专题 4.1 点的位置与坐标表示（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 4.1 点的位置与坐标表示 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 一、学前回顾： 1 【题型1】数轴与实数 1 二、基础知识梳理： 3 【知识点一】平面直角坐标系 3 【题型2】写出平面内点的坐标或描点 3 【知识点二】象限 5 【题型3】判断点所在的象限或已知象限求参数 5 【知识点三】建立合适的平面直角坐标系 8 【题型4】建立合适的平面直角坐标系 8 三、 知识与题型延伸探究： 10 【题型5】有序实数对 11 【题型6】平行于坐标轴的直线上点的坐标 13 【题型7】平面直角坐标系与三角形全等 16 【题型8】平面直角坐标系与面积问题 18 【题型9】平面直角坐标系与规律问题 21 【题型10】平面直角坐标系与最值问题 23 二．同步练习​ 26 【基础巩固（13题）】 27 【能力提升（15题）】 34 【中考真题10题】 47 一.知识梳理与题型分类精析 一、学前回顾： 1、数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴； 2、数轴与实数一一对应关系：数轴与实数的核心关系是一一对应，即数轴上的点和实数之间存在唯一的对应关系； 3、数轴上两点之间距离：设在数轴上两点表示的实数分别为和，则两点之间距离公式为． 【题型1】数轴与实数 【例题1】（25-26八年级上·上海·阶段练习）数轴上点A、B、C、D依次表示四个实数：、、、0． （1）在如图所示的数轴上标出点A的大致位置和点B、C、D的位置； （2）分别求A与B、A与C两点间的距离． 【答案】（1）见分析；（2）A与B、A与C两点间的距离分别为、 【分析】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是根据各数的近似值描出其在数轴上的大致位置． （1）根据点A、B、C、D表示的数描出大致位置即可； （2）求数轴上两点间的距离，用右边的点表示的数减左边的点表示的数即可． 解：（1）解：数轴上描出点A、B、C、D的大致位置如图： （2）解：A与B两点间的距离：， A与C两点间的距离：． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、．若B、C两点之间的距离为，则A、C两点之间的距离为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离，先得到点C表示的数，然后分情况求出长解答即可． 解：由题意可知点C表示的数为或， 或．   故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直角三角形在数轴上，，，，点在数轴上的处，以点为圆心，以为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理求出的长，进而得到的长，然后根据两点间的距离求出点对应的数即可． 解：∵，，， ∴， 由作图可知：， ∴点表示的数为； 故答案为： 数轴的作用 数轴的关键作用：通过数轴搭建 “数” 与 “形” 的桥梁，将抽象实数直观化、可量化。 1、直观表示实数：数轴通过原点、正方向和单位长度的设定，每一个实数都能对应数轴上唯一的点，把抽象的数转化为具体的几何位置； 2、清晰反映实数关系：借助数轴上点的位置，可以判断对应实数的大小关系； 3、计算两点距离：求出两点间的距离，实现数与形的相互转化。 二、基础知识梳理： 【知识点一】平面直角坐标系 平面直角坐标系定义：平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。水平的数轴称为轴，或横轴，向右为正方向；竖直方向的数轴称为轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点称为原点轴； 平面直角坐标系中点的表示：过平面直角坐标系中一点分别作轴，轴的垂线，垂足在坐标轴上表示的数为则有序对称为点的坐标，称为点P的横坐标，称为点的纵坐标. 【题型2】写出平面内点的坐标或描点 【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，E的位置如图． （1）分别写出点A，B，C，D，E的坐标． （2）在平面直角坐标系内，描出点． 【答案】（1）．； （2） 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题的关键是正确结合坐标系分析． （1）直接利用平面直角坐标系得出各点坐标即可； （2）根据平面直角坐标系中点的位置的确定方法找出各点的位置，然后描出即可． 解：（1）解： （2）解：如图所示： <> 【变式1】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，试写出坐标平面内各点的坐标． 解：A： ； B： ；C： ；D： ；E： ；F： 【答案】见分析 【分析】本题考查写出坐标系中点的坐标，根据点的位置，直接写出点的坐标即可． 解：由图可知：，，，，，． 方法总结： 写点的坐标方法：过这个点作坐标轴的垂线，在x轴上表示的数为a，在y轴上表示的数为b,则用（a,b）表示这个点的坐标； 描点的方法：若一个点的坐标为（a,b）则过x轴上表示a的点作垂线，过y轴上表示b的点作垂线，其交点就是要描的点 【知识点二】象限 如图：在平面直角坐标系中，两条坐标轴将平面分成四个区域称为象限，按逆时针顺序记为第一、二、三、四象限，其中坐标轴不属于任何象限 【题型3】判断点所在的象限或已知象限求参数 【例题3】（25-26八年级上·全国·课前预习）（1）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　） A．第一象限     B．第二象限 C．第三象限      D．第四象限 （2）若点在第四象限，则a的值可以是（　　） A．     B．　0 C．     D．　2 （3）若点在第二象限，则m的值可以是___________．（写出一个即可） 【答案】（1）B；（2）D；（3）（答案不唯一） 【分析】本题考查了平面直角坐标系中象限的坐标符号特征．在平面直角坐标系中，第一象限的点的坐标特征为，第二象限为，第三象限为，第四象限为． （1）判断点横、纵坐标的符号，进而确定其所在象限； （2）根据题意得，据此判断即可； （3）根据题意得，据此判断即可． 解：（1）∵，， ∴点在第二象限， 故选：B； （2）∵点在第四象限， ∴， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D； （3）∵点在第二象限， ∴， ∴m的值可以是（答案不唯一）． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如果，那么点在第几象限?点在坐标平面内的什么位置? 【答案】点P在第二象限，点Q在原点上 【分析】考查了点的坐标：直角坐标系中点与有序实数对一一对应；在x轴上点的纵坐标为0，在y轴上点的横坐标为0；记住各象限点的坐标特点．也考查了几个非负数的和的性质． 根据几个非负数的和的性质得到，，解得，则点P的坐标为，则可判断点P在第二象限；点Q的坐标为，可判断点Q在原点． 解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴点在第二象限 ∴点的坐标为， ∴点Q在原点． 方法归纳：平面直角坐标系中象限的坐标符号特征：在平面直角坐标系中，第一象限的点的坐标特征为，第二象限为，第三象限为，第四象限为． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知点，试分别根据下列条件，求出的值及点A的坐标： （1）点A在轴上； （2）点A在轴上． 【答案】（1），A；（2），A 【分析】本题考查坐标轴上点的特征． （1）一个点在y轴上，则其横坐标为零，据此即可求解； （2）一个点在x轴上，则其纵坐标为零，据此即可求解． 解：（1）解：∵点A在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，A； （2）解：∵点A在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，A． 方法归纳：平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标符号特征：在x轴上的点纵坐标为零，在y轴上的点横坐标为零. 【变式3】（23-24八年级上·全国·期末）已知点，分别根据下列条件求出点M的坐标． （1）点M在x轴上； （2）点M在一、三象限角平分线上． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是平面直角坐标系内x轴上的点以及一、三象限角平分线上的点的坐标特点，熟练掌握其特点并代入计算是解题的关键． （1）根据x轴上的点的坐标特点为纵坐标都为0，求出a的值，再代入计算即可； （2）根据一、三象限的角平分线上的点的横纵坐标相等，进行列式计算即可． 解：（1）解：∵点在x轴上， ∴， 解得． ∴． ∴点M的坐标为； （2）解：∵点M在一、三象限角平分线上时， ∴． 解得． ∴， ∴点M的坐标为． 方法归纳：平面直角坐标系中象限角平分线上坐标特征：在一三象限角平分线上的点横坐标等于纵坐标相等，在二四象限角平分线上的点横坐标等于纵坐标互为相反数. 【知识点三】建立合适的平面直角坐标系 建立合适的平面直角坐标系：核心体现在“合适”上，即通过合理的选择原点、坐标轴方向和单位长度，使图形的坐标表示或问题求解更简便。 【题型4】建立合适的平面直角坐标系 【例题4】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，以正方形的两条边为底边，向外作两个等腰直角三角形，已知正方形的边长为4，请在图中建立合适的平面直角坐标系，并求出各顶点的坐标． 【答案】见分析；，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查坐标与图形，正方形的性质，先建立适当的平面直角坐标系，再写出各点坐标即可． 解：建立平面直角坐标系如图： 则有：，． 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，请以点B为原点建立平面直角坐标系，并写出A，C，D三点的坐标． 【答案】见分析， 【分析】本题主要考查了写出坐标系中点的坐标，正确建立坐标系是解题的关键． 根据题意建立适当的平面直角坐标系，再写出点A，C，D的坐标，即可求解． 解：如图，平面直角坐标系即为所求． A，C，D三点的坐标分别为． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）三角形在网格中的位置如下图所示（每个小正方形的边长都是1）．请建立适当的平面直角坐标系，并写出三角形的顶点A，B，C的坐标． 【答案】建立平面直角坐标系见详解；点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为 【分析】本题考查了平面直角坐标系、点的坐标；以边所在的直线为轴，过点垂直的直线为轴，即可建立平面直角坐标系，写出坐标即可求解． 解：建立平面直角坐标系如下： 点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为． 方法归纳：建立平面直角坐标系时，选择的原点不同，图形上表示的同一点坐标也不相同，对于几何图形来，往往选择顶点作为原点，对于轴对称图形，往往选择坐标轴与对称轴重合。 3、 知识与题型延伸探究： 【题型5】有序实数对 在平面上，有序实数对（a,b）都有一个点与之对应，反之，平面内任意一个点也有唯一对应一个有序实数对与之对应. 【例题5】（2025八年级上·全国·专题练习）根据下列表述，不能确定具体位置的是（   ） A．北纬，东经 B．解放路 C．某港口南偏东方向上距港口 D．某电影院2号厅2排3座 【答案】B 【分析】本题考查了有序数对表示位置，解题的关键是理解有序数对表示位置． 根据有序数对表示位置即可得． 解：A、北纬，东经，能确定具体位置，不符合题意； B、解放路，不能确定具体位置，符合题意； C、某港口南偏东方向上距港口，能确定具体位置，不符合题意； D、某电影院2号厅2排3座，能确定具体位置，不符合题意； 故选：B． 方法归纳：表示位置方法有：经纬定位法；方位角+距离定位法；行列定位法；区域定位法. 【变式1】（24-25七年级上·湖南·开学考试）有一张方格纸，每个小方格的边长是1厘米，上面堆叠有棱长1厘米的小正方体（如图），小正方体A的位置用表示，小正方体B的位置用表示，那么小正方体C的位置可以表示成（   ） A． B． C． D．无正确选项 【答案】A 【分析】本题主要考查了用坐标表示位置，根据题意直接表示出小正方体C的位置即可． 解：由题意可得小正方体C的位置可以表示成． 故选：A． 方法启示：表示平面位置需要两个数据，表示立体空间位置需要要三个数据. 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，点A在射线上，．如果绕点O按逆时针方向旋转（）到，那么点的位置可以用表示． （1）按上述表示方法，若，，则点的位置可以表示为 ； （2）在（1）的条件下，点B的位置用表示，连接，．求证：． 【答案】（1）；（2）详见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，新定义题目，旋转的性质，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据点的位置定义，即可得出答案； （2）画出图形，证明，即可由全等三角形的性质，得出结论． 解：（1）解：由题意，得， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 方法归纳：旋转角+距离定位法和几何图形综合题，利用旋转性质及三角形全等进行解题 【题型6】平行于坐标轴的直线上点的坐标 平行于x轴直线上的点的坐标纵坐标相等；两点间距离等于横坐标差的绝对值，平行于y轴直线上的点的横坐标相等，两点间距离等于纵坐标差的绝对值. 【例题6】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）平面直角坐标系中有点和点，若线段且与坐标轴平行，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行于y轴的直线上的点横坐标相同，平行于x轴的直线上的点纵坐标相同，据此分两种情况讨论，①线段与轴平行，则；线段与轴平行，则，，解方程即可得到答案． 解：当轴时， ∵点和点，线段， ∴, ∴或， ∴或； 当轴， ∵点和点，线段， ∴，， 解得：或， ∴或； 综上：或， 故答案为：或． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在平面直角坐标系中，已知线段和轴平行，且，若点的坐标为，则点的坐标可能是（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，由于线段平行于轴，点的坐标为，故点的纵坐标也为，线段的长度为，因此点的横坐标与点的横坐标相差个单位，分左右两种情况计算即可，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． 解：∵线段平行于轴，点的坐标为， ∴点的纵坐标也为， ∵线段的长度为， ∴点的横坐标与点的横坐标相差个单位， ∴点的横坐标为或， ∴点的坐标可能是或， 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知点，若线段与轴平行，A、B两点的距离为3，则的坐标为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查坐标与图形，根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相同，两点间的距离等于横坐标差值的绝对值，进行求解即可． 解：∵线段与x轴平行，且，点A的坐标为， ∴设， ∴， ∴或； 故答案为：或． 【变式3】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，小明在学习时发现，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为． 【类比应用】 （1）若点，，则 轴，的长度为 _； 【联系拓展】 已知点，， （2）若线段与轴交于点，点把线段分成的两部分时，求的值． 【答案】（1），；（2）或 【分析】本题主要考查了两点间的距离公式及三角形的面积，解题时要熟练掌握并灵活运用． （1）依据题意，当横坐标相同时平行于轴，当纵坐标相同时平行于轴，进而可以得解； （2）依据题意可得，同时分成两种情形讨论，再进行列式计算，即可作答． 解：（1）由题意，当横坐标相同时平行于轴，当纵坐标相同时平行于轴． 、两点纵坐标相同， 轴． ， ． 故答案为：；． （2）由题意，， ∴轴，． 线段与轴交于点， ，． 点把线段分成的两部分， ，或． 又， 当时，则； 当时，则； 又， ∴或 或． 方法归纳：在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，若轴，；若轴，=． 【题型7】平面直角坐标系与三角形全等 【例题7】（25-26八年级上·江西上饶·阶段练习）已知点A，B的坐标分别为，，以A、B、P三点为顶点的三角形与全等，则符合条件点P的坐标为 【答案】或或 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，由题意可得，，再结合全等三角形的性质，分两种情况，结合图象，即可得出答案，关键是正确确定A、B的位置，画出． 解：∵点A，B的坐标分别为，， ∴，， ∵以A、B、P三点为顶点的三角形与全等， ∴如图所示： ， 当时，此时，点的坐标为， 当时，此时，点的坐标为或， 综上所述，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 【变式1】（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）已知点，的坐标分别为，，以，，三点为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质以及坐标与图形的性质．熟练掌握坐标轴上点的特征，各点横纵坐标之间的关系，作出图形，是解答本题的关键． 可知点P位于点的位置时，以A、B、P为顶点的三角形与全等，结合全等三角形的性质找出这三个点的坐标． 解：如图所示： 当时，， ∴． ∴点P位于x轴上． ∵点的坐标为， ∴． ∴． ∴． 当时，， ∴． ∵点的坐标为， ∴或． ∴，． 综上可知，符合条件的点的坐标为或或． 【变式2】（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为点B点坐标为，求一点C，使以点B、O、C为顶点的三角形与全等，则点C的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质、坐标与图形，根据题意，做出图形，由条件可知为两三角形的公共边，且为直角三角形，当和全等时，则可知为直角三角形，且有可，可得出点的坐标．由条件得到或是解题的关键． 解：如图所示： 点，， ，，且为直角三角形， 当和全等时，可知为直角三角形，且有公共边， 或， 当时，则点坐标为或（与A重合，舍去）； 当时，则，且， 点坐标为或； 综上可知，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 【题型8】平面直角坐标系与面积问题 【例题8】（25-26八年级上·福建·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，在轴上存在点，使得，求出点的坐标（表示面积） 【答案】或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中求点的坐标等知识． 设点M坐标为，根据得到，求出，问题得解． 解：设点M坐标为， ∵，，，， ∴， 即， ∴， ∴点的坐标为或． 【变式1】（24-25七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，点，点，若在坐标轴上有一点（不与点重合），使三角形和三角形面积相等，则点的坐标为 ． 【答案】、或 【分析】先根据三角形的面积公式求出，再分当点P在x轴上时，当点P在y轴上时，分别进行计算即可得到答案． 本题主要考查了坐标与图形，三角形面积的计算，解题的关键是采用分类讨论的思想解决问题． 解：根据题意得， 当点P在x轴上时，， ， 解得， ∴，或； 当点P在y轴上时，， ， 解得， ∴（舍去），或． 综上，点的坐标为或或， 故答案为：、或． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的三个顶点都在格点上． （1）点A的坐标为________，点B的坐标为________； （2）的面积为________； （3）点P在y轴上，且的面积等于的面积，求点P的坐标． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标、三角形面积的计算，解题的关键是利用割补法求三角形面积，并根据面积关系列方程求解． （1）根据点的位置直接写出坐标； （2）利用割补法计算即可； （3）根据△ABC的面积得到△ABP的面积，再设，根据三角形面积公式列出方程， 解：（1）点A的坐标为，点B的坐标为； 故答案为：，； （2）； 故答案为：， （3）解：设， 的面积等于的面积， ， 解得：或， 点的坐标为或． 【题型9】平面直角坐标系与规律问题 【例题9】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）一只跳蚤每秒跳一格，若规定向右和向上为正方向，起点A处用有序数对表示为，按如图所示的规律一直跳下去，如第1秒跳到的位置用有序数对表示为，则第17秒时跳蚤的位置用有序数对表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用有序数对表示实际位置，由图可知，跳蚤先向上跳2格，再向右跳2格，再向下跳2格，再向右跳2格，依次循环，求出第17次跳动的位置，进行判断即可． 解：由图可知，跳蚤每跳动8次一个循环， ∵， ∴跳蚤跳动2个循环，再向上跳1格， ∴第17秒时跳蚤的位置用有序数对表示为； 故选B． 【变式1】（20-21七年级下·广东珠海·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出四边形的周长为10，得到的余数为3，由此即可解决问题． 解：∵，，，， ∴， ∴绕四边形一周的细线长度为， …3， ∴细线另一端在绕四边形第203圈的第3个单位长度的位置，即点的位置，即坐标为 ． 故选：A． 【点拨】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形一周的长度，从而确定2023个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键． 【变式2】（2025·宁夏·模拟预测）将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示的数为8，则正整数2025用有序实数对表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的混合运算，正确找出数字变化的规律是解题的关键．如图所示的规律为：第行的最后一个数为，依此规律可以确定答案． 解：第一行的最后一个数是1， 第二行最后一个数是， 第三行最后一个数是， 第四行最后一个数是， 第五行最后一个数是． 第行最后一个数是． ， 第63行的最后一个数是2016． 2025在第64行从左到右第9个数的位置． 正整数2025可以用有序数对来表示． 故答案为： 【题型10】平面直角坐标系与最值问题 【例题9】（24-25七年级下·天津南开·期末）平面直角坐标系中，点，若轴，则线段的最小值为 ，此时点C的坐标为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，垂线段最短，平行坐标轴的点的坐标特征，垂直于坐标轴的点的坐标特征，掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键． 根据题意画出图形，再根据垂线段最短求解线段的最小值，再由平行于y轴的点的坐标特征及垂直y轴的点的坐标特征即可解答． 解：如图， 当时，线段最短， ∵点，若轴， ∴最小值为， ∴此时， 故答案为：，． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点M为x轴上方一动点，且，以点为边构造等边，当线段取最大值时， ，点M的坐标为 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，如图1，以M为顶点，为边构造等边三角形，连接，然后证明根得到，当N，A，B三点共线时，最大，即最大，如图2，过M作轴，垂足为T，利用等边三角形的性质和勾股定理解答即可． 解：解；如图1，以M为顶点，为边构造等边三角形，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 当N，A，B三点共线时，最大，即最大， 如图2，过M作轴，垂足为T， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴的最大值， ． 故答案为：6；． 【变式2】（2025·湖北·模拟预测）如图，在轴上有，两点，点为轴右侧一动点，且．将线段绕点顺时针旋转到，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了点的坐标，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以为一边在的上方作等边，连接，依题意得，，则，，由旋转的性质得是等边三角形，则，，进而得，由此可依据“”判定和全等得，再根据“两点之间线段最短”得，据此即可得出的最大值． 解：以为一边在的上方作等边，连接，如图所示： 点，点， ，， ， ， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点，，共线时，为最大，最大值是． 故答案为：． 二．同步练习​ 【基础巩固（13题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·云南·期末）在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键．根据点的坐标特征，即可得出答案． 解：位于第三象限的点的特征是横坐标为负值，纵坐标为负值， 位于第三象限． 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·期中）已知轴，点的坐标为，且，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质：解题的关键是熟知与轴平行的直线上所有点的纵坐标相同，与轴平行的直线上所有点的横坐标相同．把点向上或向下平移个单位得到点． 解：轴， 点的横坐标与点的横坐标相同， ， 把点向上或向下平移个单位得到点， 而点的坐标为， 点坐标为或． 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点在第二象限内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，解一元一次不等式组，根据各象限内点的坐标的符号特征列不等式组是解题的关键． 根据平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，可得，解不等式组求出a的取值范围即可． 解：∵点在第二象限内， ∴， 解得：， 故选：A． 4．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距淇淇家1200米处 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 【答案】C 【分析】本题考查了根据方位描述确定物体的位置，熟练掌握坐标的应用是解题关键．先求出学校相对于淇淇家的所在位置的方向角，再根据图形确定距离，由此即可得． 解：由题意可知，， ∴， 则学校相对于淇淇家的位置：北偏东方向上的1200米处， 故选：C． 5．（24-25八年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的地位，分类讨论用两圆一线的方式，找与轴的交点即可得到答案． 解：如图所示， 当点A是顶角顶点时，以A为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点； 当点O是顶角顶点时，以O为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，即和； 当点P是顶角顶点时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点． 故符合条件的点一共个． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点 ． 【答案】 【分析】本题考查了用坐标表示位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．根据“帅”和“马”的坐标，建立平面直角坐标系，由此即可得． 解：如图，由“帅”位于点，“马”位于点，建立平面直角坐标系如下（每一格表示1个单位长度）： 则“兵”位于点， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）已知，则在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查平方的非负性，算术平方根的非负性，点所在的象限． 根据平方和算术平方根的非负性求出、的值，再判断所在的象限． 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵在第二象限， ∴在第二象限． 故答案为：二． 8．（25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）若点在平面直角坐标系的轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中y轴上点的坐标特征，掌握这一特征是解题的关键． 根据平面直角坐标系中y轴上点的坐标特征为：横坐标为0，即可得出关于m的方程，从而求得m的值，进而求得点P的坐标． 解：∵点在y轴上 ∴ ∴ ∴点P的坐标为 故答案为：． 9．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）若点的坐标为，且点在第四象限，则 0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了点所在的象限：已知点所在的象限求参数，因为点的坐标为，且点在第四象限，得出，即可作答． 解：∵点的坐标为，且点在第四象限， ∴， 则， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，三个顶点的坐标分别为，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 根据求出，利用三角形面积公式进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴ 故答案为：3． 三、解答题 11．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点的纵坐标比横坐标大8，试判断点在第几象限，并说明理由． 【答案】（1）点的坐标为；（2）点在第二象限，见分析 【分析】本题考查了点的坐标，一元一次方程，代数式求值，掌握知识点是解题的关键．； （1）根据y轴上的点的坐标特征，横坐标为0，求得m的值，即可求解； （2）根据题意列出关于m的方程，解方程，即可求解． 解：（1）解：点在轴上， ，解得，则． 点的坐标为（0，5） （2）点在第二象限，理由如下： 点的纵坐标比横坐标大8 ， 解得． ， ， 点，即点在第二象限． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的三个顶点的坐标分别为，求的面积． 【答案】12.5 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，熟练掌握网格中三角形的面积的求解方法是解题的关键．利用所在的长方形的面积减去四周三个直角三角形的面积列式计算即可得解． 解：的面积 ． 13．（25-26八年级上·宁夏银川·阶段练习）已知点，试分别根据下列条件，求出点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点P的纵坐标比横坐标大5； （3）点P在过点，且与x轴平行的直线上． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了在x轴上的点的坐标特点，平行于x轴的直线上的点的坐标特点，熟知坐标系中点的坐标规律是解题的关键． （1）在x轴上的点的纵坐标为0，据此建立方程求解即可； （2）根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （3）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，据此建立方程求解即可． 解：（1）解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵点的纵坐标比横坐标大5， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：∵点在过点，且与x轴平行的直线上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 【能力提升（15题）】 一、单选题 1．（23-24八年级上·四川·期末）在如图所示的象棋盘上，建立适当的平面直角坐标系，使“炮”位于点上，“相”位于点上，则“帅”位于点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标确定位置，先根据“炮”和“相”的坐标建立平面直角坐标系，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 解：由题意可建立如图所示的平面直角坐标系： ∴“帅”位于点， 故选：A． 2．（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）若点满足方程组，则点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】本题考查解三元一次方程组，点的坐标，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．利用加减消元法解方程组，然后根据各象限内的点的坐标特征即可求得答案． 解：， 由①②得：④， 由③④得：，解得， 将代入①得：，解得， 则点的坐标为，位于第二象限， 故选：B． 3．（2024·甘肃定西·模拟预测）若点在平面直角坐标系中位于第四象限，则的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，利用一元一次不等式组解决几何问题，解题的关键是掌握平面直角坐标系中点的坐标特征． 根据平面直角坐标系中点的坐标特征列出不等式组，然后进行求解即可． 解：∵点在平面直角坐标系中在第四象限， ∴ 解得， 故选：A． 4．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，图形与坐标，过点，点分别作，垂直于轴，先证明，得到∴，，进而得点的坐标即可． 解：过点，点分别作，垂直于轴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，，即：， 由题意可知，， ∴， 则， ∴， ∴， ∴，，则， ∴点的坐标为， 故选：D． 5．（2025·贵州·一模）大雁在南飞时保持严格整齐的队形即排成“人”或“一”．如图是大雁南飞时的平面网格图，如果最后两只大雁F，G的坐标为，那么头雁A的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标，由根据F，G的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 解：F，G的坐标为，根据F，G的坐标建立平面直角坐标系，如图： 由图可得：点A的坐标为， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·四川·阶段练习）已知，且，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了有理数的乘法、加法，绝对值，点的坐标等知识点，解题的关键是掌握坐标系中每个象限内点的符号特点：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 先根据有理数的乘法、加法，绝对值的知识判断出，即可判断点所在象限． 解：∵， ∴异号， ∵，， ∴， ∴点在第四象限， 故答案为：四． 7．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图——基本作图，角平分线的性质，点的坐标特征．由作图痕迹得点在的平分线上，则点到轴和轴的距离相等，得到，再结合点在第二象限，即可得解． 解：由作图痕迹得点在的平分线上， ∴点到轴和轴的距离相等， ∴， 解得或， ∵ 点在第二象限， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段练习）将，，，，…，按如图方式排列．若规定表示第排从左往右数第个数．若在，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查找规律，由题中规定，找出规律求解是解决问题的关键． 由排列规律可知，奇数排是顺序、偶数排位倒序，且第排有个数，从而对于第排，若为奇数排从左到右最后一个数为；若为偶数排从左到右第一个数为；再由确定，代值求解即可得到答案． 解：由排列规律可知，奇数排是顺序、偶数排位倒序，且第排有个数， 对于第排，若为奇数排从左到右最后一个数为；若为偶数排从左到右第一个数为； ，且为奇数， 是第排从左往右数第个数，即， 则， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·天津·期中）如图，平面直角坐标系中有点和轴上一动点，其中，以点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，设点C坐标为． （1）当，则点的坐标为 ； （2）动点B在运动过程中， ． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、图形与坐标、等腰直角三角形性质的应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． （1）先过点作轴于，证≌，推出，，即可得出点的坐标； （2）先过点作轴于，证≌，推出，，可得，即可得出点的坐标，进而解题． 解：（1）解：如图1中，过点作轴于，则， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ∴≌， ，， ∴，， ， ； 故答案为：； （2）解：动点在运动的过程中，的值不变． 理由：过点作轴于，如（1）图，则， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ∴≌， ，， ∴，， ， ， 又点的坐标为， ， 故答案为：1． 10．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图是根据某学校的平面示意图建立的平面直角坐标系，学校的入口位于坐标原点，弘毅楼位于点，从弘毅楼出发沿射线方向前行是致远楼，从致远楼向左转后直行到博雅楼，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出也在一条直线上是解题关键． 根据题意结合全等三角形的判定与性质得出，进而得出也在一条直线上，求出的长即可得出点坐标． 解：连接， 由题意可得：，则， 在和中 ， ， ， ∵在一条直线上， ∴也在一条直线上， ∴，则， ∴点坐标为：． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·陕西·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，先根据点A，B，C的坐标求出和的面积，再结合四边形的面积是的面积的得出的面积，据此求出a的值即可． 解：由题知， ∵的顶点坐标分别为，，， ∴，． 又∵四边形的面积是的面积的， ∴四边形的面积为， ∴， 则， 解得， 所以点P的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知两点，其中满足为第三象限内一点． （1）请写出两点的坐标：________． （2）若点到两坐标轴的距离相等，且，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】利用非负数的和为时每个非负数都为来求、的值； 先根据点到坐标轴距离相等求出，再结合平行和线段长度求出点的坐标． 解：（1）解： ∵，且，， ∴，． 解得：，． ∴，． 故答案为：，． （2）解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴或，所以或8． ∵为第三象限内一点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，为． ∵， 当在右侧时，点的横坐标为，即． 当在左侧时，点的横坐标为，即． 综上，或． 故答案为：或． 【点拨】本题考查了非负数的性质、平面直角坐标系中点的坐标特征，解题关键是熟练掌握非负数的性质，以及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，准确分析线段长度与坐标的关系． 13．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知都是实数，设点，且满足，我们称点为“梦之点”． （1）判断点是否为“梦之点”； （2）若点是“梦之点”，请判断点在第几象限，并说明理由． 【答案】（1）是；（2）第三象限，理由见分析 【分析】（1）根据“梦之点”定义，结合点坐标列方程求出、，再验证是否成立． （2）依据“梦之点”定义，用表示、，代入列方程求出，得到点坐标，从而确定象限 ． 本题主要考查新定义“梦之点”与点的坐标、象限的综合应用，涉及方程求解，熟练掌握新定义的运用及通过方程确定未知数的值是解题关键． 解：（1）解：由题意，得， 解得， ∴， ∴， ∴点是“梦之点”． （2）解：点在第三象限．理由如下： ∵点是“梦之点”， ∴， ∴， ∴代入有， 解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴点在第三象限． 14．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系中，已知点，且，满足方程组． （1）求点的坐标； （2）若点在第四象限，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了各象限点的坐标特征，解二元一次方程组，一元一次不等式组的应用，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据代入法解二元一次方程组，即可求解； （2）根据点在第四象限，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可 解：（1）解：， 由①得③， 将③代入②，得， 解得， 将代入③得，， 所以这个方程组的解为， 所以点的坐标为． （2）因为点在第四象限， 所以，可列不等式组， 解得，， 所以的取值范围是． 15．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，连接、，． （1）直接写出点A、点B的坐标； （2）动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为t，是否存在某一时刻，若存在，请求出时间t，并说明理由． 【答案】（1），；（2）秒或秒，理由见分析 【分析】（）根据，，求出的长即可得点、点的坐标； （2）先求出，即有，分点在和上两种情况，分别用表示出的长，利用面积法求出中边的高，根据列方程求出，即可得答案． 本题考查坐标与图形、几何图形的动点问题及三角形面积的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：（1）解：∵，， ∴，， ∵点在轴负半轴上，点在轴正半轴上， ∴，； （2）解：如图，当时，点在上，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵从点出发，以每秒个单位的速度沿的方向运动， ∴， ∴， 解得； 如图，当时，点在线段上， 则， ∴， 解得， 综上，的值为秒或秒． 【中考真题10题】 一、单选题 1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点位置的确定，能够熟练掌握点的横纵坐标的确定方法是解题关键． 根据点所在的象限，结合点到轴、轴的距离即可求解． 解：由坐标系可得点在第一象限，且横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：C． 2．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可． 解：∵“少”“年”的坐标分别为、， ∴建立直角坐标系如下： ， ∴“强”的坐标为， 故选：B 3．（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据象限的划分方法，轴下方，轴右侧的区域为第四象限，进行判断即可． 解：由图可知，点在第四象限； 故选D． 4．（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点的符号特点，是解题的关键． 解：∵，，， ∴点在第二象限； 故选B． 二、填空题 5．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第三象限的点的坐标的符号特点，根据平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，列出关于a的不等式组，求解即可． 解：点在第三象限， ， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：． 6．（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是 ．（只需写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的位置，三角形面积公式，由，，得，又的面积为，可得，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标可以是， 故答案为：．（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 7．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 三、解答题 8．（2023·山东淄博·中考真题）若实数，分别满足下列条件： （1）； （2）． 试判断点所在的象限． 【答案】点在第一象限或点在第二象限 【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可；解不等式求出解题，在分情况确定，的符号确定点所在象限解题即可． 解： 或 ，； ， 解得：； ∴当，时，，，点在第一象限； 当，时，，，点在第二象限； 【点拨】本题考查点在平面直角系的坐标特征，解不等式，平方根的意义，利用不等式的性质判断点的坐标特征是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.1 点的位置与坐标表示 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 一、学前回顾： 1 【题型1】数轴与实数 1 二、基础知识梳理： 2 【知识点一】平面直角坐标系 2 【题型2】写出平面内点的坐标或描点 2 【知识点二】象限 3 【题型3】判断点所在的象限或已知象限求参数 4 【知识点三】建立合适的平面直角坐标系 5 【题型4】建立合适的平面直角坐标系 5 三、 知识与题型延伸探究： 5 【题型5】有序实数对 6 【题型6】平行于坐标轴的直线上点的坐标 7 【题型7】平面直角坐标系与三角形全等 7 【题型8】平面直角坐标系与面积问题 8 【题型9】平面直角坐标系与规律问题 9 【题型10】平面直角坐标系与最值问题 10 二．同步练习​ 10 【基础巩固（13题）】 10 【能力提升（15题）】 12 【中考真题10题】 16 一.知识梳理与题型分类精析 一、学前回顾： 1、数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴； 2、数轴与实数一一对应关系：数轴与实数是一一对应，即数轴上的点和实数之间存在唯一的对应关系； 3、数轴上两点之间距离：设在数轴上两点表示的实数分别为和，则两点之间距离公式为． 【题型1】数轴与实数 【例题1】（25-26八年级上·上海·阶段练习）数轴上点A、B、C、D依次表示四个实数：、、、0． （1）在如图所示的数轴上标出点A的大致位置和点B、C、D的位置； （2）分别求A与B、A与C两点间的距离． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、．若B、C两点之间的距离为，则A、C两点之间的距离为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直角三角形在数轴上，，，，点在数轴上的处，以点为圆心，以为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是 ． 数轴的作用 数轴的关键作用：通过数轴搭建 “数” 与 “形” 的桥梁，将抽象实数直观化、可量化。 1、直观表示实数：数轴通过原点、正方向和单位长度的设定，每一个实数都能对应数轴上唯一的点，把抽象的数转化为具体的几何位置； 2、清晰反映实数关系：借助数轴上点的位置，可以判断对应实数的大小关系； 3、计算两点距离：求出两点间的距离，实现数与形的相互转化。 二、基础知识梳理： 【知识点一】平面直角坐标系 平面直角坐标系定义：平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。水平的数轴称为轴，或横轴，向右为正方向；竖直方向的数轴称为轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点称为原点轴； 平面直角坐标系中点的表示：过平面直角坐标系中一点分别作轴，轴的垂线，垂足在坐标轴上表示的数为则有序对称为点的坐标，称为点P的横坐标，称为点的纵坐标. 【题型2】写出平面内点的坐标或描点 【例题2】（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，E的位置如图． （1）分别写出点A，B，C，D，E的坐标． （2）在平面直角坐标系内，描出点． 【变式1】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，试写出坐标平面内各点的坐标． 解：A： ； B： ；C： ；D： ；E： ；F： 方法总结： 写点的坐标方法：过这个点作坐标轴的垂线，在x轴上表示的数为a，在y轴上表示的数为b,则用（a,b）表示这个点的坐标； 描点的方法：若一个点的坐标为（a,b）则过x轴上表示a的点作垂线，过y轴上表示b的点作垂线，其交点就是要描的点 【知识点二】象限 如图：在平面直角坐标系中，两条坐标轴将平面分成四个区域称为象限，按逆时针顺序记为第一、二、三、四象限，其中坐标轴不属于任何象限 【题型3】判断点所在的象限或已知象限求参数 【例题3】（25-26八年级上·全国·课前预习）（1）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　） A．第一象限     B．第二象限 C．第三象限      D．第四象限 （2）若点在第四象限，则a的值可以是（　　） A．     B．　0 C．     D．　2 （3）若点在第二象限，则m的值可以是___________．（写出一个即可） 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如果，那么点在第几象限?点在坐标平面内的什么位置? 方法归纳：平面直角坐标系中象限的坐标符号特征：在平面直角坐标系中，第一象限的点的坐标特征为，第二象限为，第三象限为，第四象限为． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知点，试分别根据下列条件，求出的值及点A的坐标： （1）点A在轴上； （2）点A在轴上． 方法归纳：平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标符号特征：在x轴上的点纵坐标为零，在y轴上的点横坐标为零. 【变式3】（23-24八年级上·全国·期末）已知点，分别根据下列条件求出点M的坐标． （1）点M在x轴上； （2）点M在一、三象限角平分线上． 方法归纳：平面直角坐标系中象限角平分线上坐标特征：在一三象限角平分线上的点横坐标等于纵坐标相等，在二四象限角平分线上的点横坐标等于纵坐标互为相反数. 【知识点三】建立合适的平面直角坐标系 建立合适的平面直角坐标系：核心体现在“合适”上，即通过合理的选择原点、坐标轴方向和单位长度，使图形的坐标表示或问题求解更简便。 【题型4】建立合适的平面直角坐标系 【例题4】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，以正方形的两条边为底边，向外作两个等腰直角三角形，已知正方形的边长为4，请在图中建立合适的平面直角坐标系，并求出各顶点的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，请以点B为原点建立平面直角坐标系，并写出A，C，D三点的坐标． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）三角形在网格中的位置如下图所示（每个小正方形的边长都是1）．请建立适当的平面直角坐标系，并写出三角形的顶点A，B，C的坐标． 方法归纳：建立平面直角坐标系时，选择的原点不同，图形上表示的同一点坐标也不相同，对于几何图形来，往往选择顶点作为原点，对于轴对称图形，往往选择坐标轴与对称轴重合。 3、 知识与题型延伸探究： 【题型5】有序实数对 在平面上，有序实数对（a,b）都有一个点与之对应，反之，平面内任意一个点也有唯一对应一个有序实数对与之对应. 【例题5】（2025八年级上·全国·专题练习）根据下列表述，不能确定具体位置的是（   ） A．北纬，东经 B．解放路 C．某港口南偏东方向上距港口 D．某电影院2号厅2排3座 方法归纳：表示位置方法有：经纬定位法；方位角+距离定位法；行列定位法；区域定位法. 【变式1】（24-25七年级上·湖南·开学考试）有一张方格纸，每个小方格的边长是1厘米，上面堆叠有棱长1厘米的小正方体（如图），小正方体A的位置用表示，小正方体B的位置用表示，那么小正方体C的位置可以表示成（   ） A． B． C． D．无正确选项 方法启示：表示平面位置需要两个数据，表示立体空间位置需要要三个数据. 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，点A在射线上，．如果绕点O按逆时针方向旋转（）到，那么点的位置可以用表示． （1）按上述表示方法，若，，则点的位置可以表示为 ； （2）在（1）的条件下，点B的位置用表示，连接，．求证：． 方法归纳：旋转角+距离定位法和几何图形综合题，利用旋转性质及三角形全等进行解题 【题型6】平行于坐标轴的直线上点的坐标 平行于x轴直线上的点的坐标纵坐标相等；两点间距离等于横坐标差的绝对值，平行于y轴直线上的点的横坐标相等，两点间距离等于纵坐标差的绝对值. 【例题6】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）平面直角坐标系中有点和点，若线段且与坐标轴平行，则 ． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在平面直角坐标系中，已知线段和轴平行，且，若点的坐标为，则点的坐标可能是（  ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知点，若线段与轴平行，A、B两点的距离为3，则的坐标为 ． 【变式3】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，小明在学习时发现，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为． 【类比应用】 （1）若点，，则 轴，的长度为 _； 【联系拓展】 已知点，， （2）若线段与轴交于点，点把线段分成的两部分时，求的值． 方法归纳：在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，若轴，；若轴，=． 【题型7】平面直角坐标系与三角形全等 【例题7】（25-26八年级上·江西上饶·阶段练习）已知点A，B的坐标分别为，，以A、B、P三点为顶点的三角形与全等，则符合条件点P的坐标为 【变式1】（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）已知点，的坐标分别为，，以，，三点为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为 ． 【变式2】（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为点B点坐标为，求一点C，使以点B、O、C为顶点的三角形与全等，则点C的坐标为 ． 【题型8】平面直角坐标系与面积问题 【例题8】（25-26八年级上·福建·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，在轴上存在点，使得，求出点的坐标（表示面积） 【变式1】（24-25七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，点，点，若在坐标轴上有一点（不与点重合），使三角形和三角形面积相等，则点的坐标为 ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的三个顶点都在格点上． （1）点A的坐标为________，点B的坐标为________； （2）的面积为________； （3）点P在y轴上，且的面积等于的面积，求点P的坐标． 【题型9】平面直角坐标系与规律问题 【例题9】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）一只跳蚤每秒跳一格，若规定向右和向上为正方向，起点A处用有序数对表示为，按如图所示的规律一直跳下去，如第1秒跳到的位置用有序数对表示为，则第17秒时跳蚤的位置用有序数对表示为（  ） A． B． C． D． 【变式1】（20-21七年级下·广东珠海·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·宁夏·模拟预测）将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示的数为8，则正整数2025用有序实数对表示为 ． 【题型10】平面直角坐标系与最值问题 【例题9】（24-25七年级下·天津南开·期末）平面直角坐标系中，点，若轴，则线段的最小值为 ，此时点C的坐标为 ． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点M为x轴上方一动点，且，以点为边构造等边，当线段取最大值时， ，点M的坐标为 ． 【变式2】（2025·湖北·模拟预测）如图，在轴上有，两点，点为轴右侧一动点，且．将线段绕点顺时针旋转到，连接，则线段的最大值为 ． 二．同步练习​ 【基础巩固（13题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·云南·期末）在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期中）已知轴，点的坐标为，且，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．不能确定 3．（25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点在第二象限内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距淇淇家1200米处 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 5．（24-25八年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点 ． 7．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）已知，则在第 象限． 8．（25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）若点在平面直角坐标系的轴上，则点的坐标为 ． 9．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）若点的坐标为，且点在第四象限，则 0．（填“”“”或“”） 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，三个顶点的坐标分别为，则的面积为 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点的纵坐标比横坐标大8，试判断点在第几象限，并说明理由． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的三个顶点的坐标分别为，求的面积． 13．（25-26八年级上·宁夏银川·阶段练习）已知点，试分别根据下列条件，求出点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点P的纵坐标比横坐标大5； （3）点P在过点，且与x轴平行的直线上． 【能力提升（15题）】 一、单选题 1．（23-24八年级上·四川·期末）在如图所示的象棋盘上，建立适当的平面直角坐标系，使“炮”位于点上，“相”位于点上，则“帅”位于点（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）若点满足方程组，则点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 3．（2024·甘肃定西·模拟预测）若点在平面直角坐标系中位于第四象限，则的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 4．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州·一模）大雁在南飞时保持严格整齐的队形即排成“人”或“一”．如图是大雁南飞时的平面网格图，如果最后两只大雁F，G的坐标为，那么头雁A的坐标是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·四川·阶段练习）已知，且，则点在第 象限． 7．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则a的值为 ． 8．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段练习）将，，，，…，按如图方式排列．若规定表示第排从左往右数第个数．若在，则的值为 ． 9．（25-26八年级上·天津·期中）如图，平面直角坐标系中有点和轴上一动点，其中，以点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，设点C坐标为． （1）当，则点的坐标为 ； （2）动点B在运动过程中， ． 10．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图是根据某学校的平面示意图建立的平面直角坐标系，学校的入口位于坐标原点，弘毅楼位于点，从弘毅楼出发沿射线方向前行是致远楼，从致远楼向左转后直行到博雅楼，则点的坐标是 ． 11．（24-25七年级下·陕西·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为 ． 三、解答题 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知两点，其中满足为第三象限内一点． （1）请写出两点的坐标：________． （2）若点到两坐标轴的距离相等，且，求点的坐标． 13．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知都是实数，设点，且满足，我们称点为“梦之点”． （1）判断点是否为“梦之点”； （2）若点是“梦之点”，请判断点在第几象限，并说明理由． 14．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系中，已知点，且，满足方程组． （1）求点的坐标； （2）若点在第四象限，求的取值范围． 15．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，连接、，． （1）直接写出点A、点B的坐标； （2）动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为t，是否存在某一时刻，若存在，请求出时间t，并说明理由． 【中考真题10题】 一、单选题 1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 5．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ． 6．（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是 ．（只需写出一个即可） 7．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 三、解答题 8．（2023·山东淄博·中考真题）若实数，分别满足下列条件： （1）； （2）． 试判断点所在的象限． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $