件所包含的基本事件有：（红，红），所以， 故． 即两次取球所得分数之和大于2分的概率为． 10．（25-26高一上·全国·单元测试）随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高．某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查．现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得到下表（单位：人）． 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满意 50 30 30 50 50 80 (1)从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率； (2)试估计该地区青年人对酸奶满意的概率； (3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果即可） 注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值． 【答案】(1) (2) (3)青年人 【分析】（1）由题干可知总人数为，对酸奶满意的人数为，由此可得结果； （2）用样本频率估计总体概率，可得该地区青年人对酸奶满意的概率.青年人共人，满意的人数为，即可得结果； （3）根据消费群体中满意的人数与总人数的比值，计算出各人群的满意度，再计算提高后各个群体增加的满意人数，增加的人数更多的即为所选. 【详解】（1）设“这个人恰好对生产的酸奶质量满意”为事件A， 样本总人数为500，其中对酸奶质量满意的人数为， 所以． （2）用样本频率估计总体概率，该地区青年人对酸奶满意的概率． （3）青年人消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大. 理由如下： 老年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）； 中年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）； 青年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）； 所以青年人总人数最多，对鲜奶的满意度较低，所以青年人对鲜奶的满意度提升0.1， 人数提高得最多，则整体对鲜奶的满意度提升最大. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $