期末复习专题七 勾股定理的综合应用-【宝典训练】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂（北师大版2024）

数学·八年级上册（北师大版） 专题七勾股定理的综合应用 1.如图，已知钓鱼竿AC的长为10m,露在水面上的鱼线BC长为6m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情 况，把鱼竿AC转动到AC的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m,则BB的长为 m。 E (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.图中的两个滑块A,B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动。开始时，滑块A距 O点20cm,滑块B距O点15cm。问：当滑块A向下滑13cm时，滑块B滑动了cm。 3.如图，有一个摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE=6c,当摆锤摆动 到最高位置时，它离底座的垂直高度BF=8cm,此时摆锤与静止位置时的水平距离BC=10cm 时，钟摆AD的长度是cm 4《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思 是一根竹子，原高两丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底 部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后垂直地面的竹子高度为x尺，则可列方 程为 5.如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺。 如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度为 (第5题图) (第6题图) (第7题图) (第8题图) 6.如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿南偏东60°方向 以9节(1节=1 n mile,/h)的速度航行，2号舰沿南偏西60°方向以12节的速度航行，离开港口2h 后它们分别到达A,B两点，此时两舰的距离是 n mile。 7.如图，A,C之间隔有一湖，在与AC方向成90°角的CB方向上的点B处测得AB=500m,BC= 400m,则A,C之间的距离为 m。 8.如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已 知此六棱柱的高AB为7cm,底面边长为4cm,则这圈金属丝的长度至少为 cm. A76 期末复习专题 9.如图，某隧道是一个双向通车的隧道，隧道的截面是一个半径为5m的半圆形，一辆高4.2m,宽 3m的卡车能通过该隧道吗？为什么？ 10.如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，点A,B在格点上（每个小正方形的顶点称为格 点)。按要求回答问题： (1)直接写出AB的长； (2)在网格中找到一格点C,使得AC=2√5，BC=5,并通过计算判断△ABC的形状。 B 11.如图，在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5,将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上的点B 处，AD为折痕，求DB的长。 12.如图，C是线段AB的中点，AE⊥AB,BF⊥AB,过点C的直线与AE,BF分别交于点E,F,连 接BE。 (1)求证：CE=CF; (2)若∠F=45°，BF=2,求BE的值。 A77参考答案 (4):一次函数y=(x十2)十3(k为常数，且k≠0)的图象一 3.解：(1)当x=0时，y=3,当y=0时，x=-4, 定过点N,N(-2,3), .点A的坐标为(-4,0)，点B的坐标为(0,3)。 ,该函数图象与y轴相交于点A,∴.A(0,2k十3)， (2)如答图所示，过点C作CE⊥AB于点E, .OA=2k+3|, ↑y :△0AN的面积为2,2×2k+3×2=2, k=一或k=一故答案为或- 5 2.解：(1)①y=2x十4②直线1如答图所示。 答图 又CO⊥BO,BC平分∠ABO, ∴.EC=OC,∠CBE=∠CBO, 6430123456 I∠CEB=∠COB! 在△OBC和△EBC中，∠CBE=∠CBO, EC=OC, ∴.△OBC≌△EBC(AAS),∴.BE=OB=3。 答图 ③(-2,0)④左2 设OC=EC=x,则AC=4-x,AE=5-3=2, 在Rt△AEC中，AE+EC=AC,即22+x2=(4-x), (2②左98)右是 解得x=号AC=4-号-号线段AC的长为， 专题六 一次函数的综合应用 (3)存在。当AB为底时，点D在AB的垂直平分线与x轴 1.解：(1)把E(-8,0)代人y=kx十4，得一8+4=0，解得=2； 1 的交点处， 1 (2):直线EF的表达式为y=zx+4,点P(x,y)是第二象 设AB的中点为F,则F点的坐标为（一2,2） 设直线DF的表达式为y=kx十b, 限肉直线上一点P点坐标为(x,7x+4)x<0且2x+ :DFLAB,.AB所在直线的函数表达式为y=子x+3, 4>0,即-8<x<0。 点A的坐标为（一6,0） =-专y=-号+b,代入F(-2,2） “s=×6×(2x+4)-2+12(-8<<0 解得6=-名=一 《③)当S=4时，则S=号十12=4，解得x=-号 3 7 7 令y=0,x=-g,则点D的坐标为(-80） 当x= 9=×(-)+4= 当AB为腰时，AB=√32+4=5， P点坐标为(9言》 ①AB=AD,当点D在A点右侧时， A(-4,0),此时点D的坐标为(1,0)； 六当点P运动到点（一9，专）位置时，△OPA的面积为4. 当点D在A点左侧时，同理可知此时点D的坐标为（一9,0）。 ②AB=BD,此时点D与点A关于y轴对称， 2.解：(1)设直线AB的表达式为y=kx+b,将A(2,0), A(-4,0),点D的坐标为(4,0)。 ,2k+b一0·解得 B(0,-2)代人，得{6=-2， k=1, 7 b=-2, 综上所述，点D的坐标为(-80）或（1,0)或(-9,0)或4,0)。 .直线AB的表达式为y=x-2。 (2)将x=m+1代入y=x-2,得y=m+1-2=m-1, 专题七勾股定理的综合应用 .点P(m+1,m一1)在直线AB上。 1.22.93.264.x2+92=(20-x)25.13尺6.30 (3)A(2,0),B(0,-2),∴AB=√/22+22=22。 7.3008.25 以下分三种情况： 9.解：不能通过该隧道。理由： ①以点A为顶角顶点，点Q在点A右边，AQ=AB=2√2， 当CO=3m时，如答图， ∴.OQ=OA+AQ=2+2√2，.Q(2+2√2,0)； 过点C作AC⊥OC,连接AO, 则AO=5m, ②以点A为顶角顶点，点Q在点A左边，AQ=AB=2√2， .OQ=AB-0A=2V2-2, 故AC=V√AO-CO-√52-3=4(m), 4<4.2, AQ>OA,∴.Q(2-2V2,0); .一辆高4.2m,宽3m的卡车不能通过该隧道。 ③以点B为顶角顶点，点Q在点A左边，BQ=AB=22, 10.解：(1)AB=√1+2=√/5： :∠BOQ=90°，OB=2,BQ=2√E, (2)如答图，点C即为所求的格点， ∴由勾股定理，得OQ=√BQ-OB=√2√2)2-22=2， AB2=5,BC=25,AC=20, .Q(-2,0)。 ..AB2+AC=BC2, 综上，点Q的坐标为(2+2√2,0)，(2-2√2,0)或(-2,0)。 ∴.△ABC是直角三角形。 答图 41 数学入年级上册（北师大版） 11.解：在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5,∴.△ABC为直角 则SAABC= 三角形，且∠B=90°。 zXBC·AG=60; 由折叠知AB=AB=3,DB=BD, a器 ∠B=∠AB'D=∠CBD=90°，∴.CB=2。 设B'D=BD=x,则CD=4-x, 【学以致用】 DB2+CB2=CD2,.x2+22=(4-x)2, （1把D(2,m)代入y=+号，得m=是×2+号-3， 解得=是DB=是 .D(2,3) 12.(1)证明：，C是线段AB的中点，.AC=CB, 由点C,D的坐标，得直线CD表达武为y=-是十号 AE⊥AB,BF⊥AB,∠A=∠CBF=90°。 (2)过点D作DG⊥AC于点G,过点P作PH⊥AC于点H, 又：∠ACE=∠BCF,∴.△ACE≌△BCF(ASA), 连接AP, ..CE=CF; (2)解：.△ACE≌△BCF,∴.AE=BF=2, 当点P在点D下方时，如答图1，y=号+号中， ∠F=45°，.在Rt△BCF中，BC=BF=2, 令y=0,得x=-2,.A(-2,0), ∴AB=2BC=4,.BE=√AE+AB=√22+4=2√5。 ,D(2,3),C(6,0),∴.AC=8,AD=5,DG=3, 专题八阅读理解与新定义题 :S△cn=S△ADP十S△cP,点P到直线AD的距离为2， 1.解：(1)(4,5) 7×8×3=×5×2+×8PH, (2):b=√a-2+√/2-a+√7， .a-2≥0,2-a≥0，.√a-2=√2-a=0,.b=√7， +, 解得PH=子，即点P的纵坐标为子，子=一是 解得x=号P(，) 117 √4<√7<，.2<7<3，.b的“麓外区间”为(2,3)。 2.解：(1)-2。一3+√2 (2):m与n是关于1的平衡数，m十3与2m一1也是关于1 的平衡数， /m+n=2, G m十3+2m-1=2,解得n=4, n=-2; 答图1 答图2 (3)不是，理由如下： (m十√3)(1-√3)=m-3m十3-3=-5+33， 当点P在点D上方时，如答图2，同上可得P(合，)。 3-5m=-2, 1-m=3, 综上所述，P的坐标为（得，）或（合，好）。 .(m+3)+(5-3)=(-2+√3)+(5-3)=3， 2.解：(1)OA=6,OB=10,四边形OACB为长方形， .C(6,10), ∴.m十3与5一√3不是关于1的平衡数。 设此时直线DP的表达式为y=kx十b,把(0,2)，C(6,10)分 3.解：(1)根据“逆反函数”的定义，得函数y=3x十2的“逆反函 数”为y=一2x-3; 别代人，得=2， 解得 (2)函数y=mx十n的“逆反函数”为y=一nx一m, 6k+b=10, b=2, :点P(4,6)既在函数y=mx十n(m,n为常数，且mn≠0)的 图象上，又在该函数的“逆反函数”的图象上， 则此时直线DP的表达式为y一音x十2。 40十=6，。解得m=2, (2)当点P在线段AC上时，OD=2,高为6， -4n-m=6, n=-2。 答：m的值为2，n的值为-2。 S=7×2×6=6, 4.解：(1)①十②，得6x十8y+10z=36,③ 当点P在线段BC上时，OD=2,高为6+10-t=16-t, 1 ③×号，得3+4y+5x=18,3x+4y+5z的值为18； S=2 ×2×(16-t)=16-t, (2)设购买1本笔记本需要a元，1支签字笔需要b元，1支记 6(0t10), 综上，S= 号笔需要c元，由题意，得3a十26十c=28,① 16-t(10<t<16). 7a+5b+3c=66,② (3)设P(m,10),则PB=PB'=m, ②-①X2,得a+b+c=10,③ OB'=OB=10,0A=6,..AB'=OB-OAF=8, ③×45，得45a+45b+45c=450 .B'C=10-8=2, 答：购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元钱。 在Rt△B'PC中，m2=2+(6-m),解得m=19, 3 专题九综合实践与探究题 1.解：【问题探究】 ∴此时点P的坐标是（号，10） (I)如题图1，作AG1BC于点G,则BG=CG=号BC=5, (4)存在。理由如下：若△BDP为等腰三角形，分三种情况 考虑，如答图。 在Rt△ABG中，AG=√AB-BG=√13-5=12， ①当BD=BP1=OB-OD=10-2=8时，在Rt△BCP中， 42