1.4.2 充要条件 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“充要条件”核心知识点，通过命题及其逆命题的真假对比引入，衔接先前命题知识，搭建从具体命题到抽象条件概念的学习支架。 其亮点在于从集合、物理学（如电路图开关与灯泡亮的条件）等多角度理解概念，结合逻辑推导与不等式应用实例，培养学生用数学眼光观察、数学思维推理的核心素养。丰富的实例与分层训练，助力学生深化理解，也为教师提供系统教学素材。

1.4.2 充要条件 Administrator (A) - 概念的引入 命题（1）和它的逆命题是真命题 命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题 命题（3）是假命题 命题（3）的逆命题是真命题 命题（4）和它的逆命题都是真命题 充要条件的定义 思考：如何定义充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件？ 充分不必要条件： 必要不充分条件： 既不充分也不必要条件： B A 1 ) A B 2 ) A B 3 ) A = B 4 ) 概念的理解 （从集合角度） 如图所示，在下列电路图中闭合开关A是灯泡　B亮的什么条件？ （１）开关A闭合是灯泡B亮的 条件； （２）开关A闭合是灯泡B亮的 条件； （３）开关A闭合是灯泡B亮的 条件； （４）开关A闭合是灯泡B亮的 条件． 概念的理解 （从物理学角度） 已知p , q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件. （1）s是q的什么条件？ （2）r是q的什么条件？ （3）p是q的什么条件？ 拓展训练 解:由题意得: r p, r q, s r, q s (1)s r q ,且q s 故s是q的充要条件; (2)r q ,且q s r 故r是q的充要条件; (3)p q ,且q s r p 故p是q的必要不充分条件; / 概念的深化 问题4：你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 这个充要条件唯一吗？ 思考：要证 是 的充要条件 根据充要条件的定义，我们需要证明什么？ 拓展提升 已知条件 条件 , 条件 . 若 是 的充要条件，则 若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是_______________. 2 <m></m> [解析] 条件 ，因为 是 的充要条件，所以 解得 . 因为 是 的必要不充分条件， 所以 解得 . 19 课堂小结 课堂小结 课堂小结 课堂小结 课堂小结 课堂小结 ABC 课堂小结 谢谢观看！ 问题1：下列“若，则”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ （1） 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2） 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3） 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则； （4） 若是空集，则与均是空集. 对于命题（3） ：一元二次方程有两个不相等的实数根，：. 由得，即，但不一定成立， 因此. 命题（3）的逆命题: ：，：一元二次方程有两个不相等的实数根. 由知故一元二次方程有两个不相等的实数根， 因此. (4)若是空集，则与均是空集. ，但， 所以 是 的充分条件，但 不是 的必要条件. 问题2：在问题1的四个命题中， 是 的什么条件？ 是 的什么条件？哪些命题中 既是 的充分条件， 又是 的必要条件？ (1) ：若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等， ：这两个三角形全等. ：两个三角形全等， ：这两个三角形的周长相等. 且， 所以 既是 的充分条件，也是 的必要条件. (3) ：一元二次方程 有两个不相等的实数根， ： . ：若 是空集， ： 与 均是空集. 因为，但, 所以 不是 的充分条件，但 是 的必要条件. 因为且， 所以 既是 的充分条件，也是 的必要条件. 定义：如果“若 ,则 ”及其逆命题“若 ,则 ”均是真命题，则称 是 的充分必要条件，简称为充要条件，记作 . 如果 ，那么 与 互为充要条件. 例1 （教科书第21页例3）下列各题中，哪些 是 的充要条件？ ：四边形是正方形， ：四边形的对角线互相垂直且平分； ：两个三角形相似， ：两个三角形三边对应成比例； ： ， ： ； ： 是一元二次方程 的一个根， ： . 因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形， 所以 不是 的充要条件 例1 （教科书第21页例3）下列各题中，哪些 是 的充要条件？ ：四边形是正方形， ：四边形的对角线互相垂直且平分； 因为“若 ，则 ”是相似三角形的性质定理， “若 ，则 ”是相似三角形的判定定理， 所以 是 的充要条件。 例1 （教科书第21页例3）下列各题中，哪些 是 的充要条件？ （2） ：两个三角形相似， ：两个三角形三边对应成比例； 例1 （教科书第21页例3）下列各题中，哪些 是 的充要条件？ （4） ： 是一元二次方程 的一个根， ： . 因为 时，只能得出 同号， ， 不一定成立，所以 不是 的充要条件. 因为“若 ，则 ”与“若 ，则 ”均为真命题， 所以 是 的充要条件. 例1 （教科书第21页例3）下列各题中，哪些 是 的充要条件？ （3） ： ， ： ； “四边形的一组对边分别平行且相等” 都是“四边形是平行四边形”的充要条件。 可见这个充要条件不唯一 解“四边形的两组对边分别平行” “四边形的两组对角分别相等” “四边形的两组对边分别相等” “四边形的对角线互相平分” 根据定义，即要证“若 ，则 ”及其 “若 ，则 ”都为真命题. _1234567890.doc 因此，要证 是 的充要条件，需分别证明充分性（ ）和必要性（ ） 例2 （教科书第22页例4）已知：圆 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 .求证: 是直线 与圆 相切的充要条件. 证“若 ，则 ”为真，即证明充分性（ ） 证“若 ，则 ”为真，即必要性（ ） 分析：设 直线 与圆 相切. 这道例题是要证 是 的充要条件 在直线 上任取一点 （异于点 ）,连接 . 在 中， 所以，除点 外直线 上的点都在圆 的外部， 即直线 与圆 仅有一个公共点 . 所以直线 与圆 相切. 证明：设 直线 与圆 相切. 充分性（ ）： 如图，作 于点 ，则 . 若 ，则点 在圆 上. 充要条件的证明要分两个环节： 一是证明充分性，在证明充分性时要分清条件和结论， 此题在证充分性时，条件为，结论为； 二是证明必要性，在证明必要性时要分清条件和结论， 此题证必要性时，条件为，结论为. 必要性（ ）： 若直线 与圆 相切，不妨设切点为 . 则 .因此 . 由(1)(2)可得， 是直线 与圆 相切的充要条件. 追问：如何证明充要条件？ 【思考1】如何证明“ 的充要条件是 ”？证明“充分性”和“必要性”需要证明什么命题？ 【解答】对于“ 的充要条件是 ”的证明，需要证明“充分性”和“必要性”。“充分性”是指证明 ，“必要性”是指证明 . 【例如】（1）设 ，证明： 的充要条件是 . 【解析】这个证明的“充分性”是： 这个证明的“必要性”是： 【思考2】“ 是 的充要条件”与“ 是 的充要条件”是否等价？在证明过程中有区别吗？ 【解答】“ 是 的充要条件”与“ 是 的充要条件”是等价的，但在证明过程中是有区别的. 对“是的充要条件”的证明而言， “充分性”是指由可以推出，即； “必要性”是指由可以推出，即. 对“是的充要条件”或“的充要条件是”的证明而言， “充分性”是指； “必要性”是指. 【例如】证明: 是关于的方程有两个负实根的充要条件. 【思考3】充要条件是否唯一？能举例说明吗？ 【解答】对于给定条件，由推出的结论是不唯一的； 对于给定结论，使得成立的条件是不唯一的. 可从初中几何学习中的判定定理和性质定理来理解， 或者从集合的包含关系来理解. 【解析】下面是平行四边形各种形式的定义： ①两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形； ②一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形； ③两条对角线互相平分的四边形叫做平行四边形； “四边形的两组对边分别相等”，“四边形的一组对边平行且相等”， “四边形的两条对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以他们都是“四边形是平行四边形”的充要条件. 【思考4】设集合={满足条件},={满足条件}, 从集合的观点看,若是的充要条件，则集合有何关系？ $