海南省文昌中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

2025—2026学年度第一学期高二第一次月考答案 数 学 第Ⅰ卷 （选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A B A C B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BCD AD ACD 第Ⅱ卷 （非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．解析： （1）直线的斜率为2， ………………（1分） 设直线的斜率为k，由，得，解得， …………（3分） 又直线经过点， 所以直线的方程为，即．…………（6分） （2）方法一：，所以的中垂线的斜率为，……………（8分） 又PQ的中点为，所以PQ的中垂线的方程为， 即． ……………（11分） 因为两点在圆C上，所以圆心C在的中垂线上， 又圆心C在直线l上，由 得 即圆心C的坐标为， ……………（13分） 又圆C的半径， ……………（14分） 所以圆C的方程为． ……………（15分） 方法二：因为圆C的圆心在直线l上， 所以可设圆心C的坐标为，半径为r， 所以圆C的方程为， ……………（8分） 又P，Q两点在圆C上， 所以 ，解得 ……………（11分） 所以圆C的方程为． ……………（13分） 16．解析： （1）因为四棱锥中， 底面，底面，且底面是正方形，所以两两垂直， ……………（1分） 以A为原点，分别为轴建立如图所示坐标系，…（2分） 则由题意可得，， ，，，……（3分） 所以，，， ……（4分） 设平面的法向量， 则 ， 取可得平面的一个法向量， ……………（6分） 因为，1又平面，……（8分） 所以直线平面. ………（10分） （2）由（1）得，平面的一个法向量，…（12分） 所以点到平面的距离. ………（15分） （若第一问几何法则给6分第二问酌情给分） 17．解析： （1）设事件“在一轮活动中甲猜对成语”，事件“在一轮活动中乙猜对成语”，事件“龙队在一轮活动中猜对成语的总数至少1个”，……………（2分） 则由题可知事件与事件相互独立，且，，， ∴，，……………（4分） ∴， 即“龙队”在一轮活动中猜对成语的总数至少1个的概率为. ……（6分） （2）设事件“在两轮活动中甲猜对个成语”，事件“在一轮活动中乙猜对个成语”， ，事件“龙队晋级”， ……………（8分） 则由题可知，且事件，，两两互斥， ……………（9分） ，， ，， ……………（13分） ∴ ， ∴ “龙队”晋级的概率为. ……………（15分） 18．解析： （1）取线段的中点，连接，…（1分） 在中，， ， …………（2分） 在中，， 由余弦定理可得：，， 在中，，， …………（4分） 因为，，，平面， …………（6分） 所以平面； …………（7分） （2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， …………（8分） ，…（9分） 平面的法向量， ……（10分） 设的坐标为，， ……（11分） 则， 设平面法向量为， ， 所以， 令，则， ……（13分） 由已知，…（14分） 解之得：或9（舍去）， ……（16分） 所以点是线段的中点． ……（17分） 19．解析： （1）根据题意作图如下： 由题意得 ，所以， 因为， 所以椭圆的标准方程为……（4分） （2）（）证明： 法一：由（1）可知， 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设， 则直线的方程为， 直线的方程为， …………（5分） 联立 ，化简得，…（7分） 因为，所以 ，即，…（9分） 联立 ，化简得 …………（11分） 因为，所以 ， 即， …………（13分） 则， ……（15分） 所以直线的方程为， 整理得， 所以直线过定点，即右焦点. …………（17分） 法二：设，又由（1）知， 所以， 则有， ……………（5分） 又，则，代入上式可得. ……………（6分） 又因为，所以. ……………（7分） 设直线的方程为， 联立 ，得， ………（9分） 所以 ， 且 所以 ， ………（11分） 由， ………（13分） 化简得且， ………（15分） 即，解得或（舍）， 所以直线过定点，即右焦点. ………（17分） 高二数学第一次月考题参考答案 第3页 （共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期高二第一次月考试题 数 学 （满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置。 2．填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写。选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效。写在试卷上无效。 第Ⅰ卷 （选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线经过两点，则直线AB的倾斜角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．120° 2．椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点P，则的周长为（     ） A．8 B．10 C．14 D．16 3．若直线：与直线：平行，则＝（     ） A．－1 B．－1或3 C． D．3 4．现采用随机模拟的方式估计一运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（     ） A． B． C． D． 5．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线BM与直线CN所成角的余弦值（     ） A． B． C． D． 6．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为 （     ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 7．从点向圆引切线，则切线长的最小值为（     ） A．5 B． C． D． 8．设为坐标原点，动点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，点P满足，则点P的轨迹方程为（     ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。 9．已知，，则下列说法中正确的是（     ） A．若A，B互斥，则 B．若A，B互斥，则 C．若A，B独立，则 D．若A，B独立，则 10．已知圆，直线．则（     ） A．直线恒过定点 B．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1 C．直线与圆有一个交点 D．若圆与圆恰有三条公切线，则 11．一个圆柱沿着轴截面截去一半，得到一个如图所示的几何体．已知四边形MNPQ是边长为2的正方形，点E为半圆弧上一动点（点E与点P，Q不重合），则（     ） A．三棱锥体积的最大值为 B．存在点E，使得 C．当点E为上的三等分点时，二面角 的正切值为 D．当点E为的中点时，四棱锥外接球的体积为 第Ⅱ卷 （非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为 . 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是 . 14．如图，点P是棱长为1的正方体 上底面的一个动点，直线与平面所成的 角为，则点P的轨迹长度为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知两点，直线． （1）若直线经过点P，且，求直线的方程； （2）若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程． 16．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点，为的中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离． 17．（本小题满分15分） 甲、乙两人组成“龙队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为. 在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求“龙队”在一轮活动中猜对成语的总数至少1个的概率； （2）若“龙队”在两轮活动中猜对成语的总数不少于3个，即可晋级.求“龙队”晋级的概率. 18．（本小题满分17分） 如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得，点为的中点，连接、，如图乙． （1）求证：DO⊥平面ABCE； （2）线段AB上是否存在一点H、使得平面ADE与平面DHC所成的角为？若不存在，说明理由：若存在，求出H点的位置． 19．（本小题满分17分） 已知椭圆，分别是左、右焦点，P是椭圆上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设分别是椭圆C的左、右顶点，若直线与C交于点，且， 证明：直线过定点，并求出此定点． ( 高二数学 第 4 页 （共4页） ) 学科网（北京）股份有限公司 $